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几种常见函数的导数教案(2010111336)


几种常见函数的导数教案 教学目的 使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数的导数公式, 掌握并能运用 这四个公式正确求函数的导数. 教学重点和难点 掌握并熟记四种常见函数的求导公式是本节的重点. 常数函数及三种幂函数的导数 公式的推导是本节难点. 教学过程 一、复习提问 1.按定义求导数有哪几个步骤? 2.函数导数的几何意义 几点说明: 练习(1)为推导正整数幂函数导数公式作准备, 在求 Δ y 值时启发学生应 5 用二项式定理展开(x+Δ x) ;练习(2)推导前,首先指出这里 y=c 称为常数函数,可设 y=f(x)=c 说明不论自变量取何值,对应的函数值均为 c,以避免出如下错误,Δ y=f(x+ Δ x)-f(x)=c+Δ x-c=Δ x. 二、新课 1.引言:由导数定义本身,给出了求导数的最基本的方法,但由于导数是用极限 来定义的,所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦,有时甚至很困难,为了能 够较快地求出某些函数的导数,这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法,本节课 根据导数定义先来证明几个常见函数的导数公式. 2.几个常见函数的导数公式. (1)设 y=c(常数),则 y'=0.

解:

y ? f ( x) ? C ,

??y ? f ( x ? ?x) ? f ( x) ? C ? C ? 0,

?

?y ? 0, ?x

? f ?( x) ? C ? ? lim

?y ? 0. ?x ?0 ?x

(2)y=x,则 y'=1.

解:

y ? f ( x) ? x,

??y ? f ( x ? ?x) ? f ( x) ? ( x ? ?x) ? x ? ?x,

?

?y ? 1, ?x

? f ?( x) ? x ' ? lim

?x ? 0

?y ? 1. ?x

(3)y=x^2,则 y'=2x.

解:

y ? f ( x) ? x2 ,

??y ? f ( x ? ?x) ? f ( x) ? ( x ? ?x)2 ? x2 ? 2x ? ?x ? ?x2 ,

?

?y 2 x ? ?x ? ?x 2 ? ? 2 x ? ?x, ?x ?x

? f ?( x) ? ( x 2 ) ' ? lim

?y 2 x ? ?x ? ?x 2 ? lim ? lim (2 x ? ?x) ? 2 x. ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x ?0 ?x

(4) y=f(x)=1/x,则 y'= -1/x^2.

解:

1 y ? f ( x) ? , x

??y ? f ( x ? ?x) ? f ( x) ?

1 1 ??x ? ? x ? ?x x ( x ? ?x) x

?

?y ?1 ? , ?x ( x ? ?x) x

1 ?y ?1 1 ? f ?( x) ? ( ) ' ? lim ? lim ?? 2. ? x ? 0 ? x ? 0 x ?x ( x ? ?x) x x

三、猜测 y=f(x)=x^n 的导数是什么? 四、小结 四种常见函数的导数公式 1.y=c(常数),则 y'=0. 2.y=x,则 y'=1 3.y=x^2,则 y'=2x 4.y=f(x)=1/x,则 y'= -1/x^2.


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