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高中数学必修2(R-A版)过关测试:第二章+点、直线、平面之间的关系+过关测试卷


第二章过关测试卷 (100 分,45 分钟) 一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的) 1. 已知正方体 ABCD- A1 B1C1 D1 中,O 是 BD1 的中点,直线 A1C 交平面 AB1 D1 于 点 M,则下列结论错误的是( A. A1 、M、O 三点共线 C.A、O、C、M 四点共面 ) B.M、O、 A1 、A 四点共面 D.B、 B1 、O、M 四点共面

2. 若 l 为一条直线,α,β,γ 为三个互不重合的平面,给出下面三个命题:① α⊥ γ, β⊥ γ,α⊥ β;② α⊥ γ,β∥ γ,α⊥ β;③l ∥ α, l ⊥ β,α⊥ β.其中正确的命题有( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 3.〈深圳模拟〉已知直线 m,n 和平面 α,β,若 α⊥ β,α∩β=m,n ? α,要使 n⊥ β, 则应增加的条件是( ) A.m∥ n B.n⊥ m C.n∥ α D.n⊥ α 4. 二面角 α-α-β 的平面角为 120° ,在平面 α 内,AB⊥ α 于 B,AB=2,在平面 β 内,CD⊥a 于 D,CD=3,BD=1,M 是棱 a 上的一个动点,则 AM+CM 的最小 值为( ) A.6 B. 2 2 C. 26 D. 2 6

5. 如图 1,正方体 ABCD- A1 B1C1 D1 中,E,F 分别为棱 AB, CC1 的中点,在平 面 ADD1 A1 内且与平面 D1 EF 平行的直线( A.不存在 B.有 1 条 ) C.有 2 条 D.有无数条

图1 6. 〈塘沽模拟〉如图 2,边长为 a 的等边三角形 ABC 的中线 AF 与中位线 DE 交 于点 G,已知△ A?DE 是△ ADE 绕 DE 旋转过程中的一个图形,则下列结论中正 确的是( ) ① 动点 A? 在平面 ABC 上的射影在线段 AF 上; ② BC∥ 平面 A?DE ; ③ 三棱锥 A? ? FED 的体积有最大值. A.① B.① ② C.① ② ③ D.② ③

图2 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 7.〈汕头质检〉若 m,n 为两条不重合的直线,α,β 为两个不重合的平面,则下 列命题中真命题的序号是 . ① 若 m,n 都平行于平面 α,则 m,n 一定不是相交直线; ② 若 m,n 都垂直于平面 α,则 m,n 一定是平行直线; ③ 已知 α,β 互相平行,m,n 互相平行,若 m∥ α,则 n∥ β; ④ 若 m,n 在平面 α 内的射影互相平行,则 m,n 互相平行. 8. 平面 α、β 相交,在 α、β 内各取两点,这四点都不在交线上,这四点能确定 _______个平面. 9.〈唐山模拟〉已知正三棱柱 ABC- A1 B1C1 中, AA 1 =2AB,M 为 CC1 的中点, 则直线 BM 与平面 AA1 B1 B 所成角的正弦值是 .

10. 如图 3 所示, 在正四棱柱 ABCD- A1 B1C1 D1 中, E、 F、 G、 H 分别是棱 CC1 、C1 D1 、D1 D 、DC 的中点,N 是 BC 的中点, 点 M 在四边形 EFGH 及其内部运动,则 M 满足条件 有 MN∥ 面 B1 BDD1 . 三、解答题(11 题 14 分,12、13 题每题 15 分,共 44 分.解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤) 11. 如图 4,在三棱锥 P-ABC 中,PA⊥ 底面 ABC,D,E 分别是线段 BC,PD 的中点. (1)若 AP=AB=AC=2,BC= 2 3 ,求三棱锥 P-ABC 的体积; (2)若点 F 在线段 AB 上,且 AF=
1 AB,证明:直线 EF∥ 平面 PAC. 4

时,

图3

图4

12. 如图 5 所示,在直四棱柱 ABCD- A1 B1C1 D1 中,DB=BC,DB⊥ AC,点 M 是 棱 BB1 上一点. (1)求证: B1 D1 ∥ 平面 A1 BD ; (2)求证:MD⊥ AC; (3)试确定点 M 的位置,使得平面 DMC1 ⊥ 平面 CC1 D1 D ,并说明理由.

图5

13.〈西城模拟〉如图 6,已知在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,PA⊥ 平面 ABCD,PA=AD=1,AB=2,E,F 分别是 AB,PD 的中点. (1)求证:AF∥ 平面 PEC; (2)求 PC 与平面 ABCD 所成的角的正切值; (3)求二面角 P ? EC ? D 的正切值.

图6

参考答案及点拨 一、1. D 点拨:因为 O 是 BD1 的中点.由正方体的性质知,O 也是 A1C 的中点, 所以点 O 在直线 A1C 上,又直线 A1C 交平面 AB1 D1 于点 M,则 A1 、M、O 三点共 线,又直线与直线外一点确定一个平面,所以 B、C 正确. 2. C 点拨:① 中两平面都与第三个平面垂直,这两个平面还可能是平行,也可 能是一般的相交,① 错;② 中两平行平面中的一个与第三个平面垂直,则另一个 也与第三个平面垂直,② 正确; ③ 中l ∥ α,可在 α 内找到与 l 平行的直线,由 l ⊥ β, 得此直线必与 β 垂直,从而 α⊥ β,③ 正确,即正确命题的个数为 2. 3. B 点拨: 已知直线 m, n 和平面 α, β, 若 α⊥ β, α∩β=m, n ? α, 增加条件 n⊥ m, 由平面与平面垂直的性质定理可得 n⊥ β,B 正确,故选 B. 4. C 点拨: 将二面角 α- a -β 展开成一个平面, 当 AM+CM 变成矩形的一条对 角线时,AM+CM 最小,最小值为 (2 ? 3) 2 ? 1 ? 26 . 5. D 点拨:平面 ADD1 A1 与平面 D1 EF 有公共点 D1 ,由平面的基本性质中的公

理知必有过该点的公共线 l ,在平面 ADD1 A1 内与 l 平行的直线有无数条,且它们 都不在平面 D1 EF 内,由线面平行的判定定理知它们都与平面 D1 EF 平行. 6. C 点拨: ① 中由已知可得平面 A′FG⊥ 平面 ABC, ∴ 点 A′在平面 ABC 上的射影 在线段 AF 上.② 由 BC∥ DE 知 BC∥ 平面 A′DE.③ 当平面 A′DE⊥ 平面 ABC 时,三 棱锥 A′-FED 的体积达到最大(此时底面积不变,高最大) . 二、7. ② 点拨:① 为假命题,② 为真命题,在③ 中,n 可以平行于 β,也可以在 β 内,故是假命题,在④ 中,m,n 也可能异面,故为假命题. 8. 1 或 4 点拨:分类,如果这四点在同一平面内,那么确定 1 个平面;如果这 四点不共面,那么任意三点可确定 1 个平面,所以可确定 4 个平面.

答图 1 9.
6 点拨:如答图 1,取 AB, A1 B1 的中点 D, D1 ,连接 DD1 ,取 DD1 的中点 4

N, 连接 MN, BN, 则 MN⊥ 平面 AA1 B1 B .故∠ MBN 即为直线 BM 与平面 AA1 B1 B 所

成的角.设 AA 1 =2AB=2,则 MN= 10. M∈ 线段 HF

MN 3 6 ,BM= 2 .故 sin∠ MBN= = . BM 2 4

点拨:由题意知,HN∥ 面 B1 BDD1 ,FH∥ 面 B1 BDD1 .∵ HN∩FH

=H,∴ 面 NHF∥ 面 B1 BDD1 .∴ 当 M 在线段 HF 上运动时,有 MN∥ 面 B1 BDD1 . 三、11.(Ⅰ )解:在△ ABC 中,AB=AC=2,BC= 2 3 , 点 D 是线段 BC 的中点,∴ AD⊥ BC,∴ AD=1, 1 ∴S △ ABC ? ? 2 3 ? 1 ? 3 , 2 ∵ PA⊥ 底面 ABC,
1 1 2 3 ∴V三棱锥P ? ABC ? ? S △ ABC ? PA ? ? 3 ? 2 ? . 3 3 3

(Ⅱ )证法一:如答图 2,取 CD 的中点 H,连接 FH,EH, ∵ E 为线段 PD 的中点, ∴ △ PDC 中,EH∥ PC, ∵ EH ? 平面 PAC,PC ? 平面 PAC, ∴ EH∥ 平面 PAC, 1 ∵ AF= AB, 4 ∴ △ ABC 中,FH∥ AC, ∵ FH ? 平面 PAC,AC ? 平面 PAC, ∴ FH∥ 平面 PAC, ∵ FH ? EH=H,∴ 平面 EHF∥ 平面 PAC,

答图 2

∵ EF ? 平面 EHF,∴ EF∥ 平面 PAC. 证法二:如答图 3,分别取 AD,AB 的中点 M,N,连接 EM,MF,DN, ∵ 点 E、M 分别是线段 PD、AD 的中点, ∴ EM∥ PA, ∵ EM ? 平面 PAC,PA ? 平面 PAC, ∴ EM∥ 平面 PAC, 1 1 ∵ AN= AB,AF= AB, 2 4 ∴ 点 F 是线段 AN 的中点, 答图 3 ∵ 在△ ADN 中,AF=FN,AM=MD, ∴ MF∥ DN, ∵ 在△ ABC 中,AN=NB,CD=DB, ∴DN∥ AC, ∴ MF∥ AC, ∵ MF ? 平面 PAC,AC ? 平面 PAC,∴ MF∥ 平面 PAC, ∵ EM ? MF=M,∴ 平面 EMF∥ 平面 PAC,∵ EF ? 平面 EMF,∴ EF∥ 平面 PAC.

12. (1) 证明:由直四棱柱,得 BB1 ∥DD1 , BB1 = DD1 , ∴ 四边形 BB1 D1 D 是平行四边形, ∴B1 D1 ∥ BD. 而 BD ? 平面 A1 BD , B1 D1 ? 平面 A1 BD , ∴B1 D1 ∥ 平面 A1 BD . (2) 证明:∵BB1 ⊥ 平面 ABCD,AC ? 平面 ABCD, ∴ BB1⊥ AC. 又∵ DB⊥ AC,且 DB∩BB1=B, ∴ AC⊥ 平面 BB1D1D. 而 MD ? 平面 BB1D1D,∴ MD⊥ AC. (3) 解:当点 M 为棱 BB1 的中点时, 平面 DMC1⊥ 平面 CC1D1D.取 DC 的中点 N,D1C1 的中点 N1,连接 NN1 交 DC1 于 O,连接 OM,BN,如答图 4 所示. ∵ N 是 DC 的中点,BD=BC, ∴ BN⊥ DC. 又∵ DC 是平面 ABCD 与平面 DCC1D1 的交线, 而平面 ABCD⊥ 平面 DCC1D1, ∴ BN⊥ 平面 DCC1D1. 又可证得 O 是 NN1 的中点, ∴ BM∥ ON 且 BM=ON, 即四边形 BMON 是平行四边形. ∴ BN∥ OM.∴ OM⊥ 平面 CC1D1D. 答图 4 ∵ OM ? 平面 DMC1, ∴ 平面 DMC1⊥ 平面 CC1D1D. 13.(1) 证明:如答图 5,取 PC 的中点 O, 1 连接 OF,OE,则 FO∥ DC,且 FO= DC, 2 ∵ 底面 ABCD 是矩形,∴ AB∥ DC,且 AB=DC. ∴ FO∥ AE. 又 E 是 AB 的中点, ∴ FO=AE. ∴ 四边形 AEOF 是平行四边形, 答图 5 ∴ AF∥ OE. 又 OE ? 平面 PEC, AF ? 平面 PEC, ∴ AF∥ 平面 PEC. (2) 解:如答图 5,连接 AC. ∵ PA⊥ 平面 ABCD,

∴ ∠ PCA 是直线 PC 与平面 ABCD 所成的角. 在 Rt△ PAC 中, tan∠ PCA=
PA 5 1 = = , AC 5 5

即直线 PC 与平面 ABCD 所成的角的正切值为

5 . 5

(3) 解:如答图 5,作 AM⊥ CE,交 CE 的延长线于 M. 连接 PM,易得 ME⊥ 平面 PAM,∴ PM⊥ CE, ∴ ∠ PMA 是二面角 P-EC-D 的平面角. 由△ AME∽ △ CBE 可得 AM= ∴ tan∠ PMA=
PA = 2. AM

2 , 2

∴ 二面角 P-EC-D 的正切值为 2 .


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