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高考定积分练习题


高考定积分应用常见题型大全
一.选择题(共 21 小题) 1. (2012?福建)如图所示,在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一点 P,则点 P 恰好取自阴影部分的概率为( )

A.

B.

C.

D.

2. (2010?山东)由曲线 y=x ,y=x 围成

的封闭图形面积为( A. B. C.

2

3

) D.

3.设 f(x)= A. B.

,函数图象与 x 轴围成封闭区域的面积为( C.

) D.

4.定积分 A.

的值为( B.3+ln2

) C.3﹣ln2 D.6+ln2

5.如图所示,曲线 y=x 和曲线 y=

2

围成一个叶形图(阴影部分) ,其面积是(



A.1

B.

C.

D.

6. A.π

=( B.2

) C.﹣π D.4

7.已知函数 f(x)的定义域为[﹣2,4],且 f(4)=f(﹣2)=1,f′(x)为 f(x)的导函数,函数 y=f′(x)的 图象如图所示,则平面区域 f(2a+b)<1(a≥0,b≥0)所围成的面积是( )

A.2
1 x 1 x

B.4

C.5

D.8

8.∫0 e dx 与∫0 e A. C.
1 x

dx 相比有关系式( dx
1 x

) B. ∫0 e dx>∫0 e
1 x 1 x

∫0 e dx<∫0 e
1 x 2

1 x

dx dx

(∫0 e dx) =∫0 e

dx

D. 1 x 1 x ∫0 e dx=∫0 e

9.若 a=

,b=

,则 a 与 b 的关系是(



A.a<b

B.a>b 的值是( B.

C.a=b ) C.

D.a+b=0

10. A.

D.

11.若 f(x)= A.
2

(e 为自然对数的底数) ,则 B. C.
2

=(

) D. 2 ﹣ +e ﹣e

+e ﹣e

+e

﹣e +e

12.已知 f(x)=2﹣|x|,则 A.3 B.4
2



) C.3.5 ) C.7.5 D.6.5 D.4.5

13.设 f(x)=3﹣|x﹣1|,则∫﹣2 f(x)dx=( A.7 B.8 )

14.积分 A.

=( B.

C.πa2

D.2πa2

15.已知函数 A.1/2 B.1

的图象与 x 轴所围成图形的面积为( C.2

) D.3/2 )

16.由函数 y=cosx(0≤x≤2π)的图象与直线

及 y=1 所围成的一个封闭图形的面积是(

A.4

B.

C.

D.2π

17.曲线 y=x 在点(1,1)处的切线与 x 轴及直线 x=1 所围成的三角形的面积为( ) A. B. C. D.

3

18.图中,阴影部分的面积是(



A.16

B.18 )

C.20

D.22

19.如图中阴影部分的面积是(

A.

B.

C.

D.

20.曲线 A. B.

与坐标轴围成的面积是( C.

) D.

21.如图,点 P(3a,a)是反比例函 y= (k>0)与⊙O 的一个交点,图中阴影部分的面积为 10π,则反比例函数 的解析式为( )

A.

y=

B.

y=

C.

y=

D. y=

高考定积分应用常见题型大全(含答案)
参考答案与试题解析
一.选择题(共 21 小题) 1. (2012?福建)如图所示,在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一点 P,则点 P 恰好取自阴影部分的概率为(



A.

B.

C.

D.

考点: 定积分在求面积中的应用;几何概型. 专题: 计算题. 分析: 根据题意,易得正方形 OABC 的面积,观察图形可得,阴影部分由函数 y=x 与 y= 计算可得阴影部分的面积,进而由几何概型公式计算可得答案. 解答: 解:根据题意,正方形 OABC 的面积为 1×1=1,
501974

围成,由定积分公式,

而阴影部分由函数 y=x 与 y=

围成,其面积为∫0 (

1

﹣x)dx=(



)|0 = ,

1

则正方形 OABC 中任取一点 P,点 P 取自阴影部分的概率为 = ; 故选 C. 点评: 本题考查几何概型的计算,涉及定积分在求面积中的应用,关键是正确计算出阴影部分的面积. 2. (2010?山东)由曲线 y=x ,y=x 围成的封闭图形面积为( A. B. C.
2 3

) D.

考点: 专题: 分析: 解答:

定积分在求面积中的应用. 计算题.
2 3

501974

要求曲线 y=x ,y=x 围成的封闭图形面积,根据定积分的几何意义,只要求∫0 (x ﹣x )dx 即可. 解:由题意得,两曲线的交点坐标是(1,1)(0,0)故积分区间是[0,1] , 所求封闭图形的面积为∫0 (x ﹣x )dx═
1 2 3

1

2

3



故选 A. 点评: 本题考查定积分的基础知识,由定积分求曲线围成封闭图形的面积.

3.设 f(x)=

,函数图象与 x 轴围成封闭区域的面积为(



A.

B.

C.

D.

考点: 分段函数的解析式求法及其图象的作法;函数的图象;定积分在求面积中的应用. 专题: 计算题;数形结合. 分析: 利用坐标系中作出函数图象的形状,通过定积分的公式,分别对两部分用定积分求出其面积,再把它们相 加,即可求出围成的封闭区域曲边图形的面积. 解答: 解:根据题意作出函数的图象:
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根据定积分,得所围成的封闭区域的面积 S= 故选 C 点评: 本题考查分段函数的图象和定积分的运用,考查积分与曲边图形面积的关系,属于中档题.解题关键是找 出被积函数的原函数,注意运算的准确性.

4.定积分 A.

的值为( B.3+ln2

) C.3﹣ln2 D.6+ln2

考点: 定积分;微积分基本定理;定积分的简单应用. 专题: 计算题. 分析: 由题设条件,求出被积函数的原函数,然后根据微积分基本定理求出定积分的值即可. 解答: 2 2 2 2 解: =(x +lnx)|1 =(2 +ln2)﹣(1 +ln1)=3+ln2
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故选 B. 点评: 本题考查求定积分,求解的关键是掌握住定积分的定义及相关函数的导数的求法,属于基础题. 5.如图所示,曲线 y=x 和曲线 y=
2

围成一个叶形图(阴影部分) ,其面积是(



A.1

B.

C.

D.

考点: 定积分;定积分的简单应用. 专题: 计算题. 分析: 联立由曲线 y=x2 和曲线 y= 两个解析式求出交点坐标,然后在 x∈(0,1)区间上利用定积分的方法求出 围成的面积即可. 解答: 解:联立得 ,
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解得





设曲线与直线围成的面积为 S, 则 S=∫0 (
1

﹣x )dx=

2

故选:C 点评: 考查学生求函数交点求法的能力,利用定积分求图形面积的能力.

6. A.π

=( B.2

) C.﹣π D.4

考点: 微积分基本定理;定积分的简单应用. 专题: 计算题. 分析: 2 b b 由于 F(x)= x +sinx 为 f(x)=x+cosx 的一个原函数即 F′(x)=f(x) ,根据∫a f(x)dx=F(x)|a 公式
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即可求出值. 解答: 解:∵( x ++sinx)′=x+cosx,
2



(x+cosx)dx

=(

x +sinx)

2

=2. 故答案为:2. 点评: 此题考查学生掌握函数的求导法则,会求函数的定积分运算,是一道基础题. 7.已知函数 f(x)的定义域为[﹣2,4],且 f(4)=f(﹣2)=1,f′(x)为 f(x)的导函数,函数 y=f′(x)的 图象如图所示,则平面区域 f(2a+b)<1(a≥0,b≥0)所围成的面积是( )

A.2

B.4

C.5

D.8

考点: 定积分的简单应用. 分析: 根据导函数的图象,分析原函数的性质或作出原函数的草图,找出 a、b 满足的条件,画出平面区域,即可 求解. 解答: 解:由图可知[﹣2,0)上 f′(x)<0, ∴函数 f(x)在[﹣2,0)上单调递减, (0,4]上 f′(x)>0, ∴函数 f(x)在(0,4]上单调递增, 故在[﹣2,4]上,f(x)的最大值为 f(4)=f(﹣2)=1,
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∴f(2a+b)<1(a≥0,b≥0)?

表示的平面区域如图所示: 故选 B.

点评: 本题考查了导数与函数单调性的关系,以及线性规划问题的综合应用,属于高档题.解决时要注意数形结 合思想应用.

8.∫0 e dx 与∫0 e A. C.
1 x

1 x

1 x

dx 相比有关系式( dx
1 x

) B. ∫0 e dx>∫0 e
1 x 1 x

∫0 e dx<∫0 e
1 x 2

1 x

dx dx

(∫0 e dx) =∫0 e

dx

D. 1 x 1 x ∫0 e dx=∫0 e

考点: 定积分的简单应用;定积分. 专题: 计算题. 分析: x x 根据积分所表示的几何意义是以直线 x=0,x=1 及函数 y=e 或 y=e
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在图象第一象限内圆弧与坐标轴围

成的面积,只需画出函数图象观察面积大小即可. 解答: 解:∫01exdx 表示的几何意义是以直线 x=0,x=1 及函数 y=ex 在图象第一象限内圆弧与坐标轴围成的面积, ∫0 e
1 x

dx 表示的几何意义是以直线 x=0, 及函数 y=e x=1

x

在图象第一象限内圆弧与坐标轴围成的面积,

如图 ∵当 0<x<1 时,e x>e 故选 B.
x x

,故有:∫0 e dx>∫0 e

1 x

1 x

dx

点评: 本题主要考查了定积分,定积分运算是求导的逆运算,解题的关键是求原函数,也可利用几何意义进行求 解,属于基础题.

9.若 a=

,b=

,则 a 与 b 的关系是(



A.a<b

B.a>b

C.a=b

D.a+b=0

考点: 定积分的简单应用. 专题: 计算题. 分析: a= =(﹣cosx)
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=(﹣cos2)﹣(﹣cos

)=﹣cos2≈sin24.6°,b=

=sinx

=sin1

﹣sin0=sin1≈sin57.3°. 解答: 解:∵a= =(﹣cosx) =(﹣cos2)﹣(﹣cos )=﹣cos2≈﹣cos114.6°=sin24.6°,

b=

=sinx

=sin1﹣sin0=sin1≈sin57.3°,

∴b>a. 故选 A. 点评: 本题考查定积分的应用,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答.

10. A. B.

的值是(

) C. D.

考点: 定积分的简单应用. 专题: 计算题. 2 分析: 根据积分所表示的几何意义是以(1,0)为圆心,1 为半径第一象限内圆弧与抛物线 y=x 在第一象限的部 分坐标轴围成的面积,只需求出圆的面积乘以四分之一与抛物线在第一象限的部分与 x 轴和直线 x=1 围成 的图形的面积即可. 解答: 解;积分所表示的几何意义是以(1,0)为圆心,1 为半径第一象限内圆弧与抛物线 y=x2 在第一象限的部 分坐标轴围成的面积, 故只需求出圆的面积乘以四分之一与抛物线在第一象限的部分与 x 轴和直线 x=1 围成的图形的面积之差.
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=



=



=

故答案选 A 点评: 本题主要考查了定积分,定积分运算是求导的逆运算,解题的关键是求原函数,也可利用几何意义进行求 解,属于基础题

11.若 f(x)= A.
2

(e 为自然对数的底数) ,则 B. C.
2

=(

) D. 2 ﹣ +e ﹣e

+e ﹣e

+e

﹣e +e

考点: 定积分的简单应用. 专题: 计算题. 分析: 由于函数为分段函数,故将积分区间分为两部分,进而分别求出相应的积分,即可得到结论. 解答: 解: = = =
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故选 C. 点评: 本题重点考查定积分,解题的关键是将积分区间分为两部分,再分别求出相应的积分. ( B.4 ) C.3.5 D.4.5

12.已知 f(x)=2﹣|x|,则 A.3 考点: 定积分的简单应用. 专题: 计算题. 分析: 由题意, 解答: 解:由题意,

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,由此可求定积分的值.

=

+

=2﹣ +4

﹣2=3.5 故选 C. 点评: 本题考查定积分的计算,解题的关键是利用定积分的性质化为两个定积分的和. 13.设 f(x)=3﹣|x﹣1|,则∫﹣2 f(x)dx=( A.7 B.8
2

) C.7.5 D.6.5

考点: 定积分的简单应用. 专题: 计算题. 分析: ∫﹣22f(x)dx=∫﹣22(3﹣|x﹣1|)dx,将∫﹣22(3﹣|x﹣1|)dx 转化成∫﹣21(2+x)dx+∫12(4﹣x)dx,然后根据 定积分的定义先求出被积函数的原函数,然后求解即可. 解答: 2 2 1 2 2 1 2 2 解:∫﹣2 f(x)dx=∫﹣2 (3﹣|x﹣1|)dx=∫﹣2 (2+x)dx+∫1 (4﹣x)dx=(2x+ x )|﹣2 +( 4x﹣ x )|1 =7
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故选 A. 点评: 本题主要考查了定积分,定积分运算是求导的逆运算,同时考查了转化与划归的思想,属于基础题. ) C.πa2 D.2πa2

14.积分 A.

=( B.

考点: 定积分的简单应用;定积分. 专题: 计算题. 分析: 本题利用定积分的几何意义计算定积分,即求被积函数 y=
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与 x 轴所围成的图形的面积,围成的

图象是半个圆. 解答: 解:根据定积分的几何意义,则 故 = = . 表示圆心在原点,半径为 3 的圆的上半圆的面积,

故选 B. 点评: 本小题主要考查定积分、定积分的几何意义、圆的面积等基础知识,考查考查数形结合思想.属于基础题.

15.已知函数 A.1/2 B.1

的图象与 x 轴所围成图形的面积为( C.2

) D.3/2

考点: 定积分在求面积中的应用. 专题: 计算题. 分析: 根据几何图形用定积分表示出所围成的封闭图形的面积,求出函数 f(x)的积分,求出所求即可. 解答: 解:由题意图象与 x 轴所围成图形的面积为
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=(﹣

)|0 +sinx

1

= +1 = 故选 D.

点评: 本题考查定积分在求面积中的应用,求解的关键是正确利用定积分的运算规则求出定积分的值,本题易因 为对两个知识点不熟悉公式用错而导致错误,牢固掌握好基础知识很重要.

16.由函数 y=cosx(0≤x≤2π)的图象与直线 A.4 B.

及 y=1 所围成的一个封闭图形的面积是( C. D.2π



考点: 定积分在求面积中的应用. 专题: 计算题. 分析: 由题意可知函数 y=cosx(0≤x≤2π)的图象与直线
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及 y=1 所围成的一个封闭图形可利用定积分进行计

算,只要求∫0 解答:

(1﹣cosx)dx 即可.然后根据积分的运算公式进行求解即可. 及 y=1 所围成的一个封闭图形的面积,

解:由函数 y=cosx(0≤x≤2π)的图象与直线 就是:∫0 = . (1﹣cosx)dx=(x﹣sinx)|0

故选 B.

点评: 本题考查余弦函数的图象,定积分,考查计算能力,解题的关键是两块封闭图形的面积之和就是上部直接 积分减去下部积分. 17.曲线 y=x 在点(1,1)处的切线与 x 轴及直线 x=1 所围成的三角形的面积为( ) A. B. C. D.
3

考点: 定积分在求面积中的应用. 专题: 计算题. 分析: 欲求所围成的三角形的面积,先求出在点(1,1)处的切线方程,只须求出其斜率的值即可,故要利用导 数求出在 x=1 处的导函数值,再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率,从而问题解决. 解答: 解:∵y=x3, 2 ∴y'=3x ,当 x=1 时,y'=3 得切线的斜率为 3,所以 k=3; 所以曲线在点(1,1)处的切线方程为: y﹣1=3×(x﹣1) ,即 3x﹣y﹣2=0.
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令 y=o 得:x= , ∴切线与 x 轴、直线 x=1 所围成的三角形的面积为: S= ×(1﹣ )×1= 故选 B. 点评: 本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识,属于基础 题. 18.图中,阴影部分的面积是( )

A.16

B.18

C.20

D.22

考点: 定积分在求面积中的应用. 专题: 计算题. 分析: 从图象中知抛物线与直线的交点坐标分别为(2,﹣2)(8,4) , .过(2,﹣2)作 x 轴的垂线把阴影部分分
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为 S1,S2 两部分,利用定积分的方法分别求出它们的面积并相加即可得到阴影部分的面积. 解答: 解:从图象中知抛物线与直线的交点坐标分别为(2,﹣2)(8,4) , .过(2,﹣2)作 x 轴的垂线把阴影部 分分为 S1,S2 两部分,分别求出它们的面积 A1,A2: A1=∫0 [ A2=∫2 [
8 2

]dx=2 ]dx= =18

dx=



所以阴影部分的面积 A=A1+A2=

故选 B. 点评: 本题考查定积分在求面积中的应用,解题是要注意分割,关键是要注意在 x 轴下方的部分积分为负(积分 的几何意义强调代数和) ,属于基础题.考查学生利用定积分求阴影面积的方法的能力. 19.如图中阴影部分的面积是( )

A.

B.

C.

D.

考点: 专题: 分析: 解答:

定积分在求面积中的应用. 计算题. 求阴影部分的面积,先要对阴影部分进行分割到三个象限内,分别对三部分进行积分求和即可.
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解:直线 y=2x 与抛物线 y=3﹣x 解得交点为(﹣3,﹣6)和(1,2) 2 抛物线 y=3﹣x 与 x 轴负半轴交点(﹣ ,0) 设阴影部分面积为 s,则

2

= = 所以阴影部分的面积为 ,

故选 C. 点评: 本题考查定积分在求面积中的应用,解题是要注意分割,关键是要注意在 x 轴下方的部分积分为负(积分 的几何意义强调代数和) ,属于基础题.

20.曲线 A. B.

与坐标轴围成的面积是( C.

) D.

考点: 定积分在求面积中的应用. 专题: 计算题. 分析: 先根据题意画出区域,然后依据图形得到积分下限为 0,积分上限为
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,从而利用定积分表示出曲边梯形

的面积,最后用定积分的定义求出所求即可. 解答: 解:先根据题意画出图形, 得到积分上限为 曲线 S=∫0 = ∴围成的面积是 故选 D. (﹣ )dx+∫ ,积分下限为 0 与坐标轴围成的面积是: dx

点评: 本题主要考查了学生会求出原函数的能力,以及考查了数形结合的思想,同时会利用定积分求图形面积的 能力,解题的关键就是求原函数.

21.如图,点 P(3a,a)是反比例函 y= (k>0)与⊙O 的一个交点,图中阴影部分的面积为 10π,则反比例函数 的解析式为( )

A.

y=

B.

y=

C.

y=

D. y=

考点: 定积分在求面积中的应用. 专题: 计算题;数形结合. 分析: 根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得,阴影部分的面积等于圆的面积的 ,即可求得圆的半径,再
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根据 P 在反比例函数的图象上,以及在圆上,即可求得 k 的值. 解答: 解:设圆的半径是 r,根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得: πr =10π 解得:r=2 .
2

∵点 P(3a,a)是反比例函 y= (k>0)与⊙O 的一个交点. ∴3a =k 且 ∴a =
2 2

=r ) =4.
2

×(2

∴k=3×4=12, 则反比例函数的解析式是:y= .

故选 C. 点评: 本题主要考查反比例函数图象的对称性的知识点,解决本题的关键是利用反比例函数的对称性得到阴影部 分与圆之间的关系.


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