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江门市2016年普通高中高三调研测试理科数学


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试卷类型:B

江门市 2016 年普通高中高三调研测试


参考公式:锥体的体积公式 V ?

学(理科)试



本试卷共 4 页,24 题,满分 150 分,测试用时 120 分钟.

1 Sh ,其中 S

是锥体的底面积, h 是锥体的高. 3

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四 个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 M ? x | x 2 ? 3x ? 2 ? 0 , N ? x | 2 ? 2 x ? 8 ,则 A. M ? N B. M ? N C. M ? N D. M ? N ? ?

?

?

?

?

2.已知 i 为虚数单位,则复数 z ? A.第一象限
0 0

1 ? 2i 在复平面内对应的点位于 i
C.第三象限
0

B.第二象限
0

D.第四象限

3. sin 20 cos110 ? cos160 sin 70 ? A. ? 1 B. 0 C. 1 D.以上均不正确

4.点 P 从点 O 出发,按逆时针方向沿周长为 l 的图形 运动一周, O 、 P 两点连线的距离 y 与点 P 走过的 路程 x 的函数关系如图 1,那么点 P 所走的图形是

y

O

l 2

x
图1

P

P

P

P

O
A.
2

O
B.

O
C.

O
D.

5.若“ ?x ? R , x ? mx ? 2m ? 3 ? 0 ”为假命题,则 m 的取值范围是 A. (?? , 2] ? [6 , ? ?) B. (?? , 2) ? (6 , ? ?) C.[2 , 6] D. (2 , 6)

x2 ? y 2 ? 1 的焦距为 6.已知实数 1 , m , 9 构成一个等比数列,则圆锥曲线 m A. 4 B. 2 2 C. 2 或 2 D. 2 2 或 4

7.已知函数 f ( x) ? sin(?x ? ? ) ( ? ? 0 , | ? |? 右平移

?
2

)的最小正周期是 ? ,若将其图像向

A.关于直线 x ? C.关于点 (

? 个单位长度后得到的图像关于原点对称,则函数 f ( x) 的图像 3 ? 5?

?
12

12

对称

B.关于直线 x ? D.关于点 (

, 0) 对称

5? , 0) 对称 12 3 OC ,则 2

12

对称

8.点 O 是 ?ABC 所在平面内的一点( O 不在直线 BC 上),若 OA ? 3OB ?

?ABC 与 ?OBC 的面积之比为 5 7 7 A. B. C. D.4 2 3 2 9.在平面直角坐标系中, A 、 B 分别是 x 轴, y 轴上的动点,若以 AB 为直径的圆 C 与
直线 2 x ? y ? 4 ? 0 相切,则圆 C 面积的最小值为 A.

4? 5

B.

C. (6 ? 2 5)?

3? 4 5? D. 4

3

10.一个几何体的三视图如图 2 所示, 则此几何体的体积是 A.112 B.80 C.72 D.64 11.已知正项数列 ?an ? , a2 ? 1 、 a3 、 a7 成等比数列,

4 正视图 侧视图

4 4 俯视图 图2

?an ?前 n 项和 S n 满足 an?12 ? 2Sn ? n ? 4 ,则
(n ? 6) S n 的最小值为
A. ? 26 B. ? 27 C. ? 28 D. ? 30

12.已知函数 f ( x) ? ?

?x 2 ? x ? a , x ? 0 ,若函数 f ( x) 的图象在 P 、 Q 两点处的切线 x?0 ?ln x ,
B. (1 , 2) C. (? ln 2 , ? ?) D. (?1 , ? ?)

重合,则常数 a 的取值范围为 A. (?2 , ? 1)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.
13 .若奇 函数 . .. f ( x) 满足对任意 x ? R 都有 f (2 ? x) ? f (2 ? x) ? 0 ,且 f (1) ? 9 ,则

f (2 0 1 4 ) ? f (2 0 1 5 ) ? f (2 0 1 6 ) 的值为



1 2 y2 2 14.已知抛物线 y ? x 与双曲线 2 ? x ? 1 ( a ? 0 )有共同的焦点 F ,则双曲线的 8 a
渐近线方程为 .

?x ? 3 y ? 4 y ? 15. 已知实数 x ,y 满足 ?3 x ? y ? 4 , 则 的最小值为 x ?x ? 0 ?



16.如图 3,正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 1, P 为对角线

BD1 的三等分点, P 到直线 CC1 的距离为

. 图3

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分 12 分) 已知 ?an ? 是一个等差数列, ?an ? 的前 n 项和记为 S n , a1 ? 4 , S3 ? 21. ⑴求数列 ?an ? 的通项公式; ⑵设数列 ?bn ? 满足 b1 ?

16 a , bn?1 ? bn ? 2 n ,求数列 ?bn ? 的通项公式. 7

18. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c , 3(b ? c ) ? 3a ? 2bc .
2 2 2

⑴若 sin B ?

2 cosC ,求 tan C ;

⑵若 ?ABC 的面积 S ? 5 2 ,求边长 a 的最小值. 19.(本小题满分 12 分) 如图 4,已知正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 ,延长 BC 至 D ,使 C 为 BD 的中点. ⑴求证:平面 AC1 D ? 平面 AA 1B ; ⑵若 AC ? 2 ,AA1 ? 4 , 求二面角 C1 ? AD ? B 的余弦值. A1

B1 C1

B A
图4

C
D

20.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :

x2 y2 3 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的离心率为 ,且 a ? b ? 3 . 2 2 a b
12 时, 5

⑴求椭圆 C 的方程; ⑵直线 x ? y ? m ? 0( m 是正常数) 与椭圆 C 交于 P 、Q 两点, 当 OP ? OQ ? 求直线 PQ 的方程. 21. (本小题满分 12 分)

1 1 ) ln x ? ? x ,其中常数 m ? 0 . m x ⑴当 m ? 2 时,求 f ( x) 的极大值;
已知函数 f ( x) ? (m ? ⑵已知 m ? 4 , 设 A( x1 , f ( x1 )) 、B( x2 , f ( x2 )) 是曲线 y ? f ( x) 上的相异两点, l1 、

l 2 是曲线 y ? f ( x) 在 A 、 B 两点处的切线,若 l1 // l 2 ,求 x1 ? x2 的取值范围.
请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分。做 答时请写清题号。 22. (本小题满分 10 分) 已 知 平 面 向 量 OP 1 、 OP 2 、 OP 3 满 足 条 件 OP 1 ? OP 2 ? OP 3 ?0 ,

| OP 1 |?| OP 2 |?| OP 3 |? 1 .
⑴求证: ?P 1P 2P 3 是正三角形; ⑵试判断直线 OP 1 与直线 P 2P 3 的位置关系,并证明你的判断. 23. (本小题满分 10 分) 已知 ? 、 ? 、 ? 是三个平面, ? ? ? ? a , ? ? ? ? b , ? ? ? ? c . ⑴若 a ? b ? O ,求证: a 、 b 、 c 三线共点; ⑵若 a // b ,试判断直线 a 与直线 c 的位置关系,并证明你的判断. 24. (本小题满分 10 分)
2 2 已知圆 C : x ? y ? x ? 2 y ? 0 和直线 l : x ? y ? 1 ? 0 .

⑴试判断直线 l 与圆 C 之间的位置关系,并证明你的判断; ⑵求与圆 C 关于直线 l 对称的圆的方程.

参考答案
一、选择题 二、填空题 三、解答题 17.解:⑴设数列 ?an ? 的公差为 d ,由已知得 3 ? 4 ? BDAC BDBC ABCD

? 9 , y ? ? 3x (只写一条直线给 3 分) ,1 ,

5 3

3? 2 d ? 21 ??3 分 2

解得 d ? 3 ??4 分, ?an ? 的通项公式为 an ? 3n ? 1??5 分 ⑵由⑴得 bn?1 ? bn ? 2
3n?1

??6 分

当 n ? 2 时, bn ? (bn ? bn?1 ) ? (bn?1 ? bn?2 ) ? ?(b2 ? b1 ) ? b1 ??8 分

? bn ? 23n?2 ? 23n?5 ? ? ? 24 ?
b1 ?

16 24 [1 ? 23( n?1) ] 16 1 3n?1 ? ? ? ? 2 (n ? 2) ??11 分 7 1 ? 23 7 7

16 1 3n ?1 1 3n ?1 满足 bn ? ? 2 ,? ?n ? N ? , bn ? ? 2 ??12 分 7 7 7
2 2 2

b2 ? c 2 ? a 2 1 ? ??2 分 18.解:⑴? 3(b ? c ) ? 3a ? 2bc ,? cos A ? 2bc 3
2 又? 0 ? A ? ? ,? sin A ? 1 ? cos A ?

2 2 ??3 分 3

? sin B ? 2 cos C ,? sin( A ? C) ? 2 cos C ??4 分 ?
2 2 1 cos C ? sin C ? 2 cos C , sin C ? 2 cos C ,? tan C ? 2 ??6 分 3 3
1 bc sin A ? 5 2 ??7 分 2

⑵? S ? 5 2 ,?

? sin A ?

2 2 ,? bc ? 15 ??8 分 3

2 4 ? b2 ? c2 ? 2bc ,? a 2 ? 2bc ? bc ? bc ??10 分 3 3

? a2 ? 20 , a ? 2 5 ,即 a 的最小值为 2 5 ------12 分

19. ⑴证明:由已知 ?ABC 是正三角形, ?BAC ? ?BCA ? 60 ,
? ? 又? AC ? BC ? CD ? ?CAD ? ?CDA ? 30 ??1 分

? ?BAD ? 30? ? 60? ? 90? , AB ? AD ??2 分
又? AA 1 ? 底面ABD ,? AA 1 ? AD ??3 分

? AB ? AA1 ? A ,? AD ? 平面AA1B ??4 分
又? AD ? 平面AC1D

? 平面 AC1D ? 平面 AA1 B ??5 分

AB ? AD ,? 以 A 为原点,建立空间直角坐标系??6 分 ⑵? AA 1 ? 底面ABD ,
如图, A(0,0,0), D(2 3,0,0), C1 ( 3,1,4) ??7 分
z

B1 C1

???? ???? ? AD ? (2 3,0,0), AC1 ? ( 3,1,4) ??8 分 ? ? 设平面 ADC1 的法向量 n ? ( x, y, z) ,则 ???? ?n ? AD ? 0, ? ? ?2 3x ? 0, 即? ??9 分 ? ? ???? n ? AC ? 0, 3 x ? y ? 4 z ? 0, ? ? ? 1 ?
? ? ?x ? 0 所以 ? 取 z ? 1 ,则 n ? (0, ?4,1) ??10 分 ? y ? ?4 z,

A1

y

B A C D

? ?? ?? ? ? ?? n?m 1 17 取平面 ADB 的法向量为 m ? (0,0,1) ,则 cos ? n, m ?? ? ?? ? , ? | n || m | 17 17
由图知二面角 C1 ? AD ? B 为锐角,所以二面角 C1 ? AD ? B 的余弦值为 (方法二)取 AD 的中点 E,连接 CE、C1E??6 分

x

17 ??12 分 17
2

? AC ? BC ? CD ,? CE ? AD ,? CC1 ? 底面 ACD , AC1 ? CC1 ? AC 2 ,
DC1 ? CC1 ? DC 2 , ? AC1 ? DC1 ,C1 E ? AD ,?CEC1 是二面角 C1 ? AD ? B 的
平面角??8 分
2

? AC ? 2 , ?CAD ? 300 ,? CE ? 1 ??9 分

? CC1 ? 底面 ACD ,? CC1 ? CE , C1 E ? CC1 ? CE 2 ? 17 ??11 分
二面角 C1 ? AD ? B 的余弦值为 cos?C1 EC ?

2

CE 17 ??12 分 ? C1 E 17

20.解:⑴由已知

c 3 ? 3 , c? ? a ??1 分 a 2 2 ? b ? a 2 ? c 2 ? 1 a ,? a ? b ? 3 ,? a ? 2, b ? 1 ??3 分 2
2

? 椭圆 C 的标准方程为 x ? y 2 ? 1??4 分 4 ⑵设 P( x1 , y1 ) 、 Q( x2 , y2 ) ,把直线 x ? y ? m ? 0 代入椭圆方程得
x2 ? 4(? x ? m)2 ? 4 ? 0 ,即 5x2 ? 8mx ? 4m2 ? 4 ? 0 ??5 分
2 由 ? ? 0 得 64m2 ? 20(4m2 ? 4) ? 0 ,即 m ? 5 ,? m ? 0 ,? 0 ? m ? 5 ??6 分

8m ? x1 ? x2 ? ? ? 5 由根与系数之间的关系得 ? ??8 分 2 ? x x ? 4m ? 4 1 2 ? 5 ? ??? ? ???? 12 12 ? OP ? OQ ? ,? x1 x2 ? y1 y2 ? ??9 分 5 5 ? x ? y ? m ? 0 , y ? ?x ? m ,

? y1 y2 ? (?x1 ? m)(?x2 ? m) ? x1x2 ? m( x1 ? x2 ) ? m2 ??10 分
2 2 ? 2 x1 x2 ? m( x1 ? x2 ) ? m 2 ? 12 , 2 ? 4m ? 4 ? 8m ? m2 ? 12 ??11 分 5 5 5 5 2 解得 m ? 4 ,? 0 ? m ? 5 ,? m ? 2 , PQ 的方程为 x ? y ? 2 ? 0 ??12 分

21.解:⑴当 m ? 2 时, f ( x) ?

5 1 5 1 ln x ? ? x , f '( x) ? ? 2 ? 1( x ? 0) ??1 分 2 x 2x x

x ? 1) ? f '( x) ? ? ( x ? 2)(2 ( x ? 0) ??2 分 2 2x 1 1 由 f '( x) ? 0 得 ? x ? 2 ;由 f '( x) ? 0 得 0 ? x ? 或x ? 2 ??3 分 2 2 1 1 ? f ( x) 在 (0,)和(2, ? ?) ( , 2) 上单调递增,在 上单调递减??4 分 2 2 ? f ( x)极大 ? f (2) ? 5 ln 2 ? 3 ??5 分 2 2 1 m? m ? 1 ? 1( x ? 0) ??6 分 ⑵ f '( x) ? x x2

由已知 f '( x1 ) ? f '( x2 )( x1 , x2 ? 0且x1 ? x2 ) 得

?

m?

1 1 m? 1 m? m ? 1 ,即 x ? x ? (m ? 1 ) x ? x ??7 分 ? 1 2 1 2 2 m x1 x1 x2 x2 2

x1 ? x2 2 ) 恒成立, 2 1 x ? x2 2 ) ??8 分 又∵ x1 , x2 ? 0 , m ? 0 ,? x1 ? x2 ? (m ? )( 1 m 2 ? x1 ? x2 ? 4 对 m ? 4 恒成立??9 分 1 m? m 1 1 令 g (m) ? m ? (m ? 4) ,则 g '(m) ? 1 ? 2 m m 1 17 +?) 递增 ? g (m) ? g (4) ? ??10 分 ∵ m ? 4 ? g '(m) ? 0 ,? g ( m) ? m ? 在 [4, m 4 1 1 1 1 1 / 记 h( x) ? f ( x) ? (m ? ) ? 2 ? 1 ? ? 2 ( x ? m)( x ? ) , m x x m x 1 1 2 m h / ( x ) ? ?( m ? ) 3 ( x ? 2 ) , h( x) ? f / ( x) 的符号与单调性为 m x m ?1 1 1 1 m m m (0 , ) ( , 2 ) ( 2 , m) m (m , ? ?) x 2 m m m m ?1 m ?1 m ?1 f / ( x) 的
∵ x1 ? x2 ,? 由不等式性质可得 x1 ? x2 ? ( 符号 - ↗ 0 + + + 0 - ↘

f / ( x) 的
单调性 ??11 分



最大值



1 , x 2 ? m (以下均假设 x1 ? x 2 ), l1 在 l 2 的下 m 1 / / ) , x2 ? (m , ? ?) , l1 、 l 2 在点 方, l1 // l 2 ;若 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,则 x1 ? (0 , m 1 m ) , (m , f (m)) 的 两 侧 , l1 // l 2 ; 若 f / ( x1 ) ? f / ( x2 ) ? 0 , 则 x1 ? ( , 2 m m ?1 m m m x2 ? ( 2 , m) , l1 、 l 2 在点 ( 2 , f( 2 )) 的两侧, l1 // l 2 。 m ?1 m ?1 m ?1 16 4 16 综上所述, l1 // l 2 时, x1 ? x2 ? ? , x1 ? x2 的取值范围是 ( , ?? ) ??12 分 17 17 17 4
/ / 若 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,则 x1 ?

? OP 22. 证明:⑴(方法一)∵ OP 1 ? OP 2 ? ?OP 3 1 ? OP 2 ? OP 3 ?0 ,

??? ? ????

????

???? ???? 2 ???? 2 ???? 2 ???????? ? ???? 2 ???? 2 ? (OP ? OP 1 ? OP 2 ) ? OP 3 , 1 ? 2OP 1 ?OP 2 ? OP 2 ? OP 3 ??1 分

? OP ? OP ∵ | OP 1 ? OP 2 ? OP 3 ? 1, 1 ?OP 2 ? ? 1 |?| OP 2 |?| OP 3 |? 1 ,
| P1 P2 | 2 ?| OP2 ? OP1 | 2 ? OP2 ? 2OP1 ? OP2 ? OP1 ? 3 ??5 分
2 2

???? 2

???? 2

???? 2

???????? ?

1 ??3 分 2

2 ?| P ? ?P 1P 2P 3 是正三角形??6 分 1P 2 |? 3 ,同理 | P 1P 3 | ?| P 2P 3 |? 3 ,

(方法二)设 P 3 ( x3 , y3 ) 1 ( x1 , y1 ) , P 2 ( x2 , y2 ) , P

? x12 ? y12 ? 1 ? ? ? x2 2 ? y2 2 ? 1 ??1 分 ∵ | OP 1 |?| OP 2 |?| OP 3 |? 1 , ? 2 2 ? x3 ? y3 ? 1

?? ∵ OP 1 ? OP 2 ? OP 3 ?0 ,

? x1 ? x2 ? x3 ? 0 ? x1 ? x2 ? ? x3 ?? ??2 分 y ? y ? y ? 0 2 3 ? 1 ? y1 ? y2 ? ? y3

? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? x32 ? y32 ??3 分 ? x12 ? y12 ? x22 ? y22 ? 2x1x2 ? 2 y1 y2 ? x32 ? y32 ,? 2x1x2 ? 2 y1 y2 ? ?1 ??4 分 ? PP ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 即 PP x12 ? x2 2 ? y12 ? y2 2 ? 2 x1 x2 ? 2 y1 y2 ? 3 1 2 ? 1 2 ? ? PP ? ?P PP 1P 2P 3 是正三角形??6 分 1 2 ? PP 1 3 ?P 2P 3, 1 3 ?P 2P 3 ? 3,
⑵ OP 1 ? P 2P 3 ??7 分

? OP 证明:∵ OP 1 ? ?OP 2 ? OP 3 1 ? OP 2 ? OP 3 ?0 ,

??? ?

???? ????

???? ???? ? ???? ???? ???? ???? ???? ???? ???? ???? 2 ???? 2 ? OP 1?P 2P 3 ? OP 1 (OP 3 ? OP 2 ) ? ( ?OP 2 ? OP 3 )(OP 3 ? OP 2 ) ? OP 2 ? OP 3 ??9 分

OP2 ? OP3 ,? OP ∵ | OP 1 ? P 2P 3 ---10 分 1?P 2P 3 ? 0 , OP 1 |?| OP 2 |?| OP 3 |? 1 ,
23. 证明:⑴∵ a ? b ? O ,? O ? a,O ? b ∵ ? ? ? ? a , ? ? ? ? b ,? a ? ?,b ? ? ? O ? ? ,O ? ? ,即 ? ? ? ? O ??3 分 又∵ ? ? ? ? c ,? O ? c ,即 O ? a,O ? b, O ? c ,? a 、 b 、 c 三线共点------5 分

???? 2

???? 2

??? ? ???? ?

⑵ a // c ??6 分 ∵ ? ? ? ? a , ? ? ? ? b , a // b ,? a ? ? , b ? ? ??8 分 又∵ a // b ,? a // ? ??9 分 又∵ a ? ? , ? ? ? ? c ,? a // c ??10 分 24. ⑴直线 l 与圆 C 的位置关系是相离??1 分 由 x 2 ? y 2 ? x ? 2 y ? 0 即 ( x ? ) ? ( y ? 1) ?
2 2

1 2

5 得, 4

圆心 C ( , ?1) ,半径 r ?

1 2

5 ??3 分 2

1 ?1?1 5 2 2 ? 圆心到直线 l : x ? y ? 1 ? 0 的距离 d ? ??4 分 4 2
d ? r ,即直线 l 与圆 C 相离??5 分
⑵设圆心 C 关于直线 l 的对称点为 C '( x, y)

1 2 , y ? 1) 在直线 l 上,且 CC ' ? l ??6 分 则 C、C ' 的中点 ( 2 2 x?
1 ? ? x ? 2 y ?1 ? ?1 ? 0 ? 3 ? 2 2 ?? ? ? 7 分 , 解 得 x ? ?2, y ? , 即 对 称 圆 的 圆 心 为 2 ? y ? 1 ? ?1 1 ? x? ? ? 2
3 C ' (? 2 , ?? ) 9分 2
对称圆的半径 r ? ??10 分

3 2 5 5 2 2 2 ,方程为 ( x ? 2) ? ( y ? ) ? ,即 x ? y ? 4 x ? 3 y ? 5 ? 0 2 4 2


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