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2013年江苏省高中数学优秀课评比教案——直线与平面垂直教学设计


直线与平面垂直
教学目标:知识与技能目标:理解直线与平面垂直的定义、判定定理及性质定理 并能进行简单的应用; 过程与方法目标:通过对定义的总结和对判定、性质定理的探究,不断提高学生 的空间想象、抽象概括和逻辑思维能力; 情感态度与价值观目标:通过学习,使学生在认识到数学源于生活的同时,体会 到数学中的严谨细致之美,简洁朴实之美,和谐自然之美,从而使学生更加热爱 数学,热爱生活. 教学难点:直线与平面垂直的定义、判定定理及性质定理; 教学难点:直线与平面垂直定义、判定定理的探索及反证法。 教学方法:教法:启发诱导式 学法:合作交流、动手试验 教具准备:计算机、多媒体课件、三角形卡纸 教学过程: 一、情景创设 师:上课. 生:起立. 师:同学们好. 生:老师好. 师:我检查一下大家站的直吗,嗯,不错,都挺直的,大家看看我站的直吗? 生:直. 师:什么叫“直”? 生:就是“人与地面垂直”. 师: 也就是直线与平面垂直(板书) ,生活中关于垂直的例子很多,比如:

(图 1) (图 2) 师:我们如何定义直线与平面垂直呢? 师:我们来看一个演示,大家观察圆锥的轴与底面是什么关系? 生:圆锥的轴与底面垂直. 师:圆锥的轴与底面内所有过 O 点的直线是什么关系? 生:垂直. 师:和不过 O 点的直线是什么关系呢?(随手画一条和轴不相交的直线) 生:也垂直. 师:为什么?

生:因为它可以平移到过 O 点的位置. 师:很好,请坐. 师:你能给出定义吗? 生:当直线与平面内的任意一条直线都垂直时直线垂直于平面. 师:很好. 二、知识构建 1、直线与平面垂直的定义:如果一条直线 a 与平面 ? 内的任意一条直线都垂直, 我们就说直线 a 与平面 ? 互相垂直,记作 a ? ? ,直线 a 叫做平面 ? 的垂线,平 面 ? 叫做直线 a 的垂面,直线和平面的交点叫做垂足. a

l

?
若 l ? ? , a ? l , 则 a ? ? . (板书) 师:“任意”是“无数”吗? 生:不是“无数” ,若只垂直于互相平行的无数条直线,这样的直线不一定垂直 于平面. 师:非常漂亮,请坐. 师:线面垂直的定义我们知道了,下面我们来探讨一下如何判断线面垂直,如何 判断山顶上的旗杆垂直于水平面?(讨论) 生:可以用一条铅垂线,若旗杆与铅垂线平行,则旗杆垂直于地面. 师: 这就是如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这 个平面. 师:你能证明吗? 已知: a // b, a ? ? , 求证: b ? ? . 分析:说明直线 b 垂直于平面内的任意一条直线. 证明:学生板演. 师:如果旗杆在水平的地面上,你还有别的方法判断吗?(讨论) 生:可以用三角板围旗杆转一圈,判断是否垂直于地面的每一条直线. 师:非要转一圈吗? 动手操作:大家可以两个人合作,拿出一支笔,竖直的放在桌面上,另一位同学 拿出两个三角板,看看能不能找到办法,检验笔是否与桌面垂直. 生: 用两个三角板把它们的一条直角边紧贴着桌面, 当另外的直角边都与笔重合, 笔就垂直于地面. 师:很好,它比定义简单的多了,我们可以作判定定理. 1.直线与平面垂直的判定定理: 请同学们用三种语言描述. (让学生叙述、上黑板写)

文字语言:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直,那么这条直线垂直 于这个平面. 图形语言: 符号语言:若 a ? m, a ? n, m ? n ? A, m ? ? , n ? ? ,则 a ? ? . 师:大家分析一下定理中的关键词是什么? 操作:如图,请同学们拿出准备好的一块(任意)三角形的纸片,我们一起来做 一个实验:过△ABC 的顶点 A 翻折纸片,得到折痕 AD,将翻折后的纸片竖起放置 在桌面上, (BD、DC 与桌面接触).观察并思考: ①折痕 AD 与桌面垂直吗? ②如何翻折才能使折痕 AD 与桌面所在的平面垂直? 生:当折痕 AD 与 BC 垂直时,折痕 AD 与桌面垂直. 师:你能证明吗? 生:因为此时 AD ? BD, AD ? CD , BD ? CD ? D, BD ? ? , CD ? ? . 所以, AD ? ? 师:当旗杆与地面垂直时,旗杆与铅垂线是什么关系? 生:互相平行. 师:大家能证明吗? 例 2:已知 a ? ? , b ? ? ,求证: a // b . 分析:当直接证明找不到思路时, 不妨采用间接法,若结论不成立会怎样? 证明:假设 a 不平行与 b ,设 b 与 ? 的交点为 O , 过 O 点作 b ' // a . 直线 b 与 b ' 确定平面 ? ,设 ? ? ? ? c . 因为 a ? ? , b ? ? ,所以 a ? c, b ? c . 又因为 b ' // a ,所以 b ' ? c . 这样在平面 ? 内,过直线 c 上一点 O 就有两条直线与 c 垂直,显然不可能. 因此 a // b . 这就是直线与平面垂直的性质定理.
B D A C A α m A n l

?
?

B C

D

a

b b'

?

四、总结反思 (1)本节课你学会了哪些内容? (2)你还有哪些收获?

垂直于同一个平面的两条直线互相平行

线 线 垂 直

线面垂直的定义 线面垂直的判定定理

线 面 垂 直

线面垂直的性质定理

线 线 平 行

如果两条平行线中的一条直线与一个平面 垂直, 那么另外一条直线也与此平面垂直.

五、布置作业 探究:如图,PA⊥圆 O 所在平面,AB 是圆 O 的直径, C 是圆周上一点,则图中有几个直角三角形?由此你认为三棱锥 中最多有几个直角三角形?四棱锥呢?
P

A C

O

B


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