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3.3.1函数的单调性与导数


3.3.1 函数的单调性与导数

课前预习学案
一、预习目标

了解并掌握函数单调性的定义以及导数与函数单调性的关系, 会利用导数求函数 的单调区间,会利用导数画出函数的大致图象
二、预习内容

怎样判断函数的单调性?1、__________2、___________ 例如判断函数 y=x2 的单调性

: 想一想:怎样判断函数 y=x3-3x 的单调性呢? 函数单调性与导数的关系: 函数及图象
[来源:学+科+网 Z+X+X+K]

单调性 在 (??,0) 上递减 在 (0,??) 上递增

导数 f ' ( x) 的正负

在(a,b)上递增

在(a,b)上递减

结论:对于函数 f(x),在某个区间(a,b)内,

f ' ( x) ? 0 ? __________________________________________ f ' ( x) ? 0 ? ___________________________________________
三、提出疑惑 同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容

课内探究学案
一、学习目 标 1.了解并掌握函数单调性的定义以及导数与函数单调性的关系 2.会利用导数求函数的单调区间,会利用导数画出函数的大致图象 学习重难点:导数与函数单调性的关系。 二、学习过程 (一)知识回顾:

怎样判断函数的单调性?1、__________2、___________ 例如判断函数 y=x2 的单调性: 想一想:怎样判断函数 y=x3-3x 的单调性呢? 函数单调性与导数的关系: 函数及图像 单调性 在 (??,0) 上递减 在 (0,??) 上递增 导数 f ' ( x) 的正负

在(a,b)上递增

在(a,b)上递减
[来源:学_科_网]

结论:对于函数 f(x),在某个区间(a,b)内,

f ' ( x) ? 0 ? __________________________________________ f ' ( x) ? 0 ? ___________________________________________
(二)探究一:讨论函数单调性,求函数单调区间:

1、(选填:“增” ,“减” ,“既不是增函数,也不是减函数”) (1) 函数y=x-3在[-3 ,5]上为__________函数。 (2) 函数 y = x2-3x 在[2,+∞)上为___________函数, 在(-∞,1]上为_____________函数,在[1,2]上为___________函数。 2、求函数 y = x2-3x 的单调区间。

探究二:变式 1:求函数 y =3 x -3x 的单调区间。

3

2

[来源:学科网]

变式 2:求函数 y=3ex-3x 的单调区间。

变式 3:求函数 y ?

1 的单调区间。 x

(三)反思总结

请同学们归纳利用导数求函数单调区间的步骤:

能力提高: 已知函数 y ? x ?
1 ,试讨论此函数的单调区间: x

( 四 ) 当堂检测 1、函数 f(x)=x3-3x+1 的减区间为( ) (A) (-1,1) (B) (1,2) (C) (-∞,-1) (D) (-∞,-1) ,(1, +∞) 2、若函数 y=a(x3-x)的递减区间为 (?
3 3 , ), 3 3

则 a 的取值范围为( ) (A) a>0 (B) –1<a<1 (C) a>1 (D) 0<a<1 3 2 3、当 x∈(-2,1)时,f(x)=2x +3x -12x+1 是( ) (A)单调递增函数 (B)单调递减函数 (C)部份单调增,部分单调减 ( D)单调性不能确定

4 确定函数大致图像: 已知函数 f(x)的导函数 f ' ( x) 的下列信息,试画出函数 f(x)的大致形状。 (1)当 2<x<3 时, f ' ( x) <0; (2)当 x>3 或 x<2 时, f ' ( x) >0; (3)当 x=3 或 x=2 时, f ' ( x) =0;

课后练习与提高
1、以下四图,都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图像,其中一定不正确 ... 的序号是( )

A.①② B.①③ C.③④ D.①④ 2 2、函数 y=x (x-3)的增区间是________________________

3、函数 f(x)=ax2-b 在(-∞,0)内是减函数,则 a、b 应满足的关系式为 ________________
[来源:Zxxk.Com]

说一说,这节课你学到了什么?

学校: 临清一中 学科:数学 编写人:张艳敏 审稿人:张林
§3.3.1 函数的单调性与导数

一、教学目标 知识与技能:了解可导函数的单调性与其导数的关系 ; 能利用导数研究函数的单调性,会 求函数的单调区间。 过程与方法:多让学生举命题的例子,培养他们的辨析能力;以及培养他们的分析问题和解 决问题的能力; 情感、态度与价值观:通过学生的参与,激发学生学习数学的兴趣。 二、教学重点难点 教学重点:利用导数研究函数的单调性,会求不超过 4 次的多项式函数的单调区间 教学难点:利用导数研究函数的单调性,会求不超过 4 次的多项式函数的单调区间 三、教学过程: 函数的赠与减、 增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的. 通过研究函 数的这些性质,我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解.我们以导数为工具,对研究 函数的增减及极值和最值带来很大方便. 四、学情分析 我们的学生属于平行分班,没有实验班,学生已有的知识和实验水平有差距。需要教 师指导并借助动画给予直观的认识。 五、教学方法 发现式、启发式 新授课教学基本环节:预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨 →反思总结、当堂检测→发导学案 、布置预习 六、课前准备 1.学生的学 习准备: 2.教师的教学准备:多媒体课件制作,课前预习学案,课内探究学案,课后延伸拓展学案。 七、课时安排:1 课时 八、教学过程 (一)预习检查、总结疑惑 检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑,使教学具有了针对性。 提问 1.判断函数的单调性有哪些方法? (引导学生回答“定义法” , “图象法” 。 ) 2.比如,要判断 y=x2 的单调性,如 何进行?(引导学生回顾分别用定义法、图象法完成。 ) 3.还有没有其它方法?如果遇到函数: y=x3-3x 判断单调性呢?(让学生短时 间内尝试完成,结果发现:用“定义法” , 作差后判断差的符号麻烦;用“图象法”,图象很难画出来。 ) 4.有没有捷径?(学生疑惑,由此引出课题)这就要用到咱们今天要学的导数法。 以问题形式复习相关的旧知识,同时引出新问题:三次函数判断单调性,定义法、图象法 很不方便,有没有捷径?通过创设问题情境,使学生产生强烈的问题意识,积极主动地参 与到学习中来。 (二)情景导入、展示目标。 设计意图:步步导入,吸引学生的注意力,明确学习目标。 (探索函数的单调性和导数的关系) 问:函数的单调性和导数有何关系呢? 教师仍以 y=x2 为例,借助几何画板动态演示,让学生记录结果在课前发的表格第二行中:
[来源:学科网 ZXXK]

函数及图象 单调性 切线斜率 k 的正负 导数的正负 问:有何发现?(学生回答) 问:这个结果是否具有一般性呢? (三)合作探究、精讲点拨。 我们来考察两个一般性的例子: (教师指导学生动手实验:把准备的牙签放在表中曲线 y=f(x)的图象上,作为曲线的切线, 移动切线并记录结果在上表第三、四行中。 ) 问:能否得出什么规律? 让学生归纳总结,教师简单板书: 在某 个区间(a,b)内, 若 f ' (x)>0,则 f(x)在(a,b)上是增函数; 若 f ' (x)<0,则在 f(x)(a,b)上是减函数。 教师说明: 要正确理解“某个区间”的含义,它必需是定义域内的某个区间。 1.这一部分是后面利用导数求函数单调区间的理论依据,重要性不言而喻,而学生又只学 习了导数的意义和一些基本运算,要想得到严格的证明是不现实的,因此,只要求学生能 借助几何直观得出结论,这与新课标中的要求是相吻合的。

2.教师对具体例子进行动态演示,学生对一般情况进行实验验证。由观察、猜想到归纳、 总结,让学生体验知识的发现、发生过程,变灌注知识为学生主动获取知识,从而使之成 为课堂教学活动的主体。

3.得出结论后,教师强调正确理解“某个区间”的含义,它必需是定义域内的某个区间。 这一点将在例 1 的变式 3 具体体现。 4.考虑到本节课堂容量较大,这里没有提到函数在个别点处导数为零不影响单调性的情况 (如 y=x3 在 x=0 处) ,这一问题将在后续课程中给学生补充。 应用导数求函数的单调区间 例 1.求函数 y=x2-3x 的单调区间。 (引导学生得出解题思路:求导 → 令 f ' (x)>0,得函数单调递增区间,令 f ' (x)<0,得函数单调递减区间 → 下结论) 变式 1:求函数 y=3x3-3x2 的单调区间。 (竞赛活动:将全班同学分成两大组指定分别用单调性的定义,和用求导数的方法解答, 每组各推荐一位同学的答案进行投影。 ) 求单调区间是导数的一个重要应用,也是本节重点,为此,设计了例 1 及三个变式: 设计例 1 可引导学生得出用导数法求单调区间的解题步骤 设计变式 1 及竞赛活动可以激发学生的学习热情,让他们学会比较,并深刻体验导数法的优 越性。 巩固提高 变式 2:求函数 y=3e x -3x 单调区间。 (学生上黑板解答)

变式 3:求函数 y ?

1 的单调区间。 x

设计变式 2 且让学生上黑板解答可以规范解题格式,同时使学生了解用导数法可以求更复 杂的函数的单调区间。 设计变 式 3 是可使学生体会考虑定义域的必要性 例 1 及三个变式,依 次涉及二次,三次函数,含指数的函数、反比例函数,这样一题多变, 逐步深化,从而让学生领会:如何应用及哪类单调性问题该应用“导数法”解决。 多媒体展示探究思考题。 在学生分组实验的过程中教师巡回观察指导。 (课堂实录) , (四)反思总结,当堂检测。 教师组织学生反思总结本节课的主要内容,并进行当堂检测。 设计意图:引导学生构建知识网络并对所学内容进行简单的反馈纠正。 (课堂实录) (五)发导学案、布置预习。 设计意图:布置下节课的预习作业,并对本节课巩固提高。教师课后及时批阅本节的延伸 拓展训练。 九、板书设计 例 1.求函数 y=3x2-3x 的单调区间。 变式 1:求函数 y=3x3-3x2 的单调区间。 变式 2:求函数 y=3e x -3x 单调区间。 变式 3:求函数 的单调区间。 十、教学反思 本课的设计采用了课前下发预习学案,学生预习本节内容,找出自己迷惑的地方。课 堂上师生主要解决重点、难点、疑点、考点、探究点以及学生学习过程中易忘、易混点等, 最后进行当堂检测,课后进行延伸拓展,以达到提高课堂效率的目的。 在后面的教学过程中会继续研究本节课,争取设计的更科学,更有利于学生的学习, 也希望大家提出宝贵意见,共同完善,共同进步! 十一、学案设计(见下页)


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