当前位置:首页 >> 数学 >>

高中数学 第四章 第5讲 两角和与差的正弦、余弦和正切


第5讲

两角和与差的正弦、余弦和正切

分层训练 A 级 (时间:30 分钟 一、填空题(每小题 5 分,共 30 分)

基础达标演练 满分:60 分)

π? 3 ? 1.(2011· 宿迁联考)已知 tan?α+4?= ,则 tan α=________. ? ? 5 π? 3 ? tan?α

+4?-1 5-1 π? π? ? ? 1 ?? 解析 tan α=tan??α+4?-4?= ? ? π?= 3=-4. ?? ? 1+tan?α+4? 1+5 ? ? 1 答案 -4 12 ?π ? 2.(2012· 日照调研)已知 cos α=-13,且 α∈?2,π?, ? ? π? ? 则 tan?α+4?=________. ? ? π? 1+tan α 7 5 5 ? 解析 由条件得 sin α=13,所以 tan α=-12,tan?α+4?= = . ? ? 1-tan α 17 7 答案 17 1 3 3.若 cos(α+β)=5,cos(α-β)=5,则 tan αtan β=________. 1 3 解析 由 cos αcos β-sin αsin β=5, αcos β+sin αsin β=5, cos 解得 cos αcos β 2 1 1 =5,sin αsin β=5,所以 tan αtan β=2. 1 答案 2 5π? 3 ? π π? ? 4.若 sin α=5,α∈?-2,2?,则 cos?α+ 4 ?=________. ? ? ? ? 3 4 ? π π? 解析 因为 α∈?-2,2?,sin α=5,所以 cos α=5, ? ?

5π? 2 2 ? 所以 cos?α+ 4 ?=- 2 (cos α-sin α)=- 10 . ? ? 2 答案 - 10 π? ? 4π? ? ? ? 5. 已知向量 a=?sin?α+6?,1?, b=(4,4cos α- 3), a⊥b, sin?α+ 3 ?= 若 则 ? ? ? ? ? ? ________. π? ? 解析 a· b=4sin?α+6?+4cos α- 3 ? ? π? π? 1 ? ? =2 3sin α+6cos α- 3=4 3sin ?α+3?- 3=0,所以 sin ?α+3?= .所以 ? ? ? ? 4 4π? π? 1 ? ? sin?α+ 3 ?=-sin?α+3?=-4. ? ? ? ? 1 答案 -4 π 5π ? π π? 6.(2012· 盐城市二模)函数 f(x)=sin 2xsin 6-cos 2xcos 6 在?-2,2?上的单调 ? ? 递增区间为________. π? π ? 7π 5π? ? ? π π? 解析 f(x)=cos?2x-6?,当 x∈?-2,2?时,2x-6∈?- 6 , 6 ?,于是由 2x ? ? ? ? ? ? π -6∈[-π,0], ? π π? ? 5π π ? 得 f(x)在?-2,2?上的单调增区间为?-12,12?. ? ? ? ? ? 5π π ? 答案 ?-12,12? ? ? 二、解答题(每小题 15 分,共 30 分) 3A? A? ? 3A ? A 7. 已知 A, C 是△ABC 的内角, B, 向量 m=?cos 2 ,sin 2 ?, ?cos 2 ,sin 2 ?, n= ? ? ? ? 满足|m+n|= 3. (1)求角 A 的大小; (2)若 sin B+sin C= 3sin A,试判断△ABC 的形状. 解 (1)由|m+n|= 3,得 m2+n2+2m· n=3, 3A A? ? 3A A 即 1+1+2?cos 2 cos 2 +sin 2 sin 2 ?=3, ? ?

所以 cos

1 π A=2,又 0<A<π,所以 A=3.

3 3 ?2π ? (2)因为 sin B+sin C= 3sin A,所以 sin B+sin? 3 -B?= 3× 2 ,即 2 sin B ? ? π? 1 3 3 2π π π 2π π ? +2cos B= 2 ,sin?B+6?= 2 ,又 0<B< 3 ,所以 B+6=3或 3 ,所以 B=6 ? ? π 或2. π π π π 因此 B=6时,C=2;B=2时,C=6. 故△ABC 为直角三角形. 8.已知向量 a=(m,sin 2x),b=(cos 2x,n),x∈R,f(x)=a· b,若函数 f(x) ?π ? 的图象经过点(0,1)和?4,1?. ? ? (1)求 m,n 的值; π? ? (2)求 f(x)的最小正周期,并求 f(x)在 x∈?0,4?上的最小值; ? ? π? π? ?α? 1 ? ? (3)若 f?2?=5,α∈?0,4?时,求 tan?α+4?的值. ? ? ? ? ? ? ?π? 解 (1)f(x)=mcos 2x+nsin 2x,因为 f(0)=1,所以 m=1.又 f?4?=1,所以 n ? ? =1.故 m=1,n=1. π? ? (2)f(x)=cos 2x+sin 2x= 2sin?2x+4?, ? ? 所以 f(x)的最小正周期为 π. π? ? 因为 x∈?0,4?, ? ? π ?π 3π? π 所以 2x+4∈?4, 4 ?,所以当 x=0 或 x=4时,f(x)取最小值 1. ? ? 1 ?α? 1 (3)因为 f?2?=5,所以 cos α+sin α=5, ? ? π? π? 2 ? ? 即 sin?α+4?= 10 ,又 α∈?0,4?, ? ? ? ? π? 7 2 π ?π π? ? 故 α+4∈?4,2?,所以 cos?α+4?= 10 , ? ? ? ?

π? 2 1 ? 所以 tan?α+4?= = . ? ? 7 2 7 分层训练 B 级 创新能力提升

1 1 1. (2011· 苏州调研)已知 tan α=7, β=3, α, tan 且 β∈(0, 则 α+2β=________. π), 1 3 7+4 tan α+tan 2β 2tan β 3 解析 tan 2β= = 所以 tan(α+2β)= = 1=4, 3= 1-tan2β 1-tan αtan 2β 1-9 1-28 π? π? 3 ? 1 ? ? ? 1.∵tan α=7<1, α∈(0, ∴α∈?0,4?, π), 同理 β∈?0,4?, ∴α+2β∈?0,4π?, ? ? ? ? ? ? π 所以 α+2β=4. π 答案 4 3 1 2.若 sin α-sin β=1- 2 ,cos α-cos β=2,则 cos(α-β)的值为________. 3 解析 由 sin α-sin β=1- 2 得: 3 7 sin2α-2sin αsin β+sin2β=1- 3+ = - 3.① 4 4 1 1 由 cos α-cos β=2得:cos2 α-2cos αcos β+cos2β=4.② ①+②得 1+1-2(cos αcos β+sin αsin β)=2- 3, 3 即 2cos(α-β)= 3,所以 cos(α-β)= 2 . 答案 3 2 cos 10° 3sin 10° + = 1-cos 80° 2 3

3.(2012· 南京高三第二次调研)计算: ________. 解析 答案

cos 10° 3sin 10° 2cos?10° + -60° 2cos 50° ? = = = 2. 2 2sin 40° 2sin 40° 1-cos 80° 2

1-cos 2α 1 4 . (2012· 通 高 三 第 二 次 调 研 ) 已 知 sin αcos α = 1 , tan(β - α) = - 3 , 则 南

tan(β-2α)=________. 1-cos 2α 1 解析 由 sin αcos α =1,得 2tan α=1,即 tan α=2,所以 tan(β-2α)=tan(β-α-α) tan?β-α?-tan α = = 1+tan?β-α?tan α 答案 -1 1 1 -3-2

1 =-1. 1-6

β? π 1 ? ?α ? 2 5.(1)已知 0<β<2<α<π,且 cos?α-2?=-9,sin?2-β?=3,求 cos(α+β)的值; ? ? ? ? 1 1 (2)已知 α,β∈(0,π),且 tan(α-β)=2,tan β=-7,求 2α-β 的值. 思维启迪 弦、余弦. (2)2α-β=α+(α-β);α=(α-β)+β. π 解 (1)∵0<β<2<α<π, π α π π β ∴-4<2-β<2,4<α-2<π, ?α ? ∴cos?2-β?= ? ? β? ? sin?α-2?= ? ? ∴cos 5 ?α ? 1-sin2?2-β?= 3 , ? ? β? 4 5 ? 1-cos2?α-2?= 9 , ? ? α+β ? β? ? α ? (1)拆分角: 2 =?α-2?-?2-β?, 利用平方关系分别求各角的正 ? ? ? ?

α+β β? ?α ?? ?? =cos??α-2?-?2-β?? 2 ?? ? ? ??

β? ?α ? β? ?α ? ? ? =cos?α-2?cos?2-β?+sin?α-2?sin?2-β? ? ? ? ? ? ? ? ? 5 4 5 2 7 5 ? 1? =?-9?× 3 + 9 ×3= 27 , ? ? α+β 49×5 239 ∴cos(α+β)=2cos2 2 -1=2× 729 -1=-729. (2)∵tan α=tan[(α-β)+β]=

1 1 2-7 tan?α-β?+tan β 1 π = 1 1=3>0,∴0<α<2, 1-tan?α-β?tan β 1+2×7 2tan α = 1-tan2α 3 π =4>0,∴0<2α<2, ?1? 1-?3?2 ? ? 1 2×3

又∵tan 2α=

3 1 4+7 tan 2α-tan β ∴tan(2α-β)= = 3 1=1. 1+tan 2αtan β 1-4×7 1 π ∵tan β=-7<0,∴2<β<π,-π<2α-β<0, ∴2α-β=- 3π . 4

探究提高

α+β α+β β? ?α ? ? α+β (1)注意变角?α-2?-?2 -β?= ,可先求 cos 或 sin ? ? ? ? 2 2 2

的值.(2)先由 tan α=tan[(α-β)+β],求 tan α 的值,再求 tan 2α 的值,这 种方法的优点是可确定 2α 的取值范围.(3)通过求角的某种三角函数值来求 角,在选取函数时,遵照以下原则:①已知正切函数值,选正切函数;②已 ? π? 知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数;若角的范围是 ?0,2 ?,选正、余弦 ? ? ? π π? 皆可;若角的范围是(0,π),选余弦较好;若角的范围为?-2 ,2?,选正弦较 ? ? 好. (4)解这类问题的一般步骤: ①求角的某一个三角函数值; ②确定角的范围; ③根据角的范围写出所求的角. ?π B? 6.在△ABC 中,A、B、C 为三个内角,f(B)=4cos B· 2?4+ 2 ?+ 3cos 2B-2cos sin ? ? B.

(1)若 f(B)=2,求角 B; (2)若 f(B)-m>2 恒成立,求实数 m 的取值范围. ?π ? 1-cos?2+B? ? ? 解 (1)f(B)=4cos B× + 3cos 2B-2cos B 2 =2cos B(1+sin B)+ 3cos 2B-2cos B =2cos Bsin B+ 3cos 2B π? ? =sin 2B+ 3cos 2B=2sin?2B+3?. ? ? π? ? ∵f(B)=2,∴2sin?2B+3?=2, ? ? π π π ∵0<B<π,∴2B+3=2.∴B=12. π? ? (2)f(B)-m>2 恒成立,即 2sin?2B+3?>2+m 恒成立. ? ? π? ? ∴2sin?2B+3?∈[-2,2],∴2+m<-2.∴m<-4. ? ? 特别提醒:教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设 计· 高考总复习》光盘中内容.


相关文章:
高中数学 第四章 第5讲 两角和与差的正弦、余弦和正切
高中数学 第四章 第5讲 两角和与差的正弦余弦和正切 隐藏>> 第5讲 两角和与差的正弦余弦和正切 分层训练 A 级 (时间:30 分钟 一、填空题(每小题 5...
【步步高】2015高考数学(广东专用,理)一轮题库:第4章 第5讲 两角和与差的正弦、余弦和正切]
【步步高】2015高考数学(广东专用,理)一轮题库:第4章 第5讲 两角和与差的正弦余弦和正切]_数学_高中教育_教育专区。【步步高】2015高考数学(广东专用,理)一...
【2015高考数学(广东专用,理)一轮题库:第4章 第5讲 两角和与差的正弦、余弦和正切
【2015高考数学(广东专用,理)一轮题库:第4章 第5讲 两角和与差的正弦余弦和正切_数学_高中教育_教育专区。【2015高考数学(广东专用,理)一轮题库:第4章 ...
【步步高】2015年高考数学(苏教版,理)一轮题库:第4章 第5讲 两角和与差的正弦、余弦和正切]
【步步高】2015年高考数学(苏教版,理)一轮题库:第4章 第5讲 两角和与差的正弦余弦和正切]_数学_高中教育_教育专区。【步步高】2015年高考数学(苏教版,理...
第5讲 两角和与差的正弦、余弦和正切
第5讲 两角和与差的正弦余弦和正切_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载 第5讲 两角和与差的正弦余弦和正切_高中教育_教育专区。第5讲 两角和...
高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套题库 第4章 第5讲 两角和与差的正弦、余弦和正切
高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套题库 第4章 第5讲 两角和与差的正弦余弦和正切_数学_高中教育_教育专区。第 5 讲 两角和与差的正弦余弦和正切...
第5讲 两角和与差的正弦、余弦和正切
百度文库 教育专区 高中教育 数学上传文档支持以下设备:扫二维码下载 AndroidiPhone...第5讲 两角和与差的正弦余弦和正切 ). 2tan 22.5° C. 1-tan222.5°...
【高考精品复习】第四篇 三角函数、解三角形 第5讲 两角和与差的正弦、余弦和正切
【高考精品复习】第四篇 三角函数、解三角形 第5讲 两角和与差的正弦余弦和正切_数学_高中教育_教育专区。第5讲 【高考会这样考】 两角和与差的正弦、余弦...
高一数学第四章(第16课时)两角和差的正弦余弦正切(5)
关键词:两角和差的正弦余弦正 1/4 同系列文档 高一数学第四章(第3课时)弧....高一数学第四章(第16课时)两角和差的正弦余弦正切(5) 两角和差的正弦余弦正切...
更多相关标签:
正弦余弦正切函数值表 | 正弦余弦正切余切表 | 正弦 余弦 正切 | 正弦余弦正切公式 | 正弦余弦正切值表格 | 正弦余弦正切余切值表 | 正弦余弦正切的关系 | 正弦值余弦值正切值 |