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高中导数专题复习 函数周期性及对称性


课前小测 1.函数 y ? log0.1 (6 ? x ? 2x 2 ) 的单调增区间是________ 2.已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数. 当 x ? ( ? ?, 0 ) 时,f ( x) ? x ? x 4 , 则当 x ? ( 0, ? ? ) 时,f ( x) ? 变式: 设 f(x)、 g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x<0 时,

f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) >0.且 g(3)=0. 则不等式 f(x)g(x)<0 的解集是( A.(-3,0)∪ (3,+∞)
C.(-∞,- 3)∪ (3,+∞)

) B.(-3,0)∪ (0, 3)
D.(-∞,- 3)∪ (0, 3)

函数对称性、周期性
一、函数的对称性
1.函数自对称 (1)关于 y 轴对称的函数(偶函数)的充要条件是 f (? x) ? f ( x) (2)关于原点 ? 0, 0 ? 对称的函数(奇函数)的充要条件是 f ( x) ? f (? x) ? 0 (3)如果函数 y ? f ( x) 对于一切 x∈ R,都有 f (a ? x) ? f (a ? x) ( ? f (2a ? x) ? f ( x) ), 那么函数 y=f(x)的图像关于直线 x ? a 对称 ? y ? f ( x ? a) 是偶函数 (4)如果函数 y ? f ( x) 对于一切 x∈ R, 都有 f(a+x)=f(b-x)成立,那么函数 y ? f ( x) 的图像关于直 a?b 线 x= 对称 2 (5) 如果函数 y ? f ( x) 对于一切 x∈ R, 都有 f (a ? x) ? f (a ? x) ? 2b 成立, 则函数 y ? f ( x) 图像关于 点 (a, b) 对称 2.两个函数的图象对称性 (1) y ? f ( x) 与 y ? ? f ( x) 关于 x 轴对称。 换种说法: y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 若满足 f ( x) ? ? g ( x) ,即它们关于 y ? 0 对称。 (2) y ? f ( x) 与 y ? f (? x) 关于 y 轴对称。 换种说法: y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 若满足 f ( x) ? g (? x) ,即它们关于 x ? 0 对称。 (3) y ? f ( x) 与 y ? f (2a ? x) 关于直线 x ? a 对称。 换种说法: y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 若满足 f ( x) ? g (2a ? x) ,即它们关于 x ? a 对称。

(4) y ? f ( x) 与 y ? 2a ? f ( x) 关于直线 y ? a 对称。 换种说法: y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 若满足 f ( x) ? g ( x) ? 2a ,即它们关于 y ? a 对称。 (5) y ? f ( x)与y ? 2b ? f (2a ? x) 关于点 ? a, b ? 对称。 换种说法: y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 若满足 f ( x) ? g (2a ? x) ? 2b ,即它们关于点 ? a, b ? 对称。 (6) y ? f (a ? x) 与 y ? ( x ? b) 关于直线 x ?
a?b 对称。 2

a 若 f ( x) ? ? f (? x ? a) ,则函数 y ? f ( x) 的图象关于点 ( ,0) 对称; 2

3.几个常见的函数方程 (1)正比例函数 f ( x) ? cx , f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y), f (1) ? c . (2)指数函数 f ( x) ? a x , f ( x ? y) ? f ( x) f ( y), f (1) ? a ? 0 . (3)对数函数 f ( x) ? loga x , f ( xy) ? f ( x) ? f ( y), f (a) ? 1(a ? 0, a ? 1) . (4)幂函数 f ( x) ? x? , f ( xy) ? f ( x) f ( y), f ' (1) ? ? .

二、函数的周期性
定义:对于函数 f ( x) ,如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的每一个值时,都有 f ( x ? T ) ? f ( x) ,则 f ( x) 的最小正周期为 T,T 为这个函数的一个周期(说明:nT 也是 f ( x) 的周 期) 注意:关于函数的周期性的几个重要性质:
T T 1.如果函数 f ( x) 是 R 上的奇函数,且最小正周期为 T,那么 f ( ) ? f (? ) ? 0 2 2

2.如果函数 f ( x) 所有的周期中存在一个最小的正数, 那么这个最小正数就叫做 f ( x) 的最小正周期, T 如果函数 f ( x) 的最小正周期为 T 则函数 f (ax) 的最小正周期为 ,如果 y ? f ( x) 是周期函数,那 a 么 y ? f ( x) 的定义域无界 3.若 f ( x ? T ) ? f ( x)(T ? 0) ? f ( x) 是周期函数,T 是它的一个周期,说明:nT 也是 f ( x) 的周期 推广:若 f ( x ? a) ? f ( x ? b) ,则 f ( x) 是周期函数, b ? a 是它的一个周期 4.定义在 R 上的函数 f ( x) 图象关于直线 x ? a 和 x ? b (a ? b) 对称,则 f ( x) 是周期函数, 2(b ? a) 是 它的一个周期 推论: 若定义在 R 上的偶函数 f ( x) 的图象关于直线 x ? a (a ? 0) 对称, 则 f ( x) 是周期函数,2 a 是 它的一个周期

5.定义在 R 上的函数 f ( x) 图象关于点 (a,0) 和点 (b,0) (a ? b) 对称,则 f ( x) 是周期函数, 2(b ? a) 是 它的一个周期 推论:若定义在 R 上的奇函数 f ( x) 的图象关于点 (a,0) (a ? 0) 对称,则 f ( x) 是周期函数, 2 a 是 它的一个周期 6.定义在 R 上的函数 f ( x) 图象关于直线 x ? a 和点 (b,0) (a ? b) 对称,则 f ( x) 是周期函数, 4(b ? a) 是它一个周期 推论: 若定义在 R 上的奇函数 f ( x) 的图象关于直线 x ? a (a ? 0) 对称, 则 f ( x) 是周期函数,4 a 是 它的一个周期 7.若 f ( x ? a) ? ? f ( x) ; f ( x ? a) ? 期 8. f ( x ? a) ? 9. f ( x ? a) ?
1 , ( f ( x) ? 1) ,则 f ( x) 的周期 T=3a 1 ? f ( x) 1 ? f ( x) 则 f ( x) 的周期 T=4a; 1 ? f ( x) 1 1 ; f ( x ? a) ? ? ;则 f ( x) 是周期函数,2 a 是它的一个周 f ( x) f ( x)

1. 函数 f ? x ? 对于任意实数 x 满足条件 f ? x ? 2 ? ?

1 ,若 f ?1? ? ?5, f ? f ?5?? ? ______________。 f ? x?

1 2. f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,图象关于 x ? 1 对称,对任意 x1 , x 2 ? [0, ] ,有 2 1 1 求 f ( ); f ( ) ⑵ 证明: f ( x) 是周期函数; f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) f ( x2 ) ,且 f (1) ? a ? 0 ⑴ 2 4

3 3 3. f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且对一切 x ? R ,恒有 f ( ? x) ? ? f ( ? x) 2 2

⑴ 求证: f ( x) 是周期函数;⑵ 若 f (1) ? 2 ,求 f (2) ? f (3) 的值。

4.已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+2)=-f(x),则,f(6)的值为(

)

5.若存在常数 p ? 0 ,使得函数 f ( x) 满足 f ( px ) ? f ( px ? ________ 6.已知定义在 R 上, 最小正周期为 5 的函数
f ( x ) 满足

p ) ( x ? R ),则 f ( x) 的一个正周期为 2

f (? x) ? ? f ( x) , ( ) 0? 且 f3

, 则在区间 ? 0,10 ?

内,方程 f ( x ) ? 0 的解的个数至少为_________个 7.定义在 R 上的偶函数 f ( x ) ,满足 f (2 ? x ) ? f (2 ? x ) ,在区间[-2,0]上单调递减,设
a ? f (?1.5), b ? f ( 2), c ? f (5) ,则 a , b, c 的大小顺序为_____________

8.定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x ? 2) ? 3 f ( x)当x ?[0,2]时f ( x) ? x 2 ? 2x , 则当 x ? [?4,?2]时, f ( x) 的 最小值是_____________

9.已知函数 y ? f ( x) 是一个以 4 为最小正周期的奇函数,则 f (2) ? (



10.已知 f (x)是定义在实数集上的函数,且 f ( x ? 2) ?

1 ? f ( x) , 若f (1) ? 2 ? 3, 则 f (2005)= 1 ? f ( x)

11.已知 f ( x) 是(- ?, ? ? )上的奇函数, f (2 ? x) ? ? f ( x) ,当 0 ? x ? 1 时,f(x)=x,则 f(7.5)=________

12.设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且对任意实数 x 恒满足 f (2 ? x) ? ? f ( x) ,当 x ? [0,2] 时

f ( x) ? 2x ? x 2
⑴ 求证: f ( x) 是周期函数;⑵ 当 x ? [2,4] 时,求 f ( x) 的解析式;(3)算: f (0) ? f (1) ? f (2) ? ? ? f (2005 )

2] 时,函数 13.设 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,它的图象关于直线 x ? 2 对称,已知 x ? [?2, ? 2] 时, f ( x) ? ________ f ( x) ? ? x 2 ? 1 ,则 x ? [?6,
6 3 5 14.已知 f ( x) 是周期为 2 的奇函数,当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? lg x. 设 a ? f ( ), b ? f ( ), c ? f ( ), 则 5 2 2

(A) a ? b ? c

(B) b ? a ? c

(C) c ? b ? a

(D) c ? a ? b

导数及其应用
考点一:导数概念与运算
(一)知识清单 1.导数的概念 函数 y=f(x),如果自变量 x 在 x 0 处有增量 ?x , 那么函数 y 相应地有增量 ?y =f (x 0 + ?x ) -( f x0) ,
?y ? y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 叫做函数 y=f(x)在 x 0 到 x 0 + ?x 之间的平均变化率,即 = 。如果当 ?x ?x ?x ?y ?x ? 0 时, 有极限,我们就说函数 y=f(x)在点 x 0 处可导,并把这个极限叫做 f(x)在点 x 0 处 ?x 的导数,记作 f’(x 0 )或 y’| x ? x0 。

比值

即 f(x 0 )= lim 说明:

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y = lim 。 ? x ?x ?0 ?x

(1)函数 f(x)在点 x 0 处可导,是指 ?x ? 0 时, 点 x 0 处不可导,或说无导数。

?y ?y 有极限。如果 不存在极限,就说函数在 ?x ?x

(2) ?x 是自变量 x 在 x 0 处的改变量, ?x ? 0 时,而 ?y 是函数值的改变量,可以是零。 由导数的定义可知,求函数 y=f(x)在点 x 0 处的导数的步骤: (1)求函数的增量 ?y =f(x 0 + ?x )-f(x 0 ); (2)求平均变化率
? y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) = ; ?x ?x
?x ?0

(3)取极限,得导数 f’(x 0 )= lim 2.导数的几何意义

?y 。 ?x

函数 y=f(x)在点 x 0 处的导数的几何意义是曲线 y=f(x)在点 p(x 0 ,f(x 0 ))处的切线的斜率。 也就是说,曲线 y=f(x)在点 p(x 0 ,f(x 0 ))处的切线的斜率是 f’(x 0 )。相应地,切线方程 为 y-y 0 =f/(x 0 )(x-x 0 )。 3.几种常见函数的导数: ①C ? ? 0; ②? xn ?? ? nxn?1; ③(sin x)? ? cos x ;
1 ⑦? ln x ?? ? ; x

④(cos x)? ? ? sin x ;
1 ⑧? l o g a x ?? ? log a e . x

⑤(e x )? ? e x ; ⑥(a x )? ? a x ln a ;

4.两个函数的和、差、积的求导法则 法则 1:两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差),

即: ( u ? v) ' ? u ' ? v ' . 法则 2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数,即: (uv) ' ? u ' v ? uv' . 若 C 为常数,则 (Cu) ' ? C 'u ? Cu ' ? 0 ? Cu ' ? Cu ' .即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导 数: (Cu ) ' ? Cu ' . 法则 3:两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,再除以 ? u ? u ' v ? uv ' 分母的平方: ? ? ‘= (v ? 0)。 v2 ?v? 形如 y=f ?? ( x ) ? 的函数称为复合函数。复合函数求导步骤:分解——求导——回代。法则:y'| X = y'| U · u' | X (二)典型例题分析 题型一:导数的概念及其运算 例1. 如果质点 A 按规律 s ? 2t 3 运动,则在 t=3 s 时的瞬时速度为( A. 6m/s B. 18m/s C. 54m/s )

D. 81m/s

变式:定义在 D 上的函数 f ( x) ,如果满足: ? x ? D , ? 常数 M ? 0 , 都有 | f ( x) | ≤M 成立,则称 f ( x) 是 D 上的有界函数,其中 M 称为函数的上界.
1 ? at ,要使在 t ? [0 , ? ?) 上的每一时刻的瞬时速 t ?1 度是以 M=1 为上界的有界函数,求实数 a 的取值范围.

【文】(1)若已知质点的运动方程为 S (t ) ?

【理】(2)若已知质点的运动方程为 S (t ) ? 2t ? 1 ? at ,要使在 t ? [0 , ? ?) 上的每一时刻的瞬时 速度是以 M=1 为上界的有界函数,求实数 a 的取值范围.

例2.

已知 f ( x) ?
1 4

1 f (2 ? ?x) ? f (2) , 则 lim 的值是( ? x ? 0 x ?x



A. ?

B. 2

C.

1 4

D. -2

变式 1: 设f ??3? ? 4, 则 lim f ?3 ? h ? ? f ?3? 为 (
h ?0

2h

) D.1 ) D. 4 f ??x0 ?

A.-1

B.-2
?x ?0

C.-3

变式 2: 设f ? x ? 在x0可导, 则 lim A. 2 f ??x0 ?

f ? x0 ? ?x ? ? f ? x0 ? 3?x ? 等于 ( ?x

B. f ??x0 ?

C. 3 f ??x0 ?

例 3:求所给函数的导数:

(文科)y ? x3 ? log 2 x; y ? x ne x ; y ? (理科)y ? ( x ? 1)99 ; y ? 2e? x ;

x3 ? 1 sin x y ? 2 x sin ? 2 x ? 5?

题型二:导数的几何意义 ① 已知切点,求曲线的切线方程; 注:此类题较为简单,只须求出曲线的导数 f ?( x) ,并代入点斜式方程即可. 例3.
? 1) 处的切线方程为( 曲线 y ? x3 ? 3x2 ? 1 在点 (1,

) D. y ? 4 x ? 5

A. y ? 3x ? 4

B. y ? ?3x ? 2

C. y ? ?4 x ? 3

② 已知斜率,求曲线的切线方程; 注:此类题可利用斜率求出切点,再用点斜式方程加以解决. 例4. 与直线 2 x ? y ? 4 ? 0 的平行的抛物线 y ? x 2 的切线方程是( B. 2 x ? y ? 3 ? 0 C. 2 x ? y ? 1 ? 0 ) D. 2 x ? y ? 1 ? 0

A. 2 x ? y ? 3 ? 0

③ 已知过曲线外一点,求切线方程; 此类题可先设切点,再求切点,即用待定切点法来求解. 例5.
0) 且与曲线 y ? 相切的直线方程. 求过点 (2,

1 x

变式 1、已知函数 y ? f ( x) 的图象在点 M (1,f (1)) 处的切线方程是 y ? 。 变式 2、

1 x ? 2 ,则 f (1) ? f ?(1) ? 2

考点二:导数应用
(一)知识清单 1.单调区间:一般地,设函数 y ? f ( x) 在某个区间可导,如果 f ' ( x ) ? 0 ,则 f ( x) 为增函数;如果
f ' ( x) ? 0 ,则 f ( x) 为减函数;如果在某区间内恒有 f ' ( x) ? 0 ,则 f ( x) 为常数;

2.极点与极值: 曲线在极值点处切线的斜率为 0, 极值点处的导数为 0; 曲线在极大值点左侧切线的斜率为正, 右侧为负;曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正; 3.最值: 一般地,在区间[a,b]上连续的函数 f ( x ) 在[a,b]上必有最大值与最小值。 ① 求函数 ? ( x ) 在(a,b)内的极值; ② 求函数 ? ( x ) 在区间端点的值 ?(a)、?(b);

③ 将函数 ? ( x ) 的各极值与 ?(a)、?(b)比较,其中最大的是最大值,其中最小的是最小值。 4.定积分 (1)概念:设函数 f(x)在区间[a,b]上连续,用分点 a=x0<x1<…<xi-1<xi<…xn=b 把区间[a,b]等 分成 n 个小区间,在每个小区间[xi-1,xi]上取任一点 ξi(i=1,2,…n)作和式 In= ? f (ξi)△ x(其
i=1 n

中△ x 为小区间长度),把 n→∞即△ x→0 时,和式 In 的极限叫做函数 f(x)在区间[a,b]上的定积分, 记作: ? f ( x)dx ,即 ? f ( x)dx = lim ? f (ξi)△ x。
a a
n ?? i ?1

b

b

n

这里,a 与 b 分别叫做积分下限与积分上限,区间[a,b]叫做积分区间,函数 f(x)叫做被积函 数,x 叫做积分变量,f(x)dx 叫做被积式。 基本的积分公式:

? 0dx =C;

?x
?e

m

dx =

1 x m ?1 +C(m∈ Q, m≠-1); m ?1

? x dx=ln x +C;
x ? a dx =

1

x

dx = e x +C;

ax +C; ln a

? c o sx d x=sinx+C;

? sin xdx =-cosx+C(表中 C 均为常数)。
(2)定积分的性质 ①? kf ( x)dx ? k ? f ( x)dx (k 为常数);
a a b b

②? f ( x) ? g ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? g ( x)dx ;
a a a

b

b

b

③? f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx (其中 a<c<b ) 。
a a c

b

c

b

(3)定积分求曲边梯形面积 由三条直线 x=a, x=b (a<b) , x 轴及一条曲线 y=f (x) (f(x)≥0)围成的曲边梯的面积 S ? ? f ( x)dx 。
a b

如果图形由曲线 y1=f1(x),y2=f2(x)(不妨设 f1(x)≥f2(x)≥0),及直线 x=a,x=b(a<b)围成,那 么所求图形的面积 S=S 曲边梯形 AMNB-S 曲边梯形 DMNC= ? f1 ( x)dx ? ? f 2 ( x)dx 。
a a b b

(二)典型例题分析 题型一:单调性 例6. 判断下列函数的单调性,并求出单调区间:
(2) f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3;

(1) f ( x) ? x 3 ? 3x;

(3) f ( x) ? sin x ? x, x ? (0, ? ); (4) f ( x) ? 2 x 3 ? 3x 2 ? 24 x ? 1.

变式 1:函数 f ( x) ? x ? e ? x 的一个单调递增区间是( A. ?? 1,0? B. ?2,8? C. ?1,2? D. ?0,2?



变式 2:已知函数 y ?

1 3 x ? x 2 ? ax ? 5 3

(1)若函数的单调递减区间是(-3,1),则 a 的是 (2)若函数在 [1,??) 上是单调增函数,则 a 的取值范围是 .

.

变式 3: 设 t ? 0 ,点 P( t ,0)是函数 f ( x) ? x 3 ? ax与g ( x) ? bx2 ? c 的图象的一个公共点,两函 数的图象在点 P 处有相同的切线. (Ⅰ )用 t 表示 a,b,c; (Ⅱ )若函数 y ? f ( x) ? g ( x) 在(-1,3)上单调递减,求 t 的取值范围.

例7.

3 2 已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? 1( x ? R) ,函数 y ? f ( x) 的图像在点 P(1, f (1)) 的切线方程是 y ? x?4.

? k, k ? ? 3 ? 上是单调函数,求实数 k 的取值范围. (Ⅰ )求函数 f ( x) 的解析式; (Ⅱ )若函数 f ( x) 在区间 ?

?

2?

题型二:极值与最值 例8.
1 1 求函数 f ( x) ? x 3 ? 4 x ? 4 的极值.求函数 f ( x) ? x 3 ? 4 x ? 4 在 ?0,3? 上的最大值与最小值.. 3 3

变式 1: 函数 f ( x) 的定义域为开区间 (a, b) ,导函数 f ?( x) 在 (a, b) 内的图象如图所示,则函数 f ( x) 在开区间 (a, b) 内有极小值点(A) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 变式 2:已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx 在点 x0 处取得极大值 5 ,其导函数 y ? f '( x) 的图象经过点
(1, 0) , (2, 0) ,如图所示.求:
y

y ? f ?( x)

b

a

O

x

(Ⅰ ) x0 的值;(Ⅱ ) a, b, c 的值.

例9.

3 设函数 f ( x) ? x ? 3ax ? b(a ? 0) .

(Ⅰ )若曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2) ) 处与直线 y ? 8 相切,求 a , b 的值; (Ⅱ )求函数 f ( x) 的极值点以及极值.

例10.

3 2 已知三次函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c 在 x ? 1 和 x ? ?1 时取极值,且 f (?2) ? ?4 .

(1) 求函数 y ? f ( x) 的表达式; (2) 求函数 y ? f ( x) 的单调区间和极值;

题型三:导数综合运用 ① 导数单调区间、极值、最值在选择题中的应用 例11. (1).已知函数 y ? f ( x) 的导函数 y ? f ?( x) 的图像如下,则 ( y )

A.函数 f ( x) 有 1 个极大值点,1 个极小值点 B.函数 f ( x) 有 2 个极大值点,2 个极小值点 C.函数 f ( x) 有 3 个极大值点,1 个极小值点 D.函数 f ( x) 有 1 个极大值点,3 个极小值点

x1 ?

x2 ?

x3 ? O
o O

? x4

x

(2)已知函数 y ? xf ?( x) 的图象如图1所示(其中 f ?( x ) 是函数 f ( x) 的导函数),下面四个图象中 y ? f ( x) 的图象大致是( )

(3).若函数 y ? f ( x) 的导函数 在区间 ... 数,则函数 y ? f ( x) 在区间 [a, b] 上的图象可能是 ( )

[a, b] 上是增函

y

y

y

y

o

a

b x

o

a

o b x

a

o b x

a

b x

' 3 2 (4).右上图为函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d 的图象, f ( x) 为函数 f ( x) 的导函数,则不等式 x. f ' ( x) ? 0 的解集是
3 2 (5)、.设 a 为实数,函数 f ( x) ? x ? ax ? (a ? 2) x 的导函数是 f ?( x) 是偶函数,则 a =

.

② 导数与不等式、函数等的综合问题 利用单调性、极值求参数的取值范围 例12. 已知 f ?x? ? ax3 ? 3x 2 ? x ? 1 在 R 上是减函数,求 a 的取值范围。

例13.

设 a ? R ,函数 f ( x) ? ax3 ? 3x 2 .

(Ⅰ )若 x ? 2 是函数 y ? f ( x) 的极值点,求 a 的值; (Ⅱ )若函数 g ( x) ? f ( x) ? f ?( x),x ?[0, 2] ,在 x ? 0 处取得最大值,求 a 的取值范围.

③ 导数中的一些恒成立问题 例14. 设函数

f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c

(1)求函数 f ( x) 的单调区间、极值.(2)若当 x ? [a ? 1, a ? 2] 时,恒有 | f ?( x) |? a ,试确定 a 的 取值范围.

例15.

2 已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c 在 x ? ? 与 x ? 1 时都取得极值 3

(1)求 a , b 的值与函数 f ( x) 的单调区间 (2)若对 x ?[?1, 2] ,不等式 f ( x) ? c2 恒成立,求 c 的取值范围

课后作业 1.(福建)已知对任意实数 x ,有 f (?x) ? ? f (x) , g ( ?x) ? g (x) ,且 x ? 0 时, f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0 , 则 x ? 0 时( ) A. f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0 C. f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0
1 x 2

B. f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0 D. f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0 )

2.(海南)曲线 y ? e 在点 (4,e2 ) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(
9 A. e 2 2

B. 4e 2

C. 2e 2

D. e2 )

3.(海南)曲线 y ? e x 在点 (2,e2 ) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(
9 A. e 2 4

B. 2e 2

C. e2

D.

e2 2

4. (江苏) 已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c 的导数为 f '( x) ,f '(0) ? 0 , 对于任意实数 x 都有 f ( x) ? 0 , f (1) 则 的最小值为( ) f '(0) A. 3 5.若 0 ? x ? B.
5 2

C. 2 )
4 2 4 x D. sin x ? 2 x 2 2 π π

D.

3 2

π ,则下列命题中正确的是( 2

A. sin x ?

3 3 x B. sin x ? x π π

C. sin x ?

6.(江西)若 0 ? x ?
2 x π

π ,则下列命题正确的是( 2 2 x π


3 x π 3 x π

A. sin x ?

B. sin x ?

C. sin x ?

D. sin x ?

7.(辽宁)已知 f ( x) 与 g ( x) 是定义在 R 上的连续函数,如果 f ( x) 与 g ( x) 仅当 x ? 0 时的函数值为 0,且 f ( x) ≥ g ( x) ,那么下列情形不可能 出现的是( ) ... A.0 是 f ( x) 的极大值,也是 g ( x) 的极大值 C.0 是 f ( x) 的极大值,但不是 g ( x) 的极值 8.(全国一)曲线 y ? A.
1 9

B.0 是 f ( x) 的极小值,也是 g ( x) 的极小值 D.0 是 f ( x) 的极小值,但不是 g ( x) 的极值 )

1 3 ? 4? x ? x 在点 ?1, ? 处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( 3 ? 3?

B.

2 9

C.

1 3

D.

2 3

9.(全国二)已知曲线 y ? A.1 B.2

x2 1 的一条切线的斜率为 ,则切点的横坐标为( 2 4



C.3

D.4

10.(浙江)设 f ?( x ) 是函数 f ( x) 的导函数,将 y ? f ( x) 和 y ? f ?( x) 的图象画在同一个直角坐标系 中,不可能正确的是( )

11. (北京) f ?( x ) 是 f ( x) ?

1 3 x ? 2 x ? 1 的导函数,则 f ?(?1) 的值是 3

12.(广东)函数 f ( x) ? x ln x( x ? 0) 的单调递增区间是 13. (江苏) 已知函数 f ( x) ? x3 ?12x ? 8 在区间 [?3,3] 上的最大值与最小值分别为 M , m , 则M ?m ? 14.(福建)设函数 f ( x) ? tx2 ? 2t 2 x ? t ?1( x ? R,t ? 0) . (Ⅰ )求 f ( x) 的最小值 h(t ) ; (Ⅱ )若 h(t ) ? ?2t ? m 对 t ? (0, 2) 恒成立,求实数 m 的取值范围.

15.(广东)已知 a 是实数,函数 f ( x) ? 2ax2 ? 2x ? 3 ? a .如果函数 y ? f ( x) 在区间 [?1,1] 上有零点, 求 a 的取值范围.


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