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江苏省南京师大附中2015届高三数学模拟考试试卷2


2015 高考数学模拟题(2)
南师大《数学之友》
一. 填空题
1. 已知 ? ? (

?

3 ? ? , ? ) 且 cos ? ? ? ,则 tan( ? ) 的值为 2 5 2 4



.

2 2 2. 在平面直角坐标系 xOy 中,

设 A 是曲线 C1 : y ? ax3 ? 1(a ? 0) 与曲线 C2 : x ? y ?

5 2

的一个公共点,若 C1 在 A 处的切线与 C2 在 A 处的切线互相垂直,则实数 a 的值是 ▲ .

3. 椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,若椭圆上恰好有 6 个不同的点 a 2 b2
▲ .

P ,使得 ?F1 F2 P 为等腰三角形,则椭圆 C 的离心率的取值范围是
???? ? ???? ?
?

4. 已知 AB ? 2, AC ? 3, ?BAC ? 60 , CD ? 2BC , AE ? x AD ? (1 ? x ) AB , x ? (0,1) , 则 AE 在 AC 上的投影的取值范围是 5. 设函数 f ( x) ? ? 实数 a 的值为

??? ?

??? ? ??? ?

????

??? ?

??? ?

????



.

?? 1,?2 ? x ? 0 , 若函数 g ( x) ? f ( x) ? ax , x ?[?2,2] 为偶函数,则 ? x ? 1,0 < x ? 2
▲ .

6. 各项为实数的等差数列的公差为 4,其首项的平方与其余各项之和不超过 100,这样的数列 至多有 ▲ 项.

二、解答题
7. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 O:x2+y2=64,圆 O1 与圆 O 相交,圆心为 O1(9,0). (1) 经过 O1 作圆 O 的切线,求切线方程; (2) 过定点 P?6,0? 作动直线 l 与圆 O ,圆 O1 都相交,且直线 l 被圆 O ,圆 O1 截得的弦长分别 为 d , d 1 .若 d 与 d 1 的比值总等于同一常数 λ,求 λ 的值和圆 O1 的方程.

l 2 是两条海岸线, 8. 某港湾的平面示意图如图所示, 直线 l1 、 点 O 为 l1 、

l 2 交点, A 位于 O 的正南方向 6 km 处, B 位于 O 的北偏东 60? 方向

10 km 处. (1) 求集镇 A , B 间的距离;
(2) 随着经济的发展,为缓解集镇 O 的交通压力,拟在海岸线 l1 , l 2 上 分别修建码头 M、N , 开辟水上航线. 勘测时发现: 以 O 为圆心, 3 km 为半径的扇形区域为浅水区,不适宜 船只航行.请确定码头 M、N 的 位置,使得 M、N 之间的直线航线最短.

9. 有 n 个首项都是 1 的等差数列,设第 m 个数列的第 k 项为 amk (m, k ? 1, 2,3, ?, n, n ≥3) , 公差为 d m ,并且 a1n , a2n , a3n ,?, ann 成等差数列. (1)证明 d m ? ?2 ? m?d1 ? ?m ? 1?d 2 ; (2)设 d1 ? 1, d 2 ? 3 ,当 n ? 6 时,不等式

1 ( 2n ? 3)2 n ?1 ? d n 恒成立. 50

2 10.已知函数 f ( x ) ? a ( x ? ) ? b ln x ( a, b ? R ) , g ( x) ? x .

1 x

(1) 若 a ? 1 ,曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线与 y 轴垂直,求 b 的值; (2) 在(1)的条件下,求证 g ( x) ? f ( x) ? 2 ln 2 ; (3) 若 b ? 2 , 函数 f ( x) 与 g ( x) 在其公共点处是否存在公切线.若存在, 求出 a 值的个数; 若不存在,说明理由.

理科加试
11. 在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, O 是 AC 的中点, E 是线段 D1O 上一点,且

D1E ? ?EO .
(1)若 ? ? 1 ,求异面直线 DE 与 CD1 所成角的余弦值; (2)若平面 CDE ? 平面 CD1O ,求 ? 的值.

D1 A1 D A O B E B1

C1

C

12. 如图,椭圆 C 1 :

3 x2 2 ? y 2 ? 1 的离心率为 , x 轴被曲线 C2 : y ? x ? 1截得的线段长 2 4

等于 C 1 的长半轴长.设 C2 与 y 轴的交点为 M ,过坐标原点 O 的直线 l 与 C2 相交于点 A , B , 直线 MA , MB 分别与 C 1 相交于点 D , E . (1)证明: MD ? ME ; (2) 记 ?MAB , ?MDE 的面积分别为 S 1 , S 2 ,问:是否存在直线 l ,使得 请说明理由.

S1 17 成立? ? S 2 32

参考答案 一. 填空题
1.答案:

1 . 3

解:

?
4

?

?
2

?

?
2

, cos ? ? 2 cos

2

?
2
?
2

? 1 ,? cos2
?1

?
2

?

? 5 ? 2 5 1 , cos ? , sin ? , 5 2 5 2 5

tan

?
2

? 2 , tan( ? ) ?
2 4

?

?

1 ? . ? 3 1 ? tan 2

tan

2.答案: 4. 解:设 A?x0 , y0 ?,所以 C1 在 A 处的切线斜率为 f ' ?x0 ? ? 3ax0 ,
2

C2 在 A 处的切线斜率为 ?

x 1 ? ? 0 ,又 C1 在 A 处的切线与 C2 在 A 处的切线互相垂直, kOA y0

所以, ? ??
3

? x0 ? 3 2 ? ? 3ax0 ? ?1 ,即 y0 ? 3ax0 . ? ? y0 ?
1 5 3 2 2 .代入 C 2 : x ? y ? ,得 x0 ? ? , 2 2 2

又 ax0 ? y0 ?1,故 y0 ? 将 x0 ? ?

1 3 3 , y0 ? 代入 y ? ax ? 1?a ? 0? ,得 a ? 4 . 2 2 1 1 1 3.答案: ( , ) ? ( ,1) . 3 2 2
解: ?

?4c ? 2a ? 2c 1 1 1 1 1 ? ? e ? 1且e ? ,故离心率范围为 ( , ) ? ( ,1) . 3 2 3 2 2 ?2c ? a

4.答案: ?1,7 ?. 解:如图, C(3,0), B(1, 3), D(7, ?2 3) .

??? ? AE ? (6x ? 1, ?3 3x ? 3) , ??? ? ???? ???? ? AE ? AC 3(6 x ? 1) ? ? AE cos ?EAC ? ???? ? 6 x ? 1, x ? (0,1) 3 AC
? 6 x ? 1? [1, 7]

5.答案:

1 . 2

解:由题设, g ( x) ? ?

?? ax ? 1,?2 ? x ? 0 , ?(1 ? a) x ? 1,0 < x ? 2

则 g ( ? x) ? ?

?ax ? 1,?2 ? ? x ? 0 ?? (1 ? a) x ? 1,?2 ? x < 0, ?? ?(a ? 1) x ? 1,0 ? ? x ? 2 ?ax ? 1.0 ? x ? 2

因为 g ( x) 为偶函数,故 g ( x) ? g (? x) . 则 ax ? 1 ? (1 ? a) x ? 1对于 x ?[?2,2] 恒成立, 从而有 a ? 1 ? a ,得 a ? 6.答案: 8. 解:设 a1 , a2 , a3 ,??, an 是公差为 4 的等差数列, 则 a1 ? a2 ? a3 ???? an ? 100, 即 a1 ?
2

1 . 2

2

?a1 ? 4? ? ?a1 ? 4?n ? 1?? ? ?n ? 1? ? 100 ,
2
2

? ? a1 ? ?n ?1?a1 ? ?2n2 ? 2n ?100? ? 0 ,
因此, ? ? 7n ? 6n ? 401? 0 ,
2

解得 n1 ? n ? n2 , 其中 n1 ?

1 3 ? 2816 3 ? 2816 ? 0 , 8 ? n2 ? ? 9, 7 7

?

?

所以,自然数 n 的最大值为 8,故这样的数列至多有 8 项. 故答案为:8.

二、解答题
7.解:(1)设切线的斜率为 k ,则由题意可得切线方程为 y ? kx ? 9k ? 0 , 由圆心 O (0,0) 到切线的距离为圆 O 的半径得:

9k 1? k 2

? 8,

解得 k ? ?

17 . 8

所以切线方程为 y ?

17 9 17 17 9 17 x? x? 或y?? . 8 8 8 8

(2) 当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 为 y ? k ( x ? 6) ,即 y ? kx ? 6k ? 0 . 则点 O,O1 到直线 l 的距离分别为 h ?

6k 1? k 2



h1=

3k 1? k 2

,设圆 O1 的半径为 r ,

36k 2 9k 2 2 从而 d ? 2 64 ? , d1 ? 2 r ? . 1? k 2 1? k 2
d 2 由 =λ,得 d 2 ? ?2 d1 . d1 所以 64-

36k 2 9k 2 2 2 ? ( r ? ). = 1? k 2 1? k 2

整理得: (28 ? ?2r 2 ? 9?2 )k 2 ? ?2r 2 ? 64 ? 0 . 由题意,知上式对于任意实数 k 恒成立,
2 2 2 ? ?28 ? ? r ? 9? ? 0 所以 ? 2 2 . ? ?? ? r ? 64 ? 0
2 解得 ? =2(负根舍去), r ? 16 .

综上所述, ? =2.圆 O1 的标准方程为 ( x ? 9) ? y ? 16 .
2 2
? 8. 解:(1) 在 ?ABO 中, OA ? 6 , OB ? 10 , ?AOB ? 120 ,

AB2 ? OA2 ? OB2 ? 2 ? OA? OB ? cos120?

? 1? ? 62 ? 102 ? 2 ? 6 ?10? ? ? ? ? 196 . ? 2?

? AB ? 14 ,即 A , B 间的距离为 14 km .

(2) 依题意,直线 MN 与圆 O 相切,设切点为 C ,连接 OC ,则 OC ? MN . 设 OM ? x , ON ? y , MN ? u ,

在 ?OMN 中, 即 xy ? 2 3u .

1 1 ? OM ? ON ? sin 60 ? ? ? MN ? OC , 2 2

由余弦定理, u 2 ? x 2 ? y 2 ? 2 xy cos120?

? x 2 ? y 2 ? xy ? 3 xy .
所以, u ? 6 3u , u ? 6 3 ,当且仅当 x ? y ? 6 时, u 取得最小值.
2

答: M、N 建在距离 O 点均为 6km 处航线最短. 9. 证明:(1)因为 a1n , a2n , a3n ,?, ann 成等差数列,所以 a12 , a22 , a32 ,......,an 2 成等差数列.

?(1 ? d2 ) ? (1 ? d1 ) ? (1 ? d3 ) ? (1 ? d2 ) ? ? ? (1 ? dn ) ? (1 ? dn?1 )
即 d 2 ? d1 ? d3 ? d2 ? ? ? d n ? dn?1 ,所以, {d n } 成等差数列,公差为 d 2 ? d1 , 所以 dm ? d1 ? (m ?1)(d2 ? d1 ) ? (2 ? m)d1 ? (m ?1)d2 . (2)由题知 d n ? 2n ? 1, ?

1 ( 2n ? 3) 2 n ?1 ? d n , 即 (2n ? 3)2n?1 ? 50(2n ?1) . 50

即为不等式 (2n ? 3)2n?1 ? 50(2n ?1) ? 0 的解, 考虑函数 f (n) ? (2n ? 3)2n?1 ? 50(2n ?1) , 由于 f (n ? 1) ? f (n) ? 2[(2n ? 1)2 ? 50] ,
n

当 n ? 3 时, f (n ? 1) ? f (n) . 即 f (3) ? f (4) ? f (5) ? f (6) ? ? , 而 f (6) ? 9(128 ? 50) ? 100 ? 602 ? 0 , 所以,当 n ≥ 6 时,有 f (n) ? 0 . 因此当 n ≥ 6 时, (2n ? 3)2n?1 ? 50(2n ?1) 恒成立, 即

1 ( 2n ? 3)2 n ?1 ? d n 恒成立. 50

10. 解: (1) a ? 1 , f ( x) ? x ?
'

1 b x ? bx ? 1 1 ' , ? b ln x , f ( x) ? 1 ? 2 ? ? x x x x2
2

依题意, f (1) ? 2 ? b ? 0 .? b ? 2 .

(2)由(1)得 f ( x) ? x ?

1 ? 2ln x , x ? (0,??) . x
2

要证 g ( x) ? f ( x) ? 2 ln 2 ,只须证 x ? x ? 设 F (x) ? x2 ? x ?

1 ? 2 ln x ? 2 ln 2 ? 0 . x

1 ? 2ln x ? 2ln 2 ( x ? 0 ). x

F ' ( x) ? 2 x ? 1 ?

1 2 2 x 3 ? x 2 ? 1 ? 2 x (2 x ? 1)(x 2 ? 1) ? ? ? . x2 x x2 x2

1 1 1 . 当 0 ? x ? 时, F ' ( x) ? 0 ;当 x ? 时, F ' ( x) ? 0 . 2 2 2 1 7 1 所以,当 x ? 时, F ( x) 取极小值,也是最小值, F ( x ) min ? F ( ) ? ? 0 . 2 2 4
令 F ' ( x) ? 0 ,得 x ? 因此 F ( x ) ? 0 , g ( x) ? f ( x) ? 2 ln 2 . (3)设函数 f ( x) 与 g ( x) 的图像在其公共点 ( x0 , y0 ) 处存在公切线.

1 ax2 ? 2 x ? a ' , g ( x) ? 2 x . f ( x) ? a( x ? ) ? 2ln x , f ' ( x) ? 2 x x
由 f ' ( x0 ) ? g ' ( x0 ) ,可得到

ax0 ? 2 x0 ? a 3 2 ? 2 x0 ,即 2x0 ? ax0 ? 2x0 ? a ? 0 , 2 x0

2

(2 x0 ? a)( x02 ? 1) ? 0 ,得 x0 ?

a . f ( x) 的定义域为 (0, ??) . 2

当 a ? 0 时, x0 ?

a ? (0, ??) .函数 f ( x) 与 g ( x) 在其公共点处没有公切线; 2

当 a ? 0 时,令 f ( ) ? g ( ) ,

a 2

a 2

1 2 a 1 a2 ? 8 a a ? 2 ? 2 ln ? a 2 ,即 ? ln( ) . 2 2 4 8 2

8 ln a ? a 2 ? 8 ? 8 ln 2 ? 0 .
设 h( x) ? 8ln x ? x2 ? 8 ? 8ln 2 ( x ? 0 ) , h ( x) ?
'

8 ? 2 x .令 h' ( x) ? 0 ,得 x ? 2 . x

当 x ? (0, 2) 时, h' ( x) ? 0 , h( x) 递增;当 x ? (2, ??) 时, h' ( x) ? 0 , h( x) 递减. 所以 h( x) max ? h(2) ? 4 ? 0 .

2 2 2 ?4 h( ) ? 8ln ? ( )2 ? 8 ? 8ln 2 ? ? 0 ,在 (0, 2) 上存在唯一 x1 ,使得 h( x1 ) ? 0 ; e e e e
又 h(2 ) ? 8 ln 2 ? 8 ? 0 ,在 (2, ??) 上存在唯一 x 2 , h( x2 ) ? 0 .
2

综上, a ? 0 时,不存在公切线; a ? 0 时,存在公切线,适合题意的 a 值有两个.

理科加试
11. 解:(1)不妨设正方体的棱长为 1,以 DA, DC, DD 1 为单位正交基底建立如图所示的空间 直角坐标系 D ? xyz ,由题设, E 为 D1O 的中点,则 A(1,0,0) ,O ( ,

1 1 ,0) ,C (0,1,0) , 2 2

1 1 1 1 1 1 D1 (0,0,1) , E ( , , ) , 于是 DE ? ( , , ) , 4 4 2 4 4 2 1 1 CD1 ? (0,?1,1) , CO ? ( ,? ,0) , 2 2
由 cos ? DE, CD1 ??

DE ? CD1 DE ? CD1

?

3 . 6
3 . 6

所以异面直线 AE 与 CD1 所成角的余弦值为

(2)设平面 CD1O 的法向量为 m ? ( x1 , y1 , z1 ) ,由 m ? CO ? 0 , m ? CD1 ? 0 ,得

1 ?1 ? x1 ? y1 ? 0, 取 x1 ? 1 ,得 y1 ? z1 ? 1 ,即 m ? (1,1,1) .由 D1E ? ?EO , 2 ?2 ? ?? y1 ? z1 ? 0,
得 E(
???? 1 ? ? 1 , , ). ) , DE ? ( 2(1 ? ? ) 2(1 ? ? ) 1 ? ? 2(1 ? ? ) 2(1 ? ? ) 1 ? ?

?

,

?

,

又设平面 CDE 的法向量为 n ? ( x2 , y2 , z2 ) ,由 n ? CD ? 0 , n ? DE ? 0 ,得

? y2 ? 0, ? 取 x2 ? 2 ,得 z2 ? ?? ,即 n ? (?2,0, ? ) . ?y2 ?z2 ? ?x2 ? ? ? 0 , ? 2(1 ? ? ) 2(1 ? ? ) 2(1 ? ? ) ?
因为平面 CDE ? 平面 CD1 E ,所以 m ? n ? 0 ,得 ? ? 2 . 12. 解:(1) 由题意知,直线 l 的斜率存在,设为 k ,则直线 l 的方程为 y ? kx . 由?

? y ? kx ? y ? x ?1
2

得 x ? kx ? 1 ? 0 .
2

设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 x1 , x 2 是上述方程的两个实根, 于是 x1 ? x2 ? k , x1 x2 ? ?1 .又点 M 的坐标 (0,?1) ,所以

k MA ? k MB ?

y1 ? 1 y2 ? 1 (kx1 ? 1)(kx2 ? 1) ? ? x1 x2 x1 x2

?

k 2 x1 x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 1 ? k 2 ? k 2 ? 1 ? ? ?1 . ?1 x1 x2

故 MD ? ME . (2) 设直线 MA 的斜率为 k1 ,则直线 MA 的方程为 y ? k1 x ? 1 , 由?

? y ? k1 x ? 1
2 ? y ? x ?1

解得 ?

? x ? k1 ?x ? 0 2 或? .故点 A 的坐标为 (k1 , k1 ? 1) . 2 ? y ? ?1 ? y ? k1 ? 1

又直线 MB 的斜率为 ?

1 1 1 ,同理可得点 B 的坐标为 ( ? , 2 ? 1) . k1 k1 k1
2

1 1 1 1 1 ? k1 于是 S 1 ? MA ? MB ? , ? 1 ? k12 ? k1 ? 1 ? 2 ? 2 2 k1 2 k1 k1
由?

? y ? k1 x ? 1 ?x ? 4 y ? 4 ? 0
2 2

得 (1 ? 4k1 ) x ? 8k1 x ? 0 .
2 2

8k1 ? x ? ? 1 ? 4k 2 ?x ? 0 8k1 4k12 ? 1 ? 1 解得 ? 或? , 故点 的坐标为 ( , ), D 2 1 ? 4k12 1 ? 4k12 ? y ? ?1 ? y ? 4k1 ? 1 ? 1 ? 4k12 ?
1 ? 8k1 4 ? k12 又直线 ME 的斜率为 ? ,同理可得点 E 的坐标为 ( , ), k1 4 ? k12 4 ? k12
于是 S 2 ?

32(1 ? k12 ) ? k1 1 MD ? ME ? . 2 (1 ? 4k12 )(k12 ? 4)

因此

S1 1 4 S 1 4 17 ? (4k12 ? 2 ? 17) 由题意知, 1 ? (4k12 ? 2 ? 17) ? , S 2 64 k1 S 2 64 k1 32
k12 ?

1 k12 1 1 2 2 解得 k1 ? 4 或 k1 ? .又由点 A , B 的坐标可知, k ? = k1 ? , 1 k1 4 k1 ? k1
所以 k ? ?

3 . 2
3 3 x, y ? ? x . 2 2

故满足条件的直线 l 存在,且有两条,其方程分别为 y ? 当 b ? a 时, C ? {y y ? a2n?1 , n ? N *} .


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