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成才之路·人教A版数学选修课件2-2 1.2.2 第1课时


成才之路 · 数学
人教A版 · 选修2-2

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第一章
导数及其应用

第一章

导数及其应用

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第一章
1.2
1.2.2

导数的计算

基本初等函数的导数公式及导数的运算法则

第1课时 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)

第一章

导数及其应用

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1

自主预习学案

2

典例探究学案

3

巩固提高学案

4

备 选 练 习

第一章

1.2

1.2.2

第1课时

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自主预习学案

第一章

1.2

1.2.2

第1课时

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1.熟记基本初等函数的导数公式,理解导数的四则运算法 则. 2 .能利用导数的四则运算法则和导数公式,求简单函数 的导数.

第一章

1.2

1.2.2

第1课时

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重点:导数公式和导数的运算法则及其应用.

难点:1.幂函数导数公式规律的探究发现.
2.y=ax与y=xα的导数公式的区分. 3 .指数函数、对数函数的导数公式及导数运算法则的应

用.

第一章

1.2

1.2.2

第1课时

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基本初等函数的导数公式
新知导学
n-1 nx 1.若f(x)=x (n∈N ),则f ′(x)=__________.
n *

1 -x2 1 若f(x)=x,则f ′(x)=__________.

若f(x)=xα(α∈Q),则f ′(x)=αxα 1.


第一章

1.2

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cosx 2.若f(x)=sinx,则f ′(x)=__________. -sinx 若f(x)=cosx,则f ′(x)=__________. axlna(a>0) 3.若f(x)=ax,则f ′(x)=__________ . ex 若f(x)=ex,则f ′(x)=_______.
1 4.若f(x)=logax,则f ′(x)=___________________ xlna(a>0,且a≠1) .
1 若f(x)=lnx,则f ′(x)=__________. x

第一章

1.2

1.2.2

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牛刀小试 1.依据导数公式填空: (1)y=a2(a 为常数) y′=________ (2)y=x12 y′=________ (3)y=lgx y′=________ 3 (4)y= x (5)y=2x y′=________ y′=________

(6)y=log2x y′=________.

第一章

1.2

1.2.2

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[答案] 1 (6)xln2

(1)0

(2)12x

11

1 (3) xln10

1 2 (4) 3 x - 3

(5)2xln2

[解析] (1)∵a为常数,∴a2为常数, ∴y′=(a2)′=0.

(2)y′=(x12)′=12x11.

第一章

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1.2.2

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1 (3)y′=(lgx)′=xln10. (4)y′=( 3
1 x)′=(x3

1 -2 )′=3x 3 .

(5)y′=(2x)′=2xln2. 1 (6)y′=(log2x)′=xln2.

第一章

1.2

1.2.2

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导数的运算法则

思维导航
我们已经会求幂函数、指数函数、对数函数及 y = sinx , y =cosx的导数,那么怎样求f(x)与g(x)的和、差、积、商的导数

呢?
设f(x)、g(x)是可导函数, F(x)=f(x)+g(x),G(x)=f(x)·g(x),

第一章

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1.2.2

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F?x+Δx?-F?x? 则 Δx f?x+Δx?+g?x+Δx?-f?x?-g?x? = Δx f?x+Δx?-f?x? g?x+Δx?-g?x? = + , Δx Δx ∴ lim →
Δx 0

F?x+Δx?-F?x? = lim Δx Δx→0

f?x+Δx?-f?x? + lim Δx Δx→0

g?x+Δx?-g?x? =f ′(x)+g′(x), Δx

第一章

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G?x+Δx?-G?x? f?x+Δx?g?x+Δx?-f?x?g?x? = Δx Δx f?x+Δx?g?x+Δx?-f?x?g?x+Δx?+f?x?g?x+Δx?-f?x?g?x? = Δx g?x+Δx?[f?x+Δx?-f?x?] f?x?[g?x+Δx?-g?x?] = + , Δx Δx G?x+Δx?-G?x? ∴ lim =g(x)· f ′(x)+f(x)· g′(x). → Δx Δx 0

第一章

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新知导学
5.设函数f(x)、g(x)是可导函数,则: f ′(x)±g′(x) ; [f(x)±g(x)]′=________________ f ′(x)· g(x)+f(x)· g′(x) . [f(x)·g(x)]′=______________________
6.设函数f(x)、g(x)是可导函数,且g(x)≠0, f ′?x?· g?x?-f?x?· g′?x? ? f ? x? ? 2 ? ? g ? x? ′= __________________________. ?g?x?? ? ?
7.函数和与差的导数运算法则可推广到任意有限个可导函 数的和(或差). f2?x?± f3?x?± ?± fn?x???′=f′1(x)± 即:??f1?x?± f′2(x)± ?± f′n(x).
? ?

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8.由[f(x)g(x)]′=f [Cf(x)]′=Cf ′(x). 由 g′?x? . 2 g ? x?
? f ? x? ? ? ? ?g?x?? ? ?

′(x)g(x)+f(x)g′(x).立即可得

? 1 ? g?x?f ′?x?-f?x?g′?x? ? ? ′= ,可得 ?g?x?? ′=- g2?x? ? ?

9.注意f(x)在x=a处有定义,则f

′(a)与(f(a))′不同,

(f(a))′=0恒成立,因为f(a)是一个常数.

第一章

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第1课时

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牛刀小试
2.函数y=(x-a)(x-b)在x=a处的导数为( A.ab C.0 [答案] D B.-a(a-b) D.a-b )

[解析] ∵f(x)=(x-a)(x-b)=x2-(a+b)x+ab
∴f ′(x)=2x-(a+b), ∴f ′(a)=2a-(a+b)=a-b,故应选D.

第一章

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sinx 3.设y= ,-π<x<π,当y′=2时,x等于( 1+cosx 1 A.± 3π 1 C.± 4π
[答案] D [分析]

)

1 B.± 6π 2 D.± 3π

由y′=2可得到关于x的三角方程,结合-π<x<π解

方程即可求得x的值.

第一章

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第1课时

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sinx [解析] ∵y= , 1+cosx cosx?1+cosx?-sinx?-sinx? ∴y′= ?1+cosx?2 1+cosx 1 = = , ?1+cosx?2 1+cosx 1 1 ∵y′=2,∴ =2,∴cosx=-2, 1+cosx 2 又-π<x<π,∴x=± 3π.故应选D.

第一章

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第1课时

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4.设f(x)=(2x+a)2,则f ′(2)=20,则a=________. [答案] 1 [解析] ∵f(x)=(2x+a)2=4x2+4ax+a2, ∴f ′(x)=8x+4a,∴f ′(2)=16+4a,又f ′(2)=20,

∴16+4a=20,∴a=1.

第一章

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第1课时

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5 . (2013· 江西文, 11) 若曲线 y = xα + 1(α∈R) 在点 (1,2) 处 的切线经过坐标原点,则α=________. [答案] 2 [解析 ] y′ =αxα-1,y′|x=1=α,则切线方程为y-2=α(x-

1),切线方程过原点,则0-2=α(0-1),∴α=2.

第一章

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第1课时

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6.求下列函数的导数. (1)y=x4-3x2-5x+6; (2)y=x· tanx; (3)y=(x+1)(x+2)(x+3); x-1 (4)y= . x+1

第一章

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第1课时

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[解析] (1)y′=(x4-3x2-5x+6)′=(x4)′-(3x2)′- (5x)′+6′=4x3-6x-5.
?xsinx? (2)y′=(x· tanx)′=? cosx ?′ ? ?

?xsinx?′cosx-xsinx?cosx?′ = cos2x ?sinx+xcosx?cosx+xsin2x sinxcosx+x = = cos2x . cos2x

第一章

1.2

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第1课时

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(3)解法1:y′=[(x+1)(x+2)(x+3)]′
=[(x+1)(x+2)]′(x+3)+(x+1)(x+2)(x+3)′ =[(x+1)′(x+2)+(x+1)(x+2)′](x+3)+(x+1)(x+2)= (x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2) =(2x+3)(x+3)+x2+3x+2=3x2+12x+11;

解法2:∵(x+1)(x+2)(x+3)=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2
+11x+6, ∴y′=[(x+1)(x+2)(x+3)]′=(x3+6x2+11x+6)′=3x2 +12x+11;

第一章

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?x-1? ? (4)解法1:y′=? ?x+1?′ ? ?

?x-1?′?x+1?-?x-1??x+1?′ = ?x+1?2 x+1-?x-1? 2 = = ; ?x+1?2 ?x+1?2 x-1 x+1-2 2 解法2:∵y= = =1- , x+1 x+1 x+1
? ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? ? 1 - - ∴y′=? x+1?′=? x+1?′= 2. ? x + 1 ? ? ? ? ?

第一章

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第1课时

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典例探究学案

第一章

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第1课时

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导数公式的应用
求下列函数的导数: 1 1x 5 3 (1)y=x ;(2)y=x4;(3)y= x ;(4)y=(3) .
14

[分析] 对于简单函数的求导,关键是将函数的关系式转 1 化为可以直接应用公式的模式,如y= x4 可以写成y=x-4,y= 5 3 x =x5等,这样就可以直接使用幂函数的求导公式求导.
3

第一章

1.2

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第1课时

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[解析] (1)y′=(x14)′=14x13.
?1? 4 -4 -5 ? ? (2)y′= x4 ′=(x )′=-4x =-x5. ? ?

3 3 2 3 (3)y′=( x )′=(x5)′=5x-5= . 5 2 5 x 5
3

1x 1x 1 1x (4)y′=[(3) ]′=(3) · ln3=-(3) ln3.

第一章

1.2

1.2.2

第1课时

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[ 方法规律总结 ] 程,降低运算难度.

1. 用导数的定义求导是求导数的基本方

法,但运算较繁.利用常用函数的导数公式,可以简化求导过 2 .利用导数公式求导,应根据所给问题的特征,恰当地

选择求导公式,将题中函数的结构进行调整.如将根式、分式
转化为指数式,利用幂函数的求导公式求导. 3 .求函数在某点处的导数的步骤:先求导函数,再代入 变量的值求导数值.

第一章

1.2

1.2.2

第1课时

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求下列函数的导数: (1)y=x-2;(2)y=cosx;(3)y=log3x;(4)y=e0.
[解析] 由求导公式得 2 (1)y′=-2· x =-x3.
-3

(2)y′=(cosx)′=-sinx. 1 (3)y′=(log3x)′=x log3e. (4)∵y=e0=1,∴y′=0.
第一章 1.2 1.2.2 第1课时

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导数的运算法则

求下列函数的导数: 1 5 4 3 (1)y=5x -3x +3x+ 2; (2)y=(3x5-4x3)(4x5+3x3); (3)y=3 x4+4 x3.
[分析] 导.
第一章 1.2 1.2.2 第1课时

3

这些函数是由基本初等函数经过四则运算得到的

简单函数,求导时,可直接利用导数的四则运算法则进行求

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[解析]

?1 5 4 3 (1)y′=?5x -3x +3x+ ?

? 2?′ ?

?1 5? ?4 3? =?5x ?′-?3x ?′+(3x)′+( ? ? ? ?

2)′=x4-4x2+3.

(2)解法1:y′=(3x5-4x3)′(4x5+3x3)+ (3x5-4x3)(4x5+3x3)′=(15x4-12x2)(4x5+3x3)+ (3x5-4x3)(20x4+9x2)=60x9-48x7+45x7-36x5+60x9- 80x7+27x7-36x5=120x9-56x7-72x5.

第一章

1.2

1.2.2

第1课时

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解法2:∵y=12x10-7x8-12x6 ∴y′=120x9-56x7-72x5. (3)y′=(3 x +4 x
1 =4x3 1 +6x2

3

4

3

4 )′=(3x3

3 )′+(4x2

)′

=4 x+6 x.
1. 多项式的积的导数,通常先展开再求

3

[ 方法规律总结 ]

导更简便.
2.含根号的函数求导一般先化为分数指数幂,再求导.

第一章

1.2

1.2.2

第1课时

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求下列函数的导数. ①y=x2sinx ②y=x2(x2-1) 1 2 3 ③y=x +x2+x3
[答案] ①2xsinx+x cosx
2

y′=________. y′=________. y′=________.
②4x -2x
3

1 4 9 ③-x2-x3-x4

第一章

1.2

1.2.2

第1课时

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[解析] ①y′=(x2sinx)′=(x2)′sinx+x2(sinx)′ =2xsinx+x2cosx. ②y′=[x2(x2-1)]′=(x2)′(x2-1)+x2(x2-1)′ =2x(x2-1)+x2· 2x=4x3-2x.
?1 ?1 ? 2 3? -2 -3 ③y′=?x +x2+x3?′=?x +2x +3x ?′ ? ? ? ?

1 1 4 9 -3 -4 =-x2-4x -9x =-x2-x3-x4.

第一章

1.2

1.2.2

第1课时

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利用导数求参数

已知抛物线y=ax2+bx+c通过点(1,1),且在点 (2,-1)处与直线y=x-3相切,求a、b、c的值.

第一章

1.2

1.2.2

第1课时

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[解题思路探究] 第一步,审题.
审结论确定解题方向.求 a 、b 、 c 的值可利用条件建立方 程求解;审条件发掘解题信息.抛物线通过点 (1,1) 可建立 a 、 b、c的一个方程,“在点(2,-1)处与直线相切”表明点在抛 物线上,也隐含f ′(2)=1.

第二步,建联系确定解题步骤.
题中涉及三个未知量,已知中有三个独立条件,因此,可 通过建立方程组来确定a、b、c的值. 第三步,规范解答.

第一章

1.2

1.2.2

第1课时

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[解析] 因为y=ax2+bx+c过点(1,1), 所以a+b+c=1. ∵y′=2ax+b,∴曲线过点P(2,-1)的切线的斜率为4a +b=1. 又曲线过点(2,-1),所以4a+2b+c=-1. ?a+b+c=1, ? 由?4a+b=1, ?4a+2b+c=-1, ? ?a=3, ? 解得?b=-11, ?c=9. ?

所以a、b、c的值分别为3、-11、9.

第一章

1.2

1.2.2

第1课时

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[ 方法规律总结 ]

1. 导数的应用中,求导数是一个基本解

题环节,应仔细分析函数解析式的结构特征,根据导数公式及 运算法则求导数,不具备导数运算法则的结构形式时,先恒等 变形,然后分析题目特点,探寻条件与结论的联系,选择解题

途径.
2.求参数的问题一般依据条件建立参数的方程求解.

第一章

1.2

1.2.2

第1课时

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(1)(2013· 山东嘉祥一中、大庆实验中学高二期中)函数f(x) cosx = 在(0,1)处的切线方程是( 1+x A.x+y-1=0 C.2x-y+1=0 )

B.2x+y-1=0 D.x-y+1=0

(2)已知抛物线y=ax2+bx-7通过点(1,1),过点(1,1)的切 线方程为4x-y-3=0,则a、b的值分别为________.

[答案] (1)A (2)-4

12
第一章 1.2 1.2.2 第1课时

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-sinx· ?1+x?-cosx [解析] (1)∵f ′(x)= , 2 ?1+x? ∴f ′(0)=-1, ∴切线方程为y-1=-(x-0),即x+y-1=0. (2)由于抛物线y=ax2+bx-7经过点(1,1), ∴1=a+b-7,即a+b-8=0 又由于经过点(1,1)的抛物线的切线方程为 4x-y-3=0, ∴经过该点的抛物线的切线斜率为4. ∵y′=(ax2+bx-7)′=2ax+b,∴2a+b-4=0. ② 由①、②解得a=-4,b=12.
第一章 1.2 1.2.2 第1课时



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准确把握导数公式和运算法则 求函数y=2x在x=1处的切线方程.
[错解] ∵y′=(2x)′=x·2x-1,

∴y′|x=1=1,又x=1时,y=2,
∴切线方程为y-2=x-1, 即x-y+1=0.

第一章

1.2

1.2.2

第1课时

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[辨析]

y=2x是指数函数,而不是幂函数,错解将幂函数

y=xα(α∈Q)与指数函数y=ax(a>0且a≠1)的导数公式记混用错. [正解] ∵y′=(2x)′=2xln2,∴y′|x=1=2ln2, 又x=1时,y=2,

∴切线方程为y-2=2ln2(x-1),
即2xln2-y-2ln2+2=0.

第一章

1.2

1.2.2

第1课时

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巩固提高学案
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第一章

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1.2.2

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备选练习
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第一章

1.2

1.2.2

第1课时


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