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高中数学 必修四 三角函数最值与值域常考题型总结(含答案)


三角函数最值与值域专题
三角函数的最值问题是高考的一个重要内容,要求掌握求三角函数最值的常见方法。
类型一:利用 sin x ? 1, cos x ? 1 这一有界性求最值。

sin x ? 1 的值域。 2 ? sin x sin x ? 1 2 y ?1 解 : 由 y? 变 形 为 ( y ? 1)sin x ? 2 y ? 1 , 知 y ? ?1 , 则 有 sin x ? , 2 ? sin x y ?1 2 2 y ?1 2 y ?1 2 | sin x |?| |? 1 ?| | ? 1 ? (2 y ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? ? ? y ? 0 ,则此函数的值域是 3 y ?1 y ?1 2 y ? [ ? , 0] 3 例 2,若函数 y ? a cos x ? b 的最大值是 1,最小值是 ?7 ,求 a,b a ? 0, a ? b ? 1, ?a ? b ? ?7 ? a ? 4,b ? ?3
例 1:求函数 y ?

a ? 0, ?a ? b ? 1, a ? b ? ?7 ? a ? ?4, b ? ?3 1 ? cos x ? 3] [1,+?) 练习:1,求函数 y ? 的值域(? ?, 3 ? cos x 1 2,函数 y ? sin x 的定义域为[a,b],值域为 [ ?1, ] ,则 b-a 的最大值和最小值之和为 b 2 4? 8? A. B. 2? C. D. 4? 3 3
类型二: y ? a sin x ? b cos x 型。此类型通常可以可化为 y ? a sin x ? b cos x ? a 2 ? b2 ( x ? ? ) 求其最值(或值域) 。
例 1:求函数 y ? 3sin x ? 4 cos x, x ? (0,

?
2

) 的最值。

解:

3 4 y ? 3sin x ? 4 cos x ? 5sin( x ? ? ), cos ? ? ,sin ? ? 5 5 x ? ? ? (? ,

?
2

? ? ), y ? (3,5]

2,求函数 y ? sin( x ? 解法: y ? sin( x ?

?
6

) ? sin( x ?

?
3

) ( x ? R )的最值。

?
6

) ? cos( x ?

?
6

) ? 2 sin[( x ?

?
6

)?

?
4

] ? 2 sin( x ?

?
12

) ,∴函数的最大值为 2 ,最小值

为? 2 。 1 练习:1,函数 y=3sin(x+20°) +5sin(x+80°)的最大值是: ( c ) A、 5 1 2 B、 6 2 C、7 D、8
2,已知函数 f ( x) ? sin 2 x , g ( x) ? cos( 2 x ? ? ) ,直线 x=t(t∈ ?0, ? ? )与函数 f(x)、g(x)的图像分别交于 M、N 两点,则|MN|的最
6

? ?

2? ?

3 . 2 类型三:y ? a sin 2 x ? b sin x ? c(a ? 0) 型。 此类型可化为 y ? at ? bt ? c(a ? 0) 在区间 [ ?1,1] 上的最值问题。
大值是

例 1:求函数 y ? cos2 x ? 3 sin x ? 1 ( x ? R )的最值

3 2 9 ) ? 2 4 9 5?2 3 ∴函数的最大值为 ,最小值为 4 4 2 例 2:求函数 y ? cos x ? 3a sin x ? 1 ( a ? R , x ? R )的最大值。
解: y ? 1 ? sin x ? 3 sin x ? 1 ? ?(sin x ?
2

解: y ? cos2 x ? 3a sin x ? 1 转化为 y ? ? sin 2 x ? 3a sin x ? 2 配方得:
1

3 2 3 2 a) ? a ? 2 2 4 3 2 3 ①当 时,在 sinx=1, ymax ? 3a ? 1 a ? 1,即 a ? 2 3 3 2 3 ②当 时,在 sinx=-1, ymax ? ? 3a ? 1 a ? ?1 时,即 a ? ? 2 3 3 3 2 3 2 3 3 ③当 ? 1 ? 时,在 sin x ? a ? 1 ,即 ? ?a? a 时, y max ? a 2 ? 2 4 2 3 3 2 ? 2 3 ) ? 3a ? 1(a ? 3 ? ? 2 3 2 3 ?3 2 ?a? ) 综上: ymax ? ? a ? 2(? 3 3 ?4 ? 2 3 ) ?? 3a ? 1(a ? ? 3 ? ? y ? ?(sin x ?
练习:函数 f ( x) ? sin 2 x ? 2 cos x在区间[? 2 ? ,? ]上的最大值为 1, 则? 的值是 d
3

A.0 B. ? C. ? D.— ?
3 2 2

类型四: y ? a sin 2 x ? b sin x ? cos x ? c(a ? 0) 型。
例:求函数 f ( x) ? 5 3 cos x ? 3 sin x ? 4 sin x cos x(
2 2

?
4

?x?

解: f ( x) ? 5 3

1 ? cos 2 x 1 ? cos 2 x ? 3 ? 2 sin 2 x 2 2 ? 2 3 cos3x ? 2 sin 2x ? 3 3

7? ) 的最值,并求取得最值时 x 的值。 24

? 4 cos( 2 x ?


?

6

)?3 3

7? 2? ? 3? 2 ? 1 ? 2x ? ? , ∴ ,∴ ? ? cos(2 x ? ?) ? 4 24 3 6 4 2 6 2 7? ∴ f ( x) 的最小值为 3 3 ? 2 2 ,此时 x ? , f ( x) 无最大值。 24

?

?x?

练习:已知: y ? 解:∵ y ?
1 2

1 2

sin x ?
2

2

sin x ?

1 5 7 ? ? ? ? ? .此时, 2 x ? ? 2k? ? , 即 x ? k? ? . 2 4 4 6 2 6 7 ? 所以 y 的最大值为 ,此时 x 的集合为 {x | x ? k? ? ,k ? Z } . 4 6 a sin x ? b 类型五: f ( x) ? 型。此类型最值问题可考虑如下几种解法:①转化为 a sin x ? b cos x ? c 再利用辅 c cos x ? d

? 3 1 ? cos 2 x 3 1 ? 5 sin x ? cos x ? 1 ? ? sin 2 x ? 1 ? sin(2 x ? ) ? ,∴当 sin(2 x ? ) ? 1 时, 6 2 4 4 2 6 4

3 求 y 的最大值及此时 x 的集合. sin x ? cos x ? 1,x ? R, 2

y

max

?

助角公式求其最值;②采用数形结合法(转化为斜率问题)求最值。

sin x 的值域。 cos x ? 2 sin x 2y 解法 1:将函数 y ? 变形为 y cos x ? sin x ? 2 y ,∴ sin( x ? ? ) ? 由 cos x ? 2 1? y2
例:求函数 y ?
2

| sin( x ? ? ) |?

| 2y | 1? y
2

? 1 ? (2 y)2 ? 1 ? y2 ,解得: ?

3 3 3 3 ,故值域是 [? , ] ? y? 3 3 3 3

解法 2:数形结合法:求原函数的值域等价于求单位圆上的点 P(cosx, sinx) 与定点 Q(2, 0)所确定的直线的斜率的范围。 作出如图得图象, 当过 Q 点的

y P
O

sin x 得最值,由几何知识, cos x ? 2 3 3 易求得过 Q 的两切线得斜率分别为 ? 、 。结合图形可知,此函数 3 3 3 3 的值域是 [? , ]。 3 3
直线与单位圆相切时得斜率便是函数 y ?
练习:求函数 f (? ) ? 2 sin ? ? 2 的最值。 cos ? ? 3

Q

x

y sin ? ? 1 ∴y/2 即为单位圆上的点(cosθ ,sinθ )与定点(3,1)连线的斜率,由数形结合可知 y/2∈[0,3/4], ∴ y∈[0, ? 2 cos ? ? 3

3/2]

x?c o x s与s i n x?c o x s 的 最 值 问 题 。 解 此 类 型 最 值 问 题 通 常 令 t ? sin x ? cos x , 类型六 : 含有 sin

t 2 ? 1 ? 2 sin x ? cos x , ? 2 ? t ? 2 ,再进一步转化为二次函数在区间上的最值问题。
例:求函数 y ? sin x ? cos x ? sin x ? cos x 的最大值并指出当 x 为何值时,取得最大值。 解法 1:设 t=sinx+cosx,则 t ?

2 sin( x ?

?
4

) ∴ t ? [? 2 , 2 ] ∴ sin x cos x ? y m a x? 1 ? 2。 2

1 2 (t ? 1) 2

? ? 1 ? sin 2 x ? 2 sin( x ? ) , x ? ? ? ? x ? ? ? , 4 4 2 4 1 1 ? 1 1 y ? sin(2? ? ) ? 2 sin ? ? ? cos 2? ? 2 sin ? ? sin 2 ? ? 2 sin ? ? ymax ? ? 2 2 2 2 2 2 练习:1,求函数 y ? (sin x ? 2)(cos x ? 2) 的最大、最小值.
解法 2: y ? sin x ? cos x ? sin x ? cos x ? 解: 原函数可化为: y ? sin x cos x ? 2(sin x ? cos x) ? 4 , 令s in x ? c o s x? ( |t | t ? 2) ∴y?

1 2 1 2 ∴ y ? (t ? 1) ? t ? (t ? 1) ? 1 2 2

cos , 则 sin x

x?

t 2 ?1 , 2

t 2 ?1 1 3 ? 2t ? 4 ? (t ? 2)2 ? . 2 2 2
上 为 减 函 数 , ∴ 当 t ? 2 时 , 即 x ? 2 k? ? 2]

∵ t ? 2 ?[? 2, 2] , 且 函 数 在 [? 2 ,

?
4

( k ? Z)时 ,

ym i n ?

9 3? 9 ? 2 2 ;当 t ? ? 2 时,即 x ? 2k? ? (k ? Z ) 时, ymax ? ? 2 2 . 2 4 2
sin x cos x 的值域是 dA. ? 2 ? 1,1 ? ? 1, 2 ? 1 B. ? 2 ? 1 2 ? 1? , ?? ? 1 ? sin x ? cos x 2 2
? ?

2,函数 f ( x) ?

?

? ?

?

C. ? 2 2 ? D. ? ? 1, ? 1? ?? ?? 2 ? ? 2 ?

2 ?1 ? ? 2 ? 1? ,?1? ?? ? 1, ? ? ? 2 2 ? ? ?

类型七: y ? a sin x ?
例:求函数 y ?

1 ? sin x 的最大、最小值 2 ? 2 sin x ? sin 2 x 1 ? sin x 1 ∵1-sinx≥0 y? ? 1 (1 ? sin x ) 2 ? 1 1 ? sin x ? 1 ? sin x

b (0 ? x ? ? ) 型(转化为对号函数)函数最值问题。 sin x

3

∴ y≥0,当 sinx=1 时 Ymin=0,当 1-sinx>0 时,1-sinx+ 已知 ?

4

? ,则函数 ?x? y?
3

2 sin( ? x ) 6 的最大值与最小值的和为 cos x

?

1 ≥2, ymax=1/2 1 ? sin x

5? 3

.

当0 ? x ?

?
4

时,函数 f ( x ) ?

cos2 x 的最小值 4 cos x sin x ? sin 2 x

3 sin ? 的最大值; 1 ? 3sin 2 ? 1 ? cos 2 x ? 8cos 2 x ? 2,当 0 ? x ? 时,函数 f ( x) ? 的最小值为 2 sin 2 x 1 ? cos 2 x ? 8cos 2 x 2sin 2 x ? 8cos 2 x 4 f ( x) ? ? ? tan x ? sin 2 x 2sin x cos x tan x tan x ? (0, ??), f ( x) ? [4, ??)
练习:1,已知 x ? (0, ? ) ,求函数

y?

4

类型八:条件最值问题。 2 2 2 2 例 1:已知 3sin ? ? 2 sin ? ? 2 sin ? ,求 y ? sin ? ? sin ? 的取值范围。
解:∵ 3sin
2

? ? 2 sin 2 ? ? 2 sin ? ,∴ sin 2 ? ? ? sin 2 ? ? sin ?

3 2

? ? ? ? 2 ∵ 0 ? sin ? ? 1 ∴ ? ?? ? ?

3 sin 2 ? ? sin ? ? 0 2 2 解得0 ? sin ? ? 3 3 sin 2 ? ? sin ? ? 1 2 1 2 1 1 2 2 2 ∵ y ? sin ? ? sin ? ? ? sin ? ? sin ? ? ? (sin ? ? 1) ? \ 2 2 2 2 2 4 ∵ 0 ? sin ? ? ∴sinα =0 时, y min ? 0 ; sin ? ? 时, y max ? 3 3 9 4 2 2 ∴ 0 ? sin ? ? sin ? ? 。 9
2, sin x cos y ? 2 , 则 cos x sin y的取值
3

设 cos x sin y ? t 2 ? t ? [?1,1] 3 2 sin x cos y ? cos x sin y ? sin( x ? y ) ? ? t ? [?1,1] 3 1 1 t ? [? , ] 3 3 4 1 练习:1,已知 Sinx+Siny= ,求 Siny—cos2x 的最大值 9 3 sin x cos y ? cos x sin y ? sin( x ? y ) ?
2 ,因式 cosx+cosy 的最大值为 2 A.2 B.0 C. 14 D. 14 D 14 2
2,已知 sin x ? sin y ?

4

cos x ? cos y ? t ,sin x ? sin y ?

2 2 1 2

(sin x ? sin y ) 2 ? (cos x ? cos y ) 2 ? 2 ? 2 cos( x ? y ) ? t 2 ? 3 14 14 t 2 ? ? [?2, 2], t ? [? , ] 2 2 2
类型九:其他问题
例 1:函数 y ? x cos x ? sin x 在 ?

? ? 3? ? , 的最小值为 ?2 2 ? ?

? ? 3? ? y ? x cos x ? sin x ? y ' ? ? x sin x ? 0, x ? ? , ? ?2 2 ? ? 3? x ? ? , x ? [ , ? ), y ' ? ?? x ? (? , ], y ' ? ? 2 2 ymax ? ??
2,求函数 y ? x ? 1 ? x 的最大值和最小值, 并指出当 x 分别为何值时取到最大值和最小值。
2 解:∵定义域为 0≤x≤1,可设 x ? cos x 且 0 ? ? ?

?
2

1 ? x ? 1 ? cos2 ? ? sin 2 ? , 0 ? ? ?
∴y?

?
2

cos 2 ? ? sin 2 ? ? sin ? ? cos ? ? 2 sin(? ?

?
4

)

∵0 ?? ?

?
2

4 ? ? ? 3? ? ∴当 ? ? ? 或 ? ? ? ,即 θ =0 或 ? ? (此时 x=1 或 x=0) ,y=1; 2 4 4 4 4 ? ? 1 当 ? ? ,即 ? ? 时, (此时 x ? ) ,y? 2, 2 4 2 1 当 x=0 或 x=1 时,y 有最小值 1;当 x ? 时,y 有最大值 2 。 2
练习:1,求 y ? sin x cos 2 x , x ? [0,

,∴

?
4

?? ?

?

?

3? 2 ? ,∴ ? sin(? ? ) ? 1 即 1 ? y ? 2 4 2 4

?

2

] 的最大值。

y ? sin x cos 2 x ? ?2sin 3 x ? sin x, x ? [0, ] 2 3 ' 2 设 sin x ? t ? [0,1], y ? ?2t ? t , y ? ?6t ? 1 ? 0 t? 6 6 ' 6 , t ? [0, ), y ? 0; t ? ( ,1], y ' ? 0 6 6 6 6 ymax ? 9


?

? ? 2 若不等式 tan x ? tan x ? 1 >a,x∈( ? , )的解集非空,则参数 a 的取值范围为 2 2
令 tanx = m, 则 m∈R, ∴原不等式化为 a< m ? m ? 1 即 a< a<1.
5

1 m ? m ?1

而易知 m ? m ? 1 的最小值为 1. ∴


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