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【2013上海闵行二模】上海市闵行区2013届高三下学期二模数学(理)试题


闵行区 2012 学年第二学期高三年级质量调研考试 数 学 试 卷(理科)
一. 填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸上相应编号的空格内 直接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.方程组 ?

?x ? 2 y ? 5 ? 0 的增广矩阵为 ?3x ? y ? 8


<

br />2 2.已知集合 M ? x | x ? 4, x ? R , N ? ?x | log2 x ? 0? ,则集合 M I N ?

?

?



3. 若 Z1 = a + 2i , Z 2 =

1 2i z ,且 1 为实数,则实数 a 的值为 2 3 z2
3



4. 用二分法研究方程 x ? 3x ? 1 ? 0 的近似解 x ? x0 ,借助计算器经过若干次运算得下表: 运算 次数 解的 范围 1 ? ? 4 5 6 ? ?

(0, 0.5)

(0.3125,0.375)

(0.3125, 0.34375)

(0.3125,0.328125)


若精确到 0.1 ,至少运算 n 次,则 n ? x0 的值为 5.已知 e1、e2 是夹角为 则实数 k 的值为

r

r

r r r r r r r r ? 的两个单位向量,向量 a ? e1 ? 2e2 , b ? ke1 ? e2 , 若 a // b , 2
. 频率/ 组 0.150 距 0.125 0.100 0.075 0.050

6.某工厂对一批产品进行抽样检测,根据抽样检测后的产品 净重(单位:克)数据绘制的频率分布直方图如图所示, 已知产品净重的范围是区间 ?96,106 ? ,样本中净重在区间

96 98 100 102 104 106 克 第 6 题 的产品个数是 . 图 ? 7. 一个圆锥的底面积为 4? ,且该圆锥的母线与底面所成的角为 ,则该圆锥的

100 ?96, ? 的产品个数是 24 ,则样本中净重在区间 ?100,104?

3

侧面积为



8. 在直角坐标系中,曲线 C 的参数方程为 ? 正半轴为

? x ? 4t 2 ? y ? 4t

( t 为参数) ,以原点 O 为极点,以 x 轴

极轴建立极坐标系,在极坐标系中曲线 ? 的极坐标方程为 ? cos ? ? ? sin ? ? 1 ,曲线 ? 与 C 相交于

两点 A 、 B ,则弦长 AB 等于

.

9. 设双曲线 x 2 ? y 2 ? 6 的左右顶点分别为 A 、 A2 , P 为双曲线右支上一点,且位于第 1 一象限, 直线 PA1 、 PA2 的斜率分别为 k1 、 k2 ,则 k1 ? k2 的值为 .

10. 设 ?ABC 的三个内角 A、B、C 所对的边长依次为 a、b、c ,若 ?ABC 的面积为 S , 且 S ? a 2 ? (b ? c)2 ,则

sin A ? 1 ? cos A



11. 已知随机变量 ? 所有的取值为 1, 2,3 ,对应的概率依次为 p1 , p2 , p1 ,若随机变量 ? 的方 差 D? ?

1 , 2


则 p1 ? p2 的值是

12. 公差为 d ,各项均为正整数的等差数列 {an } 中,若 a1 ? 1, an ? 73 ,则 n ? d 的最小值 等于 .

13. 已知 ?ABC 的外接圆的圆心为 O , AC ? 6, BC ? 7, AB ? 8, 则 AO ? BC ? 14.设 f ( x ) 是定义在 R 上的函数,若 f (0) ?

uuu uuu r r



1 ,且对任意的 x ? R ,满足 8


f ( x ? 2) ? f ( x) ? 3x , f ( x ? 4) ? f ( x) ? 10 ? 3x ,则 f (2014) =

二. 选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题只有一个正确答案.考生应在答题 纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分.
4 15.二项式 ( x ? ) 展开式中 x 的系数为
6

1 x

(

)

(B) ?15 . (C) 6 . (D) ?6 . uur uuu u r 16.在 ?ABC 中, AB ? BC ? 0 ”是“ ?ABC 是钝角三角形”的 “ ( (A) 15 .

)

(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件 17.设函数 f ( x) ?| sin x | ? cos 2 x, x ? ? ? (A) ?1 . (B)0.

? ? ?? ,则函数 f ( x ) 的最小值是 ( , ? 2 2? ?
(C)

)

1 . 2

(D)

9 . 8

18.给出下列四个命题: ① 如果复数 z 满足 | z ? i | ? | z ? i |? 2 ,则复数 z 在复平面上所对应点的轨迹是椭圆.

② 设 f ( x ) 是定义在 R 上的函数,且对任意的 x ? R , | f ( x) |?| f (? x) | 恒成立,则

f ( x) 是 R 上的
奇函数或偶函数. ③ 已知曲线 C : 点, 则 PE ? PF ? 6 . ④ 设定义在 R 上的两个函数 f ( x ) 、 g ( x) 都有最小值,且对任意的 x ? R ,命题 “ f ( x) ? 0 或

x2 y2 若 ? ? 1 和两定点 E ? ?5,0?、F ?5,0? , P?x, y ? 是 C 上的动 9 16

g ( x) ? 0 ”正确,则 f ( x) 的最小值为正数或 g ( x) 的最小值为正数.
上述命题中错误的个数是 (A)1. (B)2. ( (C)3. (D)4. )

三. 解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号 的规定区域内写出必要的步骤. 19. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 6 分. 如图,在半径为 20cm 的半圆形( O 为圆心)铝皮上截取一块矩形材料 ABCD ,其中 点 A、B 在直径上,点 C 、 D 在圆周上. (1)请你在下列两个小题中选择一题作答即可: ...... ①设 ?BOC ? ? ,矩形 ABCD 的面积为 S ? g (? ) ,求 g (? ) 的表达式,并写出 ? 的范围. ②设 BC ? x(cm) ,矩形 ABCD 的面积为 S ? f ( x) ,求 f ( x ) 的表达式,并写出 x 的范围. (2)怎样截取才能使截得的矩形 ABCD 的面积最大?并求最大面积. D C

A A1
C1

O B1

B

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 7 分,第(2)小题满 F E A C B

分 7 分.

? 如图, 在直三棱柱 ABC ? A B1C1 中, BAC ? 1
分别在棱 AA1、CC1 上,且 AE ? C1F ? 2 . (1)求四棱锥 B ? AEFC 的体积;

?
2

,AB ? AC ? 2 ,AA ? 6 , E、F 点 1

(2)求 ?BEF 所在半平面与 ?ABC 所在半平面所成二面角 ? 的余弦值.

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 8 分. 已知椭圆 E 的中心在坐标原点 O , 焦点在坐标轴上, 且经过 M (2,1)、N (2 2,0) 两点,

P 是 E 上的动点.
(1)求 OP 的最大值; (2)若平行于 OM 的直线 l 在 y 轴上的截距为 b(b ? 0) ,直线 l 交椭圆 E 于两个不同点

A、B ,
求证:直线 MA 与直线 MB 的倾斜角互补.

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 6 分,第 (3)小题满分 6 分. 已知 f ( x) ? x | x ? a | ?b, x ? R . (1)当 a ? 1, b ? 0 时,判断 f ( x ) 的奇偶性,并说明理由;

(2)当 a ? 1, b ? 1 时,若 f (2 ) ?
x

5 ,求 x 的值; 4

(3)若 b ? 0 ,且对任何 x ??0,1? 不等式 f ( x) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围.

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 6 分,第 (3)小题满分 8 分. 如图,过坐标原点 O 作倾斜角为 60 的直线交抛物线 ? : y ? x 于 P1 点,过 P1 点作倾斜
?

2

角为 120 的直线交 x 轴于 Q1 点,交 ? 于 P 点;过 P 点作倾斜角为 60 的直线交 x 轴于 Q2 2 2
? ?

点,交 ? 于 P 点;过 P 点作倾斜角为 120 的直线,交 x 轴于 Q3 点,交 ? 于 P 点;如此下 3 3 4
?

去 ? ? . 又 设 线 段 OQ1 , 1Q 2 Q Q , ,Qn? Qn, 的 长 分 别 为 a1 , a2 , a3 , , a L , Q , 2 3L L n , 1 L

?OPQ1 ,Q1P2Q2, ? 1 ?Q2 PQ3 , ,?Qn?1PnQn, 的面积分别为 G1 , G2 , G3 ,L , Gn ,L , 数列 ?an ? 的前 n 项的和 L L 3
为 Sn . (1)求 a1 , a2 ; (2)求 an , lim
a

y

P3 x

n ??

Gn ; Sn

P1 O Q1 P2 P4 Q2 Q3

(3)设 bn ? a n (a ? 0且a ? 1) ,数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn , 对于正整数 p, q, r , s ,若 p ? q ? r ? s ,且 p ? s ? q ? r , 试比较 Tp ? Ts 与 Tq ? Tr 的大小.

闵行区 2012 学年第二学期高三年级质量调研考试数学试卷 参考答案与评分标准
一、 (第 1 题至第 14 题) 1.?

? 1 ?2 5 ? ?; ?3 1 8 ?
8.8 ;

2.?1, 2 ? ; 9. 1 ;

3. ?

3 ; 2

4.5.3; 11. ;

5. ?

1 ; 2

6.44; 13.?14 ;

7.8? ;

10. 4 ;

3 4

12.18 ;

32014 14. . 8
二、 (第 15 题至第 18 题) 三、 (第 19 题至第 23 题) 19. [解]①由 ?BOC ? ? ,得 OB ? 20cos ? , BC ? 20sin ? ,其中 ? ? ? 0, 所以 S ? g (? ) ? AB ? BC ? 2OB ? BC ? 800sin ? cos? ? 400sin 2? 即 g (? ) ? 400sin 2? , ? ? ? 0, 15.D; 16.A; 17.B; 18.D.

? ?

??
? 2?

2分

? ?

??
? 2?

????????????4 分

②连接 OC ,则 OB ? 400 ? x2 (0 ? x ? 20)

????????2 分

所以 S ? f ( x) ? AB ? BC ? 2 x 400 ? x 2 (0 ? x ? 20) 即 f ( x) ? 2 x 400 ? x 2 (0 ? x ? 20) . (2)①由 S ? g (? ) ? 400sin 2? 得当 sin 2? ? 1 即当 ? ? 此时 BC ? 20sin ????????4 分

?
4

时, S 取最大值 400cm .?? 4 分

2

?
4

? 10 2cm ,
2

当 BC 取 10 2cm 时,矩形 ABCD 的面积最大,最大面积为 400cm .? 2 分
2 2 2 2 2 ② f ( x) ? 2 x 400 ? x ? 2 x (400 ? x ) ? x ? (400 ? x ) ? 400 ,

当且仅当 x ? 400 ? x ,即 x ? 10 2 时, S 取最大值 400cm .??4 分,
2 2 2

A1 C1 F E

z

B1

当 BC 取 10 2cm 时,矩形 ABCD 的面积最大,最大面积为 400cm .? 2 分 20.[解](1) VB? AEFC

2

1 1 1 ? ? S AEFC ? AB ? ? ? (4 ? 2) ? 2 ? 2 ? 4 ??7 分 3 3 2

(2)建立如图所示的直角坐标系,则 A(0,0,0) , B(0, 2, 0) , E (0,0, 2) , F (2,0, 4) ,

A C x

EF ? (2, 0, 2) , EB ? (0, 2, ?2)

???

???

B

y

????????2 分

??? ? ?? x z ? ? n ?EF ? 2 ? 2 ? 0 设平面 BEF 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则 ? ? ??? ? 取z ? 1得x ?? 1 y? 1 , , ? y z ?n ?EF ? 2 ? 2 ? 0 ? ? 所以 n ? (?1,1,1) ???????????2 分

? ? ? n ? n1 1 3 平面 ABC 的法向量为 n1 ? (0,0,1) ,则 cos ? ? ? ? ? ? n ? n1 3 3
所以 ?BEF 所在半平面与 ?ABC 所在半平面所成二面角 ? 的余弦值为 21. [解](1)设椭圆 E 的方程为 mx2 ? ny 2 ? 1(m ? 0, n ? 0, m ? n) 将 M (2,1), N (2 2,0) 代入椭圆 E 的方程,得 ?

3 .?3 分 3

?4m ? n ? 1 ???2 分 ? 8m ? 1
????2 分

解得 m ?

1 1 x2 y 2 , n ? ,所以椭圆 E 的方程为 ? ?1 8 2 8 2
2

2 2 设点 P 的坐标为 x0 , y0 ) ,则 OP ? x0 ? y0 . (

又 P( x0 , y0 ) 是 E 上的动点,所以

2 2 x0 y0 2 2 ? ? 1 ,得 x0 ? 8 ? 4 y0 ,代入上式得 8 2

2 2 2 2 OP ? x0 ? y0 ? 8 ? 3 y0 , y0 ? ? ? 2, 2 ? ? ?

故 y0 ? 0 时, OP max ? 2 2 . OP 的最大值为 2 2 . ??????2 分 (2)因为直线 l 平行于 OM ,且在 y 轴上的截距为 b ,又 kOM ?

1 ,所以直线 l 的方程为 2

y?

1 x?b. 2

1 ? ? y ? 2 x?b ? 2 2 由? 2 得 x ? 2bx ? 2b ? 4 ? 0 2 ?x ? y ?1 ?8 2 ?

??????2 分

设 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ?2b, x1x2 ? 2b ? 4 .又 k1 ?
2

y1 ? 1 y ?1 , k2 ? 2 , x1 ? 2 x2 ? 2

故 k1 ? k2 ?

y1 ? 1 y2 ? 1 ( y1 ? 1)( x2 ? 2) ? ( y2 ? 1)( x1 ? 2) ? ? .??? 2 分 x1 ? 2 x2 ? 2 ( x1 ? 2)( x2 ? 2)



1 1 x1 ? b, y2 ? x2 ? b , 2 2 1 1 ? ( x1 ? b ? 1)( x2 ? 2) ? ( x2 ? b ? 1)( x1 ? 2) 2 2 y1 ?













???2 分

? x1x2 ? (b ? 2)( x1 ? x2 ) ? 4(b ?1) ? 2b2 ? 4 ? (b ? 2)(?2b) ? 4(b ?1) ? 0 故 k1 ? k2 ? 0 .
所以直线 MA 与直线 MB 的倾斜角互补.?????????????2 分 22. [解](1)当 a ? 1, b ? 0 时, f ( x) ? x | x ? 1| 既不是奇函数也不是偶函数.??2 分 ∵ f (?1) ? ?2, f (1) ? 0 ,∴ f (?1) ? f (1), f (?1) ? ? f (1) 所以 f ( x ) 既不是奇函数,也不是偶函数.???????????????2 分 (2)当 a ? 1, b ? 1 时, f ( x) ? x | x ? 1| ?1 , 由 f (2 ) ?
x

5 5 x x 得 2 | 2 ? 1| ?1 ? 4 4

???????????2 分

? ? 2x ? 1 2x ? 1 ? ? 即? x 2 或? x 2 1 1 x x ?(2 ) ? 2 ? ? 0 ?(2 ) ? 2 ? ? 0 ? 4 ? 4
解得 2 ?
x

?????????2 分

1? 2 1? 2 1 或2 x ? (舍),或2 x ? 2 2 2 1? 2 ? log 2 (1 ? 2) ? 1 或 x ? ?1 . 2
??????2 分

所以 x ? log 2

(3)当 x ? 0 时, a 取任意实数,不等式 f ( x) ? 0 恒成立, 故只需考虑 x ? ? 0,1? ,此时原不等式变为 | x ? a |? 即x?

?b x

b b ?a ? x? ?????????????????????2 分 x x b b 故 ( x ? ) max ? a ? ( x ? ) min , x ? ? 0,1? x x b b 又函数 g ( x ) ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递增,所以 ( x ? ) max ? g (1) ? 1 ? b ; x x b 对于函数 h( x) ? x ? , x ? ? 0,1? x b ①当 b ? ?1 时,在 ? 0,1? 上 h( x) 单调递减, ( x ? ) min ? h(1) ? 1 ? b ,又 1 ? b ? 1 ? b , x
所以,此时 a 的取值范围是 (1 ? b,1 ? b) . ??????????????2 分

②当 ?1 ? b ? 0 ,在 ? 0,1? 上, h( x) ? x ? 当x?

b ? 2 ?b , x

b ?b 时, ( x ? ) min ? 2 ?b ,此时要使 a 存在, x

必须有 ?

?1 ? b ? 2 ?b ? ? ?1 ? b ? 0 ?

即 ?1 ? b ? 2 2 ? 3 ,此时 a 的取值范围是 (1 ? b, 2 ?b )

综上,当 b ? ?1 时, a 的取值范围是 (1 ? b,1 ? b) ;当 ?1 ? b ? 2 2 ? 3 时, a 的取值范围 是 (1 ? b, 2 ?b ) ; 当 2 2 ? 3 ? b ? 0 时, a 的取值范围是 ? . ???????????2 分

23. [解] (1)如图,由 ?OQ1P 是边长为 a1 的等边三角形,得点 P1 的坐标为 ( 1

a1 3a1 , ), 2 2

又 P1 (

2 3a 2 a a1 3a1 , ) 在抛物线 y 2 ? x 上,所以 1 ? 1 ,得 a1 ? 3 4 2 2 2

??????2 分

同理 P ( ? 2

2 3

4 a2 3a2 ,? ) 在抛物线 y 2 ? x 上,得 a2 ? 3 2 2

??????2 分

( 2 ) 如 图 , 法

1 : 点 Qn?1 的 坐 标 为 (a1 ? a2 ? a3 ? ??? ? an?1 ,0) , 即 点

(Sn?1,0)(点Q0与原点重合,S0 =0) , 所 以 直 线 Qn?1Pn 的 方 程 为 y ? 3( x ? Sn?1 ) 或

y ? ? 3( x ? Sn?1 ) ,
? y2 ? x ? 因此,点 P 的坐标满足 ? n ? y ? 3( x ? Sn?1 ) ?
消去 x 得 3 y 2 ? y ? 3Sn?1 ? 0 , 所以 y ?

1 ? 1 ? 12Sn?1 2 3

又 y ? an ? sin 60 ?
?

3 an ,故 3an ? 1 ? 1 ? 12Sn?1 2
??① ??② ?????????????????2 分

2 从而 3an ? 2an ? 4Sn?1

2 由①有 3an?1 ? 2an?1 ? 4Sn

2 2 ②-①得 3(an?1 ? an ) ? 2(an?1 ? an ) ? 4an

即 (an?1 ? an )(3an?1 ? 3an ? 2) ? 0 ,又 an ? 0 ,于是 an ?1 ? an ?

2 3

所以 {an } 是以

2 2 2 为首项、 为公差的等差数, an ? a1 ? (n ? 1)d ? n 3 3 3 (a1 ? an )n 1 Sn ? ? n(n ? 1) 2 3

????2 分

Gn ?


3 2 3 2 G 3n2 3 an ? n , lim n ? lim ? n?? S n ?? 3n(n ? 1) 4 9 3 n
2 : 点

????????2 分

Qn?1









(a1 ? = 0 )

a2 ?

a3 ? n? ? ,? a , )即 01 ? ?



(Sn?1

, 点0 与原点重合, Q0 ( )

S, 0

所以直线 Qn?1P 的方程为 y ? 3( x ? Sn?1 ) 或 y ? ? 3( x ? Sn?1 ) n

? y2 ? x ? 因此,点 P ( x, y) 的坐标满足 ? 消去 y 得 3( x ? Sn?1 )2 ? x , n y ? 3( x ? Sn?1 ) ? ?
又 x ? Sn ?1 ?

an a 2 a 2 ,所以 3( n ) ? Sn ?1 ? n ,从而 3an ? 2an ? 4Sn?1 ?① 2 2 2

??2 分

以下各步同法 1 法 3:点 Qn?1 的坐标为 (a1 ? a2 ? a3 ? ??? ? an?1 ,0) , 即点 (Sn?1 ,0)(点Q0与原点重合,S0 =0) ,所以 Pn ( Sn ?1 ?

an 3an , ), 2 2
, 即



Pn ( Sn ?1 ?

a 3 2 an 3an an ? S n ?1 ? n , ) 在 抛 物 线 y2 ? x 上 , 得 4 2 2 2

2 3an ? 2an ? 4Sn?1 ?????2 分

以下各步同法 1

b a (3)因为 n ?1 ? bn

2( n ?1) 3 2n 3

? a 3 ,所以数列 {bn } 是正项等比数列,且公比 q0 ? a 3 ? 1 ,首项

2

2

a

b1 ? a 3 ? q0 ,
q r s b1 (1 ? q0p ) b1 (1 ? q0 ) b1 (1 ? q0 ) b1 (1 ? q0 ) 则 Tp ? , Tq ? , Tr ? , Ts ? ?? 2 分 1 ? q0 1 ? q0 1 ? q0 1 ? q0

2

Tp ? Ts ?Tq ? Tr =
?

b12 s q r q ? ?(1 ? q0p )(1 ? q0 ) ? (1 ? q0 )(1 ? q0 ) ? (注意 q0p? s ? q0 ?r ) 2 ? ? (1 ? q0 )
?????????? 2 分

b12 q r s ? ?(q0 ? q0 ) ? (q0p ? q0 ) ? ? (1 ? q0 )2 ?

q r p s q p s r 而 (q0 ? q0 ) ? (q0 ? q0 ) ? (q0 ? q0 ) ? (q0 ? q0 ) q r s q r ? q0p (q0 ? p ?1) ? q0 (q0?r ?1) ? (q0 ? p ?1)(q0p ? q0 ) (注意 q ? p ? s ? r ) q r q r ? (q0 ? p ?1)q0p (1 ? q0 ? p ) ? ?q0p (q0 ? p ?1)(q0 ? p ?1) ????????? 2 分
2 3

q 因为 a ? 0且a ? 1 ,所以 q0 ? a ? 0且q0 ? 1 ,又 q ? p, r ? p 均为正整数,所以 (q0 ? p ?1) 与

r (q0 ? p ? 1) 同号,
p q r 故 ?q0 (q0 ? p ?1)(q0 ? p ?1) ? 0 ,所以, Tp ? Ts ? Tq ? Tr .??????? 2 分

(第(3)问只写出正确结论的,给 1 分)


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