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数列教材分析


“数列”教材分析
本章是数列,特别是等差数列与等比数列,有着较为广泛的实际应用 如各 种产品尺寸常要分成若干等级,当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时,常 按等差数列进行分级,比如鞋的尺码;当其中的最大尺寸与最小尺寸相差较大 时(这种情况是多数),常按等比数列进行分级,比如汽车的载重量、包装箱的 重量等 特别值得一提的是,数列在产品尺寸标准化方面有着重要作用 数列在 整

个中学数学教学内容中,处于一个知识汇合点的地位,很多知识都与数列有 着密切联系,过去学过的数、式、方程、函数、简易逻辑等知识在这一章均得 到了较为充分的应用,而学习数列又为后面学习数列与函数的极限等内容作了 铺垫 课本采取将代数、几何打通的混编体系的主要目的是强化数学知识的内在 联系,而数列正是在将各知识沟通方面发挥了重要作用 由于不少关于恒等变 形、解方程(组)以及一些带有综合性的数学问题都与等差数列、等比数列有关, 学习这一章便于对学生进行综合训练,从而有助于培养学生综合运用知识解决 问题的能力 本章教学约需 17 课时,具体分配如下:
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3.1 数列 3.2 等差数列 3.3 等差数列前 n 项和 3.4 等比数列 3.5 等比数列前 n 项和 研究性课题:分期付款中的有关计算 小结与复习

约 2 课时 约 2 课时 约 2 课时 约 2 课时 约 2 课时 约 3 课时 约 4 课时

一、内容与要求 本章从内容上看,可以分为数列、等差数列、等比数列三个部分 在数列这一部分,主要介绍数列的概念、分类,以及给出数列的两种方法 关于数列的概念,先给出了一个描述性定义,尔后又在此基础上,给出了一个 在映射、函数观点下的定义,指出:“从映射、函数的观点看,数列可以看作 是一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依次取值 时对应的一列函数值” 这样就可以将数列与函数联系起来,不仅可以加深对数 列概念的理解,而且有助于运用函数的观点去研究数列 关于给出数列的两种方 法,其中数列的通项公式,教材已明确指出它就是相应函数的解析式 点破了这 一点,数列与函数的内在联系揭示得就更加清楚 此外,正如并非每一函数均有 解析表达式一样, 也并非每一数列均有通项公式(有通项公式的数列只是少数),
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因而研究递推公式给出数列的方法可使我们研究数列的范围大大扩展 递推是 数学里的一个非常重要的概念和方法,数学归纳法证明问题的基本思想实际上 也是“递推” 在数列的研究中,不仅很多重要的数列是用递推公式给出的,而 且它也是获得一个数列的通项公式的途径:先得出较为容易写出的数列的递推 公式,然后再根据它推得通项公式 但是,这项内容也是极易膨胀的,例如研究 用递推公式给出的数列的性质,从数列的递推公式推导通项公式等,这样就会 加重学生负担 考虑到学生是在高一学习,我们必须牢牢把握教学要求,只要能 初步体会一下用递推方法给出数列的思想,能根据递推公式写出一个数列的前 几项就行了 在等差数列这一部分,在讲等差数列的概念时,突出了它与一次函数的联 系,这样就便于利用所学过的一次函数的知识来认识等差数列的性质:从图象 上看,为什么表示等差数列的各点都均匀地分布在一条直线上,为什么两项可 以决定一个等差数列(从几何上看两点可以决定一条直线) 在推导等差数列前 n 项和的公式时,突出了数列的一个重要的对称性质:与任一项前后等距离的两 项的平均数都与该项相等,认识这一点对解决问题会带来一些方便 在等比数列这一部分,在讲等比数列的概念和通项公式时也突出了它与指 数函数的联系 这不仅可加深对等比数列的认识,而且可以对处理某类问题的指 数函数方法和等比数列方法进行比较,从而有利于对这些方法的掌握 二、本章的特点 (一)在启发学生思维上下功夫 本章内容,是培养学生观察问题、启发学生思考问题的好素材,使学生在 获得知识的基础上,观察和思维能力得到提高 在问题的提出和概念的引入方面,为了引起学生的兴趣,在本章的“前言” 里用了一个有关国际象棋棋盘的古代传说作为引入的例子 它用一个涉及求等 比数列的前 n 项和的麦粒数的计算问题给学生造成了一个不学本章知识、难获 问题答案的悬念,又在学了等比数列后回过头来解开这个悬念;在讲等差数列 与等比数列的概念时,都是先写出几个数列,让学生先观察它们的共同特点, 然后在归纳共同特点的基础上给出相应的定义 在推导结论时,注意发挥它们在启发学生思维方面的作用 例如在讲等差数 列前 n 项和的公式时,没有平铺直叙地推导公式,而是先提出问题: 1+2+3+...+100 = ?,并指出著名数学家高斯 10 岁时便很快算出它的结果,以 激发学生的求解热情,然后让学生在观察高斯算法的基础上,发现上述数列的 一个对称性质:任意第 k 项与倒数第 k 项的和均等于首末两项的和,从而为顺 利地推导求和公式铺平了道路 在例题、习题的表述方面,适当配备了一些采用疑问形式的题,以增加问
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题的启发成分 如 3.3 例 4:“已知数列的通项公式为 a n =pn 十 q,其中 p、q 是
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常数, 那么这种数列是否一定是等差数列? 如果是, 其首项与公差是什么?” 又

如: “如果一个数列既是等差数列, 又是等比数列, 那么这个数列有什么特点?” 这样就增加了题目的研究性 在讲有些例题时,加了一小段“分析”,通过不多 的几句话点明解题的思路 如对于上面提到的“3.3 例 4”,加的一段“分析”
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是: “由等差数列定义, 要判定 { a n }是不是等差数列, 只要看
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an?1 ? an

是不是一个与 n 无关的常数就行了” 话虽不多,但突出了 “从定义出发”这 种最基本的证明方法 (二)加强了知识的应用 除了上面提到的“研究性课题”多具有应用性的特点以外还在教材中适当 增加了一些应用问题 如在“阅读材料”里介绍了有关储蓄的一些计算;在所增 加的应用问题里还涉及房屋拆建规划、绕在圆盘上的线的长度等 (三)呼应前面的逻辑知识,加强了推理论证的训练 考虑到《新大纲》更加重视对学生逻辑思维能力的培养,且在前面第一章 已介绍了“简易逻辑”,为进行推理论证作了准备,紧接着又在第二章“函数” 里进行了一定的推理论证训练,因此本草在推理论证方面有所加强 (四)注意渗透一些重要的数学思想方法 由于本章处在知识交汇点的地位,所蕴含的数学思想方法较为丰富,教材 在这方面也力求充分挖掘 教材注意从函数的观点去看数列,在这种整体的、动 态的观点之下使数列的一些性质显现得更加清楚,某些问题也能得到更好的解 决,例如“复习参考题 B 组第 2 题”便是一个典型例子 方程或方程组的思想也 是体现得较为充分的,不少的例、习题均属这种模式:已知数列满足某某条件, 求这个数列 这类问题一般都要通过列出方程或方程组. 然后求解 关于递推的思 想方法,不仅在数列的递推公式里有所体现 观察、归纳、猜想、证明等思想方 法的组合运用在本章里得到了充分展示.为学生了解它们各自的作用、相互间 的关系并进行初步运用提供了条件 三、教学中应注意的几个问题 (一)把握好本章的教学要求 由于本章联系的知识面广,具有知识交汇点的特点,在应试教育的“一步 到位” 的教育思想的影响下, 本章的教学要求很容易拔高, 过早地进行针对 “高 考” 的综合性训练,从而影响了基本内容的学习和加重了学生负担 事实上, 学习是一个不断深化的过程 作为在高一(上)学习的这一章,应致力于打好基础 并进行初步的综合训练,在后续的学习中通过对本章内容的不断应用来获得巩 固和提高 最后在高三数学总复习时,通过知识的系统梳理和进一步的综合训练 使对本章内容的掌握上升到一个新的档次 为此,本章教学中应特别注意一些容 易膨胀的地方 例如在学习数列的递推公式时,不要去搞涉及递推公式变形的论 证、计算问题,只要会根据递推公式求出数列的前几项就行了;在研究数列求 和问题时,不要涉及过多的技巧. (二)有意识地复习和深化初中所学内容
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对于初中学过的多数知识.在高中没有系统深入学习的机会 而初中内容是 学习高中数学的必要基础,因而在学习高中内容时有意识地复习、深化初中内 容显得特别重要 本章是高中数学的第三章,距离初中数学较近,与初中数学的 联系最广,因而教学中应在沟通初、高中数学方面尽可能多地作一些努力 (三)适当加强本章内容与函数的联系 适当加强这种联系,不仅有利于知识的融汇贯通,加深对数列的理解,运 用函数的观点和方法解决有关数列的问题,而且反过来可使学生对函数的认识 深化一步 比如,学生在此之前接触的函数一般是自变量连续变化的函数,而到 本章接触到数列这种自变量离散变化的函数之后,就能进一步理解函数的一般 定义,防止了前面内容安排可能产生的学生认识上的负迁移; 本章内容与函数的联系涉及以下几个方面 1.数列概念与函数概念的联系 相应于数列的函数是一种定义域为正整数集(或它的前 n 个数组成的有限 子集)的函数,它是一种自变量“等距离”地离散取值的函数 从这个意义上看, 它丰富了学生所接触的函数概念的范围 但数列与函数并不能划等号,数列是相 应函数的一系列函数值 基于以上联系,数列也可用图象表示,从而可利用图象 的直观性来研究数列的性质 数列的通项公式实际上是相应因数的解析表达式 而数列的递推公式也是表示相应函数的一种方式,因为只要给定一个自变量的 值 n,就可以通过递推公式确定相应的 f(n) 这也反过来说明作为一个函数并不 一定存在直接表示因变量与自变量关系的解析式 2.等差数列与一次函数、二次函数的联系
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从等差数列的通项公式可以知道, 公差不为零的等差数列的每一项 a n 是关 于项数 n 的一次函数式 于是可以利用一次函数的性质来认识等差数列 例如, 根 据一次函数的图象是一条直线和直线由两个点唯一确定的性质,就容易理解为 什么两项可以确定一个等差数列
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此外,首项为 a1 、公差为 d 的等差数列前 n 项和的公式可以写为:

S n ? na1 ?

n(n ? 1) d 2

即当 d ? 0 时, S n 是 n 的二次函数式,于是可以运用二次函数的观点和方 法来认识求等差数列前 n 项和的问题 如可以根据二次函数的图象了解 S n 的增
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减变化、极值等情况 3.等比数列与指数型函数的联系
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由于首项为 a1 、公比为 q 的等比数列的通项公式可以写成

Sn ?

a1 (1 ? q n ) ( q ? 1) 它与指数函数 y= a x 有着密切联系,从而可利用 1? q
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指数函数的性质来研究等比数列 (四)注意等差数列与等比数列的对比,突出两类数列的基本特征 等差数列与等比数列在内容上是完全平行的,包括:定义、性质(等差还是 等比)、通项公式、前 n 项和的公式、两个数的等差(等比)中项 具体问题里成 等差(等比)数列的三个数的设法等 因此在教学与复习时可采用对比方法,以便 于弄清它们之间的联系与区别 顺便指出,一个数列既是等差数列又是等比数列 的充要条件是它是非零的常数列 教学中应强调,等差数列的基本性质是“等差”,等比数列的基本性质是 “等比”,这是我们研究有关两类数列的主要出发点,是判断、证明一个数列 是否为等差 (等比)数列和解决其他问题的一种基本方法 要让学生注意,这里 的“等差”(“等比”),是对任意相邻两项来说的 上述基本性质,引申出两类数列的一种对称性:即与数列中的任一项“等 距离”的两项之和(之积)等于该项的 2 倍(平方). 利用上述性质,常使一些问题变得简便 对于学有余力的学生,还可指出等 差数列与等比数列描述了两种最简单、最重要的变化:等差数列描述的是一种 绝对均匀变化,等比数列描述的是一种相对均匀变化 非均匀变化通常要转化或 近似成均匀变化来进行研究,这就成为教材之所以重点研究等差数列与等比数 列的主要原因所在 (五)注意培养学生初步综合运用观察、归纳、猜想、证明等方法的能力 综合运用观察、归纳、猜想、证明等方法研究数学,是一种非常重要的学 习能力 事实上,在问题探索求解中,常常是先从观察入手,发现问题的特点, 形成解决问题的初步思路;然后用归纳方法进行试探,提出猜想;最后采用证 明方法(或举反例)来检验所提出的猜想 应该指出,能够充分进行上述研究方法 训练的素材在高中数学里并非很多,而在本章里却多次提供了这种训练机会, 因而在教学中应该充分利用,不要轻易放过 (六)在符号使用上与国家标准一致 为便于与国际交流, 关于量和单位的新国家标准中规定自然数集 N={0,l, 2.3,??},即自然数从 O 开始 这与长期以来的习惯用法不同,会使我们感 到别扭 但为了不与上述规定抵触,教学中还是要将过去的习惯用法改变过来, 称数集{1,2,3,?}为正整数集.
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