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第一节 导数的概念及运算


第三单元
第一节
一、填空题

导数及其应用
导数的概念及运算

1. 一 质点 的运 动方 程为 s = 5 - 3t2 , 则在 一段时 间 [1,1 + Δt] 内相 应的平 均 速度 为 ________. 2. (2011· 江苏南通高三十校联考)已知函数 y=f(x)的图象在点 M(1, f(1))

处的切线方程是 y =x+2,则 f(1)+f′(1)=________. ex ex 3. 函数 f(x)= + 在 x=2 处的导数为________. 1- x 1+ x 4. (2011· 启东中学高三期中)已知函数 f(x)=-x3+ax-4(a∈R),若函数 y=f(x)的图象在 π 点 P(1,f(1))处的切线的倾斜角为 ,则 a=________. 4 5. (2011· 江苏苏锡常镇四市调查)在平面直角坐标系 xOy 中,点 P(0,1)在曲线 C:y=x3- x2-ax+b(a, b 为实数)上, 已知曲线 C 在点 P 处的切线方程为 y=2x+1, 则 a+b=________. 6. 若函数 y=f(x)在 R 上可导且满足的不等式 xf′(x)>-f(x)恒成立,且常数 a,b 满足 a >b,则下列不等式不一定成立的是________.(填序号) ①af(b)>bf(a);②af(a)>bf(b);③af(b)<bf(a). 4 7. (2010· 辽宁改编)已知点 P 在曲线 y= x 上,α 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角,则 e +1 α 的取值范围是________. 8. 点 P 是曲线 y=x2-ln x 上任意一点,则点 P 到直线 y=x-2 的距离的最小值是 ________. + 9. 设曲线 y=xn 1(x∈N*)在点(1,1)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn,则 x1· x2· …· xn 的值为________. 二、解答题 10. 已知函数 f(x)=2x3+ax 与 g(x)=bx2+c 的图象都过点 P(2,0),且在点 P 处有相同的 切线.求实数 a,b,c 的值.

1? c 11. 设函数 f(x)满足 af(x)+bf? ?x?=x,a,b,c 为常数,|a|≠|b|,求 f′(x).

2a2 12. (2011· 江苏南通高三十校联考)已知函数 f(x)=ln x,g(x)= 2 (a>0),设 F(x)=f(x)+ x g(x). (1)求 F(x)的单调区间; (2)若以 H(x)=f(x)+ 2g?x?图象上任意一点 P(x0,y0)为切点的切线的斜率 k≤1 恒成立, 求实数 a 的最小值.

参考答案
- - Δs s?1+Δt?-s?1? 解析:设质点的平均速度为 v ,则 v = = Δt Δt 5-3?1+Δt?2-?5-3×12? = Δt -6Δt-3Δt2 = =-3Δt-6. Δt 2. 4 解析:由题意可知 f′(1)=1,f(1)=1+2=3,故 f(1)+f′(1)=1+3=4. 2ex 3. 0 解析:∵f(x)= , 1-x x 2e ∴f′(x)=?1-x?′= ? ? ?2ex?′?1-x?-2ex?1-x?′ 2?2-x?ex = , ?1-x?2 ?1-x?2 ∴f′(2)=0. π 4. 4 解析:f′(x)=-3x2+a,y=f(x)的图象在点 P 处的切线的倾斜角为 ,即 f′(1) 4 π =tan ,∴-3+a=1,解得 a=4. 4 5. -1 解析:因为点 P 在曲线上,故 b=1,则 y=x3-x2-ax+1, 所以 y′=3x2-2x-a,则 y′|x=0=-a=2, 解得 a=-2,所以 a+b=-1. 6. ①③ 解析:令 g(x)=xf(x), ∵g′(x)=xf′(x)+f(x)>0, ∴g(x)在 R 上为增函数. ∴g(a)>g(b),即 af(a)>bf(b). 1. -3Δt-6

3π ? -4ex -4 3π ,π 解析:因为 y′= x 7. ? = ≥-1,则 tan α≥-1,所以 ≤α<π. ?4 ? 1 4 ?e +1?2 x e +2+ x e 解析:作直线 y=x-2 的平行线,使其与曲线 y=x2-ln x 相切,则切点到直线 1 y=x-2 的距离最小.由 y′=2x- =1,得 x=1, x 1 或 x=- (舍去),∴切点为(1,1), 2 |1-1-2| 2 它到直线 x-y-2=0 的距离 d= 2 = 2. 2= 2 1 +?-1? 1 9. 解析:y′=(n+1)xn,则 k=y′|x=1=n+1, n+1 故在点(1,1)的切线方程为 y-1=(n+1)(x-1), n n 当 y=0 时,x= ,即 xn= , n+1 n+1 1 2 n 1 所以 x1· x2· …· xn= × ×…× = . 2 3 n+1 n+1 10. ∵f(x)过点(2,0),∴f(2)=2×23+a×2=0,解得 a=-8,同理,g(2)=4b+c=0. ∵f′(x)=6x2-8,∴在点 P 处切线斜率 k=f′(2)=6×22-8=16. 又 g′(x)=2bx,∴2b×2=16,∴b=4, ∴c=-4b=-16. 综上,a=-8,b=4,c=-16. 1? c 1 11. 将 af(x)+bf? ?x?=x中的 x 换成x, 1? 可得 af? ?x?+bf(x)=cx, 1? c b ∴f? ?x?=ax-af(x). bc b2 c c ?a -bx?, 将其代入已知条件中得 af(x)+ x- f(x)= ,∴f(x)= 2 ? a a x a -b2?x c ?a ∴f′(x)=- 2 · 2+b? ?. a -b2 ?x 2 2 2a2 1 4a2 x -4a 12. (1)F(x)=f(x)+g(x)=ln x+ 2 (x>0),F′(x)= - 3 = (x>0). 3 x x x x ∵a>0,由 F′(x)>0?x∈(2a,+∞),由 F′(x)<0?x∈(0,2a). ∴F(x)的单调递减区间为(0,2a),单调递增区间为(2a,+∞), 2a (2)H(x)=f(x)+ 2g?x?=ln x+ , x 1 2a H′(x)= - 2 ≤1(x>0),则 2a≥-x2+x, x x 1 1 1 2 又-x +x≤ ,故 2a≥ ,a≥ , 4 4 8 1 所以实数 a 的最小值为 . 8 8. 2


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