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浙江省金华市东阳中学2014-2015学年高一上学期10月段考数学试卷


浙江省金华市东阳中学 2014-2015 学年高一上学期 10 月段考数 学试卷
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.下列各式:①1∈{0,1,2};②??{0,1,2};③{1}∈{0,1,2};④{0,1,2}={2, 0,1},其中错误的个数是() A.1 个 B. 2 个 C. 3 个 D.4 个 2.满足条件{1,2,3}?M?{1,2,3,4,5,6}的集合 M 的个数是() A.8 B. 7 C. 6 D.5 3.集合 A={x|y= },B={y|y=x +2},则阴影部分表示的集合为()
2

A.{x|x≥1}

B.{x|x≥2}

C.{x|1≤x≤2}

D.{x|1≤x<2}

4.在下列四组函数中,表示同一函数的是() A.y=1,y= C. y=|x|,y+( )
2

B. y= D.f(x)=x ﹣2x﹣1 与 g(t)=t ﹣2t﹣1
2 2

5.已知函数 f(2x+1)=3x+2,则 f(1)的值等于() A.2 B.11 C. 5
2

D.﹣1

6.下列四个函数:①y=x+1;②y=x﹣1;③y=x ﹣1;④y= ,其中定义域与值域相同的 是() A.①②③

B.①②④

C.②③

D.②③④

7.函数 y= A.[﹣1,1]

的值域是() B.(﹣1,1] C.[﹣1,1) D.(﹣1,1)

8.若函数 f(x)=

,则 f(﹣3)的值为()

A.5

B.﹣1

C.﹣7

D.2

9.定义在 R 上的偶函数 f(x)满足:对任意的 x1,x2∈[0,+∞) (x1≠x2) ,有 .则() A.f(3)<f(﹣2)<f(1) <f(1)<f(3) D. B.f(1)<f(﹣2)<f(3) f(3)<f(1)<f(﹣2) C. f(﹣2)

10.己知奇函数 y=f(x)在(﹣∞,0)为减函数,且 f(2)=0,则不等式(x﹣1)f(x﹣1) >0 的解集为() A.{x|﹣3<x<﹣1} B. {x|﹣3<x<1 或 x>2} C. {x|﹣3<x<0 或 x>3} D.{x|﹣1<x<1 或 1<x<3}

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分) 11.设全集 U={a,b,c,d},集合 A={a,b},B={b,c,d},则(?UA)∪(?UB)=.

12.设函数 f(x)=

,若 f(x0)=8,则 x0=.

13.若函数 f(x)=(a﹣2)x +(a﹣1)x+3 是偶函数,则 f(x)的增区间是. 14.已知:集合 P={x|x +x﹣6=0},S={x|ax+1=0}且 S?P,则 a 的取值为. 15.奇函数 f(x)在(0,+∞)上的解析式是 f(x)=x(x﹣1) ,则在(﹣∞,0)上 f(x) 的函数析式是. 16.已知函数 围是. 17.函数 f(x)的定义域为 A,若 x1,x2∈A 且 f(x1)=f(x2)时总有 x1=x2,则称 f(x) 为单函数,例如,函数 f(x)=2x+1(x∈R)是单函数.下列命题: ①函数 f(x)=x (x∈R)是单函数; ②函数 是单函数;
2 2

2

,若 f(x)在区间(0,1]上是减函数,则实数 a 的取值范

③若 f(x)为单函数,x1,x2∈A 且 x1≠x2,则 f(x1)≠f(x2) ; ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数. 其中的真命题是. (写出所有真命题的编号)

三、解答题

18. (1)求函数 y=

的定义域;

(2)已知 x+x =4,求 x

﹣1

+x

及 x﹣x

﹣1

的值.

19.设全集 U=R,集合 A={x|﹣1≤x<3},B={x|2x﹣4≥x﹣2}. (1)求?U(A∩B) ; (2)若集合 C={x|2x+a>0},满足 B∪C=C,求实数 a 的取值范围. 20.已知 f(x)是在 R 上单调递减的一次函数,且 f[f(x)]=4x﹣1. (1)求 f(x) ; (2)求函数 y=f(x)+x ﹣x 在 x∈[﹣1,2]上的最大与最小值. 21.已知函数 f(x)=x +4ax+2a+6 (1)若函数 f(x)的值域为[0,+∞) ,求 a 的值; (2)若函数 f(x)的函数值均为非负数,求 g(a)=2﹣a|a﹣1|的值域. 22. (17 分)已知函数 f(x)= 为奇函数.
2 2

(1)求 b 的值; (2)证明:函数 f(x)在区间(1,+∞)上是减函数; (3)解关于 x 的不等式 f(1+2x )+f(﹣x +2x﹣4)>0.
2 2

浙江省金华市东阳中学 2014-2015 学年高一上学期 10 月 段考数学试卷
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.下列各式:①1∈{0,1,2};②??{0,1,2};③{1}∈{0,1,2};④{0,1,2}={2, 0,1},其中错误的个数是() A.1 个 B. 2 个 C. 3 个 D.4 个 考点: 元素与集合关系的判断. 专题: 计算题. 分析: 对于①根据元素与集合之间的关系进行判定,对于②根据空间是任何集合的子 集,对于③集合与集合之间不能用属于符号进行判定,对于④根据集合本身是集合的子集 进行判定,对于⑤根据集合的无序性进行判定即可. 解答: 解: :①1∈{0,1,2},元素与集合之间用属于符号,故正确; ②??{0,1,2};空集是任何集合的子集,正确

③{1}∈{0,1,2};集合与集合之间不能用属于符号,故不正确; ④{0,1,2}?{0,1,2},集合本身是集合的子集,故正确 ⑤{0,1,2}={2,0,1},根据集合的无序性可知正确; 故选:A 点评: 本题主要考查了元素与集合的关系,以及集合与集合之间的关系,属于基础题. 2.满足条件{1,2,3}?M?{1,2,3,4,5,6}的集合 M 的个数是() A.8 B. 7 C. 6 D.5 考点: 集合的包含关系判断及应用. 专题: 计算题. 分析: 根据题意,分析可得集合 M 中必须有 1,2,3 这三个元素,且至少含有 4、5、6 中的一个但不能同时包含 3 个元素,即 M 的个数应为集合{4,5,6}的非空真子集的个数, 由集合的子集与元素数目的关系,分析可得答案. 解答: 解:根据题意,满足题意题意条件的集合 M 中必须有 1,2,3 这三个元素,且至 少含有 4、5、6 中的一个但不能同时包含 3 个元素, 则 M 的个数应为集合{4,5,6}的非空真子集的个数, 集合{4,5,6}有 3 个元素,有 2 ﹣2=6 个非空真子集; 故选 C. 点评: 本题考查集合间包含关系的判断,关键是根据题意,分析集合 M 的元素的特点. 3.集合 A={x|y= },B={y|y=x +2},则阴影部分表示的集合为()
2 3

A.{x|x≥1}

B.{x|x≥2}

C.{x|1≤x≤2}

D.{x|1≤x<2}

考点: Venn 图表达集合的关系及运算. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由题意分别求函数 y= 的定义域和 y=x +2 的值域,从而求出集合 A、B;再
2

根据图形阴影部分表示的集合是 CAB 求得结果. 解答: 解:由 x﹣1≥0,得 A={x|y=
2 2

}={x|x≥1}=[1,+∞) ,

由 x +2≥2,得 B={y|y=x +2}=[2,+∞) , 则图中阴影部分表示的集合是 CAB=[1,2) . 故选 D.

点评: 本题考查了求 Venn 图表示得集合,关键是根据图形会判断出阴影部分表示的集合 元素特征,再通过集合运算求出. 4.在下列四组函数中,表示同一函数的是() A.y=1,y= C. y=|x|,y+( )
2

B. y= D.f(x)=x ﹣2x﹣1 与 g(t)=t ﹣2t﹣1
2 2

考点: 判断两个函数是否为同一函数. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 题目中给出了四对函数, 判断它们是否为同一函数, 需要分析每两个函数的定义域 是否相同,对应关系是否一样,抓住这两点对四个选项逐一判断即可得到正确答案. 解答: 解:选项 A 中 y=1 的定义域为 R,而 y= 的定义域是{x|x≠0},两函数定义域不同, 所以不是同一函数; 选项 B 中函数 的定义域为{x|x≥1}, 的定义域为{x|x≥0},两函数定义域

选项 C 中函数 y=|x|的定义域为 R,而函数 y=

不同,所以不是同一函数; 选项 D 中两函数定义与相同,对应关系相同,所以两函数为同一函数. 故选 D. 点评: 题目考查了判断两个函数是否为同一函数的问题,解答时需要牢记函数的三个要 素,即定义域、对应关系和值域,两个函数只要定义域和对应关系相同,则值域一定相同, 两函数就是同一函数. 5.已知函数 f(2x+1)=3x+2,则 f(1)的值等于() A.2 B.11 C. 5

D.﹣1

考点: 函数的值;函数解析式的求解及常用方法. 专题: 计算题. 分析: f(1)=f(2×0+1) ,代入表达式可求. 解答: 解:由 f(2x+1)=3x+2,得 f(1)=f(2×0+1)=3×0+2=2, 故选 A. 点评: 本题考查函数解析式的求解及求函数值,属基础题.
2

6.下列四个函数:①y=x+1;②y=x﹣1;③y=x ﹣1;④y= ,其中定义域与值域相同的 是() A.①②③

B.①②④

C.②③

D.②③④

考点: 函数的值域;函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数解析式分别求解定义域,值域即可判断.

解答: 解: :①y=x+1;定义域 R,值域 R, ②y=x﹣1;定义域 R,值域 R, ③y=x ﹣1;定义域 R,值域(﹣1,+∞) ④y= ,定义域, (﹣∞,0)∪(0,+∞) ,值域: (﹣∞,0)∪(0,+∞) , ∴①②④定义域与值域相同 故选:B 点评: 本题考查了函数的性质,利用解析式求解定义域,值域,属于中档题,但是难度不 大.
2

7.函数 y= A.[﹣1,1]

的值域是() B.(﹣1,1] C.[﹣1,1) D.(﹣1,1)

考点: 函数的值域. 分析: 进行变量分离 y= = ﹣1,若令 t=1+x 则可变形为 y=
2

(t≥1)利用

反比例函数图象求出函数的值域. 解答: 解法一:y= ∴0< = ﹣1.∵1+x ≥1,
2

≤2.∴﹣1<y≤1.

解法二:由 y=
2

,得 x =

2



∵x ≥0,∴

≥0,解得﹣1<y≤1.

故选 B 点评: 此类分式函数的值域通常采用逆求法、分离变量法,应注意理解并加以运用. 解法三:令 x=tanθ(﹣ <θ< ) ,则 y= =cos2θ.

∵﹣π<2θ<π, ∴﹣1<cos2θ≤1,即﹣1<y≤1.

8.若函数 f(x)= A.5 B.﹣1

,则 f(﹣3)的值为() C.﹣7 D.2

考点: 分段函数的解析式求法及其图象的作法.

专题: 计算题. 分析: 根据分段函数的意义,经过反复代入函数解析式即可最后求得函数值 f(﹣3) 解答: 解:依题意,f(﹣3)=f(﹣3+2)=f(﹣1)=f(﹣1+2)=f(1)=1+1=2 故选 D 点评: 本题主要考查了分段函数的意义及分段函数函数值的求法, 代入求值时确定好代入 的解析式是解决本题的关键 9.定义在 R 上的偶函数 f(x)满足:对任意的 x1,x2∈[0,+∞) (x1≠x2) ,有 .则() A.f(3)<f(﹣2)<f(1) <f(1)<f(3) D. B.f(1)<f(﹣2)<f(3) f(3)<f(1)<f(﹣2) C. f(﹣2)

考点: 函数奇偶性的性质;函数单调性的性质. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 对任意的 x1,x2∈[0,+∞) (x1≠x2) ,有 .可得出函数在

[0,+∞)上是减函数,再由偶函数的性质得出函数在(﹣∞,0]是增函数,由此可得出此函 数函数值的变化规律,由此规律选出正确选项 解答: 解:任意的 x1,x2∈[0,+∞) (x1≠x2) ,有 .

∴f(x)在(0,+∞]上单调递减, 又 f(x)是偶函数,故 f(x)在(﹣∞,0]单调递增. * 且满足 n∈N 时,f(﹣2)=f(2) ,3>2>1>0, 由此知,此函数具有性质:自变量的绝对值越小,函数值越大 ∴f(3)<f(﹣2)<f(1) , 故选 A. 点评: 本题主要考查了函数奇偶性的应用和函数的单调性的应用.属基础题. 10.己知奇函数 y=f(x)在(﹣∞,0)为减函数,且 f(2)=0,则不等式(x﹣1)f(x﹣1) >0 的解集为() A.{x|﹣3<x<﹣1} B. {x|﹣3<x<1 或 x>2} C. {x|﹣3<x<0 或 x>3} D.{x|﹣1<x<1 或 1<x<3} 考点: 奇函数. 分析: 首先由奇函数的图象关于原点对称及 f(x)在(﹣∞,0)为减函数且 f(2)=0 画 出 f(x)的草图, 然后由图形的直观性解决问题. 解答: 解:由题意画出 f(x)的草图如下, 因为(x﹣1)f(x﹣1)>0,所以(x﹣1)与 f(x﹣1)同号, 由图象可得﹣2<x﹣1<0 或 0<x﹣1<2,

解得﹣1<x<1 或 1<x<3, 故选 D.

点评: 本题考查奇函数的图象特征及数形结合的思想方法. 二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分) 11.设全集 U={a,b,c,d},集合 A={a,b},B={b,c,d},则(?UA)∪(?UB)={a,c, d}. 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: 由题意全集 U={a,b,c,d},集合 A={a,b},B={b,c,d},可先求出两集合 A, B 的补集,再由并的运算求出(?UA)∪(?UB) 解答: 解:集 U={a,b,c,d},集合 A={a,b},B={b,c,d}, 所以?UA={c,d},?UB={a}, 所以(?UA)∪(?UB)={a,c,d} 故答案为{a,c,d} 点评: 本题考查交、并、补集的混合计算,解题的关键是熟练掌握交、并、补集的计算规 则

12.设函数 f(x)=

,若 f(x0)=8,则 x0=4 或



考点: 分段函数的解析式求法及其图象的作法. 专题: 计算题. 分析: 按照 x0≤2 与 x0>2 两种情况,分别得到关于 x0 的方程,解之并结合大前提可得到 方程的解,最后综合即可. 解答: 解:由题意,得 2 ①当 x0≤2 时,有 x0 +2=8,解之得 x0=± , 而 >2 不符合,所以 x0=﹣ ; ②当 x0>2 时,有 2x0=8,解之得 x0=4. 综上所述,得 x0=4 或 故答案为:4 或 . .

点评: 本题给出一个关于分段函数的方程, 求满足方程的自变量值, 着重考查了函数的解 析式和方程的解法,考查了分类讨论的数学思想,属于基础题. 13.若函数 f(x)=(a﹣2)x +(a﹣1)x+3 是偶函数,则 f(x)的增区间是(﹣∞,0](也 可以填(﹣∞,0) ) . 考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 计算题. 2 分析: 由已知中函数 f(x)=(a﹣2)x +(a﹣1)x+3 是偶函数,根据偶函数的性质,我 们可以求出满足条件的 a 的值,进而求出函数的解析式,根据二次函数的性质,即可得到答 案. 解答: 解:∵函数 f(x)=(a﹣2)x +(a﹣1)x+3 是偶函数, ∴a﹣1=0 2 ∴f(x)=﹣x +3,其图象是开口方向朝下,以 y 轴为对称轴的抛物线 故 f(x)的增区间(﹣∞,0] 故答案为: (﹣∞,0](也可以填(﹣∞,0) ) 点评: 本题考查的知识点是奇偶性与单调性的综合,其中根据已知条件结合偶函数的性 质,得到 a 值,是解答本题的关键. 14.已知:集合 P={x|x +x﹣6=0},S={x|ax+1=0}且 S?P,则 a 的取值为 0, ,
2 2 2



考点: 集合的包含关系判断及应用. 专题: 综合题;分类讨论;分类法. 分析: 先化简集合 P={﹣3,2},集合 S 中至多有一个元素,分类对其求解即可,本题要 分成两类,一类为元解,一类为有一解 解答: 解:集合 P={﹣3,2},集合 S 中至多有一个元素, 若集合 S 为空集,即 a=0 时,显然满足条件 S?P,故 a=0. 若集合 S 非空集,即 a≠0,此时 S={ 故 a 的取值为 0, , 故答案为 0, , 点评: 本题的考点是集合的包含关系判断及应用,本题考查利用集合的包含关系求参数, 此类题一般要进行分类讨论求参数的值, 求解本题时不要忘记集合为空集的情况, 此为本题 的易错点. 15.奇函数 f(x)在(0,+∞)上的解析式是 f(x)=x(x﹣1) ,则在(﹣∞,0)上 f(x) 的函数析式是 f(x)=x(x+1) . 考点: 函数解析式的求解及常用方法. 专题: 函数的性质及应用. },若 =﹣3,则 a= ,若 =2,则 a=﹣

分析: 根据已知, 观察所求解析式与已知解析式所在区间关系, 再利用奇偶性求解所求解 析式. 解答: 解:x∈(﹣∞,0)时,﹣x∈(0,+∞) , 因为 f(x)在(0,+∞)上的解析式是 f(x)=x(x﹣1) , 所以 f(﹣x)=﹣x(﹣x﹣1) , 因为函数 f(x)是奇函数,所以 f(﹣x)=﹣f(x)=﹣x(﹣x﹣1) , 所以 f(x)=x(x+1) , 故答案为:f(x)=x(x+1) 点评: 本题考察利用函数性质求函数解析式, 主要利用所求解析式与已知解析式所在区间 是对称的来求解. 16.已知函数 围是(0,3]. 考点: 函数单调性的性质. 专题: 计算题. 分析: 利用复合函数的单调性的判断法则进行分析, 结合函数有意义的条件, 列出不等式, 求解即可得到答案. 解答: 解:函数 ,若 f(x)在区间(0,1]上是减函数, ,若 f(x)在区间(0,1]上是减函数,则实数 a 的取值范

则 t=3﹣ax 在区间(0,1]为减函数,且 t≥0, 分析可得 a>0,且 3﹣a≥0, 解可得 0<a≤3, ∴a 取值范围为(0,3] 故答案为: (0,3] 点评: 本题主要考查导数法研究函数的单调性,要注意端点的取舍情况. 17.函数 f(x)的定义域为 A,若 x1,x2∈A 且 f(x1)=f(x2)时总有 x1=x2,则称 f(x) 为单函数,例如,函数 f(x)=2x+1(x∈R)是单函数.下列命题: ①函数 f(x)=x (x∈R)是单函数; ②函数 是单函数;
2

③若 f(x)为单函数,x1,x2∈A 且 x1≠x2,则 f(x1)≠f(x2) ; ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数. 其中的真命题是②③④. (写出所有真命题的编号) 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 新定义. 分析: 由题意单函数的实质是一对一的映射, 而单调的函数也是一对一的映射, 据此可逐 个判断. 2 解答: 解:①函数 f(x)=x (x∈R)不是单函数,例如 f(1)=f(﹣1) ,显然不会有 1 和﹣1 相等,故为假命题;

②函数

是单函数,因为若

,可推出 x1x2﹣x2=x1x2﹣x1,即

x1=x2,故为真命题; ③若 f(x)为单函数,x1,x2∈A 且 x1≠x2,则 f(x1)≠f(x2)为真, 可用反证法证明:假设 f(x1)=f(x2) ,则按定义应有 x1=x2,与已知中的 x1≠x2 矛盾; ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数为真,因为单函数的实质是一对一的映射, 而单调的函数也是,故为真. 故答案为②③④. 点评: 本题为新定义, 准确理解单函数并把它跟已知函数的性质联系起来是解决问题的关 键,属基础题. 三、解答题 18. (1)求函数 y= 的定义域;

(2)已知 x+x =4,求 x

﹣1

+x

及 x﹣x

﹣1

的值.

考点: 函数的定义域及其求法;有理数指数幂的化简求值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)根据函数成立的条件即可求函数的定义域. (2)根据指数幂的关系进行化简即可. 2 解答: 解: (1)要使函数有意义,则 6﹣x﹣x >0, 2 即 x +x﹣6<0, 解得﹣3<x<2,故函数的定义域为(﹣3,2) . (2)∵x+x =4,∴x>0, 则(x 则x +x +x
﹣1 ﹣1

) =x+x +2=4+2=6, =
2 2

2

﹣1


﹣2

∵(x+x ) =x +x +2=16, 2 ﹣2 则 x +x =14, ﹣1 2 2 ﹣2 ∴(x﹣x ) =x +x ﹣2=14﹣2=12, ﹣1 ∴x﹣x = . 点评: 本题主要考查函数的定义域以及指数幂的运算求解, 要求熟练掌握常见函数成立的 条件. 19.设全集 U=R,集合 A={x|﹣1≤x<3},B={x|2x﹣4≥x﹣2}. (1)求?U(A∩B) ; (2)若集合 C={x|2x+a>0},满足 B∪C=C,求实数 a 的取值范围. 考点: 补集及其运算;集合的包含关系判断及应用;交集及其运算. 专题: 计算题.

分析: (1) 求出集合 B 中不等式的解集确定出集合 B, 求出集合 A 与集合 B 的公共解集 即为两集合的交集,根据全集为 R,求出交集的补集即可; (2)求出集合 C 中的不等式的解集,确定出集合 C,由 B 与 C 的并集为集合 C,得到集合 B 为集合 C 的子集,即集合 B 包含于集合 C,从而列出关于 a 的不等式,求出不等式的解 集即可得到 a 的范围. 解答: 解: (1)由集合 B 中的不等式 2x﹣4≥x﹣2,解得 x≥2, ∴B={x|x≥2},又 A={x|﹣1≤x<3}, ∴A∩B={x|2≤x<3},又全集 U=R, ∴?U(A∩B)={x|x<2 或 x≥3}; (2)由集合 C 中的不等式 2x+a>0,解得 x>﹣ , ∴C={x|x>﹣ }, ∵B∪C=C, ∴B?C, ∴﹣ <2,解得 a>﹣4. 点评: 此题考查了交集及补集的元素, 集合的包含关系判断以及应用, 学生在求两集合补 集时注意全集的范围,由题意得到集合 B 是集合 C 的子集是解第二问的关键. 20.已知 f(x)是在 R 上单调递减的一次函数,且 f[f(x)]=4x﹣1. (1)求 f(x) ; (2)求函数 y=f(x)+x ﹣x 在 x∈[﹣1,2]上的最大与最小值. 考点: 二次函数的性质;一次函数的性质与图象. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)由题意可设 f(x)=ax+b(a<0) ,由 f[f(x)]=4x﹣1 可得 出 a 与 b,即可得到函数解析式; (2)由(1)知,函数 y=x ﹣3x+1,可得函数图象的开口方向与对称轴, 进而得到函数函数在[﹣1, ]上为减函数,在[ ,2]上为增函数.故可函数 y=f(x)+x ﹣x 在 x∈[﹣1,2]上的最值. 解答: 解: (1)由题意可设 f(x)=ax+b, (a<0) , 由于 f[f(x)]=4x﹣1,则 a x+ab+b=4x﹣1, 故 ,解得 a=﹣2,b=1.
2 2 2 2

,解

故 f(x)=﹣2x+1. 2 2 2 (2)由(1)知,函数 y=f(x)+x ﹣x=﹣2x+1+x ﹣x=x ﹣3x+1, 故函数 y=x ﹣3x+1 图象的开口向上,对称轴为 x= ,
2

则函数函数 y=f(x)+x ﹣x 在[﹣1, ]上为减函数,在[ ,2]上为增函数. 又由 = ,f(﹣1)=6,f(2)=﹣1,
2

2

则函数 y=f(x)+x ﹣x 在 x∈[﹣1,2]上的最大值为 6,最小值为



点评: 本题考查了待定系数法来函数的解析式,以及二次函数的最值问题,属于基础题. 21.已知函数 f(x)=x +4ax+2a+6 (1)若函数 f(x)的值域为[0,+∞) ,求 a 的值; (2)若函数 f(x)的函数值均为非负数,求 g(a)=2﹣a|a﹣1|的值域. 考点: 函数的值域;二次函数的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)由于函数的值域为[0,+∞) ,则判别式△ =0,解方程即可得到; 2 (2)由于函数 f(x)的函数值均为非负数,则△ =16a ﹣4(2a+6)≤0,解得 a 的范围,化 简 f(a) ,运用函数的单调性,即可得到. 解答: 解: (1)由于函数的值域为[0,+∞) ,则判别式△ =16a ﹣4(2a+6)=0, 解得 a=﹣1 或 a= ; (2)由于函数 f(x)的函数值均为非负数, 2 则△ =16a ﹣4(2a+6)≤0, 解得﹣1≤a≤ , 则﹣2≤a﹣1≤ ,
2 2

∴f(a)=2﹣a|a﹣1|=



①当﹣1≤a≤1 时,f(a)= ∴ ≤f(a)≤4, ②1<a≤ 时,f(a)=﹣ ∴ ≤f(a)<2, 综上函数 f(a)的值域为[ ,4].

+ ,f( )≤f(a)≤f(﹣1) ,

+ ,f( )≤f(a)<f(1) ,

点评: 本题考查函数的性质和运用, 考查函数的值域的求法, 考查运用函数的单调性求值 域,属于中档题和易错题.

22. ( 17 分)已知函数 f(x)=

为奇函数.

(1)求 b 的值; (2)证明:函数 f(x)在区间(1,+∞)上是减函数; 2 2 (3)解关于 x 的不等式 f(1+2x )+f(﹣x +2x﹣4)>0. 考点: 奇偶性与单调性的综合;函数单调性的判断与证明;函数单调性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)根据 f(0)=0,求得 b 的值. (2)由(1)可得 f(x)= +∞)上是减函数. (3)由题意可得 f(1+2x )>f(x ﹣2x+4) ,再根据函数 f(x)在区间(1,+∞)上是减 2 2 函数,可得 1+2x <x ﹣2x+4,且 x>1,由此求得 x 的范围. 解答: 解: (1)∵函数 f(x)= (2)由(1)可得 f(x)= 为定义在 R 上的奇函数,∴f(0)=b=0.
2 2

,再利用函数的单调性的定义证明函数 f(x)在区间(1,

,下面证明函数 f(x)在区间(1,+∞)上是减函数.

证明:设 x2>x1>0,则有 f(x1)﹣f(x2)=



= 再根据 x2>x1>0,可得 1+

= >0,1+

. >0,x1﹣x2<0,1﹣x1?x2<0,



>0,

即 f(x1)>f(x2) ,∴函数 f(x)在区间(1,+∞)上是减函数. 2 2 2 2 (3)由不等式 f(1+2x )+f(﹣x +2x﹣4)>0,可得 f(1+2x )>﹣f(﹣x +2x﹣4)=f 2 (x ﹣2x+4) , 2 2 再根据函数 f(x)在区间(1,+∞)上是减函数,可得 1+2x <x ﹣2x+4,且 x>1 求得 1 <x<3, 故不等式的解集为(1,3) . 点评: 本题主要考查函数的奇偶性和函数的单调性的应用, 体现了转化的数学思想, 属于 基础题.


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