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专题3 曲线运动万有引力


高中物理

曲线运动和万有引力
一、大纲解读: 内 容 要求 Ⅰ Ⅰ Ⅱ Ⅱ 运动的合成与分解 曲线运动中质点的速度沿轨道的切线方向,且必和具有加速度 平抛运动 匀速率圆周运动; 线速度和角速度; 周期; 圆周运动的向心加速度公式 a ? 和向心力 万有引力定律(在地球表面附近可以近似等于万有引力) 人造地球卫星的运动(限于圆轨道) 、万有引力定律的

应用 宇宙速度 航天技术的发展和宇宙航行 实验:研究平抛物体的运动 圆周运动问题涉及物体的匀速圆周运动、竖直面内的圆周运动、天体的圆周运动、这些 都是高考的热点问题.从近年来高考对圆周运动问题的考查看,常常结合万有引力定律考查 天体的圆周运动,结合有关电学内容考查带电粒子在磁场或复合场中的圆周运动。 注意圆 周运动问题是牛顿运动定律在曲线运动中的具体应用, 要加深对牛顿第二定律的理解, 提高 应用牛顿运动定律分析、解决实际问题的能力。近 3 年对人造卫星问题考查频率较高,万有 引力与航天技术结合密切,对理论联系实际的能力要求较高,要引起足够重视。由于 2008 年 9 月神舟七号的成功发射,预测在 2009 年高考中它的表现形式涉及神舟七号的物理知识 主要有:火箭的发射过程中的超重,飞船在轨运行中的受力分析、运动分析,宇航员在失重 状态下的运动状态, 在调整、对接和回收中的动量变化等,神舟七号发射的有关资料希望 考生在备考中加强阅读,熟练掌握。 二、重点剖析: 1、理解曲线运动的条件 运动物体所受合外力的方向跟其速度方向不在一条直线上时,物体做曲线运动。 2、理解运动的合成与分解 (1)运动的合成与分解的四性:分运动的独立性;运动的等效性(合运动和分运动是 等效替代关系,不能并存) ;运动的等时性;运动的矢量性(加速度、速度、位移都是矢量, 其合成和分解遵循平行四边形定则。 ) (2)连带运动问题:指物拉绳(杆)或绳(杆)拉物问题。由于高中研究的绳都是不 可伸长的,杆都是不可伸长和压缩的,即绳或杆的长度不会改变,所以解题原则是:把物体 的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分量,根据沿绳(杆)方向的分速 度大小相同求解。 3.理解平抛物体的运动的处理方法 (1)平抛运动的处理方法:把平抛运动看作为两个分运动的合动动:一个是水平方向 (垂直于恒力方向) 的匀速直线运动, 一个是竖直方向 (沿着恒力方向) 的匀加速直线运动。 (2)平抛运动的性质: 做平抛运动的物体仅受重力的作用, 故平抛运动是匀变速曲线运 动。 (3)临界问题: 典型例题很多,如:在排球运动中,为了使从某一位置和某一高度水 Ⅱ Ⅱ Ⅰ Ⅰ

?2
r

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平扣出的球既不触网、又不出界,扣球速度的取值范围应是多少? 4.理解圆周运动的规律 (1)两种模型:凡是直接用皮带传动(包括链条传动、摩擦传动)的两个轮子,两轮边 缘上各点的线速度大小相等;凡是同一个轮轴上(各个轮都绕同一根轴同步转动)的各点角 速度相等(轴上的点除外) 。 (2) 描述匀速圆周运动的各物理量间的关系: V ?

2?r ? 2?fr ? ?r T

Fn ? ma n ? m

V2 4? 2 ? m? 2 r ? m 2 r ? 4? 2 mf 2 r . r T

(3)竖直面内圆周运动最高点处的受力特点及分类: ①弹力只可能向下,如绳拉球。②弹力只可能向上,特例如车过桥。③弹力既可能向上 又可能向下,如管内转球(或杆连球、环穿珠) 。弹力可取任意值。但可以进一步讨论:当

v ? gR 时物体受到的弹力必然是向下的; v ? gR 时物体受到的弹力必然是向上的; 当 当
v? gR 时物体受到的弹力恰好为零。当弹力大小 F<mg 时,向心力有两解:mg±F;当弹

力大小 F>mg 时,向心力只有一解:F +mg;当弹力 F=mg 时,向心力等于零。 5.理解万有引力定律 (1)万有引力定律: F ? G

m1 m2 -11 2 2 ,G=6.67?10 N.m /kg .适用条件:适用于相距很 r2

远,可以看做质点的两物体间的相互作用,质量分布均匀的球体也可用此公式计算,其中 r 指球心间的距离。 (2)万有引力定律的应用 ①万有引力近似等于重力: G

m1m2 ? mg r2

讨论重力加速度 g 随离地面高度 h 的变化情况: 物体的重力近似为地球对物体的引 力,即 mg=G

Mm M 。所以重力加速度 g= G ,可见,g 随 h 的增大而减小。 2 ( R ? h) ( R ? h) 2
m1 m2 ? F向心 r2

②万有引力提供向心力: G

求天体的质量:通过观天体卫星运动的周期 T 和轨道半径 r 或天体表面的重力加速度 3 g 和天体的半径 R,就可以求出天体的质量 M。○求解卫星的有关问题:根据万有引力等于 卫星做圆周运动的向心力可求卫星的速度、周期、动能、动量等状态量。由 G

V2 Mm =m r r2

得 V= 由 Ek=

GM Mm ,由 G 2 = mr(2π /T)2 得 T=2π r r

GM r3 Mm 。由 G 2 = mrω 2 得ω = , GM r3 r

1 2 1 Mm mv = G 。 2 2 r

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三、考点透视 考点 1:理解曲线运动的条件 例 1. 在弯道上高速行驶的赛车,突然后轮脱离赛车。关于脱离了的后轮的运动情况, 以下说法正确的是( ) B.沿着与弯道垂直的方向飞出 D.上述情况都有可能 A.仍然沿着汽车行驶的弯道运动 C.沿着脱离时轮子前进的方向做直线运动,离开弯道

解析:在弯道上高速行驶的赛车,突然后轮脱离赛车,由于有惯性要沿着原来的速度 方向运动,只有受到和速度方向不在一条直线上的合外力作用下,才作曲线运动,所以沿着 脱离时轮子前进的方向做直线运动,离开弯道,C 正确。 正确答案为:C。 点拨:运动物体所受合外力的方向跟其速度方向不在一条直线上时,物体做曲线运动。 考点 2:用运动的合成与分解求解绳联物体的速度问题。 例 2、如图 3-1 所示,汽车甲以速度 v1 拉汽车乙前进, 乙的速度为 v2,甲、乙都在水平面上运动,求 v1∶v2 解析: 如图 3-2 所示, 乙沿绳的速度分别为 v1 和 v2cos 甲、 图 3-1 α ,两者应该相等,所以有 v1∶v2=cosα ∶1 甲 v1 点拨:对于绳联问题,由于绳的弹力总是沿着绳的 乙 v2 α 方向,所以当绳不可伸长时,绳联物体的速度在绳的方向 上的投影相等。求绳联物体的速度关联问题时,首先要明 图 32 确绳联物体的速度,然后将两物体的速度分别沿绳的方向 和垂直于绳的方向进行分解,令两物体沿绳方向的速度相等即可求出。 考点 3:理解平抛物体的运动规律 例 3. (08 年全国卷 I)如图所示,一物体自倾角为θ 的固定斜面顶端沿水平方向抛出 后落在斜面上。物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角φ 满足( ) A.tanφ =sinθ B. tanφ =cosθ C. tanφ =tanθ D. tanφ =2tanθ 解析:物体飞出时的初速度为v0,落在斜面上时,竖直位移为y,则空中飞行的时间为: v1 v1 甲 v2 α 乙

t?

2y 2y v x , 水平位移: ? v 0 t ? v 0 , 到达斜面时, 竖直方向的分速度: y ? gt ? 2 gy g g

由几何关系可知:tan? ?

vy 2 gy y ? ? ; tan ? ? x 2v 0 v0

2 gy , 由此可知:tan? ? 2 tan? , v0

所以D选项正确。 答案:D 点拨:对于平抛运动问题要能理解平抛运动的实质,把它转化为两个方向研究,得到某 一时刻的分量,再应用合成思路,找到物体实际运动参量,结合题目中给的条件,想法找到 联系点,考生就能很快找到解决方案。 考点 4:圆周运动与其它知识的结合

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例 4(08 年山东)某兴趣小组设计了如图所示的玩具轨道,其中“2008”四个等高数 字用内壁光滑的薄壁细圆管弯成,固定在竖直平面内(所有数字均由圆或半圆组成,圆半径 比细管的内径大得多) ,底端与水平地面相切。弹射装置将一个小物体(可视为质点)以 va=5m/s 的水平初速度由 a 点弹出,从 b 点进入轨道,依次经过“8002”后从 p 点水平抛出。 小物体与地面 ab 段间的动摩擦因数 u=0.3,不计其它机械能损失。已知 ab 段长 L=1. 5m,数 字“0”的半径 R=0.2m,小物体质量 m=0.01kg,g=10m/s2。求: (1)小物体从 p 点抛出后的 水平射程。 (2)小物体经过数这“0”的最高点时管道对小物体作用力的大小和方向。

解析: (1)设小物体运动到 p 点时的速度大小为 v,对小物体由 a 运动到 p 过程应用动 能定理得: ??mgL ? 2 Rmg ?

1 2 1 2 mv ? mva 2 2

① ② ③ ④

2R ?
s=vt

1 2 gt 2

由①②③式联立代入数据解得:s=0.8m

(2)设在数字“0”的最高点时管道对小物体的作用力大小为 F,由牛顿第二定律得:

mv 2 F ? mg ? R



由①⑤两式联立代入数据解得:F=0.3N,方向竖直向下。 答案:⑴ 0.8m ⑵ 0.3N 方向竖直向下

点拨:本题能将圆周运动及匀变速直线运动、平抛运动三种高中物理中典型的运动模 型相结合, 能很好考查了力学两大基本观点和一个基本方法。 注意在分析圆周运动某一点的 受力情况常用牛顿第二定律引结合, 研究平抛运动的基本方法是运动的合成和分解, 解答曲 线运动全过程问题常用动能定理,本题是一道中等难度新颖的好题. 考点 5:理解万有引力提供向心力 例 5、月球质量是地球质量的 1 ,月球的半径是地球半径的 1 .月球上空高 500m 处有
81 3.8
2

一质量为 60kg 的物体自由下落.它落到月球表面所需要的时间是多少? ( g 地 ? 9.8m / s ) 解析:设月球表面的“重力加速度”为 g 月 由于物体在月求表面附近,物体在月球上的“重力”等于月球对它的引力.

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由万有引力提供物体的重力得: G

M 月m
2 R月

? mg 月 M 地m ? mg 地 2 R地

物体在地球表面时,万有引力提供物体的重力得: G 两式相比得: 即: g月 ?

g月 M 月 R地 2 1 ? ?( ) ? g地 M 地 R月 5.6

g地 ? 1.75m / s 2 5.6

所以物体在月球上空 500m 处自由落下到达月球表面所需要的时间

t?

2h ? 24 s g月

点拨:应用万有引力定律天体问题应熟练掌握的一条思路即万有引力跟重力的关系, 特别是除地球外其它星球表面的“重力加速度”,如此题中求自由下落时间,一定要先求出 月球表面的“重力加速度” 考点 6:万有引力提供向心力 例 6.北京时间9月 27 日 17 时, 航天员翟志刚在完成一系列空间科学实验, 并按预定方 案进行太空行走后,安全返回神舟七号轨道舱, 这标志着我国航天员首次空间出舱活动取得 成功. 若这时神舟七号在离地面高为 h 的轨道上做圆周运动,已知地球半径为 R,地球表面 处的重力加速度为 g.航天员站在飞船时,求 (1)航天员对舱底的压力,简要说明理由. (2)航天员运动的加速度大小. 解析:(1)航天员对神舟七号的压力为零.因为地球对航天员的万有引力恰好提供了航 天员随飞船绕地球做匀速圆周运动所需的向心力,航天员处于完全失重状态. (2) 由 牛 顿 第 二 定 律 知 : G

Mm Mm ? ma , G 2 ? mg , 由 两 式 解 得 2 ( R ? h) R

a?

R2 g. ( R ? h) 2

点拨:在应用万有引力定律解题时,首先要明确是哪种模型,利用平时掌握的模型可以 使问题得到很快的解决。 四、热点分析 (1)平抛运动 例 1、 (08 年广东)某同学对着墙壁练习打网球,假定球在墙面上以 25m/s 的速度沿水 平方向反弹,落地点到墙面的距离在 10m 至 15m 之间,忽略空气阻力,取 g=10m/s2,球在墙 面上反弹点的高度范围是( ) A.0.8m 至1.8m B.0.8m 至 1.6m C.1.0m 至 1.6m D.1.0m 至 1.8m 本题简介:本题考查平抛运动知识,重点考查考生对物理规律的本质理解,掌握解决平

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抛运动的方法——等效法。 解析:球在水平方向上做匀速直线运动,则由 x ? v0 t ,得小球在空中飞行的时间范围 为:0.4s~0.6s,则根据竖直方向做自由落体运动: h ?

1 2 gt ,可得:高度范围为: 0.8m 至1.8m 2

点拨:领会平抛运动中的等效思想(一个运动看成两个方向同时运动的结果)与转化 思想(一个复杂的曲线运动看成两个方向上简单直线运动) ,把握住两方向运动关系的联系 纽带时间相等,分别用两个方向各自的运动规律,独立研究,就会突破认知障碍。 (2)天体运动 例 2 我国发射一颗绕月运行的探月卫星“嫦娥 1 号”。 设该卫星的轨道是圆形的, 且贴 近月球表面。已知月球的质量约为地球质量的

1 1 ,月球的半径约为地球半径的 ,地球上 81 4

的第一宇宙速度约为 7.9 km/s,则该探月卫星绕月运行的速率约为( ) A.0.4 km/s B.1.8 km/s C.11 km/s D.36 km/s 本题简介: 本题是研究天体做匀速圆周运动的模型即万有引力提供向心力。 这类题在高 考中每年必考,关键是看学生能否从题中提取信息把它转化为常见的模型。 解析:由 G

Mm v2 ? m ,v ? r r2

GM ,得: v 地 ? r

GM 地 r地

, v月 ?

GM 月 r月

,由

v月 v地

?

2 v月 ? 1.8km / s 则探月卫星绕月运行的速率为 9

。所以 B 选项正确。

命题反思: 2007 年高考四川卷第 17 题、 2007 年高考全国卷第 20 题都考查这部分知识, 由于今年的“嫦娥 1 号”已经发射成功, 2008 年高考中本考点还是考查天体的圆周运动, 在 它的表现形式有可能是研究探测器以信息题方式出现。 “嫦娥 1 号”的发射有关资料希望学 生加强阅读。 五、能力突破: (1)平抛运动在实际生活中的运用 例 1、国家飞碟射击队进行模拟训练用如图 1 的装置进行。被训练的运动员在高为 H=20m 的塔顶,在地面上距塔的水平距离 S 处有一电子抛靶装置。圆形靶以速度 v 2 竖直上 抛。 当靶被竖直上抛的同时, 运动员立即用特制的手枪水平射击, 子弹的速度 v1 ? 100 m / s 。 不计人的反应时间、 抛靶装置的高度和子弹在枪膛中的运动时间, 忽略空气阻力及靶的大小 2 (g=10m/s ) 求: 1) s 取值在什么范围内, 。 ( 当 无论 v2 为何值都不能击中靶? (2) s=100m, 若 v2=20m/s,请通过计算说明靶能否被击中?

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解析:只要靶子在子弹的射程之外,无论靶的速度为何值,都无法击中;如果能击中, 击中处一定在抛靶装置的正上方。 (1) 根据平抛运动的规律: 、 水平方向: s ? v1t
/

① ②
/

竖直方向: H ?

1 2 gt 2

要使子弹不能击中靶,则: s ? s



联立上面三式,并代入数据可得: s ? 200 m (2) 设经过时间 t1 击中 水平方向: s1 ? v1t1 竖直方向: h1 ? ④ ⑤

1 2 gt1 2

靶子上升的高度: h2 ? v2 t1 ?

1 2 gt1 2



联立上面三式,并代入数据得: h1 ? h2 ? 20 m ,恰好等于塔高, 所以靶恰好被击中。 反思: 解决平抛运动的关键是将平抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的 自由落体运动,然后从题设条件找准分解的矢量,并分解。 (2)平抛运动和天体运动相结合 例 2、据报道最近在太阳系外发现了首颗“宜居”行星,其质量约为地球质量的 6.4 倍。已 知一个在地球表面质量为 50 kg 的人在这个行星表面的重量约为 800N,地球表面处的重力 加速度为 10 m / s 。求: (1)该行星的半径与地球的半径之比约为多少? (2)若在该行星上距行星表面 2M 高处,以 10m/ s 的水平初速度抛出一只小球(不计任何 阻力) ,则小球的水平射程是多大? 解析: (1)在该行星表面处,由 G行 ? mg 行 , 有g 行 ? 由万有引力定律: mg ? G
2 R行 M 行 g 地 即: 2 ? R地 M 地 g 行

2

G行 m

? 16 m / s 2

Mm , 有R 2 ? GM / g R2

代入数据解得

R行 R地

?2

(2)由平抛运动运动的规律: h ?

1 g 行 t 2 , s ? vt 2

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故 s ? v 2h / g 行 代入数据解得 s=5m 反思: 利用平抛运动可以求出天体的重力加速度, 再利用万有引力提供重力的规律来研究天 体的其他运动规律和对天体的探究,这也是 2008 年高考命题的方向。 (3)万有引力定律的应用 例 3、为了迎接太空时代的到来,美国国会通过一项计划:在 2050 年前建造成太空升降 机,就是把长绳的一端搁置在地球的卫星上,另一端系住长降机。放开绳,升降机能到 达地球上;人坐在升降机里,在卫星上通过电动机把升降机拉到卫星上。已知地球表面 的重力加速 g=10m/s2,地球半径为 R。求: (1)某人在地球表面用体重计称得重 800N,站在升降机中,当长降机以加速度 a=g(g 为地球表面处的重力加速度) 竖直上升, 在某处此人再一次用同一体重计称得视重 为 850N,忽略地球自转的影响,求升降机此时距地面的高度; (2) 如果把绳的一端搁置在同步卫星上, 地球自转的周期为 T, 求绳的长度至少为多长。 解析: (1)由题意可知人的质量 m=80kg 对人分析: 850 ? mg ? ? ma ①

GMm ? mg ? (G ? h) 2



GMm ? mg R2



得:h=3R ④ (2)h 为同步卫星的高度,T 为地球自转周期

G

Mm 2? ? m( R ? h ) ? ( ) 2 , 2 T ( R ? h)
gR 2T 2 ?R 4? 2

GMm ? mg R2



得h ? 3

反思:万有引力定律应用的两种模型:万有引力提供重力: G

m1m2 ? mg 和万有引力 r2

提供向心力: G

m1 m2 ? F向心 ,2008 高考中可以对这两种模型进行灵活运用来研究天体的 r2

运动规律。 (5)开普勒三定律中、万有引力在神舟七号飞船的应用 例 5、 开普勒三定律也适用于神舟七号飞船的变轨运动. 飞船与火箭分离后进入预定 轨道, 飞船在近地点(可认为近地面)开动发动机加速, 之后,飞船速度增大并转移到与地球 表面相切的椭圆轨道, 飞船在远地点再次点火加速, 飞船沿半径为 r 的 圆轨道绕地运动. 设地球半径为 R,地球表面的重力加速度为 g, 若不 计空气阻力,试求神舟七号从近地点到远地点时间(变轨时间).

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解析:设神舟七号飞船在椭圆轨道上运行周期为 T0,在半径为 r 的圆轨道上运行周期 为 T,

依据开普勒第三定律可得

R?r 3 ) T 2 , ? T r3
2 0 2

(

又 运动过程中万确引力提供向心力 G

Mm 4? 2 ?m 2 r, r2 T

而神舟七号飞船在椭圆轨道只运动了半个周期,即 t ? 再配合黄金代换式 GM ? gR ,
2

T0 , 2

联立上述各式, 可解得神舟七号从近地点到远地点时间 t ?

? (R ? r) R ? r
2R 2g

.

反思:学以致用是学习物理的目的之 ,要关注意社会热点中所波及到的物理知识, 能根据题意,提取信息,描述物理情景,用学过的物理知识和物理模型灵活处理实际问题。 六、规律整合: (1)平抛运动的处理方法:把平抛运动看作为两个分运动的合动动:一个是水平方向(垂 直于恒力方向)的匀速直线运动,一个是竖直方向(沿着恒力方向)的匀加速直线运动。 平抛运动的性质:做平抛运动的物体仅受重力的作用,故平抛运动是匀变速曲线运动。 (2)对于做匀速圆周运动的物体,其所受到的所有外力的合力即为产生向心加速度的 向心力.匀速圆周运动的运动学问题是运用运动学的观点解决匀速圆周运动问题.这类问题的 思维方法是运用线速度、 角速度的概念以及线速度和角速度的关系分析问题, 问题只涉及匀 速圆周运动的运动情况,而不涉及匀速圆周运动的运动原因.匀速圆周运动的动力学问题是 牛顿第二定律在匀速圆周运动中的应用.这类问题是从力的观点认识匀速圆周运动,解决问 题的思维方法是运用匀速圆周运动的向心力公式,按牛顿第二定律列方程解题.这是匀速圆 周运动问题的主要内容. (3)在重力场中沿竖直轨道做圆周运动的物体,在最高点最易脱离圆轨道.对于沿轨道 内侧和以细绳相连而做圆周运动的物体, 轨道压力或细绳张力恰为零——即只有重力充当向 心力时的速度,为完成圆周运动在最高点的临界速度.其大小满足方程:mg=m

v临 ,所以 v 临 R

2

= Rg .对于沿轨道外侧或以硬杆支持的物体,在最高点的最小速度可以为零. 因竖直面上 物体的圆周运动一般为变速的圆周运动,在中学阶段只能讨论物体在圆周上特殊点——最 “高”点或最“低”点的运动情况,因此,讨论物体在轨道的最“高”点或最“低”点的运 动情况、受力情况及其间关系。 (4)物体在地球表面附近所受到的地球对它的引力;即 mg0=

GMm GM ,得 g0= 2 ,式中 2 R R

R 为地球半径,g0 为地球表面附近的重力加速度.涉及天体的问题中,重力加速度随位置变

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化明显,在地球上不同高度处或其他星球上,由 mg=

GMm GM 得重力加速度 g= 2 ,式中 r 2 r r

为到地心(或星球球心)的距离,M 为地球(或星球)的质量.切不要到处乱套 g=9.8 m/s2. (5)在天体(包括人造卫星)的运动过程中,其合外力就是万有引力.由于把天体的运 动均简化为匀速圆周运动,所以其向心力就是万有引力,因此有

GMm mv 2 = =mω r r2

2

r=

4? 2 mr =mω v,由此可以得出,在描述天体运动的四个参量(r、v、ω 、T)中,只要 T2

其中的一个确定则另外三个也随之确定了,只要一个变化则另外三个也一定变. (6)对于任何轨道的人造地球卫星,地球总位于其轨道中心.对于地球同步卫星,其轨 道平面只能和赤道平面重合,且只能发射到特定的高度,以特定的速率运行.人造地球卫星 问题,是高考命题的热点之一,特别是同步卫星问题,几乎各种形式的高考,每年都有考题 出现,因此应当把它作为重点对待.

七、专题专练 一、选择题(共 10 小题,在每小题给出的四个选项中,有的小题只有一个选项正确,有的小 题有多个选项正确。全部选对的得 4 分,选不全的得 2 分,有选错的或不答的得 0 分) 1.一质点在 xoy 平面内运动的轨迹如图所示,下列判断正确的是( ) A.若 x 方向始终匀速,则 y 方向先加速后减速 B.若 x 方向始终匀速,则 y 方向先减速后加速 C.若 y 方向始终匀速,则 x 方向先减速后加速 D.若 y 方向始终匀速,则 x 方向一直加速 2.如图所示,甲、乙两船在同一条河流中同时开始渡河,河宽为 H, 河水流速为 u,划船速度均为 v,出发时两船相距

2 3H ,甲、乙船头均与岸边成 600 角, 3

且乙船恰好能直达对岸的 A 点,则下列判断正确的是( ) A.甲、乙两船到达对岸的时间不同 B.两船可能在未到达对岸前相遇 C.甲船在 A 点右侧靠岸 D.甲船也在 A 点靠岸 3.美国研究人员最近在太阳系边缘新观测到以一个类行星天体, 其直径估计在 1600 公里左右, 有可能是自 1930 年发现冥王星以来人类在太阳系中发现的最 大天体——太阳的第十大行星.若万有引力常量用 G 表示, 该行星天体的半径用 r、 质量用 m 表示,该行星天体到太阳的平均距离用 R 表示,太阳的质量用 M 表示,且把该类行星天体 的轨道近似地看作圆,那么该天体运行的公转周期为( )

A. 2?

R3 GM

B. 2?

r3 GM

C. 2?

R3 Gm

D. 2?

r3 Gm

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4.如图所示,质点在竖直面内做匀速圆周运动,轨道半径 R=40m,轨 道圆心 O 距地面的高度为 h=280m, 线速度 v=40m/s。 质点分别在 A、 B、C、D各点离开轨道,在空中运动一段时间后落在水平地面上。比 较质点分别在 A、B、C、D各点离开轨道的情况,下列说法中正确的 是( ) A.质点在 A 点离开轨道时,在空中运动的时间一定最短 B.质点在 B 点离开轨道时,在空中运动的时间一定最短 C.质点在 C 点离开轨道时,落到地面上时的速度一定最大 D.质点在 D 点离开轨道时,落到地面上时的速度一定最大 5.一空间站正在沿圆形轨道绕地球运动,现从空间站向其运行方向弹射出一个小物体(质量 远小于空间站的质量),当空间站再次达到重新稳定运行时,与原来相比( ) A.空间站仍在原轨道上运行,但速率变小,周期变大 B.空间站的高度变小,速率变小,周期变大 C.空间站的高度变小,速率变大,周期变小 D.空间站的高度变大,速率变小,周期变大 6.小球 m 用长为 L 的悬线固定在 O 点,在 O 点正下方 L/2 处有一光滑圆钉 C (如图所示) 。 今把小球拉到悬线呈水平后无初速地释放,当悬线竖直状态且 与钉相碰时( ) A.小球的速度突然增大 B.小球的向心加速度突然增大 C.小球的向心加速度不变 D.悬线的拉力突然增大 7.最近,科学家在望远镜中看到太阳系外某一恒星有一行星,并测得它围绕该恒星运行一 周所用的时间为 1200 年,它与该恒星的距离为地球到太阳距离的 100 倍。 假定该行星绕 恒星运行的轨道和地球绕太阳运行的轨道都是圆周,仅利用以上两个数据可以求出的量有 ( ) A.恒星质量与太阳质量之比 B.恒星密度与太阳密度之比 C.行星质量与地球质量之比 D.行星运行速度与地球公转速度之比 8. 在发射地球同步卫星的过程中,卫星首先进入椭圆轨道Ⅰ,然后 在Q点通过改变卫星速度,让卫星进入地球同步轨道Ⅱ。则( ) A.该卫星的发射速度必定大于11.2km/s B.卫星在同步轨道Ⅱ上的运行速度大于7.9km/s C.在轨道Ⅰ上,卫星在P点的速度大于在Q点的速度 D.卫星在Q点通过加速实现由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ 9.我国的国土范围在东西方向上大致分布在东经 70°到东经 135°之间,所以我国发射的 同步通信卫星一般定点在赤道上空 3.6 万千米、东经 100°附近,假设某通信卫星计划定点 在赤道上空东经 104°的位置,经测量刚进入轨道时位于赤道上空 3.6 万千米、东经 103° 处,为了把它调整到 104°处,可以短时间启动卫星上的小型喷气发动机调整卫星的高度, 改变其周期,使其‘漂移” 到预定经度后, 再短时间启动发动机调整卫星的高度,实现定点, 两次调整高度的方向依次是( ) A.向下、向上 B.向上、向下 C.向上、向上 D.向下、向下 10.如图所示,两物块 A、B 套在水平粗糙的 CD 杆上,并用不可伸长的轻绳连接,整个装 置能绕过 CD 中点的轴 OO1 转动,已知两物块质量相等,杆 CD 对物块 A、B 的最大静摩擦 力大小相等,开始时绳子处于自然长度(绳子恰好伸直但无弹力) ,物块 B 到 OO1 轴的距离 为物块 A 到 OO1 轴的距离的两倍,现让该装置从静止开始转动,使转速逐渐增大,在从绳

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子处于自然长度到两物块 A、B 即将滑动的过程中,下列说法正确的是 A.A 受到的静摩擦力一直增大 B.B 受到的静摩擦力先增大,后保持不变 C.A 受到的静摩擦力是先增大后减小 D.A 受到的合外力一直在增大 二、填空题(共 2 小题,把答案填在题中的横线上或按题目 的要求作答)





11. 分)一个有一定厚度的圆盘,可以绕通过中心垂直于盘面的水平轴转动,用下面的 (8 方法测量它匀速转动时的角速度。 实验器材:电磁打点计时器、米尺、纸带、复写纸片。 实验步骤: ⑴如图所示,将电磁打点计时器固定在桌面上,将纸带 的一端穿过打点计时器的限位孔后。固定在待测圆盘的侧 面上,使得圆盘转动时,纸带可以卷在圆盘侧面上。 ⑵启动控制装置使圆盘转动,同时接通电源,打点计时 器开始打点。 ⑶经过一段时间,停止转动和打点,取下纸带,进行测 量。 ①由已知量和测得量表示的角速度的表达式为ω = 式中各量的意义是: ②某次实验测得圆盘半径 r=5.50?10-2m,得到的纸带的一段如图所示,求得角速度 为 。

12. (4 分)在研究平抛运动的实验中,为了正确描绘出小球平抛运动的轨迹,在固定 (1) 弧形斜槽时,应注意使__________;实验时,每次使小球由静止滚下都应注意_________ (2)(6 分)在做“研究平抛物体的运动”的实验时,为了确定小球在不同时刻所通过 挡板 的位置,用如图所示的装置,将一块平木板钉上复 写纸和白纸,竖直立于槽口前某处且和斜槽所在的 平面垂直, 使小球从斜槽上紧靠挡板处由静止滚下, A y1 B 小球撞在木板上留下痕迹 A;将木板向后移距离 x, y2 再使小球从斜槽上紧靠挡板处由静止滚下,小球撞 y2 C↓ 在木板上留下痕迹 B;又将木板再向后移距离 x,小 球再从斜槽上紧靠挡板处由静止滚下,再得到痕迹 x x C.若测得木板每次后移距离 x=20.00cm,A、B 间距 图 14 离 y1 =4.70cm,B、C 间距离 y2 =14.50cm. g 取 9.80m/s ) ( 根据以上直接测量的物理量推导出小球初速度的计算公式为 v0 = 字母表示) .小球初速度值为 m/s.Y . (用题中所给
2

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三、计算题(共 6 小题,解答下列各题时,应写出必要的文字说明、表达式和重要步骤。只 写最后答案的不得分。有数值计算的题,答案中必须明确写出数值和单位。请将解答过程书 写在答题纸上相应位置) 13. (14 分)甲、乙两个行星的质量之比为 81:1,两行星的半径之比为 36:1。则: (1)两行星表面的重力加速度之比; (2)两行星的第一宇宙速度之比。

14. (14 分)16 时 35 分,翟志刚开启轨道舱舱门,穿着我国研制的“飞天”舱外航天 服实施出舱活动, 他接过刘伯明递上的五星红旗挥舞摇动, 随后他朝轨道舱固体润滑材料试 验样品安装处移动, 取回样品, 递给航天员刘伯明, 在完成各项任务后翟志刚返回轨道舱, 整 个出舱活动持续时间 25 分 23 秒, 此时神舟七号在离地高度为 H=3.4?105 m 的圆轨道上, 求 在这段时间内航天员绕行地球多少角度? (地球半径为 R=6.37?106m, 重力加速度 g 取 10m/s2 ).

15. (15 分)如图所示,横截面半径为 r 的圆柱体固定在水平地面上。一个质量为 m 的小滑 块 P 从截面最高点 A 处以 v 0 ?

2rg 滑下。不计任何摩擦阻力。 5
r

P A

v0

(1)试对小滑块 P 从离开 A 点至落地的运动过程做出定性分析; (2)计算小滑块 P 离开圆柱面时的瞬时速率和落地时的瞬时速率。 下面是某同学的一种解答:



O

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(1) 小滑块在 A 点即离开柱面做平抛运动,直至落地。 (2) a、滑块 P 离开圆柱面时的瞬时速率为 v 0 ? b、由:

2rg 。 5

1 1 2 2 mv 0 ? mg 2r ? mvt 2 2
22rg 5

得:

落地时的速率为 vt ?

你认为该同学的解答是否正确?若正确,请说明理由。若不正确,请给出正确解答。

16. (16 分)如图所示,光滑半圆轨道竖直放置,半径为 R,一水平轨道与圆轨道相切,在 水平光滑轨道上停着一个质量为 M = 0.99kg 的木块,一颗质量为 m = 0.01kg 的子弹,以 vo = 400m/s 的水平速度射入木块中,然后一起运动到轨道最高点水平抛出,当圆轨道半径 R 多大时,平抛的水平距离最大? 最大值是多少? (g 取 10m/s2)

17. (16 分)计划发射一颗距离地面高度为地球半径 R0 的圆形轨道地球卫星,卫星轨道平面 与赤道平面重合,已知地球表面重力加速度为 g, (1)求出卫星绕地心运动周期 T (2) 设地球自转周期 T0,该卫星绕地旋转方向与地球自转方向相同, 则在赤道上某一点的人 能连续看到该卫星的时间是多少?

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18. (17 分)神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体,探寻黑洞的方案之一是观 测双星系统的运动规律。 天文学家观测河外星系大麦哲伦云时, 发现了 LMCX-3 双星系统, 它由可见星 A 和不可见的暗星 B 构成。两星视为质点,不考虑其它天体的影响,A、B 围 绕两者连线上的 O 点做匀速圆周运动,它们之间的距离保持不变,如图所示。引力常 量为 G,由观测能够得到可见星 A 的速率 v 和运行周期 T。 (1)可见星 A 所受暗星 B 的引力 FA 可等效为位于 O 点处质量为 m ' 的星体(视为质点) 对它的引力,设 A 和 B 的质量分别为 m1、m2,试求 m ' (用 m1、m2 表示) ; (2)求暗星 B 的质量 m2 与可见星 A 的速率 v、运行周期 T 和质量 m1 之间的关系式; (3)恒星演化到末期,如果其质量大于太阳质量 ms 的 2 倍,它 将有可能成为黑洞。若 可见星 A 的速率 v=2.7?10 5 m/s,运行周期 T=4.7π ?10 4 s,质量 m1=6ms,试通过估算 来判断暗星 B 有可能是黑洞吗? - (G=6.67?10 11 N?m 2 /kg 2 ,ms=2.0?10 30 kg)

曲线运动和万有引力专题测试参考答案
一、选择题 1、根据图象分析:若沿 x 轴作匀速运动,通过图 1 分 析可知,y 方向先减速后加速;若沿 y 轴方向作匀速 运动,通过图 2 分析可知,x 方向先加速后减速。 答案:B 2、乙船能到达 A 点,则 vcos600=u, 过河时间 t 满足:t = H/( vsin600), 甲、乙两船沿垂直于河岸方向的分速度相同,故过河 时间相同。在 t 时间内甲船沿河岸方向的位移为 s= (vcos600 + u )t= 答案:D 3、根据万有引力定律: G

2 3H 。 3

R3 Mm 2? ? mR( ) 2 ,得:T= 2? GM T R2

答案:A 4、质点在 A、B、C、D 四点离开轨道,分别做下抛、平抛、上抛、 平抛运动。很明显,在 A 点离开轨道比在 C、D 两点离开轨道在空

高中物理

间时间短。 通过计算在 A 点下抛落地时间为 tA= (6 2 -4) 在 B 点平抛落地时间 tB=4 3 s, s, 显然,在 A 点离开轨道后在空中时间最短。根据机械能守恒,在 D 刚抛出时机械能最大, 所以落地时速度最大。 答案:AD 5、在轨道上向其运行方向弹射一个物体,由于质量远小于空间站的质量,空间站仍沿原方 向运动。 根据动量守恒, 弹出后一瞬间, 空间站沿原运行方向的速度变小, 提供的向心力 (万 有引力)大于需要的向心力,轨道半径减小,高度降低,在较低的轨道上运行速率变大,周 期变小。 答案:C 6、当悬线在竖直状态与钉相碰时根据能量守恒可知,小球速度 不变;但圆周运动的半径减小,需要的向心力变大,向心加速 度变大,绳子上的拉力变大。 答案:BD 7、根据万有引力定律: G

Mm 2? 4? 2 R 3 ,可求出恒星质量与太阳质 ? mR( ) 2 可得:M= T GT 2 R2
2

Mm v GM 量之比,根据 G 2 ? m 可得:v= ,可求出行星运行速度与地球公转速度之比。 R R R
答案:AD 8、卫星仍围绕地球运行,所以发射速度小 11.2km/s;最大环绕速度为 7.9km/s,所以在轨道 Ⅱ上的速度小于 7.9km/s;根据机械能守恒可知:卫星在 P 点的速度大于在 Q 点的速度;卫 星在轨道Ⅰ的 Q 点是提供的向心力大于需要的向心力,在轨道Ⅱ上 Q 点是提供的向心力等 于需要的向心力,所以在 Q 点从轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ必须增大速度。 答案:CD 9、同步卫星随地球自转的方向是从东向西,把同步卫星从赤道上空 3.6 万千米、东经 103° 处,调整到 104°处,相对于地球沿前进方向移动位置,需要增大相对速度,所以应先下降 高度增大速度到某一位置再上升到原来的高度。 答案:A 10、开始转动时向心力由静摩擦力提供,但根据 F=mrω 2 可知,B 需要的向心力是 A 的两 倍。所以随着转速增大,B 的摩擦力首先达到最大静摩擦力。继续增大转速,绳子的张力增 大,B 的向心力由最大静摩擦力提供,A 的向心力由静摩擦力和绳子的张力的合力提供,随 着转速的增大,B 需要的向心力的增量(绳子张力的增量)比 A 需要的向心力的增量大, 因而 A 指向圆心的摩擦力逐渐减小直到为 0 然后反向增大到最大静摩擦力。所以,B 受到 的静摩擦力先增大,后保持不变;A 受到的静摩擦力是先减小后增大;A 受到的合外力就是 向心力一直在增大。 答案:BD 二、填空题 11、圆盘转动时,角速度的表达式为ω =

x 2 ? x1 , T 为电磁打点计的时器打点的时间 T (n ? 1)r

间隔,r 为圆盘的半径,x2、x1 是纸带上选定的两点分别对应米尺上的刻度值,n 为选定的

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两点间的打点数(含两点) 。地纸带上选取两点(间隔尽可能大些)代入上式可求得ω = 6.8rad/s。 12、 (1)斜槽末端切线方向保持水平;从同一高度。 (2)设时间间隔为 t, x = v0t, y2-y1=gt ,解得: v0= x
2

g .将 x=20.00cm, y 2 ? y1

y1 =4.70cm, y2 =14.50cm 代入求得 v0=2m/s
三、计算题 13.解:⑴在行星表面,质量为 m 的物体的重力近似等于其受到的万有引力,则

Mm ? mg R2 GM g= 2 R G
得:

g甲 g乙

?

M甲 M乙

?

2 R乙 81 1 ? ? 2 ? 1 / 16 2 1 36 R甲

⑵行星表面的环绕速度即为第一宇宙速度,做匀速圆周运动的向心力是万有引力提供 的,则

Mm mv G 2 ? 1 R R
v1=

2

GM R
v甲1 v乙1 ? M甲 M乙 ? R乙 ? R甲 81 1 3 ? ? 1 36 2

得:

N 14.解析:用 r 表示飞船圆轨道半径,有 r =R +H=6.71?l06 m. T Mm 2? 2θ 由万有引力定律和牛顿定律,得 G 2 ? m( ) r , 式中 M 表示地球质量,m 表示

r

T

飞船质量,T 表示飞船绕地球运行的周期,G 表示万有引力常量. mg 利用 GM ? gR 及上式, 得 T ?
2

2?r R

r 3 ,代入数值解得 T=5.28?10 s, g

出舱活动时间 t=25min23s=1523s, 航天员绕行地球角度 ? ?

360 0 ? t =1040 T

15.解: (1)这位同学对过程的分析错误,物块先沿着圆柱面加速下滑,然后离开圆柱面 做斜下抛运动,离开圆柱面时的速率不等于 v 0 。

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(2)a、设物块离开圆柱面时的速率为 v ,

mg cos? ? m

v2 r

θ

mgr (1 ? cos? ) ?
解得: v ?

1 2 1 2 mv ? mv 0 2 2

mg

4rg 5

(2)b、由:

1 1 2 2 mv 0 ? mg 2r ? mvt 2 2
22rg 5

得:

落地时的速率为 vt ?

16.解:对子弹和木块应用动量守恒定律:

m? 0 ? (m ? M )? 1
所以

? 1 ? 4m / s

对子弹、木块由水平轨道到最高点应用机械能守恒定律, 取水平面为零势能面:有

1 1 2 (m ? M )? 12 ? (m ? M )? 2 ? (m ? M ) g ? 2 R 2 2
所以

? 2 ? 16 ? 40 R
1 2 gt 2

由平抛运动规律有: 2 R ?

S ? ? 2t
解得:

? 10 R 2 ? 4 R S ? 4? 10

所以,当 R = 0.2m 时水平距离最大 最大值 Smax = 0.8m。 17.解: (1) A1
2

B1

B2 A2

GMm 4? ? m 2 (2 R0 ) 2 (2 R0 ) T T ? 2?
3 8R0 8R0 ? 2? GM g

O

(2)设人在 B1 位置刚好看见卫星出现在 A1 位置,最后 在 B2 位置看到卫星从 A2 位置消失,

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OA1=2OB1 有 ∠A1OB1=∠A2OB2=π /3 从 B1 到 B2 时间为 t

2? t t ? 2? ? 2? 3 T0 T
则有

t?

TT0 ? 3(T0 ? T )

2?

8R0 T0 g 8 R0 ) g

3(T0 ? 2?

18.解: (1)设 A、B 的圆轨道半径分别为 r1 、 r2 ,由题意知,A、B 做匀速圆周运动的 角速 度相同,设其为 ? 。由牛顿运动定律,有

FA ? m1? 2 r1

FB ? m2? 2 r 2

FA ? FB
设 A、B 之间的距离为 r ,又 r ? r1 ? r2 ,由上述各式得

r?
由万有引力定律,有

m1 ? m2 r1 , m2



FA ? G
将①代入得

m1m2 r2

FA ? G


m1m23 (m1 ? m2 ) 2 r12

FA ? G
比较可得

m1m ' r12

m' ?

m23 (m 1 ? m2 ) 2



(2)由牛顿第二定律,有

G

m1m ' v2 ? m1 r12 r1



高中物理

又可见星 A 的轨道半径

r1 ?
由②③④式解得

vT 2?



m23 v3T ? (m1 ? m2 ) 2 2? G
(3)将 m1 ? 6ms 代入⑤式,得



m23 v 3T ? (6ms ? m2 ) 2 2? G
代入数据得

m23 ? 3.5ms (6ms ? m2 ) 2



m2 ? nms (n ? 0) ,将其代入⑥式得

m23 n ? ms ? 3.5ms 2 6 (6ms ? m2 ) 2 ( ? 1) n
可见,



m23 的值随 n 的增大而增大,试令 n ? 2 ,得 (6ms ? m2 ) 2

n 6 ( ? 1)2 n

ms ? 0.125ms ? 3.5ms



若使⑦式成立,则 n 必大于 2,即暗星 B 的质量 m2 必大于 2ms ,由此得出结 论:暗星 B 有可能是黑洞。


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