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高考数学平面向量专题复习2


平面向量
单元复习

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学习目录
1、向量的概念 说明与操作
知识回忆 典例分析 典例分析 典例分析 典例分析 典例分析 典例分析 典例分析

知识结构

知识归纳

单元测试

1.本课件是为学习者自行操作学习而制 知

识回忆 2、实数与向量的积 作的学习型课件. 1.点击本目录上的任一标题可学习相关 3、平面向量的坐标运算知识回忆 内容. 4、线段的定比分点 . 知识回忆 2.后面页面左侧矩形内为子目录 3.每一页出现“本页结束”字样后可点 5、平面向量的数量积 知识回忆 击当页的左侧子目录另选相关内容学习 4.左下方的“回目录”是指回到本页主 知识回忆 6、平移 目录 点击此处进入 7、正余弦定理
知识回忆

学习目录
1、向量的概念
知识回忆 知识回忆 典例分析 典例分析

知识结构

2、实数与向量的积

3、平面向量的坐标运算知识回忆 典例分析

知识归纳

4、线段的定比分点

知识回忆

典例分析

5、平面向量的数量积 知识回忆 典例分析

单元测试

6、平移 7、正余弦定理

知识回忆 知识回忆

典例分析 典例分析

知识 结构
向量

向量的 线性运算

两个向量共 线的充要条件

线段定比分 点坐标公式

平面向量 的基本定理

平面向量 的坐标表示

平移

向量的数量积

两个非零向量 垂直的充要条件
余弦定理

正弦定理

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斜三角形的 解法及其应用

1. 向量的概念
(1)向量
知 识 回 忆 典 例 分 析
既有大小又有方向的量叫做向量

(2)平行向量(共线向量)
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,零 向量与任何向量平行.

(3)相等向量
长度相等且方向相同的向量叫做相等向量

(4)加法、减法
三角形法则(首尾相接),平行四边形法则(共起点)

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(5)运算性质:a+b=b+a, \ (a+b)+c=a+(b+c)

本页结束

1. 向量的概念
知 识 回 忆 典 例 分 析 (2)(3)(4)(5) 例1 下列命题正确的是______

(1)若|a|=|b|,则a=b。

再点现答案

(2)若A、B、C、D是不共线的四点则 AB=DC是四边形ABCD为 充要条件。 (3)若a=b,b=c则a=c。 (4)a=b

?

|a|=|b| a∥ b

本页结束

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(5)|a|=|b|是a=b必要不充分条件。

2、实数与向量的积—知识回忆
知 识 回 忆 典 例 分 析

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(1)定义:λa ①|λa|=|λ| |a| ②当λ>0时,λa与a同向λ<0时, 反向λ=0时,λa=0。 (2)运算律:设λ,m∈R 例2 ①λ(ma)=(λm)a 例3 ②(λ+m)a=λa+ma 例4 ③λ(a+b)=λa+λb (3)a∥b(a≠0) 存在唯一 λ(λ∈R)使λa=b ?

2、实数与向量的积—典例分析-例2
知 识 回 忆 典 例 例2 分 例3 析 例4

例2 设a,b是两个不共线向量。 AB=2a+kb BC=a+b CD=a-2b A、B、D共线则k=_____(k∈R) 解:BD=BC+CD=a+b+a-2b=2a-b
点击出 现答案

2a+kb=λ(2a-b)=2λa-λb
2=2λ

k=-λ
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λ=-1

k=-1

∴k=-1

本页结束

2、实数与向量的积—典例分析-例3
知 识 回 忆 典 例 例2 分 例3 析 例4

例3 e1、e2不共线 a=e1+e2 b=3e1-3e2 a与b是否共线。

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解:假设,a与b共线则 点击出 e1+e2=λ(3e 现答案 1-3e2)=3λe1-3λe2 1=3λ 1=-3λ 这样λ不存在。 ∴a与b不共线。
本页结束

3、平面向量的坐标运算—知识回忆
知 识 回 忆

(1)e1、e2不共线,a=λ1e1+λ2e2 (存在一对 实数λ1,λ2) (λ1,λ2唯一的)。 (2)a=xi+yj (x,y)为a的直角坐标,a=(x,y) 典 (3)①若a=(x1,y1) b=(x2,y2), 例 例5 则a±b=(x1±x2,y1±y2) 分 ② A(x1,y1) B(x2,y2) 析 例6 AB=(x2-x1,y2-y1) ③若a=(x,y)则λa=(λx,λy) ④ a=(x1,y1) b=(x2,y2)(b≠0) a∥b ?x1y2-x2y1=0 回目录

3、平面向量的坐标运算—典例分析
知 识 回 忆 典 例 例5 分 析 例6

例5 |a|=10 b=(3,-4)且a∥b求a 解:设a =(x,y) 则 x2+y2=100 点击出 -4x-3y=0 现答案 x=6 x=-6 y=-8 y=8 a=(6,-8)或(-6,8)
本页结束

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3、平面向量的坐标运算—典例分析
知 识 回 忆 典 例 例5 分 析 例6

例6 已知a=(3,-2) b=(-2,1) c=(7,-4), 用a、b表示c。 解:c = m a+n b (7,-4)=m(3,-2)+n(-2,1) 3m-2n=7 m=1 -2m+n=-4 n=-2 c = a-2b
本页结束 点击出 现答案

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4、线段的定比分点—知识回忆
知 识 回 忆 典 例 例7 分 析 例8

(1)定义:设P1、P2是l上两点,P 是l上不同于P1P2任意点,则存在一个 实数λ,使P1P=λPP2,λ叫P分P1P2所 成比,P叫P1,P2的定比分点。 (2)分点坐标公式。 x1 ? x2 x1 ? 入x2 x? 2 x ? 1?入

y?
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y1 ? 入y 2 1? 入

(λ≠-1)
x1 ? x2 ? x3 3

y?

y1 ? y 2 2

(3)重心。 x ?

y?

y1 ? y2 ? y3 3

4、线段的定比分点--典例分析-例8
知 识 回 忆 典 例 例7 分 析 例8

例8 已知A(5,-1) B(-1,7) C(1,2),求 △ABC中∠A平分线长。 点击出现答案 解:|AB|=10 |AD|=5 | BD| | DC | =2 D分BC比为2 D(x 0 ,y 0) B(-1,11) y

x0 ?

? | ?2 x | 1? 2

?

1 3

D O
C(1,2)

y0 ? 111??22?2 ? 11 3

D( , )
1 11 3 3
回目录 本页结束

x A(5,-1)

2 11 2 14 ?| AD |? (5 ? 1 ) ? ( ? 1 ? ) ? 2 3 3 3

5、平面向量的数量积—知识回忆(一)
知 (一) 识 (二) 回 (三) 忆
例9 典 法一

例 分 例9 析 法二 例10
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(1)非零向量a,b夹角,OA=a OB=b, ∠AOB=θ (0≤θ≤π)同向θ=0反向θ=π (2)a与b夹角90。,a⊥b。 (3)a·b=|a|·|b|cosθ (0·a=0) a⊥b a· b=0) (4)a· b几何意义, θ为a与b夹角则 ? |a|cosθ叫a在b上投影。

5、平面向量的数量积—知识回忆(二)
知 (一) 识 (二) 回 (三) 忆
例9 典 法一

例 分 例9 析 法二 例10
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(5)a· b的性质 ①e·a=a·e=|a|cosθ ②a⊥b ?a· b=0 ③a,b同向a· b=|a||b|反向时a· b=-|a|· |b| a2=a· a=|a|2(a· a= a 2 ) a?b ④cosθ= |a|?|b| ⑤|a· b|≤|a|· |b| (6)a· b运算律 ①a· b=b· a ②(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb) ③(a+b)c=a· c+b· c

5、平面向量的数量积—知识回忆(三)
知 (一) 识 (二) 回 (三) 忆
例9 典 法一

例 分 例9 析 法二 例10
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(7)平面向量数量积的坐标表示 ①若a=(x1,y1) b=(x2,y2) 则ab=x1x2+y1y2 ②若a=(x,y)则|a|2=x2+y2 |a|= x 2 ? y 2 ③A(x1,y1) B(x2,y2) |AB|= ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ④若a=(x1,y1) b=(x2,y2) 则a⊥b ?x1x2+y1y2=0

5、平面向量的数量积—典例分析-例10
知 (一) 识 (二) 回 (三) 忆
例9 典 法一

例10 a=(3,-5) b=(-4,-2)则a· b=-2 解:a· b=x1x2+y1y2
=-12+10=-2

例 分 例9 析 法二 例10

点击出 现答案

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7、正、余弦定理—知识回忆
知 识 回 忆 典 例14 例 例15 分 析 例16

(1)正弦定理
(2)余弦定理: a2=b2+c2-2bcosA (b2=a2+c2-2accosB c2=a2+b2-2abcosA)

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7、正、余弦定理—典例分析—例14
知 识 回 忆 典 例14 例 例15 分 析 例16

例14 △ABC中4sinBsinC=1,B>C且 b2+c2=a2+bc,求A、B、C。

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?1 解:cosA= 2 ∴A=60° 4sinBsin(120。-B)=1 4sinB( 23cosB+ 1 2 sinB)=1 ∴ 3 sin2B+2cos2B=1 sin2B=cos2B 3 。 tan2B= 33 2B=30。210 ∴B=105。 C=15。
2 2

点击出 b ?c 现答案 ?a 2 2bc

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(三)单元测试 一、选择题: 单元测试 1、如图所示,G为ABC的重心,则 A GA+GB-GC等于(D) F E 一页 九页 A. 0 B. GE 二页 十页 G B C D C. 4GD D. 4GF 三页 11页 四页 12页 2、若a=(λ,2),b=(-3,5),且a与b的 五页 13页 夹角为钝角,则λ的取值范围是(A) 六页 14页 10 10 10 10 A.λ> 3 B.λ≥ C.λ< D.λ 3 3 ≤ 3 七页 15页 3、已知|a|=18,|b|=1,a· b=-9,则a和b 八页 的夹角θ是(A) 回目录 A.120。 B.150。 C.60。 D.30。

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4、已知|a|=|b|=1,a与b的夹角为90。, c=2a+3b,d=ka-4b,c⊥d,k=() A. -6 B. 6 C. 3 D. -3 5、 设点A(a,b),B(c,d),若径平移得 A(2a,2b),那么B点之新坐标为() A. (2c,2d) B. (a+c,b+d) C. (a+2c,b+2d) D. (2a+c,2b+d) 6、已知|a|=3,|b|=4,(a+b)· (a+3b)=33, 则a与b的夹角为() A. 30。 B. 60。 C. 120。 D. 150。 7.若|a-b|= 41 ? 20 3 ,|a|=4,|b|=5,则a· b=( ) A.10 3 B.-10 3 C.10 2 D.10
(不做)

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8、已知△ABC中,AB=a,AC=b,a· b<0 ,S△ABC= 15 4 ,|a|=3,|b|=5,则a与b的夹 角为() A.30。B.-150。C.150。D.30。或150。 3 9、若点P分AB所成的比为 4 ,则A分 BP所成的比是() 3 7 3 A. 7 B. 7 C. D. 3 3 7 10、在△ABC中,三内角A,B,C对应 的三边分别为a,b,c,已知c=3,∠C=60。 A? B ,a+b=5,则cos 2 的值是() 5 5 3 2 A. 12 B. 6 C. 4 D. 3

11、在△ABC中,若(a+c)(a-c)=b(b+c), 单元测试 则∠A=() 一页 九页 A.30。 B.60。 C.120。 D.150。 二页 十页 12、在△ABC中,已知角A、B、C的 三页 11页 四页 12页 对边分别是a、b、c,且3b= 3 asinB, 五页 13页 cosB=cosC,则△ABC的形状是() 六页 14页 A.直角三角形 B.等腰三角形 七页 15页 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 八页
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二、填空题: 13、设a=(m+1)e1-3e2,b=e1+(m-1)e2,若 单元测试 (a+b)⊥(a-b),那么m=____。 。,则 14 、单位向量 e ,e 的夹角为 60 1 2 一页 九页 (-2e1+3e2)=______。 二页 十页 (e1-2e2)· 三页 11页 15、在△ABC中,若(a+b+c)(b+c四页 12页 a)=3bc, 则∠ A=_____ 。 五页 13页 六页 14页 16、在△ABC中,a,b,c分别是角A, 七页 15页 B,C的对边长,若 八页 (a+b+c)(sinA+sinB-sinC)=3asinB,则 ∠C=_______。 回目录

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三、解答题: 17、已知e1与e2是夹角为60。的单位 向量,且a=2e1+e2,b=-3e1+2e2,求a· b及 a与b的夹角α。 解:e1,e2是单位向量,且夹角为60。 1 。 ∴e1e2=|e1||e2|cos60 = 2 ∴ab=(2e1+e2)· (-3e1+2e2) 1 2 2 =-6|e1 |+e1· e2+2e2 =-3 2 而|a|2=a2=(2e1+e2)2=4e12+4e1e2+e22=7 |b|2=b2=(-3e1+2e2)2=9e12-12e1e2+4e22=7 a?b 1 |a|= 7 |b|= 7 ∴cosα= |a||b| ? ? 2 α=120。

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18、在△ABC中,a,b,c分别是角A, ? B,C的对边,设a+c=2b,∠A-∠C= 3 , 求sinB的值。 解:sinA+sinC=2sinB C A?C B B 2 sin A? cos ? 2 sin B ? 4 sin cos 2 2 2 2
C B cos A? ? 2 sin 2 2

sin ?
B 2 B 2

3 4 2 B 2

cos ? 1 ? sin

?

B 4 39 8

B sin B ? 2 sin B cos 2 2 ?

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20、(1)已知a,b都是非零向量,且 a+3b与7a-5b垂直,a-4b与7a-2b垂直, 求a与b的夹角;(2)已知|a|= 3,|b|= 2, ? 且a与b的夹角为 6 ,试求a+2b与a-b 的夹角θ的大小。 解:(1)(a+3b)· (7a-5b)=0 (a-4b)· (7a-2b)=0 7a+16a· b-15b=0 7a2-30a· b+8b2=0 a2=b2 2a· b=b2 a?b 。 ∴cosθ= |a||b| ? 1 θ =60 2

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(2)a2=3 b2=4 |a|· |b|=2 3 a·b=|a|·|b|cosθ= 3·cos30。=3
| a ? 2b |? (a ? 2b) 2 ? a 2 ? 4ab ? 4b 2 ? 31 | a ? b |? (a ? b) ? a ? 2ab ? b ? 1
2 2 2

cosQ ?

( a ? 2 b )( a ?b ) |a ? 2b|| a ?b|

31 ? ? 2 31

31 Q ? arccos(? 2 31 )

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22、已知△ABC中,A(2,4),B(-1,-2), C(4,3),BC边上的高为AD。 (1)求证:AB⊥AC; (2)求点D和向量AD的坐标; (3)求证:AD2=BD· DC 解:(1)A(2,4) B(-1,-2) C(4,3) AB=(-3,-6) AC=(2,-1) AB· AC=(-3)×2+(-6)×(-1)=0 AB⊥AC

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(2)D(x,y) AD=(x-2,y-4) BC=(5,5) BD=(x+1,y+2) AD⊥BC ∴AD· BC=0 5(x-2)+5(y-4)=0 又B、D、C共线 ∴5×(x+1)-5(y+2)=0 7 7 5 x+y-6=0 x= 2 D( 2, 2) ? 5 x-y-1=0 y= 2 3 3 AD=( 2 ,- 2 )

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(3)AD=( ,- ) BD=( , ) DC=( , 1 2) 9 9 9 |AD|2= 4 + 4 = 2 9 9 9 BD· DC= 4 + 4 = 2 ∴AD2=BD· DC

3 2 1 2

3 2

9 2

9 2

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