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解圆锥曲线最值与范围问题的方法


解圆锥曲线最值与范围问题的方法
方法 1:定义法 x2 y2 例 1、已知点 F 是双曲线 - =1 的左焦点,定点 A 的坐标为(1,4),P 是双曲线右支上的动点, 4 12 则|PF|+|PA|的最小值为________. 解析 如图所示,根据双曲线定义|PF|-|PF′|=4, 即|PF|-4=|PF′|.又|PA|+|PF′| ? |AF′|=5, 将|PF|

-4=|PF′|代入,得|PA|+|PF|-4 ? 5, 即|PA|+|PF| ? 9,等号当且仅当 A,P,F′三点共线, 即 P 为图中的点 P0 时成立,故|PF|+|PA|的最小值为 9.故填 9. 方法 2:几何法 x2 y2 例 2、已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左,右焦点分别为 F1,F2,点 P 在双曲线的右支上, a b



设椭圆的切线方程为 y=x+b,代入椭圆方程,得 3x2+4bx+2b2-2=0.

由 Δ=(4b)2-4×3×(2b2-2)=0,得 b=± 3. 当 b= 3时,直线 y=x+ 3与 y=x+2 3的距离 d1= 2 3 3 0,解得 x=- ,此时 y= , 3 3 6 2 3 3? 即椭圆上的点?- 到直线 y=x+2 3的距离最小,最小值是 ; 2 ? 3 ,3? 当 b=- 3时,直线 y=x- 3到直线 y=x+2 3的距离 d2= 2 3 3 +2b2-2=0,解得 x= ,此时 y=- , 3 3 即椭圆上的点? 3 6 2 3 3? 到直线 y=x+2 3的距离最大,最大值是 . ,- 2 3? ? 3 3 6 ,将 b=- 3代入方程 3x2+4bx 2 6 ,将 b= 3代入方程 3x2+4bx+2b2-2= 2

方法 4:参数法 选取合适的参数表示曲线上点的坐标;②求解关于这个参数的函数最值。 x2 例 5、点 P(x,y)是椭圆 +y2=1 上的一个动点,则 S=x+y 的最大值为________. 3

c 且|PF1|=4|PF2|,则此双曲线中 的取值范围是________. a
解析 根据双曲线定义|PF1|-|PF2|=2a,设|PF2|=r, 2a 2a 则|PF1|=4r,故 3r=2a,即 r= ,|PF2|= . 3 3 2a c 5 5 根据双曲线的几何性质,|PF2| ? c-a,即 ? c-a,即 ? ,即 e ? .又 e>1, 3 a 3 3 5 5 故双曲线的离心率 e 的取值范围是?1,3?.故填?1,3?. ? ? ? ? 例 3 已知 P 点在圆 x +(y-2) =1 上移动,Q 点在椭圆
2 2

?x= 3cos φ x2 解析 因为椭圆 +y2=1 的参数方程为? (φ 为参数). 3 ?y=sin φ,
故可设动点 P 的坐标为( 3cos φ,sin φ),其中 0≤φ<2π. 因此 S=x+y= 3cos φ+sin φ=2? 2.故填 2.
2

3 1 ?=2sin?φ+π?,所以,当 φ=π时,S 取最大值 ? 3? 6 ? 2 cos φ+2sin φ?

x ? y 2 ? 1上移动,试求|PQ|的最大值。 9

方法 5:基本不等式法
2 2

①将最值用变量表示.②利用基本不等式求得表达式的最值.

解:故先让 Q 点在椭圆上固定,显然当 PQ 通过圆心 O1 时|PQ|最大,因此要求|PQ|的最大值, 2 2 2 只要求|O1Q|的最大值.设 Q(x,y),则|O1Q| = x +(y-4) ① 2 2 因 Q 在椭圆上,则 x =9(1-y ) ②

例 6、过椭圆 2 x ? y ? 2 的焦点的直线交椭圆 A,B 两点 ,求 ?AOB 面积的最大值。 解:椭圆焦点 (0, ?1) ,设过焦点(0,1) ,直线方程为 y=kx+1 与 2 x ? y ? 2 联立 ,消去
2 2

1? ? 将②代入①得|O1Q| = 9(1-y )+(y-4) ? ?8 ? y ? ? ? 27 2? ? 1 因为 Q 在椭圆上移动, 所以-1?y?1, 故当 y ? 时, O1Q max ? 3 3 , 此时 PQ max ? 3 3 ? 1 2
2 2 2

2

y, 得 (2 ? k ) x ? 2kx ?1 ? 0 ,
2 2

其中两根 x1 , x2 为 A,B 横坐标 。 将三角形 AOB 看作

?AOF 与 ?BOF 组合而成 ,|OF| 是公共边 ,它们在公共边上的高
长为

方法 3:切线法 x 例 4、求椭圆 +y2=1 上的点到直线 y=x+2 3的距离的最大值和最小值,并求取得最值时椭圆 2 上点的坐标.
1
2

| x1 ? x2 | .? S?AOB ?

1 | OF | ? | x1 ? x2 | , 其中 |OF|=c=1. 2

2

? S?AOB ?

1 1 1 4k 2 ? 4(2 ? k 2 ) | x1 ? x2 | = ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 = 2 2 2 (2 ? k 2 ) 2

由?

? x 2 ? 3 y 2 ? 3b 2 2 2 2 2 2 消去 y 整理并化简得 (3k +1)x +6k x+3k -3b =0 ? y ? k ( x ? 1)

=

1 1 8 2 2 . 当 k ?1 ? 2 , ? 1 k ?1 2 k 2 ?1? 2 ?2 k 2 ?1

由直线 l 与椭圆 E 相交于 A(x1,y1), B(x2,y2)两点得:

即 k=0 时,即当直线为 y=1 时 , 得到 ?AOB 的面积取得最大值为

2 。 2

方法 6:函数法 例 7.已知 A,B,C 三点在曲线 y= x上,其横坐标依次为 1,m,4(1<m<4),当△ABC 的面积最大 时,求 m. 解:由题意知 A(1,1),B(m, m),C(4,2).直线 AC 所在的方程为 x-3y+2=0, |m-3 m+2| 1 1 |m-3 m+2| 1 点 B 到该直线的距离为 d= .S△ABC= |AC|·d= × 10× = |m- 2 2 2 10 10 1 3 2 1 3 m+2|= |( m- ) - |. 2 2 4 3 9 ∵m ∈(1,4),∴当 m= 时,S△ABC 有最大值,此时 m= .故选 B. 2 4 方法 7:判别式法 例 8、椭圆 E 的中心在原点 O,焦点在 x 轴上,其离心率 e ?

? ?? ? 0恒成立(点C是 AB的内分点) ? 6k 2 ? ③ ? x1 ? x 2 ? ? 2 3k ? 1 ? ? 3k 2 ? 3b 2 ? x1 x 2 ? ④ 3k 2 ? 1 ?
1 1 3 3 3 | y1 ? y 2 |? | ?2 y 2 ? y 2 |? | y 2 |? | k ( x2 ? 1) |? | k || x2 ? 1 | 2 2 2 2 2 ⑤ 2 3| k | (k ? 0) 由①③得:x2+1=- 2 ,代入⑤得:S△OAB = 3k ? 1 3k 2 ? 1
而 S△OAB ? (2)因 S△OAB= ⑤

3| k | ? 3k 2 ? 1

3 3| k | ? 1 |k|

?

3 2 3

?

3 3 ,当且仅当 k ? ? , S△OAB 取得最大值, 3 2

此时 x1 + x2 =-1, 又∵ 将 x1,x2 及 k =
2

x1 ? 2 x 2 =-1, ∴x1=1,x2 =-2 . 3

2 , 过点 C(-1,0)的直线 l 与 3

椭圆 E 相交于 A、B 两点,且满足点 C 分向量 AB 的比为 2. (1)用直线 l 的斜率 k ( k≠0 ) 表示△OAB 的面积; (2)当△OAB 的面积最大时,求椭圆 E 的方程。

1 2 2 2 代入④得 3b = 5 ,∴椭圆方程 x + 3y = 5 . 3 x2 y2 训练题:1.已知双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的右焦点为 F,若过点 F 且倾斜角为 60°的直线 a b 与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是________. [2, ??)
2. P 是双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的右支上一点,M、N 分别是圆(x+5)2+y2=4 和(x-5)2+y2=1 上的 9 16
4 3

x2 y2 c 2 解:(1)设椭圆 E 的方程为 2 ? 2 ? 1 ( a>b>0 ),由 e = ? a b a 3
∴a =3b
2 2

点,则|PM|-|PN|的最大值为________. 9 3.抛物线 y=-x 上的点到直线 4x+3y-8=0 距离的最小值是________.
2

故椭圆方程 x + 3y = 3b

2

2

2

设 A(x1,y1)、B(x2,y2),由于点 C(-1,0)分向量 AB 的比为 2,

? x1 ? 2 x 2 ? ?1 ① ? 3 ∴? ? ? y1 ? 2 y 2 ? 0 ② ? 3 ?

x2 y 2 4.已知双曲线 2 ? 2 ? 1, (a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1、F2,点 P 在双曲线的右支上, a b 5 且|PF1|=4|PF2|,则此双曲线的离心率 e 的最大值为________. 3
5.已知抛物线 y =4x,过点 P(4,0)的直线与抛物线相交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则 y1 +y2 的最小 值是 . 32 2 6.对于抛物线 y =4x 上任意一点 Q,点 P( a ,0)都满足|PQ| ? | a |,则 a 的取值范围是( B ) (A)(-∞,0) (B)(-∞,2 ]
4
2 2 2

? x1 ? 1 ? ?2( x 2 ? 1) 即? , ? y1 ? ?2 y 2

(C)[0,2]

(D)(0,2)

3


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