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]数列求和公开课高三复习


五家渠高级中学

? 数列是高考的必考内容:一般有以下两种形式:

? (1)以选择、填空题的形式考查等差、等比数 列基本量的计算.
? (2)以解答题的形式考查数列与函数,向量, 不等式的综合题同时考查数列求通项和求和的 方法.

回忆:
等差数列的前n项和公式是什么?
n(a1 ?

an ) Sn ? 2
n(n ? 1) Sn ? na1 ? d 2

等比数列的前n项和公式是什么?

(q ? 1 ) ? na1 ? S n ? ? a1 (1 ? q n ) a1 ? an q ? ( q ? 1) ? 1? q 1? q ?

例1:已知数列{an}
①若an=2n+3,求Sn. ②若an=3n求sn
(1)解:由通项可知

{a 是等差数列 : n}
\ S ? n n ( a1 ? a n ) 2

(2) : 通 可 数 解由项知列 {an }是等比数列 a1 (1 ? q n ) \ Sn ? 1? q
( 3 1 - 3n ) ? 1- 3
3 n (3 ? 1) 2 1 3 ? ? 3n ?1 ? 2 2 ?

?

n (5 ? 2 n ? 3)
2

? n2 ? 4n

的等差数列,S n为数列{an } 的前n项和 ( )求 : an 及S n 1

(2010 重庆, )已知数列{an }是首项为1,公差为- 2 17 9

例2:

(2)设数列{bn ? an }是首项为1,公比为3 的等比数列, 求 : b n 及前n项和T n
(1)解 设 项 : 首 为 \ a1 ? 19, d ? ?2 a1, 差 d 公 为

an ? a1 ? (n ? 1)d ? 19 ? (n ? 1) ? (?2)

? 21? 2n

n(a1 ? an ) ? n(19 ? 21 ? 2n) ? ?n 2 ? 20 n Sn ? 2 2

的等差数列,S n为数列{an } 的前n项和 ?n2 S ? ( )求 : an 及S n 1
n

an ? 21? 2n (2010 重庆, )已知数列{an }是首项为1,公差为- 2 17 9

? 20n

(2)设数列{bn ? an }是首项为1,公比为3 的等比数列, 求 : b n 及前n项和T n

() : 题 知 2 解 由 意

: bn ? an ? 1? 3n?1, bn ? 3n?1 ? 21? 2n 即

Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ??? bn

? (30 ? 21? 2 ?1) ? (31 ? 21? 2 ? 2) ? ?? (3n?1 ? 21? 2n)
? 3 ? 3 ? 3 ? ? ? 3 )( ? 2 ?1 ? ? ? 21? 2n) ( ? 21
0 1 2 n ?1

1? (1 ? 3 ) 3 ?1 2 ? ? (?n ? 20n) ? ? n 2 ? 20n 1? 3 2
n

n

分组求和:
把数列的每一项分成两项或几项,使 其转化为几个等差数列等比数列,再求解。 常见类型:

常 类 : 见 型 其 数 {an }是 差 列 数 中 列 等 数 , 列 cn ? an ? bn

{bn }是 比 列 等 数

练习:

{ 中,an ? 2n ? 4 ? 2n? 2 求前n项和Sn . 已知数列 an }

?1 解:?S n ? a1 ? a2 ? ? ? an ?2 ?1 ? 4? ? ?2 ? 2 ? 4? ? ? ? ?2n ? 4? ? 21?2 ? 22?2 ? ? ? 2n?2 ? n n?6 ? ?2n ? 4?? 8?1 ? 2 ? 2 n ?3 ? ? ? n ? 5n ? 2 ? 8
2 1? 2 2 n ?3 ? n ? 5n ? 2 ? 8

例3:

{ ( 2010 山东,17 )已知等差数列 an }满足:a3 ? 7,
a5 ? a7 ? 26, 数列{an } 的前n项和为S n

( )求an 及S n 1 1 (2)令bn ? 2 ( n ? N ? )求数列{bn } 的前n项和Tn an ? 1
? a3 ? 7 \ ? a1 ? 2d ? 7 ? ?a1 ? 3 ? ? a1, 差 d, ?  公为 ? a5 ? a7 ? 26 ?2a1 ? 10d ? 26 ? d ? 2 ?

() : 首 为 1 解设项

\an ? a1 ? (n ?1)d ? 3 ? (n ?1) ? 2 ? 2n ?1

n(a1 ? an ) 2 \ Sn ? ? n ? 2n 2

(2010 东 1 )已 等 数 山 , 7 知 差 列 ( ) a n 及S n 1 求

a5 ? a7 ? 26, 数 {an } 前 n项 为 S n 列 的 和

{an }满足:

a3 ? 7,

an ? 2n ? 1

1 1 1 (2)由()可知b n ? 2 1 ? ? 2 2 an ? 1 (2n ? 1) ? 1 4n ? 4n 1 1 1 1 ? ? ( ? ) 4n(n ? 1) 4 n n ?1

1 ( ) bn ? 2 2 令 (n ? N ? )求 列 {bn } 前 n项 Tn 数 的 和 an ? 1

Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ??? bn?1 ? bn
1? 1 1 1 1 1 1 1 ? ? (- ) ( ? ( ? ? 1 2 ? 2 - 3) ? ? n ? 1 ? n ) ( n ? n ? 1)? 4? ?
1 1 n ? (1 ? )? 4 n ? 1 4(n ? 1)

裂项求和法:
将数列的通项分解成两项或多项的差, 使数列中的项出现有规律的抵消项,只剩下 首尾若干项。

常 类 : 见 型 1 1?1 1 ? an ? ? ? ? ? n( n ? k ) k ? n n ? k ?

练习:
1 已 数 {an } , a n ? 知 列 中 求 列 前 n项 S n 数 的 和 n(n ? 2)

1 1 ?1 1 ? 解 ? an ? : ? ?? ? ? n?n ? 2? 2 ? n n ? 2 ?
1 1 1 1 \ sn ? a1 ? a2 ? ? ? an ? ? ? ??? 1? 3 2 ? 4 3 ? 5 n?n ? 2?
1 ?? 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ? ? 1 1 ?? ? 1 1? ? 1 ? ? ??1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ??? ? ?? 2 ?? 3 ? ? 2 4 ? ? 3 5 ? ? n ? 2 n ? ? n ? 1 n ? 1 ? ? n n ? 2 ??

1 ? 1 1 1 ? ? ? ?1 ? ? ? ? 2 ? 2 n ?1 n ? 2 ?

3 2n ? 3 ? ? 4 2?n ? 1??n ? 2?

例4:

{ 的通项和 解: 数列{an } ? 的通项是等差数列n}
等比数列 3n 的通项的乘积

{ 中,an ? n ? 3n , 求前n项和Sn . 已知数列 an }

{ }

\ S n ? 1 ? 31 ? 2 ? 32 ? 3 ? 33 ? ? ?

?n ? 1? ? 3n?1 ?

n ? 3n

?1?

3Sn ? 1? 32 ? 2 ? 33 ?23 ? 34 ? ?3? ? 4 ?n ? 1?? 3n ? n ? 3n?1 n?2? 3S n ? 1? 3 ? 2 ? 3 ? 3 ? 3 ? ?? ? ?n ? 1? ? 3 ? n ? 3n ?1 ?2?

?1? ? ?2?得:2Sn ? 1? 31 ? 1? 32 ? 1? 33 ? ? ? 1? 3n ? n ? 3n?1 3 1 ? 3n ? ? n ? 3n ?1 1? 3 ?2n ? 1? ? 3n ?1 ? 3 即S n ? 4 4

?

?

错位相减法 若 {an}为等差数列, {bn}是等比数列,由这两个 数列的对应项乘积组成的新数列为{anbn},求前n 项的和时,常常采用将{anbn}的各项乘以公比q, 错位一项与{anbn}的同次项对应相减,这种数列 求和的方法称为错位相减法.即等比数列求和公 式推导过程的推广。
常 类 : 见 型 其 数 {an }是 差 列 数 中 列 等 数 , 列 cn ? an ? bn

{bn }是 比 列 等 数

例5:

{ 中前n项和为Sn,前6项和为36, 已知: 等差数列 an }
最后6项的和为 (n ? 6),求Sn 180 解:由题意知 :
a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? 36
n



an ? an?1 ? an?2 ? an?3 ? an?4 ? an?5 ? 180



\① ? ②得6(a1 ? an) 216 ?
即:a1 ? an ? 36
n( a1 ? an ) \ Sn ? ? 18n 2 (n ? 6)

倒序相加法:

数列{an}中,与首末等距离的两项之和等于 首末两项之和,可采用把正着写与倒着写的 两个和式相加,就得到一个数列的和,这一 求和方法称为倒序求和法.

小结: 一:重要的数学方法: 1.公式法

2.分组求和法 3.裂项相消法 4.错位相减法 5.倒序相加法
二:重要的数学思想:“化归”转化的思想.


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