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数学必修3配套课件:第3章 章末整合提升(数学备课大师网 为您整理) (16)


3.2 古典概型
3.2.1 古典概型

【学习目标】 1.理解古典概型的特点.

2.掌握古典概型的概率计算公式.

1.基本事件的特点 互斥的 . (1)任何两个基本事件是________ (2) 任何 事件 ( 除不 可能事件 ) 都可以表 示成 基 本事 件的 和 ________ . 2.古典概型

的特点 有限个 . (1)试验中所有可能出现的基本事件只有________

相等 . (2)每个基本事件出现的可能性________

3.古典概型的概率计算公式
(1)设试验共有 N 个基本事件,由基本事件的特点,知:每
1 个基本事件的概率是______ N . n (2)事件 A 含有 n 个基本事件,则 P(A)=______. N

练习:(2013 年重庆)图 3-2-1 是某公司 10 个销售店某月销 售某产品数量(单位:台)的茎叶图,则数据落在区间[22,30)内的

概率为( B )

图 3-2-1 A.0.2 C.0.5 B.0.4 D.0.6

4.同时抛掷两个骰子,此试验的古典概型共有基本事件 36 个,分别是(1,1),(1,2),?,(1,6),(2,1),?,(6,6).若(1,2), (2,1)等不区分,则构成的基本事件为 21 个,由于这 21 个基本 事件不是等可能出现,所以不是古典概型.

【问题探究】 如何推导古典概型的概率计算公式? 答案:(1)基本事件概率:试验有n个基本事件分别为A1, A2,?,An,由于A1,A2,?,An两两互斥,∴P(A1)+?+ P(An)=P(A1∪A2∪?∪An)=P(Ω)=1,其中Ω为必然事件.

又∵每个基本事件是等可能的,
1 ∴P(A1)=P(A2)=P(An).∴nP(A1)=1.∴P(A1)=n. 1 ∴P(Ak)=n(k=1,2,?,n).

(2)如果事件 A 包含 m 个基本事件, 由互斥事件概率加法公
1 1 1 m 式得 P(A)= ? ? ? ? = n . n ? n ??? n ?? ?
m个

A包含的基本事件的个数 ∴P(A)= . 基本事件的总数

题型 1 基本事件的计数问题 【例 1】 连续掷 3 枚硬币,观察落地后这 3 枚硬币是出现 正面还是反面. (1)写出这个试验有哪些基本事件; (2)求这个试验的基本事件的总个数; (3)事件“恰有 2 枚正面向上”包含哪几个基本事件?

解:(1)这个试验包含的基本事件Ω={(正,正,正),(正, 正,反),(正,反,正),(正,反,反),(反,正,正),(反, 正,反),(反,反,正),(反,反,反)}. (2)基本事件的总个数是 8.

(3)“恰有 2 枚正面向上”包含以下 3 个基本事件:(正, 正,反),(正,反,正),(反,正,正).
一般地,计算基本事件总数及事件 A 所包含的 基本事件数时常用列举法,即把所有等可能的基本事件一一列 出.

【变式与拓展】 1.袋中有红、白、黄、蓝、绿、紫色的大小相同的 6 个小

球,
(1)从中任取 2 球; (2)先后各取 1 球; (3)先取 1 球,记下颜色,放回;再取 1 球,记下颜色,共 取 2 次. 分别用列举法写出上面试验的所有基本事件,并指出基本 事件的总数.

解:6 种颜色分别标号为 1,2,3,4,5,6. (1)试验的所有基本事件组成集合Ω1={(1,2),(1,3),(1,4),

(1,5),(1,6),(2,3),?,(5,6)}.(其中(i,j)表示取得 1 个 i 号球
和 1 个 j 号球),共 5+4+3+2+1=15 个基本事件. (2)试验的所有基本事件组成集合Ω2 ={(1,2),(2,1),?, (5,6),(6,5)}.(其中(i,j)表示第 1 次取到 i 号球,第 2 次取到 j 号球),共 15×2=30 个基本事件. (5,5),(5,6),(6,5),(6,6)}.(其中(i,j)表示第 1 次取到 i 号球, 第 2 次取到 j 号球),共有 30+6=36 个基本事件.(注:(2)(3) 的基本事件个数亦可用乘法计算:6×5=30;6×6=36).

(3)试验的所有基本事件组成集合Ω3={(1,1),(1,2),(2,1),?,

题型 2 古典概型的判断
【例 2】 袋中有大小相同的 3 个白球,2 个红球,2 个黄 球,每个球都有 1 个区别于其他球的编号,从中摸出 1 个球. (1)如果把每个球的编号看作一个基本事件,建立概率模 型,判断其是否为古典概型? (2)若按球的颜色为划分基本事件的依据,则有多少个基本 事件?以这些基本事件建立概率模型,判断其是否为古典概

型?

思维突破:根据古典概型的条件判断:①“有限”;②“等

可能”.
解:(1)是. (2)3 个.其不是古典概型.因为摸到白球的可能性与摸到 其他颜色的可能性不相等. 基本事件为有限个是古典概型的必要条件,特 别要确认基本事件的等可能性.

【变式与拓展】

2.抛掷质地均匀的相同的两枚硬币,至少有一个正面向上 2 的概率是3.因为其基本事件有(正,正),(反,反),(正,反), 所以事件 A“至少有一个正面向上”含有两个基本事件,所以 2 P(A)=3.这种求概率的推理正确吗?请说明理由.
解:不正确.因为这三个事件不是等可能,正确划分基本 3 事件为(正,正),(反,反),(正,反),(反,正),则 P(A)=4.

题型 3 古典概型概率的求法 【例 3】 (2012 年山东)袋中有 5 张卡片,其中红色卡片有 3 张,标号分别为 1,2,3,蓝色卡片有 2 张,标号分别为 1,2. (1)从以上 5 张卡片中任取 2 张,求这 2 张卡片颜色不同, 且标号之和小于 4 的概率;

(2)向袋中再放 1 张标号为 0 的绿卡片,从这 6 张卡片中任
取 2 张,求这 2 张卡片颜色不同,且标号之和小于 4 的概率.

思维突破:按照求古典概型概率的步骤进行求解:①试验 的基本事件是什么?②是否等可能?是否有限个?③所求事件 含哪些基本事件?④代入公式计算. 解:记5张卡片依次为r1,r2,r3,b1,b2,从5张中任取2 张共10种结果,分别为:r1r2,r1r3,r1b1,r1b2,r2r3,r2b1, r2b2,r3b1,r3b2,b1b2,事件A:“2张卡片不同颜色,数字之 和小于4”的情况有:r1b1,r1b2,r2b1,共3种,由古典概型概 3 率 计算式,得 P(A)=10.

(2)加1张标为0的绿卡片(记为g0)后,任取2张的情况增多

5 种,即 r1g0 , r2g0 , r3g0 , b1g0 , b2g0. 此时,事件 A 包含 8 个基
本事件.

8 ∴P(A)=15.
计算基本事件的总个数时,常用列举法,或树 状图法.当基本事件的个数较大时,可结合乘法、加法计数原 理进行求解.

【变式与拓展】 3.(2013 年湖南怀化二模)随着经济的发展,人们生活水平 的提高,中学生的营养与健康问题越来越得到学校与家长的重 视.从学生体检评价报告单了解到我校 3000 名学生的体重发育 评价情况,得下表: 偏瘦 女生/人 300 正常 865 885 肥胖

y z

男生/人

x

已知从这批学生中随机抽取 1 名学生,抽到偏瘦男生的概 率为 0.15. (1)求 x 的值; (2)若用分层抽样的方法,从这批学生中随机抽取 60 名, 问应在肥胖学生中抽多少名? (3)已知 y≥243,z≥243,求肥胖学生中男生不少于女生的 概率.

解:(1)由题意,得从这批学生中随机抽取 1 名学生, 抽到偏瘦男生的概率为 0.15,
x 可知,3000=0.15,

∴x=450. (2)由题意,可知肥胖学生人数为 y+z=500(人). 设应在肥胖学生中抽取 m 人,
60 m 则500=3000.

∴m=10. 答:应在肥胖学生中抽 10 名.

(3)由题意,可知 y+z=500,且 y≥243,z≥243,
满足条件的基本事件如下: (y,z)有(243,257),(244,256),?,(257,243),共有 15 组. 设事件 A:“肥胖学生中男生不少于女生”,即 y≤z, 满足条件的(y,z)的基本事件有:(243,257),(244,256),?, (250,250),共有 8 组, 8 所以 P(A)=15.

8 答:肥胖学生中女生少于男生的概率为15.

【例 4】将号码分别为 1,2,3,4,5 的 5 个小球放入 1 个袋中, 甲从袋中摸出 1 个小球,其号码为 a,放回后,乙再从袋中摸 出 1 个小球,其号码为 b,求满足 a-2b>-5 的概率. 易错分析:分类计数出错或分类不全.

解:基本事件总数为 25 个分别为(1,1),(1,2),?,(5,5). 记事件 A:“a-2b>-5 的取法”. ∵a+5>2b, 当 a=1 时,b 可取 1,2; 当 a=2 时,b 可取 1,2,3; 当 a=3 时,b 可取 1,2,3; 当 a=4 时,b 可取 1,2,3,4; 当 a=5 时,b 可取 1,2,3,4,

16 ∴事件 A 共包含 16 种情况.∴P(A)=25.

[方法· 规律· 小结] 1.关于基本事件个数的确定,可借助列举法、列表法、画 树状图法,注意有规律性地分类列举,结合加法、乘法计数原 理进行计算. 2.求事件概率的基本步骤. (1)审题,确定试验的基本事件.

(2)确认基本事件是否等可能,且是否有限个;若是,则为
古典概型,并求出基本事件的总个数.

n (3)确认所求事件所含基本事件的个数,由 P(A)=N计算. (4) 当所求事件较复杂时,可看成易求的几个互斥事件的 和.先求各拆分的互斥事件的概率,再用概率加法公式求解.

3.在“有放回地取球”问题中,基本事件要考虑“顺序”, 确保基本事件的等可能.如抛掷相同的两个骰子,若把(1,2)与 (2,1)视为一个结果,其基本事件的总数为 21 个,但它们不全是

等可能的.


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