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2014年高考数学真题分类汇编理科-函数(理科)


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函数
一、 选择题.
1.(2014 安徽理 6)设函数

f ? x ? ? x ? R? 满足 f ? x ? π ? ? f ? x ? ? sin x .当 0? x ? ? 时,
).

? 23 ?

f ? x ? ? 0 ,则 f ? ? ? ? ( ? 6 ?
A.

1 2

B.

3 2

C. 0

D. ?

1 2
) .

2. (2014 安徽理 9) 若函数 f ? x ? ? x ? 1 ? 2x ? a 的最小值为 3 , 则实数 a 的值为 ( A. 5 或 8 B. ? 1 或 5 C. ?1 或 ?4 D. ?4 或 8 ).

3.(2014 北京理 2)下列函数中,在区间 ? 0, ??? 上为增函数的是( A. y ?

x ?1

B. y ? ? x ? 1?

2

C. y ? 2? x

D. y ? log0.5 ? x ? 1? ). D. 1

4.(2014 大纲理 7)曲线 y ? xe x ?1 在点 ?1,1? 处切线的斜率等于( A. 2e B. e C. 2

5.(2014 大纲理 12)函数 y ? f ? x ? 的图像与函数 y ? g ? x? 的图像关于直线 x ? y ? 0 对 称,则 y ? f ? x ? 的反函数是( A. y ? g ? x ? ). C. y ? ? g ? x ? D. y ? ? g ? ? x ?

B. y ? g ? ? x ?

6. (2014 福建理 4) 若函数 y ? loga x ? a ? 0, 且a ? 1? 的图像如图所示, 则下列函数正确的是( ).

y

y
3 1

y?a

?x

y
1

y ? xa

y
1

y ? ??x?

1
a

y ? loga x
y
3

O a ??x? y ? log
-3

x

O
1 x B.

1

x

O

1

x

O
-1

O
A.

x

C.

D.

? x 2 ? 1, x ? 0 7.(2014 福建理 7)已知函数 f ? x ? ? ? 则下列结论正确的是( ?cos x, x? 0
A. f ? x ? 是偶函数 B. f ? x ? 是增函数

).

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C. f ? x ? 是周期函数

D. f ? x ? 的值域为 ?? 1,???

8.(2014 湖北理 6)若函数 f ? x ? , g ? x ? 满足

? ?1f ? x ? g ? x ? dx=0 ,则称 f ? x? , g ? x? 为区

1

间 ??1,1? 上的一组正交函数,给出三组函数: ① f ? x ? ? sin

1 1 x ?1 g , x? ? ? x ?1 ; xg , x? ?x ? x, g ? x ? ? cos x ; ② f ?x ? ? ③ f ?x ? ? 2 2
). D. 3

2

其中为区间 ??1,1? 的正交函数的组数是( A. 0 B. 1 C. 2

9.(2014 湖北理 10)已知函数 f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数,

0 时, f ? x ? ? 当 x…
取值范围为( A. ? ?

1 x ? a 2 ? x ? 2a 2 ? 3a 2 .若 ?x ? R, f ? x ?1?? f ? x ? ,则实数 a 的 2
? ? 6 6? , ? 6 6 ?

?

?

). B. ? ? C. ? ? , ? ? 3 3?

? 1 1? , ? 6 6? ?

? 1 1?

D. ? ?

? ?

3 3? , ? 3 3 ?

10. ( 2014 湖 南 理 3 )已 知 f ? x ? , g ? x ? 分 别 是 定 义 在 N 上 的 偶 函 数 和 奇函 数 ,且

f ? x ? ? g ? x ? ? x3 ? x2 ? 1 ,则 f ?1? ? g ?1? ? (
A. ?3 B. ? 1 C. 1
2 x

). D. 3

11.(2014 湖南理 10)已知函数 f ? x ? ? x ? e ? 上存在关于 y 轴对称的点,则 a 的取值范围是( A. ? ??,

1 ? x ? 0? 与 g ? x? ? x2 ? ln ? x ? a ? 图像 2
).

? ?

1 ? ? e?

B. ??, e

?

?
?

C. ? ?

? ?

1 ? , e? e ?

D. ? ? e,

? ?

1 ? ? e?

2 12.(2014 江西理 2) 函数 f ? x ? ? ln x ? x 的定义域为(

?

). D.

A. ? 0,1?

B. ?0,1?

C. ? ??,0?
x

?1, ???

? ??,0? ?1, ???

2 13.(2014 江西理 3)已知函数 f ? x ? ? 5 , g ? x ? ? ax ? x ? a ? R? ,若 f ? ? g ?1? ? ? ? 1,

则a ?( A. 1

). B. 2 C. 3 D. ? 1

14.(2014 辽宁理 12)已知定义在 0,1 上的函数 f ? x ? 满足: ① f ? 0? ? f ?1? ? 0 ;

? ?

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② 对所有 x, y ??0,1? ,且 x ? y ,有 f ? x ? ? f ? y ? ?

1 x? y . 2
).

若对所有 x, y ??0,1? , f ? x ? ? f ? y ? ? k ,则 k 的最小值为( A.

1 2

B.

1 4

C.

1 2?

D.

1 8
2

15.(2014 山东理 3)函数 f ? x ? ?

1

? log 2 x ?
? ?

?1

的定义域为(

).

A. ? 0, ?

? ?

1? 2?

? ?? B. ? 2,

C. ? 0, ?

1? 2?

? 2, ?? ?

D. ? 0, ?

? ?

1? 2?

? ?? ? 2,

16.(2014 山东理 8)已知函数 f ? x ? ? x ? 2 ?1 , g ?x ? ? kx .若方程 f ? x ? ? g ? x ? 有两个 不相等的实根,则实数 k 的取值范围是( A. ? 0, ? ). C. ?1,2 ?

? ?

1? 2?

1? B. ? ,

?1 ? ?2 ?

? ?? D. ? 2,
) .
x

17. (2014 陕西理 7) 下列函数中, 满足“ f ? x ? y ? ? f ? x ? f ? y ? ”的单调递增函数是 ( A. f ? x ? ? x 2
1

B. f ? x ? ? x

3

C. f ? x ? ? ? ?

?1? ?2?

x

D. f ? x ? ? 3

18. (2014 陕西理 10)如图所示,某飞行器在 4 千米高空水平飞行,从距着陆点

A 的水平

距离 10 千米处下降,已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分,则函数的解析式为 ( ).
y 2 5 -5 O -2 A x

地面隧道

1 3 3 x ? x 125 5 3 3 C. y ? x ?x 125
A. y ?

2 3 4 x ? x 125 5 3 3 1 D. y ? ? x ? x 125 5
B. y ?

19. (2014 四川理 9)已知 f ? x ? ? ln ?1 ? x ? ? ln ?1 ? x ? , x ? ? ?1,1? .现有下列命题: ① f ? ? x ? ? ? f ? x ? ;② f ? 是( ).

? 2x ? 2 x .其中的所有正确命题的序号 ? ? 2 f ?x ? ;③ f ?x ? … 2 ? x ?1 ?

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A.①②③

B.②③

C.①③
2

D.①② ).

20.(2014 天津理 4)函数 f (x) = log 1 x - 4 的单调递增区间是(
2

(

)

A. (0, + ? C. (2, +

)

B. (- ? ,0) D. (- ? , 2)

)

21. (2014 新课标 1 理 3 ) 设函数 f ? x ? , g ? x ? 的定义域为 R , 且 f ? x ? 是奇函数,g ? x ? 是偶函数,则下列结论中正确的是( A. f ? x ? g ? x? 是偶函数 C. f ? x ? g ? x ? 是奇函数 ). B. D.

f ? x ? g ? x ? 是奇函数 f ? x ? g ? x ? 是奇函数

22.(2014 新课标 1 理 6)如图,圆 O 的半径为 1 , A 是圆上的定点, P 是 圆上的动点,角 x 的始边为射线 OA ,终边为射线 OP ,过点 P 作直线 OA 的垂线,垂足为 M ,将点 M 到直线 OP 的距离表示成 x 的函数 f ? x ? ,则

P
A

y ? f ?x ? 在 ?0, ?? 上的图像大致为(
y
1

O
).

M

y
1

y
1

y
1

O
A.

?

x O
B.

?

x O
C.

?

x O
D.

?

x

23.(2014 新课标 1 理 11)已知函数 f ? x ? ? ax ? 3x ?1 ,若 f ? x ? 存在唯一的零点 x0 ,
3 2

且 x0 ? 0 ,则 a 的取值范围是( A.

). C.

? 2, ???

B.

? ??, ?2?

?1, ???

D.

? ??, ?1?

24.(2014 新课标 2 理 8)设曲线 y ? ax ? ln ? x ? 1? 在点 ? 0,0? 处的切线方程为 y ? 2 x , 则a ?( A. 0 ). B. 1 C. 2 D. 3

25. ( 2014 新课标 2 理 12 )设函数 f ? x ? ?
2 x02 ? ? ? f ? x0 ? ? ? ? m ,则 m 的取值范围是( 2

3 sin
).

?x . 若存在 f ? x ? 的极值点 x0 满足 m

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A. ? ??, ?6? C.

?6, ??

B. D.

? ??, ?4? ?4, ?? ? ??, ?1? ?4, ??
3 2

? ??, ?2? ?2, ??

26.(2014 浙江理 6)已知函数 f ? x ? ? x ? ax ? bx ? c , 且 0剟 f ? ?1? ? f ? ?2? ? f ? ?3? 3 ,则( A. c? 3 B. 3 ? c? 6 ). C. 6 ? c? 9
a

D. c ? 9

27.(2014 浙江理 7)在同一直角坐标系中,函数 f ? x ? ? x 可能是( ).

0? , g ? x ? ? loga x 的图像 ? x…

y 1

y 1

y 1

y 1

O -1

1

x

O -1

1

x

O -1

1

x

O -1

1

x

A.

B.

C.

D.

2 2 28. ( 2014 浙江理 10 )设函数 f1 ? x ? ? x , f 2 ? x ? ? 2 x ? x , f 3 ? x ? ?

?

?

1 sin 2πx , 3


ai ?

i , i ? 0,1, 2, 99

,99



Ik ? f ? 1 ?
则( ).

? ?

? ?

?k a ?

?

0

?

?

?

? , k ? 1,f2,3 . k

?

2

a

A. I1 ? I 2 ? I 3

B. I 2 ? I1 ? I 3

C. I1 ? I 3 ? I 2

D. I3 ? I 2 ? I1

二、填空题
1.(2014 重庆理 12)函数 f ? x ? ? log 2

x ? log

2

?2 x ? 的最小值为_________.
.

2.(2014 广东理 10)曲线 y ? e?5 x ? 2 在点 ? 0,3? 处的切线方程为

3. (2014 湖北理 14) 设 f ? x ? 是定义在 ? 0, ??? 上的函数, 且 f ? x? ? 0 , 对任意 a ? 0, b ? 0 , 若经过点 a, f ? a ? , b, f ?b? 的直线与 x 轴的交点 ? c,0 ? ,则称 c 为 a , b 关于函数 f ? x ? 的 平均数,记为 M f ? a, b ? ,例如,当 f ? x ? ? 1? x ? 0? 时,可得 M f ? a, b ? ? c ?

?

??

?

a?b ,即 2

M f ? a, b? 为 a , b 的算术平均数.

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(1)当 f ? x ? ? _____ ? x ? 0? 时, M f ? a, b ? 为 a , b 的几何平均数; (2)当 f ? x ? ? _____ ? x ? 0? 时, M f ? a, b ? 为 a , b 的调和平均数 (以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可) 4. ( 2014 江苏理 10 )已知函数 f ? x? ? x ? mx ?1 ,若对于任意 x ? ?m, m ? 1? ,都有
2

2 ab ; a?b

f ? x ? ? 0 成立,则实数 m 的取值范围是



5. ( 2014 江苏理 13 )已知 f ? x ? 是定义在 R 上且周期为 3 的函数,当 x ? ?0,3? 时,

f ? x? ? x2 ? 2 x ?

1 .若函数 y ? f ? x ? ? a 在区间 ? ?3,4? 上有 10 个零点(互不相同) ,则 2


实数 a 的取值范围是

6.(2014 山东理 15)已知函数 y ? f ? x ?? x ? R ? ,对函数 y ? g ? x ?? x ? I ? ,定义 g ? x ? 关 于 f ? x ? 的“对称函数”为函数 y ? h ? x ?? x ? I ? , y ? h ? x ? 满足:对任意 x ? I ,两个点

? x, h ? x?? , ? x, g ? x??
f

关 于 点

? x, f? ?x ?

对 称 , 若 h ? x? 是 g ? x? ?

4 ? x2 关 于
.

?x ??3

“对称函数” , 且 h ? x ? ? g ? x ? 恒成立, 则实数 b 的取值范围是 ? x 的 b

7.(2014 陕西理 11) 已知 4a ? 2,lg x ? a ,则 x ? _______. 8.(2014 四川理 12)设 f ? x ? 是定义在 R 上的周期为 2 的函数,当 x ?? ?1,1? 时,

??4 x 2 ? 2, ?1? x ? 0 ?3? ,则 f ? ? ? f ? x? ? ? 0剎 x ?1 ?2? ? x,

.

9.(2014 四川理 15)以 A 表示值域为 R 的函数组成的集合, B 表示具有如下性质的函数

? ? x ? 组成的集合:对于函数 ? ? x ? ,存在一个正数 M ,使得函数 ? ? x ? 的值域包含于区间
当 ?1 ? x ? ? x3 , ?2 ? x ? ? sin x 时, ?1 ? x ? ? A , ?2 ? x ? ? B .现有如下命题: ??M , M ? .例如, ①设函数 f ? x ? 的定义域为 D ,则“ f ? x ? ? A ”的充要条件是“ ?b ? R , ?a ? D , ; f ? a? ? b ” ②函数 f ? x ? ? B 的充要条件是 f ? x ? 有最大值和最小值; ③若函数 f ? x ? , g ? x ? 的定义域相同,且 f ? x ? ? A , g ? x ? ? B ,则 f ? x? ? g ? x? ? B ;

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④若函数 f ? x ? ? a ln ? x ? 2 ? ? 其中的真命题有

x ? x ? ?2, a ? R? 有最大值,则 f ? x ? ? B . x ?1
2

.(写出所有真命题的序号)

2 10.(2014 天津理 14)已知函数 f ( x ) = x + 3 x , x ? R .若方程 f (x)- a x - 1 = 0 恰

有 4 个互异的实数根,则实数 a 的取值范围为__________. 11. ( 2014 新 课 标 2 理 15 ) 已 知 偶 函 数 f ? x ? 在 ?0, ??? 单 调 递 减 , f ? 2? ? 0 . 若

f ? x ?1? ? 0 ,则 x 的取值范围是

.

? x 2 ? x, x ? 0 ? 12.(2014 浙江理 15)设函数 f ? x ? ? ? 2 ,若 f ? f ? a ??? 2 ,则实数 a 的取值 0 ? ?? x , x…
范围是______. 13.(2014 重庆理 12)函数 f ? x ? ? log

x ? log

2

?2 x ? 的最小值为_________.

三、解答题
1.(2014 安徽理 18) (本小题满分 12 分) 设函数 f ? x ? ? 1 ? ?1 ? a ? x ? x ? x ,其中 a ? 0 .
2 3

(1)讨论 f ? x ? 在其定义域上的单调性; (2)当 x ? ?0,1? 时,求 f ? x ? 取得最大值和最小值时的 x 的值. 2.(2014 北京理 18) (本小题 13 分) 已知函数 f ? x ? ? x cos x ? sin x, x ? ?0, (1)求证: f ? x ?? 0 ; (2)若 a ?

? π? , ? 2? ?

sin x ? π? ? b 在 ? 0, ? 上恒成立,求 a 的最大值与 b 的最小值. x ? 2?
ax ? a ? 1? . x?a

3.(2014 大纲理 22) (本小题满分 12 分) 函数 f ? x ? ? ln ? x ? 1? ? (1)讨论 f ? x ? 的单调性; (2)设 X ,求证:

2 3 ? an? . n+2 n?2

4.(2014 福建理 20) (本小题满分 14 分)

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已知函数 f ? x ? ? e ? ax ( a 为常数)的图像与 y 轴交于点 A ,曲线 y ? f ?x ? 在点 A
x

处的切线斜率为 ? 1 . (1)求 a 的值及函数 f ?x ? 的极值; (2)证明:当 x ? 0 时, x ? e ;
2 x

(3)证明:对任意给定的正数 c ,总存在 x0 ,使得当 x ? ?x0, ? ?? ,恒有 x ? ce .
2 x

5.(2014 广东理 21) (本题 14 分)设函数 f ? x ? ? 其中 k ? ?2 , (1)求函数 f ? x ? 的定义域 D ; (用区间表示) (2)讨论 f ? x ? 在区间 D 上的单调性;

1

?x

2

? 2x ? k ? ? 2 ? x ? 2x ? k ? ? 3
2 2



6.(2014 湖南理 22)已知常数 a ? 0 ,函数 f ? x ? ? ln ?1 ? ax ? ? (1)讨论 f ? x ? 在区间 ? 0, ??? 上的单调性;

2x . x?2

(2)若 f ? x ? 存在两个极值点 x1 , x2 ,且 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0 ,求 a 的取值范围. 7.(2014 江苏理 19)已知函数 f ? x ? ? e ? e ,其中 e 是自然对数的底数.
x ?x

(1)证明: f ? x ? 是 R 上的偶函数; (2) 若关于 x 的不等式 mf ? x ?? e
?x

求实数 m 的取值范围; ? m ?1在 ?0, ??? 上恒成立,

3 a ?1 (3)已知正数 a 满足:存在 x0 ??1, ??? ,使得 f ? x0 ? ? a ? x0 ? 3x0 成立.试比较 e

?

?

与a

e ?1

的大小,并证明你的结论.

8.(2014 江苏理 23) (本小题满分 10 分) 已知函数 f 0 ? x ? ? (1)求 2 f1 ?

sin x ? x ? 0? ,设 fn ? x ? 为 fn?1 ? x? 的导数, n ? N* . x

??? ? ??? ? ? f 2 ? ? 的值; ?2? 2 ?2?
*

(2)证明:对任意的 n ? N ,等式 nf n?1 ? 9.(2014 江西理 18) (本小题满分 12 分)

2 ? ?? ? ? ?? 都成立. ? ? fn ? ? ? 2 ?4? 4 ?4?

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2 已知函数 f ? x ? ? x ? bx ? b

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?

?

1 ? 2 x ?b ? R? .

(1)当 b ? 4 时,求 f ? x ? 的极值; (2)若 f ? x ? 在区间 ? 0, ? 上单调递增,求 b 的取值范围. 10.(2014 辽宁理 21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? ? cos x ? x ?? ? ? 2 x ? ?

? 1? ? 3?

8 ? sin x ? 1? , 3

2x ? ? g ? x ? ? 3x ? x cos x ? 4 ?1 ? sin x ? ln ? 3 ? ? . ? ? ?
证明: (1)存在唯一 x0 ? ? 0,

? ?

?? ? ,使 f ? x0 ? ? 0 ; 2?

(2)存在唯一 x1 ? ?

?? ? , ? ? ,使 g ? x1 ? ? 0 ,且对(1)中的 x0 ? x1 ? ? . ?2 ?

11.(2014 山东理 20)设函数 f ? x ? ? 然对数的底数)

ex ?2 ? ? k ? ? ln x ? ( k 为常数, e ? 2.71828 2 x ?x ?

是自

(1)当 k? 0 时,求函数 f ? x ? 的单调区间; (2)若函数 f ? x ? 在 ? 0, 2 ? 内存在两个极值点,求 k 的取值范围. 12.(2014 陕西理 21) (本小题满分 14 分) 设函数 f ? x ? ? ln ? x ? 1? , g ? x ? ? xf ? ? x ? , x… 0 ,其中 f ? ? x ? 是 f ? x ? 的导函数. (1) g1 ? x ? ? g ? x ? , gn?1 ? x ? ? g gn ? x ? , n ? N? ,求 gn ? x ? 的表达式; (2)若 f ? x ?… ag ? x ? 恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)设 n ? N? ,比较 g ?1? ? g ? 2? ?

?

?

? g ? n? 与 n ? f ? n ? 的大小,并加以证明.
x 2

13.(2014 四川理 21)已知函数 f ? x ? ? e ? ax ? bx ?1 ,其中 a, b ? R , e ? 2.71828 为自然对数的底数. (1)设 g ? x ? 是函数 f ? x ? 的导函数,求函数 g ? x ? 在区间 ?0,1? 上的最小值; (2)若 f ?1? ? 0 ,函数 f ? x ? 在区间 ? 0,1? 内有零点,求 a 的取值范围.

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14.(2014 天津理 20) (本小题满分 14 分) 已知函数 f (x) = x - ae
x

(a ? R) , x ? R .已知函数 y = f (x) 有两个零点 x1, x2 ,且

x1 < x2 .
(1)求 a 的取值范围; (2)证明

x2 随着 a 的减小而增大; x1

(3)证明 x1 + x2 随着 a 的减小而增大. 15.(2014 新课标 1 理 21) (本小题满分 12 分) 设函数 f ? x ? ? ae ln x ?
x

be x ?1 ,曲线 y ? f ? x ? 在点 ?1, f ?1? ? 处的切线为 x

y ? e ? x ?1? ? 2 .
(1)求 a , b ; (2)证明: f ? x ? ? 1 . 16.(2014 新课标 2 理 21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? e ? e
x ?x

? 2x .

(1)讨论 f ? x ? 的单调性; (2)设 g ? x ? ? f ? 2x ? ? 4bf ? x ? ,当 x ? 0 时, g ? x ? ? 0 ,求 b 的最大值; (3)已知 1.4142 ? 2 ? 1.4143 ,估计 ln 2 的近似值(精确到 0.001 ) 17.(2014 浙江理 22) (本题满分 14 分)已知函数 f ? x ? ? x ? 3 x ? a ? a ? R ? .
3

(1)若 f ?x ? 在 ?? 1,1? 上的最大值和最小值分别记为 M ? a ? , m ? a ? ,求 M ? a ? ? m ? a ? ; (2)设 b ? R, 若 ? ? f ? x ? ? b? ? ? 4 对 x ? ?? 1,1?恒成立,求 3a ? b 的取值范围.
2

18.(2014 重庆理 20) (本小题满分 12 分, (1)问 4 分, (2)问 3 分, (3)问 5 分) 已 知 函 数 f ? x ? ? ae ? be
2x ?2 x

? cx ? a, b, c ? R? 的 导 函 数 f ? ? x ? 为 偶 函 数 , 且 曲 线

y ? f ? x ? 在点 ? 0, f ? 0?? 处的切线的斜率为 4 ? c .
(1)确定 a , b 的值;

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(2)若 c ? 3 ,判断 f ? x ? 的单调性; (3)若 f ? x ? 有极值,求 c 的取值范围.


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