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数列周练一


四川省各地 2014 届数学模拟试题分类汇编 数列
一、选择题 1、(雅安中学 2014 届高三上学期 12 月月考)设 Sn 是公差不为 0 的等差数列 {an } 的前 n 项和,且

a S1 , S2 , S4 成等比数列,则 2 的值为( ) a1
A.1 答案:C B.2 C.3

学科网

D.4

2、 (成都七中 2014 届高三上期中考试) Δ ABC 中, 已知 a、 b、 c 分别是角 A、 B、 C 的对边, 且 A、 B、C 成等差数列,则角 C=( A. ) C.

a cos B , ? b cos A

?
3

B.

?
6

?
6



?
2

D.

?
3



?
2

答案:D 3、 (成都高新区 2014 届高三 10 月统一检测) 设等差数列{an }的前 n 项和为 S n , 若 a1 ? 9 , a6 ? a 4 ? 2 , 则当 S n 取最大值 n 等于 A.4 答案:B B.5 C.6 D.7

4、(成都石室中学 2014 届高三上学期期中)已知数列 ?an ? 是等差数列,且 a1 ? a4 ? a7 ? 2? ,则

tan(a3 ? a5 ) 的值为(
A. 答案:A



3

B. ? 3

C.

3 3

D. ?

3 3
2

5、(成都外国语学校 2014 届高三 11 月月考)已知数列{an } 的前 n 项和 S n ? n ? n ,正项等比数
2 列 {bn } 中, b2 ? a3 , bn ?3bn ?1 ? 4bn (n ? 2, n ? N ? ) ,则 log 2 bn ? ( D



A. n ? 1 答案:D 列前 11 项的和 S11 等于 A.58 答案:B 二、填空题

B. 2n ? 1

C. n ? 2

D. n

6、(达州市普通高中 2014 届高三第一次诊断检测)在等差数列{an } 中,已知 a4 ? a8 ? 16 ,则该数 B.88 C.143 D. 176

1 、(绵 阳市南 山中学 2014 届高 三上学 期 12 月 月考) 等比数 列

?an ?的前 n 项和为 S

n

,且

4a1 ,2a2 , a3 成等差数列。若 a1 ? 1 ,则 S 4 ?



答案:15
2、(雅安中学 2014 届高三上学期 12 月月考)已知角

,构成公差为 的等差数列.若



则 答案: -

=________ .

3、 (成都高新区 2014 届高三 10 月统一检测) 已知等差数列 ?an ? 中, 若 a1 ? ?3 , Sn 为其前 n 项和,

2 3

S5 ? S10 ,则当 Sn 取到最小值时 n 的值为_________. 答案:7 或 8
4、 (成都外国语学校 2014 届高三 11 月月考) 公差不为 0 的等差数列{an } 的部分项 ak , ak , ak , 1 2 3 构成等比数列,且 k1 ? 1, k2 ? 2, k3 ? 6 ,则 k4 = . ,

答案: 22 5、(泸州市 2014 届高三第一次教学质量诊断)等比数列{an } 中,若公比 q ? 4 ,且前 3 项之和等于 21,则该数列的通项公式 an ? 答案: an ? 4n ?1 6、(绵阳市高中 2014 届高三 11 月第一次诊断性考试)设数列{ an }的前 n 项和为 Sn ? n 。,中 a5
2



=___ 答案:9 三、解答题, 1、(绵阳市南山中学 2014 届高三上学期 12 月月考) 已知:等差数列{an }中,a3 + a4 = 15,a2 a5 = 54,公差 d < 0. (I)求数列{an }的通项公式 an ; (II)求数列的前 n 项和 Sn 的最大值及相应的 n 的值. 解:(1)?{an } 为等差数列,? a2 ? a5 ? a3 ? a4

?a2 ? a5 ? 15 ?a2 ? 6 ?a2 ? 9 ?? 解得 ? (因 d<0,舍去) ? ?a5 ? 9 ?a5 ? 6 ?a2 ? a5 ? 54

?

?

d ? ?1 a1 ?1

? an ? 11? n. .............................................................................6 分

(2)? a1 ? 10, an ? 11? n

? Sn ?
又?

n(a1 ? a n ) 1 21 ? ? n 2 ? n. ................................................................9 分 2 2 2

1 21 ? 0 ,对称轴为 ,故当 学科网n = 10 或 11 时,.........................................11 分 2 2

Sn 取得最大值,其最大值为 55............................................................................12 分 2 、 ( 雅 安 中 学 2014 届 高 三 上 学 期 12 月 月 考 ) 等 比 数 列 ?an ? 的 各 项 均 为 正 数 , 且

2a1 ? 3a2 ? 1, a32 ? 9a2a6 .
(1)求数列 ?an ? 的通项公式. (2)设 bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ...... ? log3 an , 求数列 ? 答案:

?1? ? 的前项和. ? bn ?

3、(成都高新区 2014 届高三 10 月统一检测) ? 已知 f ( x) ? log a x (a ? 0 且 a ? 1 ), 设 f (a1 ), f (a 2 ), ? f ( a n ) ( n ? N )是首项为 4,公差为 2 的等 差数列. (Ⅰ)设 a 为常数,求证:{an }成等比数列; (Ⅰ)证明 f(an )=4+(n-1)×2=2n+2,
2n +2

(Ⅱ)若 bn ? a n f (a n ), ?bn ?的前 n 项和是 S n ,当 a ? ?? 2 分 即 loga an =2n+2,可得 an =a . 2 n +2 2 n +2 a a a ∴ n = 2 ?n -1 ?+ 2= 2 n =a2 (n≥2)为定值 an - 1 a a 2 ∴{an }为以 a 为公比的等比数列 (Ⅱ)解 bn =anf (an )=a loga a =(2n+2)a 2 n +2 当 a= 2时,bn =(2n+2)( 2) =(n+1)2n +2 . . Sn =2· 2 +3· 2 +4· 2 +?+(n+1)· 2 ,① 4 5 6 n +2 2Sn =2· 2 +3· 2 +4· 2 +?+n· 2 +(n+1)· 2n+ 3 ,② ① -②,得 -Sn =2· 23 +24 +25 +?+2n+ 2 -(n+1)· 2n +3
3 4 5 n+ 2 2n +2 2 n +2 2 n+ 2

2 时,求 S n .

??4 分 ??5 分 ??7 分

?? 9 分

=16+

24 ?1-2n- 1 ? -(n+1)· 2n+ 3 1-2 ??12 分

=16+2n + 3 -24 -n· 2n+ 3 -2n +3 =-n· 2n +3 . n+ 3 ∴Sn =n· 2 4、(成都石室中学 2014 届高三上学期期中) 已知数列 ?an ? 的各项均是正数,其前 n 项和为 Sn ,满足 S n ? 4 ? an . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ?

3 1 (n ? N ? ), 数列 {bnbn?2 } 的前 n 项和为 Tn ,求证: Tn ? . 4 2 ? log2 an
????????????????2 分

解:(Ⅰ)由题设知 S1 ? 4 ? a1 , a1 ? 2 , 由?

?Sn ? 4 ? an 两式相减,得 Sn?1 ? Sn ? an ? an?1 . ?Sn?1 ? 4 ? an?1
an?1 1 ? . an 2
??????????????4 分

所以 an ?1 ? an ? an ?1 ,2an ?1 ? an即

可见,数列 ?an ?是首项为 2,公比为

1 的等比数列。 2
????????????????6 分

?1? 所以 an ? 2 ? ? ? ? 2?
(Ⅱ) bn ?

n ?1

?1? ?? ? ? 2?

n?2

1 1 1 ? ? , ??????????????? 8 分 2 ? log2 an 2 ? (2 ? n) n 1 1 ?1 1 ? ? ? ? ?. n(n ? 2) 2 ? n n ? 2 ?
??????????????? 10 分

bnbn? 2 ?

Tn ? b1b3 ? b2b4 ? b3b5 ? ?? bnbn?2

?

1 ?? 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? ?? 1 1 ?? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? 2 ?? 3 ? ? 2 4 ? ? 3 5 ? ? n n ? 2 ??
????????????????12 分

=

1? 1 1 1 ? 3 ? ?1 ? ? ?? . 2 ? 2 n ?1 n ? 2 ? 4

5、(成都市 2014 届高三上学期摸底)已知数列{an}是公差不为 0 的等差数列,a1 =2,且。a2 是 a1 、 a4 的等比中项,n∈ N*. (I)求数列{an }的通项公式 an ; (Ⅱ )若数列{an}的前 n 项和为 Sn 记数列 ?

?1? ? 的前 n 项和为 Tn ,求证:Tn ? 1。 ? Sn ?

答案:

6、(树德中学高 2014 届高三上学期期中)
(1 )求 an 及 Sn ;

已知等差数列 ?an ? 满足: a3 ? 9, a5 ? a7 ? 30 , ?an ? 的前 n 项和为 Sn .

?1? 1 N *) 成等差数列,且 b1 ? 3 ,设数列 ? ? (2 )已知数列?bn ? 的第 n 项为 bn ,若 bn , bn ?1,an (n ? 2 ? bn ? ?1? 的前 n 项和 Tn .求数列 ? ? 的前 n 项和Tn . ? bn ?


【解析】(1)设等差数列 ?an ? 的公差为 d ? d ? 0? ,因为 a5 ? a7 ? 30 ,

a5 ? a7 ? 2a6 ,? a6 ? 15 ; ………………2 分 a ?a d ? 6 3 ? 2 ,所以 an ? 2n+3 . ………………4 分 6?3 n ? a1 ? an ? n ? 5 ? 2n ? 3? ? ? n 2 ? 4n . ?a1 ? 5 ,? Sn ? ………………6 分 2 2 (2)由(1)知 b1 ? a1 , ,?b1 ? 3 1 1 因为 bn , bn ?1 , an ? n ? N *? 成等差数列, an ? bn ? 2 ? bn ?1 ? n ? N *? , 2 2 ?bn?1 ? bn ? an ? b ?b ? a n ? 2, n ? N
,所以
n n ?1 n ?1

?

?.

………………8 分

故 bn ? ?bn ? bn?1 ? ? ?bn?1 ? bn?2 ? ? …? ?b2 ? b1 ? ? b1 ? ? an?1 ? an?2 ? …? a1 ? ? b1

?

? n ? 1? ? ?2 ? n ? 1? ? 3 ? 3? ?
2

? 3 ? ? n ? 1?? n ? 3? ? 3 ? n2 ? 2n

? n ? n ? 2 ? ? n ? 2, n ? N? ? .
又因为 b1 ? 3 满足上式,所以 bn ? n ? n ? 2 ? 所以

?n ? N ?
?

………………10 分

1 1 1?1 1 ? ? ? ? ? ?. bn n ? n ? 2 ? 2 ? n n ? 2 ?
1? 1 1 1 1 1 ? 1? 1 1 1 ? ? ?1 ? ? ? ? … ? ? ? ? ?1 ? ? ? 2? 3 2 4 n n ? 2 ? 2 ? 2 n ?1 n ? 2 ?

故 Tn ?

?

3n2 ? 5n .…………12 分 4 ? n ? 1?? n ? 2 ?

7、(成都外国语学校 2014 届高三 11 月月考) 在数列 {a n } 中 a n ?1 ? 2a n ? 2 n ?1 ( n ? N * ), a1 ? 2 ,(1)求证:数列 { 数列 {a n } 的通项公式;(2)求数列 {a n } 前 n 项和 S n . 解:(1)由已知得,

an } 是等差数列,并求 2n

an ?1 an a ?1 an ? n ? 1 ,即 n ? ?1 n ?1 2 2 2n ?1 2n

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄2 分

所以数列 {

an a } 是以 1 ? 1 为首项,1 为公差的等差数列 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4 分 n 2 2
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6 分 ┄┄┄┄┄┄① ┄┄②┄┄┄┄┄┄┄┄┄8 分

an ? 1 ? (n ? 1) ? n ? an ? n ? 2n n 2
(2) S n ? 1? 21 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ?

? n ? 2n

2Sn ?

1 ? 2 2 ? 2 ? 23 ?
2

? ( n ? 1) ? 2 n ? n ? 2 n ?1
3

由①-②,得 ? S n ? 2 ? 2 ? 2 ?

? 2n ? n ? 2n ?1

?

2(1 ? 2n ) ? n ? 2n ?1 ? 2n ?1 ? 2 ? n ? 2n ?1 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄10 分 1? 2

? S n ? (n ? 1) ? 2n ?1 ? 2 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12 分
8、(达州市普通高中 2014 届高三第一次诊断检测) 已知函数 {an } 是首项为 2,公比为 列. (1)求数列 {an },{bn } 的通项式 (2)求数列 {bn } 的前 n 项和 sn 。 1 解:(1)∵数列{ an }是首项 a1 =2,公比 q= 的等比数列, 2

1 的等比数列,数列 {an ? bn } 是首项为-2,第三项为 2 的等差数 2

∴an =2· ( )

1 2

n -1

=2

2 -n

, n ? N ? ???????3 分

依题意得数列{bn +an }的公差 d=

2 ? ( ?2) =2, 2

∴bn +an =-2+2(n-1)=2n-4,

n ? N ? ????????6 分 1 2?1- n ? ? 2 ? ? 1? (2) 设 s n 为{ an }的前 n 项和,由(1)得 Sn = =4 1- n ........9 分 1 ? 2?
∴bn =2n-4-2
2 -n



1-

2

设数列{bn +an }的前 n 项和为 Pn . 则 Pn = n( -3), n ( ?2 ? = 2n ?n4) 1? 2 ? 2 -n 2 12 分 ∴Tn =Pn -Sn =n(n-3)-4 1- n =n -3n-4+2 ???? ? 2? 9、(德阳中学 2014 届高三“零诊”考试) 2 单调递增数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且满足 2 S n ? an ?n, (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)数列 {bn } 满足 an ?1 ? log 3 bn ? log 3 an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .
2 (1)将 n ? 1 代入 2 S n ? an ?n

(1) (2)

解得: a1 ? 1

当 n ? 2 时: 2S n?1 ? an?1 ? n ? 1
2 2

2

由(1)-(2)得: 2an ? an ? an?1 ? 1 即: an ? an?1 ? 1或 an ? an?1 ? 1

整理得: (an ? 1) ? an?1 ? 0
2

2

( n ? 2)

又因为 ?an ?单调递增,故: an ? an?1 ? 1 所以: ?an ?是首项为 1,公差为 1 的等差数列, an ? n (2)由 an ?1 ? log 3 bn ? log 3 an 得: n ? 1 ? log3 bn ? log3 n 利用错位相减法解得: Tn ? 即: bn ?

n 3 n ?1

1 2n ? 3 (1 ? n ?1 ) 4 3

10、(泸州市 2014 届高三第一次教学质量诊断) 设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 a3 ? 6 , S10 ? 110 . (Ⅰ )求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ )设数列 {bn } 前 n 项和为 Tn ,且 Tn ? 1 ? (
Rn .
? 2 an ) ,令 cn ? anbn (n ? N ) .求数列 {cn } 的前 n 项和 2

解:(Ⅰ )设等差数列 {an } 的公差为 d ,

∵a1 ? 2d ? 6 , 2a1 ? 9d ? 22 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 ∴a1 ? 2 , d ? 2 ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·· · · · 4分 所以数列 {an } 的通项公式 an ? 2 ? ? n ? 1? ? 2 ? 2n ; · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 (Ⅱ )因为 Tn ? 1 ? (
2 an 2 1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·· · · · 7分 ) ? 1 ? ( ) 2 n ? 1 ? ( )n , · 2 2 2 2 1 当 n ? 1 时, a1 ? T1 ? 1 ? ( )2 ? , 2 2 1 1 1 当 n ≥ 2 时, an ? Tn ? Tn?1 ? 1 ? ( )n ? 1 ? ( )n ?1 ? ( )n , 2 2 2 1 n 且 n ? 1 时满足 an ? ( ) , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·· · · · 8分 2 所以数列 {an } 的通项公式为 an ? 2n ;

2n n · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·· · · · 9分 ? n ?1 ,· n 2 2 1 2 3 n 所以 Rn ? 0 ? 1 ? 2 ? ? n ?1 , 2 2 2 2 1 1 2 3 n 即 Rn ? ? 2 ? 3 ? ? n , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 2 2 2 2 2 1 1? n 1 1 1 1 1 n 2 ? n ? 2? n?2 , · 两式相减得: Rn ? 0 ? 1 ? 2 ? ? n ?1 ? n ? · · · · · · · · · · · · 11 分 n 1 2n 2 2 2 2 2 2 2 1? 2 n?2 所以 Rn ? 4 ? n ?1 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·· · 12 分 2 11、(绵阳市高中 2014 届高三 11 月第一次诊断性考试)

所以 cn ?

已知{ an }为等差数列,且 a4 ? 14, a5 ? a8 ? 48 。 (I)求{ an }的通项公式; (II)设 Sn 是等比数列{ bn }的前 n 项和,若 解:(I)设{an }的公差为 d,则由题知 成等差数列,求 S4 。

?a1 ? 3d ? 14, 解得 a1 =2,d=4. ……………………………………4 分 ? ?a1 ? 4d ? a1 ? 7d ? 48,
∴ an =2+4(n-1)=4n-2.…………………………………………………………6 分 (II)设{bn}的公比为 q, 若 q=1,则 S1 =b1 ,S2 =2b1 ,S3 =3b1 , 由已知 2 ? 2S2 ? 3S1 ? S3 ,代入得 8b1 =4b1 ,而 b1 ≠0,故 q=1 不合题意. …………………………………………………………7 分 若 q≠1,则 S1 =b1 , S 2 ? 于是 2 ? 2 ?

b1 (1 ? q ) b (1 ? q 3 ) , S3 ? 1 , 1? q 1? q

2

b1 (1 ? q 2 ) b (1 ? q 3 ) ? 3b1 ? 1 , 1? q 1? q
………10 分
4

整理得:4q2 =3q+q3 ,解得 q=0(舍去),q=1(舍去),q=3, ∴S 4 ?

2 ? (1 ? 3 ) ? 80 . ………………………………………………………12 分 1? 3

12、(什邡中学高中 2014 届高三上学期第二次月考) 设等差数列{an }的前 n 项和为 Sn ,且 S4 =4S2 ,a2 n =2an +1. (Ⅰ)求数列{an }的通项公式; (Ⅱ)证明:对一切正整数 n,有 1 1 1 1 + +?+ < . a1 a2 a2 a3 a n an + 1 2

解:(Ⅰ)设等差数列{an }的公差为 d,则
? ? ?4a1 +6d=8a1 +4d, ? a1 = 1, ? 解得? ? a1 +(2n-1)d=2a1 +2(n-1) d+1. ? ? ?d=2.

∴an =2n-1,n∈N* .???????????????????????6 分 (Ⅱ)∵ ∴ 1 1 1 1 1 = = ( - ), an an +1 (2n-1)(2n+1) 2 2n-1 2n+1 1 1 1 + +?+ a1 a2 a2 a3 a n an + 1

1 1 1 1 1 1 = [(1- )+( - )+?+( - )] 2 3 3 5 2n-1 2n+1 1 1 1 = (1- )< .????????????????????????12 分 2 2n+1 2 13、(资阳市 2014 届高三上学期第一次诊断性考试) 在等比数列 {an } 中, a1 ? 1 ,且 4a1 , 2a2 , a 3 成等差数列. (Ⅰ )求 a n ; (Ⅱ )令 bn ? log2 an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn . 【解】(Ⅰ )设 {an } 的公比为 q ,由 4a1 , 2a2 , a3 成等差数列,得 4a1 ? a3 ? 4a2 . 又 a1 ? 1 ,则 4 ? q2 ? 4q ,解得 q ? 2 . ∴an ? 2n?1 ( n ? N* ). · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 (Ⅱ ) bn ? log2 2n?1 ? n ? 1 ,∴bn ?1 ? bn ? 1 , {bn } 是首项为 0,公差为 1 的等差数列, n(n ? 1) 它的前 n 项和 Sn ? .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 2



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