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历年国奥赛试卷及答案


2009 年小学数学奥林匹克决赛试卷
2009 年 4 月 19 日 9:00—10:30 (本卷共 12 题,每题 10 分,总分 120 分)

5 1 22 1 2 ? ? ?2 ? ) ?5= 46 15 23 2 69 1 1 1 )= 2、 (1 ? 2 )(1 ? 2 ) ? (1 ? 2 3 2009 2
1、 (0. 3?

?

。 。 次。
2

3、自然数 1,2,?,100 中,数字“1”共使用了

1 4、如图,在一个 4×4 的正方形内,两个 圆周的半径分别是 2 4
和 4。取 ? =3,那么图中两个阴影部分的面积之差是 。

2 2 2

5、某种商品,去年的售价比前年上涨 10%,今年的售价比去年下跌 10%, ,比前年 下跌 0.09 元。那么,该商品前年的售价是 元。

6、假日里有 57 位同学去郊外野餐,他们分成 3 人或 4 人一个小组进行准备,可以 都是分成 3 人一组,这算一种分组方法;也可以分成若干 3 人组,若干个 4 人组。3 人组和 4 人组的个数不同就是不同的分组方法。那么,不同的分组方法有 7、一项工程,交甲工程队做需 30 天完成,每天工程费用 40 天完成,每天工程费用 种。

2 万元;交乙工程队做需 3

1 万元,为了在 20 天内完成,安排甲、乙两队共同参与这 4

项工程,如果两队工作的天数可以不一样,那么,两队共同完成这项工程的总费用 至少需要 万元。
A B

8、如图,半径分别是 8 和 28 的两个圆盘。大圆是固定的。小圆在 大圆的外面,沿大圆圆周按逆时针方向滚动。开始时小圆圆周上的 A 点与大圆圆周上的 B 点重合。当 A、B 两点再次重合时,A 至少

绕小圆圆心转动了

圈。
A

9、右下图中有 12 个点,A、B、?X、Y、Z, 和若干个三角形。如果从中选出 4 个三角形,使 得它们的顶点正好是图中的 12 个点,就称这样 的选法是合格的选法。例如,图中用粗线标出的
M

D L Z Y

4 个三角形(ABM,CLF,DZY,EKX)就是一 个合格的选法。那么,不同的合格选法共有 种。
B

E

X

F

K

C

10、字母 A、B、C、D、E、F、G 代表不同的数字。这些数字满足算式:

A B C D × E D C B A 和 ×

B F D G G C D F B







七 。





ABCDEFG=

11、一条全长 56 公里的公路分成了 10 段设立车站。从起点到终点,11 个站名依次 是 A、B、C、D、E、F、G、H、I、J、K。已知任何相邻两段路的长度之和不超过 12 公里;任何相邻三段路的长度之和不少于 17 公里;那么,从 B 到 G 的那段路的 长度是 公里。

12、设 q 是一个平方数,如果 q-2 和 q+2 都是质数(也称素数) ,就称 q 为 P 型平 方数。 例如, 就是一个 P 型平方数。 9 那么, 小于 1000 的最大 P 型平方数是 。

详细答案 1、 =1/30 解答:原式=(1/3×5/46+1/15×22/23×5/2-2/69)÷5 =1/6÷5=1/30 2、 =1005/2009。 解答:原式=(1+1/2)(1-1/2)(1+1/3)(1-1/3)??(1+1/2009)(1-1/2009) = (3/2×4/3×??×2010/2009)(1/2×2/3×??×2008/2009) =1/2×2010×1/2009 =1005/2009 3、自然数 1,2,?,100 中,数字“1”共使用了 21 次。 解答:个位上有 1 的数有:1、11、21、31、41、51、61、71、81、91 共 10 个;十位上有 1 的数有:10、11、12、13、14、15、16、17、18、19 共 10 个;百位上有 1 的数有:100 共 1 个。 所以自然数 1,2,?,100 中,数字“1”共使用了 10+10+1=21 次。 4、如图,在一个 4×4 的正方形内,两个 圆周的半径分别是 2 和 4。取 =3,那么图中两个 阴影部分的面积之差是 1。 AB 解答:A=(4×4-1/4×4×4×3)÷2-B=2-B C C=2×2-1/4×2×2×3-B=1-B A-C=(2-B)-(1-B)=1 5、某种商品,去年的售价比前年上涨 10%,今年的售价比去年下跌 10%,,比前年下跌 0.09 元。那么,该商品前年的售价是 9 元。 解答:0.09÷[1-1×(1+10%)×(1-10%)]=9(元) 6、假日里有 57 位同学去郊外野餐,他们分成 3 人或 4 人一个小组进行准备,可以都是分成 3 人一组,这算一种分组方法;也可以分成若干 3 人组,若干个 4 人组。3 人组和 4 人组的 个数不同就是不同的分组方法。那么,不同的分组方法有 5 种。 解答:设分成 3 人的组有 x 组,分成 4 人的组有 y 组。 则 3x+4y=57 y=(57-3x)÷4 当 x=3 时,y=12; 当 x=7 时,y=9; 当 x=11 时,y=6; 当 x=15 时,y=3; 当 x=19 时,y=0 答:不同的分组方法有 5 种。 7、一项工程,交甲工程队做需 30 天完成,每天工程费用万元;交乙工程队做需 40 天完成, 每天工程费用万元,为了在 20 天内完成,安排甲、乙两队共同参与这项工程,如果两队工 作的天数可以不一样,那么,两队共同完成这项工程的总费用至少需要 15 万元。 解答:设甲工作了 x 天,乙工作了 y 天。1/30x+1/40y=1,4x+3y=120, Y=40-4/3 x,这里 x、y 均小于 20。只有当 x=15 时,y=20; 当 x=18 时,y=16; 15×2/3+20×1/4=15;18×2/3+16×1/4=16。15 小于 16 答:两队共同完成这项工程的总费用至少需要 15 万元。 8、如图,半径分别是 8 和 28 的两个圆盘。大圆是固定的。小圆在大圆的外面,沿大圆圆周 按逆时针方向滚动。开始时小圆圆周上的 A 点与大圆圆周上的 B 点重合。当 A、B 两点再次 重合时,A 至少绕小圆圆心转动了 9 圈。

解答:A 至少绕小圆圆心转动了

9

圈。

9、右下图中有 12 个点,A、B、?X、Y、Z,和若干个三角形。如果从中选出 4 个三角形, 使得它们的顶点正好是图中的 12 个点,就称这样的选法是合格的选法。例如,图中用粗线 标出的 4 个三角形(ABM,CLF,DZY,EKX)就是一个合格的选法。那么,不同的合格选法共 有 10 种。 解答:不同的合格选法共有 10 种。 (1)ABM、CLF、DZY、EKX; (2)ABM、CFK、DYL、EXZ; (3)BCK、ADL、EMZ、XFY; (4)BCK、AMD、YFL、ZEX; (5)ACL、BEM、DZY、KXF; (6)ACL、BKE、XFY、DMZ; (7)ABC、DMZ、YFL、XEK; (8)ABC、DYL、XKF、MEZ; (9)XYZ、AMD、CFL、BKE; (10)XYZ、ADL、CKF、BEM。 10、字母 A、B、C、D、E、F、G 代表不同的数字。这些数字满足算式:

A B C D × E D C B A

B F D G × G 和 C D F B

那么,七位数 = 2178409。 解答 2178×4=8712,1089×9=9801 11、一条全长 56 公里的公路分成了 10 段设立车站。从起点到终点,11 个站名依次是 A、B、 C、D、E、F、G、H、I、J、K。已知任何相邻两段路的长度之和不超过 12 公里;任何相邻三 段路的长度之和不少于 17 公里;那么,从 B 到 G 的那段路的长度是 29 公里。 解答:5+5+7+5+5+7+5+5+7+5=56。 BG=5×3+7×2=29。 12、设 q 是一个平方数,如果 q-2 和 q+2 都是质数(也称素数),就称 q 为 P 型平方数。 例如,9 就是一个 P 型平方数。那么,小于 1000 的最大 P 型平方数是 441。 解答:(1)因为 32×32=1024,31×31=961, 又 q 是一个平方数,且 q-2 和 q+2 都是质数,所以,q 是小于 32 的一个奇数的平方数。 (2)31×31=961,961+2=963,963 不是质数; 29×29=841,841+2=843,843 不是质数; 27×27=729,729+2=731,731=17×43,731 不是质数;

25×25=625,625+2=627,627 不是质数; 23×23=529,529+2=531,531 不是质数; 21×21=441,441+2=443,441-2=439,而 443、439 都是质数; 综上所述小于 1000 的最大 P 型平方数是 441 。

2

2012 年成都市青羊区小学奥林匹克数学竞赛获奖成绩等级为: 一等奖 110 分以上 二等奖 95-109 分 三等奖 80-94 分


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