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二项式定理1


大同机车中学

高中数学选修 2-3

第一章 计数原理

2013,3

课题

1.3.1 二项式定理(1)

课型:原理课 主备人:李元春 审核:备课组 【学习目标】 在探究发现二项式定理的过程中,体验计数原理的应用,会用计数原理证明二项式定理;会写 出二项展开式,掌握通项公式,会用它们解决简单问题。 一、学习探究 目标一.探究二项式定理 1.问题:初中我们已经学过 (a ? b)2 ? a2 ? 2ab ? b2 , ,现在把它进行一般地推广,你能由此猜 想 (a ? b)n 的展开式是什么吗? 思路引导一:运用多项式乘法公式再尝试写出

(a ? b)3 ? (a ? b)2 (a ? b) ? (a ? b) ? (a ? b) (a ? b) =
4 3 n

; ;

观察展开式各项的结构特征以及各项的系数有什么规律,猜想 (a ? b) 展开式各项的结构形式。 思路引导二:用计数原理解释(参阅课本 P29 至 30 相关内容)
0 1 2 3 (a ? b)3 ? C3 ___ ? C3 ___ ? C3 ___ ? C3 ___ =

; 。

(a ? b) =
4

最后,得出关于 (a ? b) 的展开式的猜想:
n

2.证明猜想: 思路一:可参阅课本 P30 的相关内容。 思路二:此式与自然数有关,可考虑用数学归纳法。 目标二.剖析二项式定理
0 n 1 n?1 1.上述结论: (a ? b)n ? Cn a ? Cn a b? k n ?k k ? Cn a b ? n n ? Cn b ,叫做二项式定理。

(1) (a ? b) 展开式中共有
n

项;各项的次数是



(2)各项的排列是:按 a 来说是 ,次数从 , 按 b 来说是___________ ,次数从 。 (3)各项的系数: ,也称为二项式系数; (4)通项公式: ;这项是展开式中的第 项。 注:此通项公式可分解研究展开式中的各项,是研究展开式中特定项的重要方法。 2.定理的变式:在二项式定理中,a,b 可取什么数或式?
n 若取 a ? 1, b ? x ,可得 (1 ? x) =

。 。
n

进而还可得到 (1 ? x) =
n

若把 b 换成-b,又可得到: (a ? b) =
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高中数学选修 2-3

第一章 计数原理

2013,3

目标三.二项式定理的应用

? 1? 例 1.(1)展开 ?1 ? ? ? x?

4

=
4

? 1 ? (2)求 ? 3 x ? ? 的展开式。 x? ?

1 ? 3 例 2. 求 ? ? 2 x ? 3 ? 的展开式中的常数项。 2x ? ?

10

0 1 2 例 3(倒用)计算: 20 C10 ? 21C10 ? 22 C10 ?
3 10
5

10 = ? 210 C10

(拓展)求 (1 ? x) (1 ? x) 的展开式中 x 项的系数。

二、学习测评 1. ( x ?1) 的展开式中的第 6 项的系数是(
10


5 (D)- C10

(A) C
6

6 10

(B)- C
3

6 10

5 (C) C10

2. ( x ? 2) 的展开式中 x 项的系数是( ) (A)20 (B)40 (C)80 3. ( x ? 2 x) 展开式中的第 4 项是
3 7 3 3

(D)160 ;第 4 项的系数是 。 。 。

;它的二项式系数是

4. ( x y ? y x )4 的展开式中 x y 的系数是 5. (1 ? 2 x )3 (1 ? 3 x )5 的展开式中 x 项的系数是
n

【学习反思】 通过本节学习可以把形如 ? a ? b ? 的式子展开,并会求其中的某些特殊项。 【配餐作业】课本 P31 练习 1--4、P36.1--5
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