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环形染色问题的公式解法


中学数学杂志2008年第9期

£.弼嗄骺鲵钇跷易¥裼。舅钇葛2。尼嚣爱锣

设七局四胜制中,A胜的概率为P。,同理有P。=

P∈(0,0.5)恒负,此时1一P>0,所以P4-p3<0, 故P4<P3. 综上所述,P。<P3<P2<P。,故选择一局一胜 制,以队取胜的概率最大,该赛制对A队最有利. 在现实生活中,我们举办的各级各类比赛,都是 为了选出优胜者,选出冠亚军,其实,赛出的冠军,实 力并不一定是真正的第一,要想通过比赛选出名副 其实的第一,理论上比赛场数越多越好,但场数过多 又需投入太多人力物力,为了兼顾这两方面的平衡, 现在很多国际赛制已由五局三胜制改为七局四胜 制.

p4+c:p3(1一p)3?P=P4+20p4(1一p)3
P。一P3=P3[P+20p(1一P)3]一P3[1+6(1一 p)2]=P3(1一P)(20p3—40/,2+26p一7),令g(p) =20p3—40p2+26p一7,贝09’(p)=60p2—80p+26,

令g’(Jp)=o得p=8—0—± ̄/—(-180i)2矿-4—x

=学>o.5,即函数g(p)的两个极值点在
山东曲阜市一中 定理 如图把一个圆分成n(n≥

6—0



26

区间(0,0.5)外,所以g(P)在P∈(0,0.5)单调, g(o)=一7<0,g(O.5)=一1.5<0,所以g(P)在

环形染色问题酌公式麓法
273100

李学民

聂二军

(由a2=m(m一1),将口。+a。一l=t-n(m一1)”1 式两边同乘以(一1)“,得(一1)“a。一(一1)”1a川= (一1)“m(m一1)”1,对n分别取3,4,5,…,然后叠 加化简得a。) 用此公式法求近几年高考题中出现的染色问题 则非常简便. 例1(2008年全国卷?理)如图一个环形花坛 分成A、B、C、D四块,现有4种不同的花供选种,要 求每块里种1种花,且相邻的2块种不同的花,则不 同的种法总数为(
A.96 B.84

2)个扇形区域A。,现用m(m≥2)种不 同颜色为这t/,个区域染色,要求相邻两 个区域Ai与AⅢ颜色不同,则不同的染 色方法共有(m一1)8+(m一1)(一1)4种.
证明

记用m种不同颜色为几个区域进行染

色的方法种数为a。. 对于区域A,,有m种染法;由于相邻区域颜色 不能相同,区域A:有/7/,一1种染法;同理A,,A。,…, A川分别有m—1种染法;区域A。有if/,一1种染法 (不论区域A。是否与A。同色),共有m(m一1)”1种 染法.但m(m一1)”1种染法中要分为两类,一是A。 与A.不同色,二是A。与A.同色,同色时可把A。与A,


C.60 D.48。



由公式n=4,,孔=4,a。=(4—1)4+(一

1)4?(4—1)=84.选B.

看作为同一区域,此时染法总数为a。小因此有a。+
口¨=m(m一1)”1.
?

利用由数列递推公式求通项公式的方法. 可设a。+ot?(m一1)4=一[a。一l+o/?(m一 1)“一1],整理有a。+口。一l=一,n(,n一1)”’1?a 与口。+口。一1=rn(rn—1)”.1比较得口=一1. 贝0有口。一(,n—1)“=一[a。一。一(m一1)“一],令 b。=a。一(m—1)8,则{b。}是公比为一1的等比数 列.因为凡≥2,则其首项b:=a:一(m一1)2=/7/(m 一1)一(,n一1)2=,孔一1. 得b。=a。一(,n一1)“=(一1)4—2?(,n一1)= (一1)“(//7,一1)(儿≥2). 即口。=(,n一1)4+(一1)“(,n—1)(,l≥2).

例2(2003年全国卷?文)如图,一个地区分 为5个行政区域,现给地图着色,要求相邻地区不得 使用同一颜色,现有4种颜色可供选择,则不同的着

@⑧

色方法共有——种.


先对区域1染色有a种染法(因在中心),

然后把问题转化为用3种颜色对4个扇形区域进行 染色的环形染色问题,此时/1,=4,m=3,a。=(3— 1)4+(一1)4?(3—1)=18. 所以不同的染色方法共有4×18=72种.
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万方数据


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