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第四课时必修1函数的基本性质


赤水第一中学

罗云虎

第四课时函数的概念、基本性质
高考考点: 1.函数的概念及三要素:定义域,对应关系,值域 2.函数的表示方法:解析式,列表,图像 3.函数的性质:单调性,最值(值域) ,奇偶性 利用定义判断函数单调性的歩骤: A) 定义法: 1 ○ 2 ○ 3 ○ 4 ○ 5 ○ 任取 x1,x2∈D,且 x1<x2; 作差 f(x1)-f(x2); 变形(通常是因式分解和配方) ; 定号(即判断差 f(x1)-f(x2)的正负) ; 下结论(指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性)

利用定义判断函数奇偶性的步骤: 1 ○首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称; 2 ○确定 f(-x)与 f(x)的关系; 3 ○作出相应结论:若 f(-x) = f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则 f(x)是奇函数 或 f(-x)-f(x) = 0,则 f(x)是偶函数;若 f(-x) =-f(x)

典型例题
题型一、求函数的定义域 1.已知函数 f ( x ) ?
2 x ?1 ?1 ? x ? 2x ? 3
2

,求函数 f(x)的定义域 ,函数 f ( x 2 ) 的

2.设函数 f ( x ) 的定义域为 [ 0 , 1] ,则函数 f(x+1)的定义域为 定义域为

题型二、求函数的解析式 3.已知函数 f ( x ) ? x ? 2 , 求函数 f ( x ? 1), f ( x 2 )的解析式 4.已知函数 f ( x ? 1) ?
x ? 4x
2

,求函数 f ( x ) , f (2 x ? 1) 的解析式

1

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5.已知函数 f ( x ) 满足 2 f ( x ) ? f ( ? x ) ? 3 x ? 4 ,则 f ( x ) =



6 设 f ( x ) 是 R 上的奇函数,且当 x ? [0, ? ? ) 时, f ( x ) ? x ( x ? 1) ,则当 x ? ( ? ? , 0) 时 f ( x ) =
f (x) 在

R 上的解析式为

题型三、函数的单调性
( ? 7.判断函数 y ? x 2 ? 1 在区间 0, ? ) 上的单调性并用定义证明你的结论.

题型四、函数的奇偶性 8.设函数 f ( x ) ? 1 ?
x
2 2

1? x

判断它的奇偶性并且求证: f ( ) ? ? f ( x ) .
x

1

基础练习题
1.下面说法正确的选项 ( )

A.函数的单调区间一定是函数的定义域 B.函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间
2

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C.具有奇偶性的函数的定义域一定关于原点对称 D.关于原点对称的图象一定是奇函数的图象 2.在区间 ( ?? , 0 ) 上为增函数的是 A. y ? 1
2


2

) D. y ? 1 ? x )
2

B. y ?

x 1? x

? 2

C. y ? ? x ? 2 x ? 1

3.函数 y ? x ? bx ? c ( x ? ( ?? ,1)) 是单调函数时, b 的取值范围 ( A. b ? ? 2 B. b ? ? 2 C . b ? ? 2 D. b ? ? 2 (

( ( 4.如果偶函数在 a , b ) 具有最大值,那么该函数在 ? b , ? a )有



A.最大值

B.最小值

C .没有最大值 D. 没有最小值 ( ) D.不确定 )

5.函数 y ? x | x | ? 2 x , x ? R 是 A.偶函数 B.奇函数

C.不具有奇偶函数

6.函数 f ( x ) 在 ( a , b ) 和 ( c , d ) 都是增函数,若 x 1 ? ( a , b ), x 2 ? ( c , d ) ,且 x 1 ? x 2 那么( A. f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) B. f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) C. f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) D.无法确定

7. 函数 f ( x ) 在区间 (-3,3) 是奇函数且在区间 (-3, 是减函数, 函数 f ( x ) 在区间( 0 ,3)上是 0) 则 ( )函数 A.单调递增 B.单调递减 C.不是单调 D.不确定 ( )

8.函数 y ? ( 2 k ? 1) x ? b 在实数集上是增函数,则 A. k ? ?
1 2

B. k ? ?

1 2

C. b ? 0

D. b ? 0

9.已知 f ( x ) 在实数集上是减函数,若 a ? b ? 0 ,则下列正确的是 ( A. f ( a ) ? f ( b ) ? ? [ f ( a ) ? f ( b )] C. f ( a ) ? f ( b ) ? ? [ f ( a ) ? f ( b )]



B. f ( a ) ? f ( b ) ? f ( ? a ) ? f ( ? b ) D. f ( a ) ? f ( b ) ? f ( ? a ) ? f ( ? b )

? x ? 2( x ? ? 1) 10.函数 f ( x ) ? ? x 2 ( ? 1 ? x ? 2) ,若 f ( x ) ? 3 ,则 ? ? 2 x ( x ? 2) ?

x

=

11、定义在 (? 1,1) 上的奇函数 f ( x ) ?
x

x?m
2

? nx ? 1

,则常数 m ? ____, n ? _____
.

12.函数 f ( x ) 在 R 上为偶函数, f ( x ) ? 且

x ? 1, x ? 0 , 则当 x ? 0 , f ( x ) ?

3

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13. 函数 y ? ? x ? | x | , 单调递减区间为
2

, 最大值和最小值的情况为

.

14.构造一个满足下面三个条件的函数实例, ①函数在 ( ?? , ? 1) 上递减; ②函数具有奇偶性; ③函数有最小值为; 15.判断下列函数的奇偶性 ①y ? x ?
3

.

1 x



②y ?

2x ?1 ?

1 ? 2x ;

③y ? x ? x;
4

16.已知 f ( x ) ? x

2005

? ax

3

?

b x

? 8 , f ( ? 2 ) ? 10 ,求 f ( 2 ) .

17.已知偶函数 f ( x ) 在区间 ? 0, ? ? ) 单调递增,则满足 f (2 x ? 1) < f ( ) 的 x 取值范围是
3

1

18.已知 f(x)是偶函数,g(x)为奇函数,它们的定义域都是{x|x≠±1,x∈R}且满足 f(x)+g(x)= 求 f(x)与 g(x)

1 x ?1

,

4


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