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高二数学椭圆练习


高二数学(理科)周测(15)

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是满足题目要求的。 1.平面内有两定点 A、B 及动点 P,设命题甲是: “|PA|+|PB|是定值” ,命题乙是: “点 P 的 轨迹是以 A.B 为焦点的椭圆” ,那么( A.甲是乙成立的充分不必要条件 C.甲是乙成立的充要条件


2 2

) B.甲是乙成立的必要不充分条件 D.甲是乙成立的非充分非必要条件 ) D.32 )

2.若椭圆 2kx ? ky ? 1 的一个焦点是 (0,?4) ,则 k 的是( A.

1 32

B.

1 8

C.8

3. 双曲线与椭圆 4x2+y2=64 有公共的焦点, 它们的离心率互为倒数, 则双曲线方程为( A.y2-3x2=36 B.x2-3y2=36 C.3y2-x2=36 D.3x2-y2=36

4.已知 F1、F2 是椭圆的两个焦点,过 F1 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A、B 两点,若 △ABF2 是正三角形,则这个椭圆的离心率是 ( A. 2
3

) D. 3
2 2

B. 3
3

C. 2

5.椭圆

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点 F1 , F2 三等分它的两条准线间的距离,那么它的离心率( a 2 b2
B.

)

A.

3 2

6 3

C.

3 3

D.

6 6
)

6.已知 ( 4,2) 是直线 l 被椭圆 A. x ? 2 y ? 0

x2 y2 ? ? 1 所截得的线段的中点,则 l 的方程为( 36 9
C. 2 x ? 3 y ? 4 ? 0

B. x ? 2 y ? 4 ? 0

D. x ? 2 y ? 8 ? 0

7.设 F1,F2 分别是椭圆

x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0 )的左、右焦点,若在其右准线上存在 P, a 2 b2


使线段 PF1 的中垂线过点 F2 ,则椭圆离心率的取值范围是( A. ? 0,

? ? ?

2? ? 2 ?

B. ? 0,

? ? ?

3? ? 3 ?

C. ?

? 2 ? , 1? ? 2 ? ?

D. ?

? 3 ? , 1? ? 3 ? ?

1

8. 在椭圆

x2 y2 ( -1) F 为椭圆右焦点, , 在椭圆上有一点 M, 使|MP|+2|MF| ? ? 1内有一点 P 1, 4 3

的值最小,则这一最小值是( A.

) C.3 D.4

5 2

B.

7 2

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 9.双曲线 3mx2-my2=3 的一个焦点是(0,2),则 m 的值是( )

10.已知方程

x2 y2 ? ? 1 表示椭圆,则 k 的取值范围是____________. 3? k 2 ? k x2 y2 + =1 的焦点,在曲线 C 上满足 PF1 ? PF2 =0 的点 P 的个数 12 4

11.设 F1、F2 是椭圆 C: 为________ 12. 已知椭圆

x2 y2 ? + =1 的两个焦点为 F1、F2,P 为椭圆上一点,满足∠F1PF2= ,则△F1PF2 4 3 3

的面积为_________________. 13.已知椭圆 C 的焦点 F1(- 2 2 ,0)和 F2( 2 2 ,0) ,长轴长 6,设直线 y ? x ? 2 交椭 圆 C 于 A、B 两点,则线段 AB 的中点坐标
2 2 2 2

.

14. 已知圆 A : ?x ? 2? ? y ? 16 ,圆 B : ? x ? 2? ? y ? 14 .动圆 C 与圆 A 内切,且 与圆 B 外切.则动圆圆心的轨迹方程为 .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) x2 y2 15. (本小题满分 12 分) 求以椭圆 + =1 的两个顶点为焦点,以椭圆的焦点为顶点的 16 9 双曲线方程,并求此双曲线的实轴长、虚轴长、离心率及渐近线方程.

2

16. (本小题满分 12 分)从双曲线 C : x ? y ? 1 上一点 Q 引直线 l : x ? y ? 2 的垂线,垂
2 2

足为 N ,求线段 QN 的中点 P 的轨迹方程.

17. (本小题满分 14 分)已知动点 P 与平面上两定点 A(? 2, 0), B( 2, 0) 连线的斜率的积 为定值 ?

1 . 2

(Ⅰ)试求动点 P 的轨迹方程 C. (Ⅱ)设直线 l : y ? kx ? 1 与曲线 C 交于 M、N 两点,当|MN|=

4 2 时,求直线 l 的方程. 3

18. (本小题满分 14 分) 已知椭圆的一个焦点 F1 (0,?2 2 ) , 对应的准线方程为 y ? ? 且离心率 e为 和

9 2, 4

2 3

4 的等比中项. 3 1 平分? 2

(1)求椭圆方程, (2)是否存在直线 l 与椭圆交于不同的两点 M、N,且线段 MN 恰为直线 x ? ? 若存在,求出直线 l 的斜率的取值范围,若不存在,请说明理由.

3

19. (本小题满分 14 分)设 F1 、 F2 分别是椭圆

x2 ? y 2 ? 1 的左、右焦点. 4

(Ⅰ)若 P 是该椭圆上的一个动点,求 PF1 ? PF2 的最大值和最小值; (Ⅱ) 设过定点 M (0,2) 的直线 l 与椭圆交于不同的两点 A 、B , 且∠ AOB 为锐角 (其中 O 为坐标原点) ,求直线 l 的斜率 k 的取值范围.

???? ???? ?

20. (本小题满分 14 分)知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1、F2 ,离心 a2 b

率e ?

2 ,右准线方程为 x ? 2 。 2

(I)求椭圆的标准方程; (II)过点 F1 的直线 l 与该椭圆交于 M、N 两点,且 F2 M ? F2 N ? 程。

????? ???? ?

2 26 ,求直线 l 的方 3

4

高二数学(理科)周测(15)参考答案
1-8 9.—1 BAAB CBDC 10. ? 3 ? k ? 2且k ? ?

1 2

11.4

12. 3

13. (-

9 1 , ) 5 5

14.

y2 x2 ? ? ?1 ?? 3 ? x ? 9 5 ?

3? ? 2?

15.解:椭圆的焦点 F1(- 7,0),F2( 7,0),即为双曲线的顶点. ∵双曲线的顶点和焦点在同一直线上, ∴双曲线的焦点应为椭圆长轴的端点 A1(-4,0),A2(4,0),所以 c=4,a= 7, x2 y2 ∴b= c2-a2=3,故所求双曲线的方程为 - =1. 7 9 c 4 7 3 7 实轴长为 2a=2 7,虚轴长为 2b=6,离心率 e= = ,渐近线方程为 y=± x. a 7 7 16.解:设 P( x, y),Q ( x1 , y1 ) ,则 N (2 x ? x1 ,2 y ? y1 ) .? N 在直线 l 上,

? 2 x ? x1 ? 2 y ? y1 ? 2. ① 又 PN ? l 得

y ? y1 ? 1, 即 x ? y ? y1 ? x1 ? 0 .② x ? x1

3x ? y ? 2 ? 3x ? y ? 2 2 3 y ? x ? 2 2 ?x ? ? 1 2 联解①②得 ? .又点 Q 在双曲线 C 上,? ( ) ?( ) ?1, 2 2 3y ? x ? 2 ?y ? ? 1 2 ?
化简整理得: 2 x ? 2 y ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 ,此即动点 P 的轨迹方程.
2 2

17. 解:设点 P( x, y ) ,则依题意有

y y 1 ? ?? , 2 x? 2 x? 2

x2 ? y 2 ? 1. 由 于 x ? ? 2 , 所 以 求 得 的 曲 线 C 的 方 程 为 整 理 得 2 x2 ? y 2 ? 1( x ? ? 2). 2
? x2 ? ? y 2 ? 1, (Ⅱ)由 ? 2 消去 y 得 : (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4kx ? 0. ? y ? kx ? 1. ?

解得 x1 ? 0 x 2 ? ?

4k 1 ? 2k 2
2

( x1 , x 2 分别为 M,N 的横坐标).
2

由 | MN |? 1 ? k | x1 ? x2 |? 1 ? k |

4k 4 |? 2, 2 3 1 ? 2k
5

解得 : k ? ?1.
所以直线 l 的方程 x ? y ? 1 ? 0 或 x ? y ? 1 ? 0 .
2 18(1)? e 2 ? 2 ? 4 ? e ? 2 2 即 c ? 2 2 又 ? a ? c ? 9 2 ? 2 2

3

3

3

a

3

c

4

? a ? 3, c ? 2 2 ,? b 2 ? a 2 ? c 2 ? 1

? F1 (0,?2 2 ) 对应准线方程为 y ? ? 9 2 , 且c ? 2 2
4

2 ∴椭圆中心在原点,则椭圆方程为 y ? x 2 ? 1

9

(2)假设存在直线 l,且 l 交椭圆所得的弦 MN 被直线 x ? ? 1 平分,∴l 的斜率存在,
2

设 l:y=kx+m. ?y ? kx? m 由 ? y2 消去y得(k 2 ? 9) x 2 ? 2k mx ? m 2 ? 9 ? 0 .∵直线 l 交椭圆于不同两点 M、 ? ? x2 ? 1 ? ?9 N.

? ? ? 4k 2 m 2 ? 4(k 2 ? 9)( m 2 ? 9) ? 0即m 2 ? k 2 ? 9 ? 0. ①
2 设 M ( Mx1 , y1 ) N ( x2 , y 2 ) ? x1 ? x2 ? ? km ? ? 1 . ? m ? k ? 9 2

2

k ?9

2

2k

2 代入①得 ( k ? 9 ) 2 ? k 2 ? 9 ? 0. 解得k ? ? 3, 或k ? 3 . 2k

注:第(1)小题还可利用椭圆的第二定义解决 19. 解 : Ⅰ ) 易 知 a ? 2, b ? 1,c ? (

3所 以 F1 ? 3, 0 , F2

?

? ?

3, 0 , 设 P ? x, y? , 则

?

???? ???? ? PF1 ? PF2 ? ? 3 ? x, ? y ,

?

??

3 ? x, ? y ? x 2 ? y 2 ? 3 ? x 2 ? 1 ?

?

x2 1 ? 3 ? ? 3x 2 ? 8? 4 4

因为 x ? ? ?2, 2? ,故当 x ? 0 ,即点 P 为椭圆短轴端点时, PF1 ? PF2 有最小值 ?2 当 x ? ?2 ,即点 P 为椭圆长轴端点时, PF1 ? PF2 有最大值 1 (Ⅱ)显然直线 x ? 0 不满足题设条件,可设直线 l : y ? kx ? 2, A ? x1 , y2 ? , B ? x2 , y2 ? ,

???? ???? ?

???? ???? ?

? y ? kx ? 2 ? ? 2 1? 2 联立 ? x 2 ,消去 y ,整理得: ? k ? ? x ? 4kx ? 3 ? 0 2 4? ? ? ? y ?1 ?4
∴ x1 ? x2 ? ?

4k 1 k2 ? 4
? ?

, x1 ? x2 ?

3 k2 ? 1 4

由 ? ? ? 4k ? ? 4 ? k ?
2

3 3 1? 2 或k ? ? ? ? 3 ? 4k ? 3 ? 0 得: k ? 2 2 4?
6

又 0 ? ?A0B ? 90 ? cos ?A0 B ? 0 ? OA ? OB ? 0
0 0

??? ??? ? ?

∴ OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 又 y1 y2 ? ? kx1 ? 2 ?? kx2 ? 2 ? ? k x1 x2 ? 2k ? x1 ? x2 ? ? 4 ?
2

??? ??? ? ?

3k 2 k2 ? 1 4

?

?8k 2 ?k 2 ? 1 ?4 ? 1 1 k2 ? k2 ? 4 4



3 1 k ? 4
2

?

?k 2 ? 1 ? 0 ,即 k 2 ? 4 1 k2 ? 4

∴ ?2 ? k ? 2

故由①、②得 ?2 ? k ? ?

3 3 ?k?2 或 2 2

?c 2 ? ? ?a 2 ,解得 a ? 2, c ? 1 20.(I)由已知得 ? 2 ?a ? 2 ?c ?
∴ b?

a 2 ? c 2 ? 1 ∴ 所求椭圆的方程为

x2 ? y2 ? 1 2

?????????4 分

(II)由(I)得 F1 (?1,0) 、 F2 (1, 0)

? x ? ?1 2 ? ①若直线 l 的斜率不存在,则直线 l 的方程为 x ? ?1 ,由 ? x 2 得y?? 2 2 ? ? y ?1 ?2
设 M ( ?1,

2 2 ) 、 N (?1, ? ), 2 2
2 2 ) ? ( ?2, ? ) ? ( ?4, 0) ? 4 ,这与已知相矛盾。 2 2

∴ F2 M ? F2 N ? ( ?2,

????? ???? ?

②若直线 l 的斜率存在,设直线直线 l 的斜率为 k ,则直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) , 设 M ( x1 , y1 ) 、 N ( x2 , y2 ) ,

? y ? k ( x ? 1) ? 2 2 2 2 联立 ? x 2 ,消元得 (1 ? 2k ) x ? 4k x ? 2k ? 2 ? 0 2 ? ? y ?1 ?2

7



x1 ? x2 ?
?????

?4k 2 2k 2 ? 2 ,∴ , x1 x2 ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
???? ?

y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ? 2) ?

2k , 1 ? 2k 2

又∵ F2 M ? ( x1 ? 1, y1 ), F2 N ? ( x2 ? 1, y2 ) ∴

????? ???? ? F2 M ? F2 N ? ( x1 ? x2 ? 2, y1 ? y2 )
2 2 ????? ???? ? ? 8k 2 ? 2 ? ? 2k ? 2 26 2 2 F2 M ? F2 N ? ( x1 ? x2 ? 2) ? ( y1 ? y2 ) ? ? ?? ? 2 ? 2 ? 3 ? 1 ? 2k ? ? 1 ? 2 k ?
4 2



化简得 40k ? 23k ? 17 ? 0 解得 k ? 1或k ? ?
2 2



k ? ?1

17 (舍去) 40

∴ 所求直线 l 的方程为 y ? x ? 1或y ? ? x ? 1

8


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