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函数典型题型大全完美


高中数学讲义
函数专题 函数三要素:
1、若 a,b 不相等且均不为 0,则不可能与点(a,b)在同一函数 f(x)的图像上的点是_____________。 A、 (—a,-b) B、 (a,-b) C、 (-a,b) D、 (b,a) 2、下列各组函数中,表示同一函数的是( ). x A. y ? 1, y ? B. y ? x ? 1 x ? 1, y

? x2 ? 1 C. y ? x, y ? 3 x3 D. y ?| x |, y ? ( x )2 x 函数定义域: 1、求下列函数的定义域: ( 1) 、y ? (Ⅱ)证明: f ( x2 )>

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1-2 ln 2 。 4

11、设函数 f ( x) ? ln( x ? a) ? x2 (I)若当 x ? ?1 时, f ( x) 取得极值,求 a 的值,并讨论 f ( x) 的单调性; (II)若 f ( x) 存在极值,求 a 的取值范围,并证明所有极值之和大于 ln

( x ? 1) 0 x ?x

(2) y ?

1 ; ( 3) y ? x ? 2 ?1

x ?1 ? 6 ? x ? x2 x ?1

e . 2

函数值域:
1、求函数 的值域。 ) D. -2,

x2 ? 2 x f ( x 2 ? 2 x ? 3) ? lg 2 x ? 2 x ? 9 ,求函数 f ( x) 的定义域。 2、已知函数
3、函数 y ?

2、函数 f ( x) ? cos 2 x ? 2sin x 的最小值和最大值分别为( A. -3,1 B. -2,2 C. -3,

ln( x ? 1) ? x 2 ? 3x ? 4

的定义域为

3 2

3 2

3、求函数 y ? ( ) ? ( ) ? 1 在 x ?? ?3, 2? 上的值域。
x x

4、若函数 f ( x ? 1) 的定义域是[-2,3],则 y ? f (2 x ? 1) 的定义域是____________。 5、已知函数 f ( x ) 的定义域为[-2,2],(1)、求函数 f (2 x) 的定义域; (2) 、求函数 f ( x ? 1) 的定义域。 6、已知函数 y ? 7、已知函数 y ?

1 4

1 2

1 4

4、若函数
2





)在区间

上的最大值是 14,那么

等于

mx2 ? 6mx ? m ? 8 的定义域为 R,则 m 的取值范围是___________________。
ax ? 1
3

5、求 y ? 2 sin x ? 3 cos x ?1 的值域。 6、若函数 f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的图像关于直线 x=-2 对称,则 f(x)的最大值是__ 7、设函数 g ( x) ? x ? 2( x ? R) ,
2

ax2 ? 4ax ? 3
3

的定义域为 R,求实数 a 的取值范围。

( x ) ? x ? 4, x? g ( x ), f ( x) ? {g g ( x ) ? x , x? g ( x ). 则 f ( x) 的值域是

8、若曲线 f ( x) ? ax ? ln x 存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 取值范围是_____________.

8、求函数

的值域。

a 9、已知函数 f ? x ? ? x ? ? b? x ? 0 ? ,其中 a, b ? R . x
(Ⅰ)若曲线 y ? f ?x ? 在点 P?2, f ?2?? 处的切线方程为 y ? 3x ? 1 ,求函数 f ?x ? 的解析式; (Ⅱ)讨论函数 f ?x ? 的单调性; (Ⅲ)若对于任意的 a ? ? ,2? ,不等式 f ?x? ? 10 在 ? ,1? 上恒成立,求 b 的取值范围 4 2 10. 设函数 f ( x)=x +a ln ?1 +x ? 有两个极值点 x1,x2,且x1<x2 。
2

9、求函数 y ? 2 x ? 3 ? 13 ? 4 x 的值域。 10、已知 f ( x ) 的值域是[ , ] ,试求 y ? g ( x) ? f ( x) ? 1 ? 2 f ( x) 的值域。 (A) ? ?

3 4 8 9

?1 ?

? ?

?1 ? ? ?

9 ? 9 ? ? 9 ? , 0 ? ? (1, ??) (B) [0, ??) (C) [? , ??) (D) ? ? , 0 ? ? (2, ??) 4 ? 4 ? ? 4 ?

11、 y ? 2x ?1 ? 13? 4x 12. 已知函数 f ( x) ?

1 2 x ? ax ? (a ? 1) ln x, a ? 1 , 2

(Ⅰ)求 a 的取值范围,并讨论 f ( x) 的单调性;

(1)讨论函数 f ( x ) 的单调性;

1

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(2)证明:若 a ? 5 ,则对于任意 x1 , x2 ? (0, ??), x1 ? x2 , 有 13、求函数 f ?x? ? 1 ? x ? 1 ? x 的值域。

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f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ?1 。 x1 ? x2

f ( x) ?
26、

2(1 ? 2 x) 1? 4x2

( x ? 0)
的值域

S?
m 的值为( M
(D) 27

24(k 2 ? 1) 2 的值域 (3k 2 ? 2)(2k 2 ? 3)
2x ? 1 ( x ? 3) 的值域。 x ?1

14、已知函数 y= 1 ? x ? x ? 3 的最大值为 M,最小值为 m,则



28、求函数 y ?

(A)

1 4

(B)

1 2

(C)

2 2

3 2

29、 (本小题满分 12 分)已知 m∈R,直线 l: mx ? (m2 ? 1) y ? 4m 和圆 C: x2 ? y 2 ? 8x ? 4 y ? 16 ? 0 。 (1)求直线 l 斜率的取值范围; (2)直线 l 能否将圆 C 分割成弧长的比值为 1 的两段圆弧?为什么?
2

15.某几何体的一条棱长为 7 ,在该几何体的正视图中,这条棱的投影是长为 6 的线段,在该几何体 的侧视图与俯视图中,这条棱的投影分别是长为 a 和 b 的线段,则 a+b 的最大值为( A. 2 2 B. 2 3 C. 4 D. 2 5 )

16、求函数 f ?x? ? 1 ? x ? 1 ? 2 x 的最大值。 17 求函数 f ( x) ? 18
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x 30、已知椭圆 G: +y2=1,过点(m,0)作圆 x2+y2=1 的切线 l 交椭圆 G 于 A,B 两点. 4 (1)求椭圆 G 的焦点坐标和离心率; (2)将|AB|表示为 m 的函数,并求|AB|的最大值. 31、设椭圆中心在坐标原点, A(2,, 0) B(0, 1) 是它的两个顶点,直线 y ? kx(k ? 0) 与 AB 相交于点 D,

2

x2 ? 2 x ? 2 ? x 2 ? 4 x ? 8 的最小值

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与椭圆相交于 E、F 两点. (Ⅰ)若 ED ? 6DF ,求 k 的值; (Ⅱ)求四边形 AEBF 面积的最大值. 32、设正实数 x,y,z 满足 x2-3xy+4y2-z=0.则当

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设 x ? y ? 1 ? 0, 求 d ? 的最小值
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x 2 ? y 2 ? 6 x ? 10 y ? 34 ? x 2 ? y 2 ? 4 x ? 30 y ? 229

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2x ? 1 的值域。 x ?1 3x ? 4 20、求函数 y= 值域。 5x ? 6
19、求函数 y ? 21、求函数 y ?

2 1 2 xy 取得最大值时, ? ? 的最大值 x y z z
(C)



(A)0

(B)1

9 4

(D)3

2x 2 ? 2x ? 3 的值域。 x2 ? x ?1

33、在平面直角坐标系 xOy 中,设定点 A(a, a ) , P 是函数 y ?

1 ( x ? 0 )图象上一动点, x

x2 ?1 22、求函数 y ? 2 的值域。 x ? x ?1

若点 P,A 之间的最短距离为 2 2 ,则满足条件的实数 a 的所有值为 34、设 a + b = 2, b>0, 则当 a =
2

时,

1 |a| 取得最小值. ? 2| a| b


1 x2 ? 2x ? 2 的值域。 23、 若0 ? x ? , 求函数f ( x) ? 4 x
24、求函数 y ? x ? 25、 y ?

35.不等式 x ? 3 ? x ?1 ? a ? 3a 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围为( A. (??, ?1] [4, ??) B. (??, ?2] [5, ??) C. [1, 2]

1 在区间 x ? ?0,??? 上的值域。 x

D. (??,1] [2, ??)

36、设 a, b∈R, |a-b|>2, 则关于实数 x 的不等式 | x ? a | ? | x ? b |? 2 的解集是 . 37、x 为实数,不等式|x-3|-|x-1|>m 恒成立,则 m 的取值范围( ) A.m>2 B.m<2 C.m>-2 D.m<-2 2

3e x ? 2 的值域 2e x ? 1

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38、若不等式 x ? 1 ? x ? 2 > a 在 x ? R 上有解,那么 a 的取值范围是( )

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14、已知 f (0) ? 1 , f ( p ? q) ? f ( p) ? q(2 p ? q ? 1)( p,q ? R) ,求 f ( x ) . 15、 (安徽卷 11) 若函数 f ( x), g ( x) 分别是 R 上的奇函数、 偶函数, 且满足 f ( x) ? g ( x) ? e x , 则有 ( A. f (2) ? f (3) ? g (0) C. f (2) ? g (0) ? f (3) . ,若关于 x 的不等式 16、已知 f ?x ? 是奇函数,且当 x ? 0 时, f ?x ? ? x x ? 2 ,求 x ? 0 时 f ?x ? 的表达式. 17、已知 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数。当 x ? 0 时, f ( x) ? x 2 ? 4 x ,则不等式 f ( x) ? x 的解集用区 间表示为 - 18. 已知定义在 R 上的奇函数 f(x)和偶函数 g(x)满足 f(x)+g(x)=ax-a x+2(a>0,且 a≠1).若 g(2)=a, 15 17 则 f(2)=( ) A.2 B. C. D.a2 4 4 19. 若定义在 R 上的偶函数 f(x)和奇函数 g(x)满足 f(x)+g(x)=ex,则 g(x)=( ) 1 x -x 1 -x x 1 x -x -x x A.e -e B. (e +e ) C. (e -e ) D. (e -e ) 2 2 2 20、设偶函数 f ( x ) 满足 f ( x) ? x ? 8( x ? 0) ,则 {x | f ( x ? 2) ? 0} ?
3

? ? A ? 3,3
A. 2

B. ?? 3,3?

C. ?? ?,3? ) C. 4

D. ?? ?,?3?

39、函数 y ? x ? 4 ? x ? 6 的最小值为( B. 2



D. 6

B. g (0) ? f (3) ? f (2) D. g (0) ? f (2) ? f (3)

40、若 f ? x ? ? x ? t ? 5 ? x 的最小值为 3, 则实数 t 的值是 41 、 已 知 g(x)=|x-1|-|x-2|, 则 g(x) 的 值 域 为

g ( x) ? a2 ? a ? 1( x ? R) 的解集为空集,则实数 a 的取值范围是

函数解析式: 解析式的求法:
1、若 f(x)=2x+3,g(x+2)=f(x),则 g(x)的表达式为( (A)2x+1 (B)2x-1 (C)2x-3 (D)2x+7 )

2、 (安徽卷理) 已知函数 f ( x) 在 R 上满足 f ( x) ? 2 f (2 ? x) ? x2 ? 8x ? 8 , 则曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程是 ( ) A. y ? 2 x ? 1 B. y ? x C. y ? 3x ? 2 D. y ? ?2 x ? 3





x2 ?1 1 ? x ?1? f? ? ?? 2 x x ,求 f(x)的解析式。 3、已知 ? x ?

(A) {x | x ? ?2或x ? 4}

(B) {x | x ? 0或x ? 4} (C) {x | x ? 0或x ? 6}
2

(D) {x | x ? ?2或x ? 2}

4、若 f ( x ? 1) ? 2 x ? 1 ,求 f ( x ) .
2

21、 f (3 ? x) ? 3 f ( x) ? 2 x ? x ?1 求 f(x)

5、已知 f ( x ? 1) ? x ? 2 x ,求 f ( x ) .
2

3 2 22.已知 f ( x), g ( x) 分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数,且 f ( x) ? g ( x) ? x ? x ? 1 ,则

6、已知 f ( x ?1) ? x ? 2 x ,求 f ( x ? 1) . 7、已知 f ( x ? 1) ? x ? 2 ,求 f ( x ) .
2

f (1) ? g (1) ? (

)A. ? 3

B. ?1

C. 1

D. 3 )

23 已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x2-2x,则 f(x)在 R 上的表达式是( A.y=x(x-2) B.y =x(|x|-1) C.y =|x|(x-2) D.y=x(|x|-2)

8、已知二次函数 f ( x ) 满足 f (0) ? 0, f ( x ? 1) ? f ( x) ? 2 x ? 8 ,求 f ( x ) 的解析式。 9、已知二次函数 f ( x ) 满足 f (1) ? 1 , f (?1) ? 5 ,图象过原点,求 f ( x ) ; 10、已知二次函数 f ( x ) ,其图象的顶点是 (?1, 2) ,且经过原点, f ( x ) . 11、设函数 f ( x ) 满足 f ( x ) ? 2 f ( ) ? x ( x ? 0) ,求 f ( x ) 的函数解析式。 12、已知 f(x)满足 2 f ( x) ? f ( ) ? 3 x ,求 f ( x ) . 13、若 2 f ( x) ? f (? x) ? x ? 1 ,求 f ( x ) . 3

24.已知 f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,若 f ( x) ? g ( x) ?
2

x ?1

1

,则 f(x)的解析式为_______.

1 x

25.已知 f ( x ) 是奇函数, g ( x) 是偶函数。且 f ( x ) + g ( x) = x ? x ? 1 。求 f ( x ) 、 g ( x) 的表达式。 26、定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+1)=2f(x).若当 0≤x≤1 时。f(x)=x(1-x) , 则当-1≤x≤0 时,f(x)=________________。

1 x

分段函数:

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1、已知函数 f ( x) ? ? A.4

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1 ? cos ? x , x ? [0, ] ? 1 ? 2 9、已知 f ( x ) 为偶函数,当 x ? 0 时, f ( x ) ? ? ,则不等式 f ( x ? 1) ? 的解集为( ) 2 ?2 x ? 1, x ? ( 1 , ??) ? ? 2
A. [ , ] [ , ]

?log3 x, x ? 0
x ?2 , x ? 0

,则 f ( f ( )) ?

1 9

B.

1 4

C.-4

D-

1 4

? e x , x ? 0. 1 2、 设 g ( x) ? ? 则 g ( g ( )) ? __________ 2 ?lnx, x ? 0.
3、若函数 f(x)= ?log ( ? x ), x ? 0 ,若 f(a)>f(-a),则实数 a 的取值范围是 1

1 2 4 3

4 7 3 4

B. [ ?

3 1 1 2 ,? ] [ , ] 4 3 4 3

C. [ , ] [ , ]

1 3 3 4

4 7 3 4

D. [ ?

3 1 1 3 ,? ] [ , ] 4 3 3 4

10. 已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ?

?log 2 x, x ? 0, ? ? ?
2

1 (| x ? a 2 | ? | x ? 2a 2 | ?3a 2 ) ,若 2

?x ? R , f ( x ? 1) ? f ( x) ,则实数 a 的取值范围为( )

(A) (-1,0)∪(0,1) (B) (-∞,-1)∪(1,+∞) (C) (-1,0)∪(1,+∞) (D) (-∞,-1)∪(0,1)

4、已知函数 f ?x ? ? ?
f ?x ? 是偶函数

? x 2 ? 1, x ? 0 ?cos x, x?0

则下列结论正确的是( ) C. f ?x ? 是周期函数 D. f ?x ? 的值域为 ?? 1,??? )

B. f ?x ? 是增函数

log x, x ? 1 ? ? 1 2 11、函数 f ( x) ? ? 的值域为 x ? 2 , x ? 1 ?
12、已知函数 f ( x) ? ? (A) (??, 0]

?? x 2 ? 2 x, x ? 0, ? ln( x ? 1), x?0

x?0 ?log2 (4 ? x), 5、定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)= ? ,则 f(3)的值为( ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 2), x ? 0
A.-1 B. -2
x

,若 | f ( x) |? ax ,则 a 的取值范围是( (C) [?2,1] (D) [?2, 0]



(B) (??,1]

C.1

D. 2

? ?2 ? 1,x ? 1 ? 2 ? x ? ax,x ? 1 若 f(f(0) 6、已知函数 f(x)= ? )=4a,则实数 a 等于______________。

log x, x ? 1 ? ? 1 2 13、函数 f ( x) ? ? 的值域为_______。 x ? 2 , x ? 1 ?
14、已知实数 a ? 0 ,函数 f ( x) ? ?

1 A. 2

4 B. 5

C.2

D.9

?2 x ? a, x ? 1 ,若 f (1 ? a) ? f (1 ? a) ,则 a 的值为________ ? x ? 2 a , x ? 1 ?

7、已知函数 f(x)=

? lg x ,0? x?10 f ( x) ? ? 1 若 a,b,c 均不相等,且 f(a)= ? ? 2 x?6, x?10

f(b)= f(c),则 abc 的取

值范围是 (A) (1,10) (B)(5,6) (C)(10,12) (D)(20,24)
2 ? ? x ? x, x ? 0 8.设函数 f ? x ? ? ? 2 若 f ? f ?a ?? ? 2 ,则实数 a 的取值范围是 ? ?? x , x ? 0

4

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函数单调性:
1 :下列函数中,在区间 (0, ??) 上为增函数的是( )
C、a>0,2a+b=0 10、 D、a<0,2a+b=0

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(1) 函数 y ? x ? 1 的单调递增区间是____________

A. y ? x ? 1

B. y? ( x ? 1)
2

C. y ? 2

?x

D. y? l o 0g. 5 x ( ?

1)
(2) 函数 f ( x) ? ? x 2 ? 2x ? 3 的单调递增区间是_______. (3) 函数 y ? ? ? x ? 3? x 的递增区间是________ (4) 函数 f ( x) 在递增区间是 ? ?4,7 ? ,则 y ? f ( x ? 3) 的递增区间是_______
1 (5) 下列四个函数中,在区间 ( 0, ) 上为减函数的是( 4
?1? ? 2?
x

2.(1)讨论函数 f(x) ? x 2 ? 2ax ? 3 在(-2,2)内的单调性。
ax (2)讨论函数 f(x)= (a≠0)在区间(-1,1)内的单调性. 1? x2

3、已知函数 f ( x) 对任意的 x, y ? R 都有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ,当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 ,判断
f ( x) 在 R 上的单调性。


1

4、函数 f(x)对任意的 a、b∈R,都有 f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当 x>0 时,f(x)>1.
若 f(4)=5,解不等式 f(3m -m-2)<3. 5.已知定义在区间(0,+∞)上的函数 f(x)满足 f( (1)求 f(1) (2)判断 f(x (3)若 f(3)=-1,解不等式 f(|x|)<-2. 2 6、已知函数 f(x)对于任意 x,y∈R,总有 f(x)+f(y)=f(x+y),且当 x>0 时,f(x)<0,f(1)=- . 3 求 f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值. 7 求下列函数单调性 ⑴ y=x+ 错误!未找到引用源。 ⑵ y=- 错误!未找到引用源。 ?2
x1 ) =f(x1)-f(x2),且当 x>1 时,f(x)<0. x2
2

x A. y ? x? ? ;B. y ? ?( ) ;C. y ? x log2 x ;D. y ? x 3

1 2

(6) 定义在 R 上的偶函数 f(x)的部分图象如图所示,则在(-2,0)上,下列函数中与 f(x)的单调性不 同的是( )

A.y=x +1

2

B.y=|x|+1

⑶ y=错误!未找到引用源。?2 错误!未找到引用源。?3 ⑷ y=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。 ⑸ y=错误!未找到引用源。 (6)y=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。
8、(1)给定函数①y=x2;②y=log1(x+1);③y=|x-1|;④y=2x 1,其中在区间(0,1)上单调递减的函数


? ?2x+1,x≥0, C.y=? 3 ?x +1,x<0 ?

x ? ?e ,x≥0, ? D.y= -x ?e ,x<0 ?

(7)函数 f (x) = log 1 x 2 - 4 的单调递增区间是(
2

(

)



1

2

(8)函数 f ?x ? ? lg x 的单调递减区间是________.
2



序号是( ) A.①② B.②③ C.③④ D.①④ (2)、在区间(0,+∞)上不是增函数的函数是 A.y=2x+1 B.y=3x2+1 C.y=





2 x

D.y=2x +x+1 a≠1 ,则“函数 f(x)= ax 在 R 上是减函数 ” ,是“函数 g(x)=(2-a) x 在 R 上是增函数”的
3

2

(3) 设 a>0

A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 9、已知 a、b、cR,函数 f(x)=ax2+bx+c.若 f(0)=f(4)>f(1),则 A、a>0,4a+b=0 B、a<0,4a+b=0 5

11、⑴已知 f(x)=错误!未找到引用源。+2ax+1 在[3 ,+∞)单调递增,,求 a 的范围______ ⑵已知 f(x)=错误!未找到引用源。在[-2 ,+∞)单调递增, 求 a 的范围______ ⑶已知 y=错误!未找到引用源。在[0 ,1]上是减函数 ,则 a 的范围是_____ ⑷已知 f(x)=错误!未找到引用源。 是(?∞ ,+∞)上的增函数,那么 a 的取值范围是___ ⑸已知函数 f(x)=错误!未找到引用源。 ,(a≠1) ,若 f(x)在区间(0 ,1]上是减函数,则实数 a 的取值范围为 ⑹设函数 f(x)=a 错误! 未找到引用源。 +2 在[0 ,+∞)上是增函数,则 a ,b 的范围分别为_____

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12、 (1)已知函数 f(x)=x +2(a-1)x+2 在区间(-∞,4]上是减函数,则实数 a 的取值范围是 (2)已知函数 f(x)=x +2(a-1)x+2 的递减区间是(-∞,4] ,则实数 a 的取值范围是 (3)函数 f(x) = ax +4(a+1)x-3 在[2,+∞]上递减,则 a 的取值范围是__
2 2 2

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2、已知 f ( x ) 是 R 上的减函数,则满足 f ( ) ? f (1) 的实数 x 的取值范围是_______________。 . . A. (-∞,1) B.(1,+∞) C. (??, 0)

1 x

(0,1)

D. (??, 0)

(1, ??)

ax ? 1 (4) 函数 f ( x) ? 在区间(-2,+∞)上是增函数,那么 a 的取值范围是_______ x?2
(5) .若 f ( x) ? ?

? x 2 ? 4 x, 3、已知函数 f ( x ) ? ? 2 ?4 x ? x ,
A (??, ?1) ? (2, ??) 4、已知 x∈[0,1],则函数 y ?

x?0 x?0
B (?1, 2)

若 f (2 ? a2 ) ? f (a), 则实数 a 的取值范围是 C (?2,1) D (??, ?2) ? (1, ??)

x ?1 ?(3a ? 1) x ? 4a 是 R 上的减函数,那么 a 的取值范围是_________ x ?1 ? log a x

2x ? 2 ? 1 ? x 的最大值为_______最小值为_________

x ? x<0, ?a , f(x1)-f(x2) (6) 已知函数 f(x)=? 满足对任意 x1≠x2,都有 <0 成立,则 a 的取值范围 x1-x2 ?(a-3)x+4a, x≥0. ?

5. 已知:f(x)是定义在[-1,1]上的增函数,且 f(x-1)<f(x2-1)求 x 的取值范围.

是____________ (7) 若函数 f(x)=|logax|(0<a<1)在区间(a,3a-1)上单调递减,则实数 a 的取值范围是_______ (8) 已知函数 f(x)= 3-ax (a≠1).f(x)在区间(0,1]上是减函数,则实数 a 的取值范围_______ a-1 6.设 f(x)的定义域为(0,+∞) ,且在(0,+∞)是递增的, f ( ) ? f ( x) ? f ( y ) (1)求证:f(1)=0,f(xy)=f(x)+f(y) ; (2)设 f(2)=1,解不等式 f ( x ) ? f (

x y

(9) 已知 y ? loga (2 ? ax) 在 [0,1] 上是 x 的减函数,则 a 的取值范围是_________ (10) 函数 y ? log 1 ( x ? 2mx ? 3) 在 (??,1) 上为增函数,则实数 m 的取值范围_____
2 2

1 ) ? 2。 x?3

b? R ,有 7. 定 义 在 R 上 的 函 数 y ? f ( x) , f (0) ? 0 , 当 x ? 0 时 , f ( x ) ? 1, 且 对 任 意 的 a、 f ( a ? b) ? f ( a)? f ( b). (1) 求 f (0) 的 值 ; (2) 求 证 : 对 任 意 的 x ? R , 恒 有 f ( x ) ? 0; (3) 若

(11) 若 f ( x) ? ? x ? 2ax 与 g ( x) ?
2

a x ?1

在区间 ?1, 2? 上都是减函数,则 a 的取值范围是___

(12) 若函数 f ( x) ? x ? | x ? a | ?b 在区间 (??,0] 上为减函数,则实数 a 的取值范围是___
2

f ( x) ? f (2 x ? x2 ) ? 1,求 x 的取值范围.
8 已知函数 f ( x) ?
x 2 ? ax ? 4 ( x ? 0) 。 x

(13) 已 知 函 数 f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 , 且 在 区 间 [0, ??) 上 单 调 递 增 . 若 实 数 a 满 足 , 则 a 的取值范围是 f (log ) f ( l 1oa g ?2 ) f (1) 2 a ?
2

(A) [1, 2]
?1 ? (C) ? , 2 ? ?2 ?

? 1? (B) ? 0, ? ? 2?

(Ⅰ)若 f ( x) 为奇函数,求 a 的值; (Ⅱ)若 f ( x) 在 [3,??) 上恒大于 0,求 a 的取值范围。
9、函数 f ( x) 的定义域为 R , f ( ?1) ? 2 ,对任意 x ? R , f ?( x) ? 2 ,则 f ( x) ? 2 x ? 4 的解集为 (A) ( ?1,1) (B) ( ?1,+ ? ) (C) ( ? ? , ?1 ) (D) ( ? ? ,+ ? )

(D) (0, 2]

函数单调性的应用:
2 ? 2 1、已知函数 f ( x) ? ? x ? 1, x ? 0 ,则满足不等式 f (1 ? x ) ? f (2 x) 的 x 的范围是_____。 x?0 ?1,

函数奇偶性
6

高中数学讲义
1.判断函数 f ?x ? ?

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C.| f ( x) | +g(x)是偶函数 D.| f ( x) |- g(x)是奇函数

1? x2 的奇偶性. x?2 ?2
? x(1 ? x)?x ? 0? 的奇偶性. ? x(1 ? x)?x ? 0?

2.判断函数 f ?x ? ? ?

8.(1)若 f ?x ? ? ln e3 x ? 1 ? ax 是偶函数,则 a ? ____________. (2) (4)设 f ( x) 为定义在 R 上的奇函数,当 x ≥ 0 时, f ( x) ? 2x ? 2x ? b ( b 为常数),则 f (?1) ? (A) 3 (B) 1 (C)-1 (D) ?3 。

?

?

3、判断下列函数的奇偶性:

x3 ? x2 1? x (1)f(x)=|x+1|-|x-1|; (2)f(x)=(x-1) · ; ⑶、 f ( x) ? 1? x x ?1
⑷、 f ( x) ? x 2 4.函数 f ( x) ? A.偶函数 5、 ( 1)函数 f ? x ? ? A. 关于原点对称

(3) (11)若函数 f ( x) ? x2 ? x ? a 为偶函数,则实数 a ?

x ? ?? 1,2? (5) f ( x) ? x2 ?1 1 ? x2

(6) f ( x) ?

x ?1 ? 1 ? x

9.已知函数 f ?x ? , x ? R ,若对于任意实数 a 、 b ,都有 f ?a ? b? ? f ?a ? ? f ?b? ,判断: f ?x ? 奇偶性 10、已知函数 f(x)满足 f(x+y)+f(x-y)=2f(x) ·f(y) (x ? R,y ? R) ,且 f(0)≠0,判断: f ?x ? 奇偶性

? x ?1 是( 1? x2 ? x ?1
B.奇函数
x

1? x2

) C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数

4 ?1 的图象_____________。 2x

11、函数 y ? f(x),满足 ?x1 , x2 ? R 都有 f(x1+x2)= f(x1)+ f(x2)-3, (1)判断函数 f(x)-3 的奇偶性并予 以证明 ⑵若 f(x) 最大值为 M,最小值为 m,求 M+m 12.函数 y ? f(x),满足 a, b ? R, f (ab) ? af (b) ? bf (a), (1)求 f (0), f (1) 的值,⑵判断并证明 f(x)的 奇偶性 13.函数 f(x)的定义域为 D={x|x≠0},且满足对于任意 x1、x2∈D,有 f(x1·x2)=f(x1)+f(x2). (D) y ? lg | x | (1)求 f(1)的值; (2)判断 f(x)的奇偶性并证明; (3)如果 f(4)=1,f(3x+1)+f(2x-6)≤3,且 f(x)在(0,+∞)上是增函数,求 x 的取 值范围. 14.已知 f ( x ) 是偶函数, f ( x ) 在区间[0,﹢∞)单调增加,则满足 f (2 x ? 1) < f ( ) 的 x 取值范围是 ( ) (A)(

B. 关于直线 y=x 对称 C. 关于 x 轴对称 D. 关于 y 轴对称

2? x (2)函数 y ? log 2 的图像 2? x A 关于原点对称 B 关于直线 y ? ?x 对称 C 关于 y 轴对称 D 关于直线 y ? x 对称
(3)下列函数中,既是偶函数又在区间 (0, ??) 上单调递减的是( (A) y ? )

1 x

(B) y ? e

?x

(C) y ? ? x ? 1
2

6、.对于函数 f(x)=asinx+bx+c(其中,a,b∈R,c∈Z),选取 a,b,c 的一组值计算 f(1)和 f(-1),所 得出的正确结果一定不可能是 ( ) A.4 和 6 B.3 和 1 C.2 和 4 D.1 和 2 ...... 7.(1)设函数 f ( x ) , g ( x) 的定义域都为 R,且 f ( x ) 是奇函数, g ( x) 是偶函数,则下列结论正确的是

A . f ( x) g ( x) 是偶函数
C . f ( x) | g ( x) |是奇函数

B .| f ( x) | g ( x) 是奇函数 D .| f ( x) g ( x) |是奇函数

1 3

(2)设函数 f ( x) 和 g(x)分别是 R 上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是 A. f ( x) +|g(x)|是偶函数 B. f ( x) -|g(x)|是奇函数 7

1 2 , ) 3 3

(B) [

1 2 , ) 3 3

(C)(

1 2 , ) 2 3

(D) [

1 2 , ) 2 3

2 2 15.定义在 R 上的偶函数 f ( x ) 在 (??,0) 是单调递减,若 f (2a ? a ? 1) ? f (3a ? 2a ? 1) ,则 a 的取

高中数学讲义
值范围是如何? -2x+b 16.已知定义域为 R 的函数 f(x)= x+1 是奇函数. 2 +a (1)求 a、b 的值; (2)若对任意的 t∈R,不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 恒成立,求 k 的取值范围. 17. 函数 f ( x ) 的定义域为 ?? ?,1? ? ?1,??? , 且 f ( x ? 1) 为奇函数, 当 x ? 1 时, f ( x) ? 2 x 2 ? 12x ? 16, 则直线 y ? 2 与函数 f ( x ) 图象的所有交点的横坐标之和是( A.1 B.2 C.4 ) D.5

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(Ⅲ)证明:曲线 y ? f ( x) 上任一点的切线与直线 x=1 和直线 y=x 所围三角形的面积为定值,并求出此 定值.

函数周期性与对称性:
1、定义在 R 上的函数 f ?x ? 是奇函数又是以 2 为周期的周期函数,则 f ?1? ? f ?4? ? f ?7?等于 A.-1 B.0 C.1 D.4 ( )

18.已知函数 y=f(x)是偶函数,y=f(x-2)在[0,2]上是单调减函数,则 A.f(0)<f(-1)<f(2) C.f(-1)<f(2)<f(0) B.f(-1)<f(0)<f(2) D.f(2)<f(-1)<f(0) )

2、函数 f ? x ? 对于任意实数 x 满足条件 f ( x ? 1) ?

1 ,若 f ?1? ? ?5, 则 f ? f ?5?? ? __________。 f ( x)

19.已知二次函数 f(x)=x2-ax+4,若 f(x+1)是偶函数,则实数 a 的值为(

3、定义在 R 上的以 3 为周期的偶函数,且 f (2) ? 0 ,则方程 f ( x ) =0 在区间(0,6)内解的个数的最 小值是 ( ) A.5 B.4 C.3 D.2 4、已知函数 y ? f ( x)(x ? R) 满足 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ,且当 x ? ?? 1,1?时, f ( x) ? x ,则 y ? f ( x) 与
2

20.已知函数 f ( x) ? a ?

1 . ,若 f ? x ? 为奇函数,则 a ? ________。 2 ?1
x

y ? log5 x 的图象的交点个数为
) A、2 B、3

( C、4

) D、5 )

21.已知函数 f(x)=ax2+bx+3a+b 是偶函数,且其定义域为[a-1,2a] ,则(

1 A. a ? ,b=0 3

B.a=-1,b=0

C.a=1,b=0

D.a=3,b=0

5、定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)= ? A.-1 B. 0 C.1

?log2 (1 ? x), x ? 0 ,则 f(2009)的值为( ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 2), x ? 0
D. 2

22.若 y=(m-1)x2+2mx+3 是偶函数,则 m=_________.

g (?1) ? 0, 且 f(x) g(x)在 ?? ?,0? 上单调递增, 23.函数 f(x)是奇函数, g(x)是偶函数, 解不等式 f(x) g(x) ? 0
24、.已知偶函数 f ? x ? 在 ?0, ?? ? 单调递减, f ? 2? ? 0 .若 f ? x ?1? ? 0 ,则 x 的取值范围是____ (x+1)2+sinx 25、设函数 f(x)= x2+1 的最大值为 M,最小值为 m,则 M+m=____ 26. 设函数 f ( x) ? ax ?

? ?m 1 ? x 2 , x ? (?1,1] 6、已知以 T ? 4 为周期的函数 f ( x) ? ? ,其中 m ? 0 。若方程 3 f ( x) ? x 恰有 5 个 ? ? 1 ? x ? 2 , x ? (1,3] 实数解,则 m 的取值范围为.m
A. (

15 8 , ) 3 3

B. (

15 , 7) 3

C. ( , )

4 8 3 3

D. ( , 7 )

4 3

1 (a,b ? Z) ,曲线 y ? f ( x) 在点 (2,f (2)) 处的切线方程为 y=3. x?b
8

f ( x)为偶函数且f ( x ? 3) ? ?
7、

1 ,当x ? ?0,3?时f ( x) ? 2 x, 求f (2007) f ( x)

(Ⅰ)求 f ( x ) 的解析式: (Ⅱ)证明:函数 y ? f ( x) 的图像是一个中心对称图形,并求其对称中心;

高中数学讲义
f ( x)为偶函数,且 f (4 ? x) ? f (4 ? x),求f ( x)的周期T
8、 9、已知奇函数 f ( x) 满足 f ( x ? 2) ? ? f ( x),且x ? (0,1)时, f ( x) ? 2 , 则f (log1 18) 的值为
x 2

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1] 上, 20.设 f ( x) 是定义在 R 上且周期为 2 的函数,在区间 [?1,

? 1≤ x ? 0 , ? ax ? 1, ? f ( x ) ? ? bx ? 2 b ? R .若 其中 a , , 0 ≤ x ≤ 1, ? ? x ?1

?1? ?3? f ? ? ? f ? ?, ?2? ?2?

10、函数 f ( x) 的定义域为 R,若 f ( x ? 1) 与 f ( x ? 1) 都是奇函数,则( ) (A) f ( x) 是偶函数 (B) f ( x) 是奇函数 (C) f ( x) ? f ( x ? 2) (D) f ( x ? 3) 是奇函数

则 a ? 3b 的值为 21.x 为实数, [ x] 表示不超过 x 的最大整数,则函数 f ( x) ? x ? [ x] 在 R 上为 A.奇函数 B.偶函数 C.增函数 D. 周期函数

11 、已知定义在 R 上的奇函数 f ( x ) ,满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) , 且在区间 [0,2] 上是增函数 , 若方程 f(x)=m(m>0)在区间 ?? 8,8? 上有四个不同的根 x1 , x2 , x3 , x4 ,则 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? _________. 12 已知 a1 ? 1, a 2 ? 5, an ? 2 ? an ? 1 ? an ,求 a2011 13(重庆理 15)已知函数 f ? x ? 满足: f ?1? ?

22、定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+6)=f(x) ,当-3≤x<-1 时,f(x)=-(x+2)2,当-1≤x<3 时, f(x)=x。则 f(1)+f(2)+f(3)+?+f(2012)= (A)335(B)338(C)1678(D)2012

1 , 4 f ? x ? f ? y ? ? f ? x ? y ? ? f ? x ? y ?? x, y ? R ? ,则 4

抽象函数与新定义函数
1、在平面直角坐标系中,两点 P 1 ? x1 , y1 ? , P 2 ? x2 , y2 ? 间的“L-距离”定义为 PP 1 2 ? x1 ? x2 ? y1 ? y2 . 则 平面内与 x 轴上两个不同的定点 F1 , F2 的“L-距离”之和等于定值(大于 F1 F2 )的点的轨迹可以是

f ? 2010? =_____________.

14、

已知偶函数 f ? x ? 的图像关于直线 x =2 对称, f (3) =3,则 f (?1) ? _______.
? x(1 ? x),0 ? x ? 1 ,则 ?sin ?x, 1 ? x ? 2
2.设 f ?x ? 是定义在 ?0,??? 上的函数,且 f ?x ? ? 0 ,对任意 a ? 0, b ? 0 ,若经过点 ?a, f ?a ??, ?b, f ?b?? 的 直 线 与 x 轴 的 交 点 为 ?c,0? , 则 称 c 为 a , b 关 于 函 数 f ?x ? 的 平 均 数 , 记 为 M f (a, b) , 例 如 , 当

15、若函数 f ?x ??x ? R ? 是周期为 4 的奇函数,且在 ?0,2? 上的解析式为 f ?x ? ? ?

? 29 ? ? 41? f ? ? ? f ? ? ? _______ . ? 4? ?6?
16、对于函数 f ( x ) ,若存在常数 a ? 0 ,使得 x 取定义域内的每一个值,都有 f ( x) ? f (2a ? x) ,则 称 f ( x ) 为准偶函数,下列函数中是准偶函数的是 (A) f ( x) ?

f ?x ? ? 1( x ? 0) 时,可得 M f (a, b) ? c ?
3

a?b ,即 M f (a, b) 为 a , b 的算术平均数. 2

x

(B) f ( x) ? x

x ? 0) 时, M f (a, b) 为 a , b 的几何平均数; (1)当 f ?x ? ? _____( x ? 0) 时, M f (a, b) 为 a , b 的调和平均数 (2)当 f ?x ? ? _____(
(以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可) 3、设 a,bR,定义运算“∧”和“∨”如下: a∧b= a, a≤b, b, a>b, a∨b= b, a≤b, a, a>b.

(C) f ( x) ? tan x

(D) f ( x) ? cos( x ? 1)

2ab ; a?b

1 17、函数 f ? x ? 对于任意实数 x 满足条件 f ( x ? 2) ? ,若 f ?1? ? ?5, 则 f ? f ?5?? ? __________ f ( x)
18、(山东卷)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+2)=-f(x),则,f(6)的值为 (B) (A)-1 (B) 0 (C) 1 (D)2 19、已知函数 f(x)是偶函数,且等式 f(4+x)=f(4-x),对一切实数 x 成立,写出 f(x)的一个最小正周期 9

若正数 a、b、c、d 满足 ab≥4,c+d≤4,则 A、a∧b≥2,c∧d≤2 B、a∧b≥2,c∨d≥2

高中数学讲义
C、a∨b≥2,c∧d≤2
2

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D、a∨b≥2,c∨d≥2
2 2 2

4、已知函数 f ? x ? ? x ? 2 ? a ? 2? x ? a , g ? x ? ? ?x ? 2 ? a ? 2? x ? a ? 8. 设

10、定义“正对数” : ln ? x ? ? 现有四个命题:

?0, (0 ? x ? 1) , ?ln x, ( x ? 1)

H1 ? x ? ? max ? f ? x ? , g ? x ??, H2 ? x ? ? min ? f ? x ? , g ? x ??, ? max ? p, q?? 表示 p, q 中的较大值,
min ? p, q? 表示 p, q 中的较小值,记 H1 ? x ? 得最小值为 A, H 2 ? x ? 得最小值为 B ,则
A? B ?
(A) a ? 2a ? 16
2

①若 a ? 0, b ? 0 ,则 ln ? (a b ) ? b ln ? a ; ②若 a ? 0, b ? 0 ,则 ln ? (ab) ? ln ? a ? ln ? b ③若 a ? 0, b ? 0 ,则 ln ( ) ? ln a ? ln b ④若 a ? 0, b ? 0 ,则 ln ? (a ? b) ? ln ? a ? ln ? b ? ln 2 其中的真命题有_____(写出所有真命题的序号)
?

(B) a ? 2a ? 16
2

a b

?

?

(C) ?16

(D) 16

5、用 min{a,b,c}表示 a,b,c 三个数中的最小值 设 f(x)=min{ 2 , x+2,10-x} (x ? 0),则 f(x)的最大值为
x

(A)4 (B)5 (C)6 (D)7 6. 设[x]表示不大于 x 的最大整数, 则对任意实数 x, y, 有 (A) [-x] = -[x] (C) [2x] = 2[x] (B) [x +

11.对于实数 a 和 b,定义运算“﹡” : 设 f(x)=(2x-1)﹡(x-1) ,且关于 x 的方程为 f(x)=m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根 x1,x2, x3,则 x1x2x3 的取值范围是_______ 12、给定 k ? N ,设函数 f : N * ? N * 满足:对于任意大于 k 的正整数 n , f (n) ? n ? k
*

1 ] = [x] 2

1 (D) [ x] ? [ x ? ] ? [2 x] 2 7. 设[x]表示不大于 x 的最大整数, 则对任意实数 x, y, 有 (A) [-x] = -[x] (B) [2x] = 2[x] (C) [x+y]≤[x]+[y] (D) [x-y]≤[x]-[y]

(1)设 k ? 1 ,则其中一个函数 f 在 n ? 1 处的函数值为

; 。

(2)设 k ? 4 ,且当 n ? 4 时, 2 ? f (n) ? 3 ,则不同的函数 f 的个数为

8.设函数 A.D(x)的值域为{0,1} C. D(x)不是周期函数 9.定义在 (??, 0)

则下列结论错误的是 B. D(x)是偶函数 D. D(x)不是单调函数

[

(0, ??) 上的函数 f ( x) ,如果对于任意给定的等比数列 {an } , { f (an )} 仍 (0, ??) 上的如下函

是等比数列,则称 f ( x) 为“保等比数列函数”. 现有定义在 (??, 0) 数: ①f ( x) ? x2 ; ②f ( x) ? 2 x ; ③f ( x) ? | x | ; ④f ( x) ? ln | x | .

13.函数 f(x)的定义域为 A,若 x1,x2∈A 且 f(x1)=f(x2)时总有 x1=x2,则称 f(x)为单函数,例如,函数 f(x) =2x+1(x∈R)是单函数.下列命题: ①函数 f(x)=x2(x∈R)是单函数; ②指数函数 f(x)=2x(x∈R)是单函数; ③若 f(x)为单函数,x1,x2∈A 且 x1≠x2,则 f(x1)≠f(x2); ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数. 其中的真命题是_ ___.(写出所有真命题的编号) ? ?a,a-b≤1, 14. 对实数 a 和 b,定义运算“?”:a?b=? 设函数 f(x)=(x2-2)?(x- x2),x∈R,若函数 ?b,a-b>1. ? y=f(x)-c 的图象与 x 轴恰有两个公共点,则实数 c 的取值范围是( ) 3 3 ? ? A.(-∞,-2]∪? B.(-∞,-2]∪? ?-1,2? ?-1,-4? 1? ?1 3? ?1 ? ? C.? D.? ?-1,4?∪?4,+∞? ?-1,-4?∪?4,+∞?

则其中是“保等比数列函数”的 f ( x) 的序号为 A.① ② B.③ ④ C.① ③ D.② ④

指数对数运算
10

高中数学讲义
2 1.计算 ? ? 2 ? ? ? ? ?

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lg 2 ? lg 5 ? lg 8 = lg 50 ? lg 40
x y

?

?

?1

2

的结果是( ) A. 2

B. ? 2

C.

2 2

D. ?

2 2

(3)

, 求 lg 5 (4)若 lg 2 ? 0.3010

2、化简

a 3b 2 3 ab2
1 ? 1 ? a 4b 2 ? ?

? ? ? ?

4 3

b a

?a ? 0, b ? 0? 的结果是(



(5)设 3 ? 4 ? 36 ,求

2 1 ? 的值 x y
(2)求证 logx y ? logy z ? logx z

10、 (1)求 log8 9 ? log27 32 的值 C. a b ) C. ? 2
? 1 8
? ? 2 k ?1?

A. 3、 2

b a

B. ab

2

D.

a b

(3)计算 log5 4 ? log8 5

(4)已知 log5 3 ? a, log5 4 ? b ,求: log25 12 (用 a,b 表示) 。 。 。 。 。

? ? 2 k ?1?

? 2 ? ?2 k ?1? ? 2 ?2 k ? (
B. 2
? 1 32
? ? 2 k ?1?

11.若 logx ( 2 +1)=-1, 则 x= D. 2
? 1 2

A. 2

?2 k

12.已知 f(ex)=x,则 f(5)等于 13.对数式
? 1 D、 (1-2 32 ) 2 1

4.化简(1+2

) (1+2
1

?

1 16

) (1+2

)(1+2
? 1 32

-

1 4

log( a?2) (5 ? a)

)(1+2

) ,结果是(
? 1 32



中实数 a 的取值范围是

? 1 -1 A、 (1-2 32 ) 2

14.若 10≤x≤100, 则|3-lg x|- lg2 x ? lg(x 4 ) ? 4 = 15.已知集合 A={y|y=log 2 x,x>1},B={y|y=(

B 、 (1-2
?2 3



-1

C、 1-2

? 1? 5、计算: 0.027 ? ? ? ? ? 2564 ? 3?1 ? ? 7?
?

1 3

?

2 ? 1 =___________________。

?

1 x ) ,x>1},则 A ? B 等于 2

0

? 1 x ( x ? 4) ?( ) 16.已知函数 f(x)= ? 2 ? ? f ( x ? 1) ( x ? 4)

, 则 f(log23)=_________

6、化简 5 ? 2 6 ? 5 ? 2 6 =______________________。 7、若 10 ? 2,10y ? 3, 则 10 8、求值: (1)已知 2 ? 2
x
x

17.已知 log18 9=a,18b =5:用 a, b 表示 log36 45。 18、已知 log14 7 ? a,log14 5 ? b, 则用 a , b 表示 log35 28 ?
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3 x?4 y 2

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

?

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特级教师 王新敞
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?x

x ?x ? a (常数) ,求 8 ? 8 的值。

(2)已知 a ? a
-1

?1

? 3 ,求 a 2 ? a ?2 与 a 3 ? a ?3 的值。
1 2 ? 1 2

2 lg 8 ? lg 51g 20 ? (lg 2) 2 3 1 1 a b 20、设 2 ? 5 ? m ,且 ? ? 2 ,则 m ? a b
19、 lg 5 2 ?
3 2 ? 3 2

(3)已知 x+x =3,求下列各式的值: (1) x ? x (4)已知 x ? x
1 2 1 ? 2

, (2) x ? x .

(A)

10

(B)10

(C)20

(D)100

? 3 ,求

x ?x ?2 的值。 x 2 ? x ?2 ? 3

3 2

?

3 2

21、2log510+log50.25=w_w_w.k*s 5*u.c o* 22、函数 y ? loga ( x ? 3) ? 1(a ? 0, a ? 1) 的图像恒过定点 A,若点 A 在直线 m x ? ny ? 1 ? 0 上,其中 mn>0,则

(5)已知 a

2n

a 3 n ? a ?3 n ? 2 ? 1,求 n 的值。 a ? a ?n
1 ? log2 3 3

1 2 ? 的最小值为___________。 m n
a

23.已知 4 ? 2, lg x ? a, 则 x =________.
( 2? 3 )

9、求下列各式的值(1) 8

(2) log2

? log2

( 2? 3 )

24、已知 b ? 0 , log5 b ? a , lg b ? c , 5 ? 10 ,则下列等式一定成立的是(
d



11

高中数学讲义
A、 d ? ac
3

韩立波数学 微信:hlb183547730
C、 c ? ad D、 d ? a ? c

B、 a ? cd

2.函数



的图象大致是(

).

5 4 ? 16 ? 4 25. ? ? +log 3 ? log 3 ? 4 5 ? 81 ? 1 1 a b 26.设 2 ? 5 ? m ,且 ? ? 2 ,则 m ? a b
(A) 10 (B)10 (C)20 (D)100

?

27.已知一元二次不等式 f (x)<0 的解集为 ? x |x <-1或x > (A) ?x |x<-1或x>lg2 (C )

1 2

? ,则 f (10x )>0 的解集为

3.当

时,函数



的图象只可能是(



?

(B) ?x |-1<x<lg2 (D) ?x |x<-lg2

?

?x |x>-lg2 ?
? 2lg x ? 2lg y ? 2lg x ? 2lg y

?
? 2lg x ? 2lg y

28.已知 x, y 为正实数,则 A. 2
lg x ? lg y

B. 2 D. 2

lg( x ? y )

C. 2

lg x?lg y

lg( xy )

? 2lg x ? 2lg y
a b

4.在下列图象中,二次函数

与指数函数

的图象只可(



29. [2011·天津卷] 已知 log2 a ? log2 b ? 1 ,则 3 ? 9 的最小值为

指数函数
题型一:比较大小
5、若
1、(1)
3 5 8 9



,则函数

的图象一定在() D.一、二、四象限
( )



(2)

______ 1;

(3)

______

A.一、二、三象限 B.一、三、四象限 C.二、三、四象限
2、 2 , 2 , 4 , 8, 16 从小到大的排列顺序是 。
x 6、已知函数 f ( x) ? 2 ,则 f (1 ? x) 的图象为

3、设

1 1 1 ? ( )b ? ( ) a ? 1 ,那么 2 2 2



) C.a b <a a <b a D.a b <b a <a a

A.a a <a b <b a

B.a a < b a <a b

y

y

y

y

题型二:指数函数图象 1、 函数
( )的图象是()

O A
x ?b

x

O B

x C

O

x

O D

x

7、函数 f ( x) ? a 的图象如图,其中 a、b 为常数, 则下列结论正确的是( )
12

高中数学讲义
B. a ? 1, b ? 0 C. 0 ? a ? 1, b ? 0 D. 0 ? a ? 1, b ? 0 1 x 1 x 8、为了得到函数 y ? 3 ? ( ) 的图象,可以把函数 y ? ( ) 的图象( ) 3 3
A.向左平移 3 个单位长度 C.向左平移 1 个单位长度 B.向右平移 3 个单位长度 D.向右平移 1 个单位长度

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A. a ? 1, b ? 0

题型四:恒过点的问题
1、函数 f ( x) ? a x?1 ? 3 (a ? 0) 的图象一定过定点 P,则 P 点的坐标是

9、已知 y ? 2a 与函数 y=|ax-1|(a>0,且 a≠1)有两个交点,求 a 的范围。 10.函数 y=2x - x 的图像大致是
2

2、

时,

的图象过定点________ .

对数函数
题型一:比较大小
1.设 a ? log3 2 , b ? log5 2 , c ? log2 3 ,则( (A) a ? c ? b (B) b ? c ? a (B)b>c>a 2、设 a=log36,b=log510,c=log714,则 (A)c>b>a (C)a>c>b (D)a>b>c ( ) 时, 的取值范围是() D. ) (D) c ? a ? b

(C) c ? b ? a

题型三:指数函数的值域或最值问题 1、已知 A. 2、函数 3、已知函数 B. ,当其值域为 C. 的最小值为____________. ( 且 ),求 的最小值

3、三个数0.52、log20.5、20.5的大小关系为 A.0.52<20.5<log20.5 C.log20.5<0.52<20.5 B.0.52<log20.5<20.5 D.log20.5<20.5<0.52 (

4. 若0<a< 1, 则log0.5a, log3 a, log5 a三者的大小关系是



A.
4、已知
1 4
x

log0.5 a>log5 a>log3 a log3 a>log5 a>log0.5 a
4 ? 1 ,则a的取值范围是 3
B. 0<a<

B. D.

log5 a>log3 a>log0.5 a log0.5 a>log3 a>log5 a
( )

,求函数
1 2
x

的值域.

C.

5、求函数 y ? ( ) ? ( ) ? 1 在 x ?? ?3, 2? 上的值域。

1 x2 ? x ? 1 4 6、函数 y ? ( ) 的值域为 2 A、(0,+∞) B、[1,+∞]
7、若函数 ( 且

5.若 log1
a

(

)

C、(0,1】
)在区间

D、(0,1)
上的最大值是 14,那么 等于

3 3 3 或a ? 1 C. <a<1 D. a> 4 4 4 2 6.设 a>1,且 m ? loga (a ? 1)n ? loga (a ? 1), p ? loga (2a) ,则 m, n, p 的大小关系为(

A.0<a<1或a>1



(A) n>m>p (B) m>p>n 7.以下四个数中的最大者是( ) (A) (ln2)
2

(C) m>n>p (C) ln 2

(D) p>m>n

8、设 f(x)=4x+4-x-(21+x+21-x)+2 则 f(x)的最小值为;
9.若函数 f ( x) ? a (a ? 0, a ? 1) 在 [-1, 2] 上的最大值为 4, 最小值为 m, 且函数 g ( x) ? (1 ? 4m) x 在 [0, ??)
x

(B) ln(ln2)
0.2
1 3

(D) ln2

上是增函数,则 a=___. 13

?1? 8.设 a ? log 1 3 , b ? ? ? , c ? 2 ,则( ? 3? 2



高中数学讲义
A. a ? b ? c B. c ? b ? a C. c ? a ? b
b

韩立波数学 D. b ? a ? c
c

2.函数 y= | lg(x-1)| 的图象是

微信:hlb183547730 (



?1? ?1? 9.设 a,b,c 均为正数,且 2a ? log 1 a , ? ? ? log 1 b , ? ? ? log 2 c .则( ) ?2? ?2? 2 2 A. a ? b ? c B. c ? b ? a C. c ? a ? b D. b ? a ? c 10.下列大小关系正确的是( ) 2 0.4 A. 0.4 ? 3 ? log4 0.3 ; B. 0.42 ? log4 0.3 ? 30.4 ;
C. log4 0.3 ? 0.42 ? 30.4 ; D. log4 0.3 ? 30.4 ? 0.42 11.设 P ? log2 3 , Q ? log3 2 , R ? log2 (log3 2) ,则( ) A. R ? Q ? P B. P ? R ? Q C. Q ? R ? P D. R ? P ? Q 12. 下列不等式成立的是( ) 3.函数 f(x)=1+log2x 与 g(x)=2-x+1 在同一直角坐标系下的图象大致是( )

A . lg e ? (lg e)2 ? lg e B . lg e ? lg e ? (lg e)2
C . (lg e)2 ? lg e ? lg e D . ?lg e?2 ? lg e ? lg e

13.2008 年(全国二 4)若 x ? (e ,, 1) a ? ln x,b ? 2ln x,c ? ln x ,则(
3

?1

4.当 ) C. b < a < c D. b < c < a ) D. b ? c ? a

时,函数



的图象只可能是()

A. a < b < c

B. c < a < b

14.(北京卷 2)若 a ? 20.5 , b ? logπ 3 , c ? log 2 sin A. a ? b ? c B. b ? a ? c
1.1 3.1 15.设 a ? log3 7 , b ? 2 , c ? 0.8 则( )

2π ,则( 5 C. c ? a ? b

(A) b ? a ? c 16.已知 a ? 2 A. a ? b ? c
? 1 3

(B) c ? a ? b , b ? log 2

(C) c ? b ? a

(D) a ? c ? b ) D. c ? b ? a )

5.如图,曲线是对数函数 的 值依次为( ).

的图象,已知

的取值

,则相应于曲线

1 1 , c ? log 1 ,则( 3 2 3
C. c ? a ? b

B. a ? c ? b

17. [2014?天津文卷] 设 a ? log2 ? , b ? log1 ? , c ? ? ?2 , 则(
2

A. 6.函数 y ? log 2

B.
1 的图像大致是 x y

C.

D. ( )

A. a ? b ? c

B. b ? a ? c

C. a ? c ? b
log2 3.4

D. c ? b ? a

18.[2011·天津卷] 已知 a ? 5 A. a ? b ? c

,b ? 5

log4 3.6

B. b ? a ? c

?1? ,c ? ? ? ,则 ?5? C. a ? c ? b D. c ? a ? b
( ) C、 (0,+∞) D、 [1,??)
14

log3 0.3

y

y

y

o
A

x

o
B

x

o
C

x

o
D

x

题型二:对数函数的图像
1.函数 f ( x) ?| log1 x | 的单调递增区间是
2

7、已知函数 y ? loga ( x ? c)(a, c为常数,其中a ? 0, a ? 1) 的图象如右图,则下列结论成立的是

1 A、 ( 0, ] 2

B、 (0,1]

高中数学讲义
E

韩立波数学 微信:hlb183547730 题型三:值域或最值问题 1.函数 y=log 1 (x2-6x+17)的值域是(



O

x

2

(A) a ? 0, c ? 1 (C) 0 ? a ? 1, c ? 1

(B) a ? 1, 0 ? c ? 1 (D) 0 ? a ? 1,0 ? c ? 1

B. [8 , + ? ] ( - ? , -3 】 D. [3 , + ? ] 2. 函数 1 2 ?2 f ( x) ? 2(log ? b ,在 x ? 时取得最小值,则 a ? _______ 2 x) ? a log2 x 2 A.R 3.设函数 f ( x) = log3 ( x 2 ? 4mx ? 4m2 ? m) (1)求使 y ? f ( x) 的定义域为全体实数的 m 的取值范围. (2)是否存在常数 m,使函数 y ? f ( x) 的最小值是 0. 4.函数 的值域为__________.

8.若函数 y ? loga x(a ? 0, 且a ? 1) 的图像如右图所示,则下列函数图像正确的是( )

5.函数 f ( x) ? log x ? log 2 (2x) 的最小值为_________.

9.函数 y=ax2+ bx 与 y= log b x (ab ≠0,| a |≠| b |)在同一直角坐标系中的图像可能是
| | a

题型四:恒过点问题
1. 函数 y ? log a ( x ? 2) ? 1 的图象过定点 A.(1,2) 2.函数
a

( C.(-2,1) D.(-1,1)



B.(2,1)
2 2

y ? log (2 x ? 3) ?

的图像恒过定点 P 的坐标是 。

3.函数 y ? loga ( x ? 3) ? 3(a ? 0 且 a ? 1) 恒过定点

题型八:对数不等式

1.若

,则

的取值范围是_________.

2.使 log2 (? x) ? x ? 1 成立的 x 的取值范围是 3.设 0 ? a ? 1 ,函数 f ( x) ? loga (a 2 x ? 2a x ? 2) ,则使 f ( x) ? 0 的 x 的取值范围是(
1 10.当 0<x≤2时,4x<logax,则 a 的取值范围是 2 (A)(0, 2 ) 2 (B)( 2 ,1) (C)(1, 2) (D)( 2,2) 15



A (?? , 0)

B (0 , ??)

C (?? , log a 3)

D (log a 3 , ??)

4. (天津卷 10) 设 a ?1, 若对于任意的 x ? [a, 2a] , 都有 y ?[a, a2 ] 满足方程 log a x ? log a y ? 3 ,

高中数学讲义
这时 a 的取值集合为 B (A) {a |1 ? a ? 2} (B) {a | a ? 2} (C) {a | 2 ? a ? 3} (D) {2,3}

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幂函数
例 1、下列结论中,正确的是( ) A.幂函数的图象都通过点(0,0),(1,1) B.幂函数的图象可以出现在第四象限 1 C.当幂指数 α 取 1,3,2时,幂函数 y=xα 是增函数 D.当幂指数 α=-1 时,幂函数 y=xα 在定义域上是减函数 例 2、已知幂函数 f(x)=(t3-t+1) x 5 (t∈Z)是偶函数且在(0,+∞)上为增函数,求实 数 t 的值. 例 3、如图是幂函数 y=xm 与 y=xn 在第一象限内的图象,则( )
1 ( 7 ? 3t ? 2 t 2 )

反函数
1、方程 x+lgx=3,x+10 =3 的解分别为 x1,x2,则 x1+x2=____________ 2、若 x1 满足 2x+ 2 =5, x 2 满足 2x+2 log 2 (x-1)=5, x1 + x 2 = (A)
x
x

5 2

(B)3

(C)

7 2

(D)4 )

3、设点 P 在曲线 y ?

1 x e 上,点 Q 在曲线 y ? ln(2 x) 上,则 PQ 最小值为( 2
( B)

( A) 1 ? ln 2

2(1 ? ln 2)

(C ) 1 ? ln 2
)

( D ) 2(1 ? ln 2)

1?x 4、.函数 y=? ?2? +1 的图象关于直线 y=x 对称的图象大致是(

A.-1<n<0<m<1
1

B.n<-1,0<m<1

C.-1<n<0,m>1

D.n<-1,m>1
1?x 5.已知 f(x)是 R 上的奇函数,且当 x>0 时,f(x)=? ?2? +1,则 f(x)的反函数的图象大致是( )

例 4、已知 x2>x3,求 x 的取值范围. 例 5、函数 f(x)=(m2-m-1) x 的解析式.
m 2 ? m ?3

是幂函数,且当 x∈(0,+∞)时,f(x)是增函数,求 f(x)

例 6、比较下列各组中两个数的大小:
3 3

(1) 1.5 5 , 1.7 5 ; (2)0.71.5,0.61.5; (3) (-1.2) 例 7、



2 3

, (- 1.25)



2 3



已知幂函数 y=x3m-9 (m∈N*)的图象关于 y 轴对称,且在(0,+∞)上函数值随 x 的 m m 增大而减小,求满足(a+1)- 3 <(3-2a)- 3 的 a 的范围. 例 8、已知幂函数 y= x (m∈Z)的图象与 x 轴、y 轴都无公共点,且关于 y 轴对称,求 m 的值,且画出它的图象. 例 9、在同意直角坐标系中,函数 f ( x) ? xa ( x ? 0), g ( x) ? loga x 的图像可能是( )
m2 ?2 m?3

函数图像:
1、 函数 y ?

e x ? e? x 的图像大致为 e x ? e? x

y 1 O 1 x 1

y

y 1

y 1 x O D 1 x 2、 奇函 数 y=f(x)

O1

x

O 1

16

A

B

C

高中数学讲义
(x≠0 ) , 当 x∈(0,+∞)时,f (x)=x-1 ,则函数 f(x-1)的图象是 Y Y Y Y

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6、如图,质点 P 在半径为 2 的圆周上逆时针运动,其初始位置为 P0( 2 ,- 2 ) ,角速度为 1,那么 点 P 到 x 轴距离 d 关于时间 t 的函数图像大致为 O
1X -1

-1

O

1 X -1

O

1

X

O
2

X

3、为了得到函数 y ? lg

x?3 的图像,只需把函数 y ? lg x 的图像上所有的点 10

A.向左平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 B.向右平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 C.向左平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度 D.向右平移 3 个单位长度,再向 下平移 1 个单位长度

7.如图,圆 O 的半径为 1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点,角 x 的始边为射线 OA ,终边为射线 OP , 4、函数 f(x)=1+log2x 与 g(x)=2-x+1 在同一直角坐标系下的图象大致是( ) 过点 P 作直线 OA 的垂线,垂足为 M ,将点 M 到直线 OP 的距离表示为 x 的函数 f ( x ) ,则 y = f ( x ) 在 [0, ? ]上的图像大致为

5、函数 f ( x) ? a

x ?b

的图象如图,其中 a、b 为常数,则下列结论正确的是(



2 8.函数 f ? x ? ? ln x ? 1 的图像大致是

?

?

9.如图, 半径为 1 的半圆 O 与等边三角形 ABC 夹在两平行线, A. a ? 1, b ? 0 B. a ? 1, b ? 0 C. 0 ? a ? 1, b ? 0 D. 0 ? a ? 1, b ? 0

l1 , l2 之间 l // l1 , l 与半圆相交于 F,G 两点,与三角形 ABC 两

17

高中数学讲义
边相交于E,D两点,设弧 FG 的长为 x(0 ? x ? ? ) , y ? EB ? BC ? CD ,若 l 从 l1 平行移动到 l2 ,则 函数 y ? f ( x) 的图像大致是

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cos6 x 12 函数 y ? x 的图象大致为 2 ? 2? x

13 . 已 知 定 义 在 区 间 [0,2] 上 的 函 数 y=f(x) 的 图 像 如 图 所 示 , 则 y=-f(2-x) 的 图 像 为

10.函数 y ?

x2 的图象大致是() 3x ? 1
14、函数 y ?

x ? 2sin x 的图象大致是 2

11、已知函数 f ( x) ?

1 ,则 y ? f ( x) 的图像大致为 ln( x ? 1) ? x

方程与零点
2 1、一元二次方程 4kx ? 4kx ? k ? 1 ? 0 的两个实数之差为 7,求 k 值。
2

2、若一元二次方程(m-1)x +2(m+1)x-m=0 有两个正根,求 m 的取值范围。 3、k 在何范围内取值,一元二次方程 kx2+3kx+k-3=0 有一个正根和一个负根? 4、关于 x 的方程 x ? 1 ? x ? 1 ? k ? 0 ,给出下列四个命题: ①存在实数 k ,使得方程恰有 2 个
2 2

?

?

2

不同的实根; ②存在实数 k ,使得方程恰有 4 个不同的实根;③存在实数 k ,使得方程恰有 5 个不同 的实根; ④存在实数 k ,使得方程恰有 8 个不同的实根.其中假命题的个数是 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5、已知函数 f ( x) ?| lg x | .若 a ? b 且, f (a) ? f (b) ,则 a ? b 的取值范围是 (A) (1, ??)
2

(B) [1, ??)

(C) (2, ??)

(D) [2, ??)

6、方程 lg x ? lg( x ? 2) ? 0 的解集是___________。 18

高中数学讲义
7、已知 f(x)=(x-a) (x-b)-2(a<b) ,并且 ? 、 ? 是方程 f(x)=0 的两个根( ? < ? ) ,则 实数 a、b、 ? 、 ? 的大小关系可能是( A、 ? <a<b< ? B.a< ? < ? <b ) C.a< ? <b< ? D. ? <a< ? <b

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8、已知函数 y ?

x2 ?1 x ?1

的图像与函数 y ? kx 的图像恰有两个交点,则实数 k 的取值范围是

x 9、函数 f(x)= 2 ? 3 x 的零点所在的一个区间是 (A)(-2,-1)(B)(-1,0)(C)(0,1)(D)(1,2)

10、函数 ( f x)= ? A.3 B.2

?x 2 +2x-3,x ? 0 ?-2+ln x,x>0
C.1

的零点个数为 ( D.0

)

11.设函数 f ( x) ? ex ? x ? 2, g ( x) ? ln x ? x2 ? 3 . 若实数 a, b 满足 f (a) ? 0, g (b) ? 0 , 则 (A) g (a) ? 0 ? f (b) (B) f (b) ? 0 ? g (a) (C) 0 ? g (a) ? f (b) (D) f (b) ? g (a) ? 0

19


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