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【与名师对话】2015新课标A版数学文一轮复习课时作业:7-2


课时作业(四十)
一、选择题 1.(2013· 内江市第二次模拟)已知一个几何体的三视图如图,则 该几何体的体积为( )

2 A.3 4 B.3 C.2 D.4

解析:该几何体为底面是正方形有一条侧棱垂直于底面的四棱

锥,如图.SD⊥底面 ABCD,SD=2,四边形 ABCD 为正方形,边长 1 2 为

1,所以棱锥的体积为 V=3×1×2=3,选 A. 答案:A

2.(2013· 山东潍坊模拟)有一平行六面体的三视图如图所示,其 中俯视图和左视图均为矩形,则这个平行六面体的表面积为( A.21 3 B.6+15 3 C.30+6 3 )

D.42 解析:如图该平行六面体上、下、右、左面为矩形,前、后面为

平行四边形表面积 S=3×3×2+2×3×2+3× 3×2=30+6 3,故 选 C. 答案:C 3.(2013· 石家庄市高三模拟)已知正三棱锥 P-ABC 的主视图和 俯视图如下图所示,则此三棱锥的外接球的表面积为( )

A.4π 16π C. 3

B.12π 64π D. 3

解析:由三棱锥的主视图知,棱锥的侧棱为 4,由俯视图知底面 3 边长为 2 3,如图,O′为△ABC 中心,O 为外接球球心,O′C= 3 BC=2,PC=4,∴PO′=2 3.OO′=2 3-R,∴(2 3-R)2+4= R2,解得 R= 4 64 ,∴外接球表面积 S=4πR2= 3 π,选 D. 3

答案:D

4.(2013· 济宁 4 月考试)已知某几何体的三视图如图所示,其中 俯视图中圆的直径为 4,该几何体的体积为 V1,直径为 4 的球的体积 为 V2,则 V1∶V2=( A.1∶2 C.1∶1 ) B.2∶1 D.1∶4

解析:由三视图可知,几何体为圆柱中间挖去一个圆锥, 1 16 故 V1=22π×2-22π×2×3= 3 π 4 32 V2=3π×23= 3 π, 故 V1∶V2=1∶2,选 A. 答案:A 5.(2013· 河北唐山第二次模拟)一个由八个面围成的几何体的三 视图如图所示,它的表面积为( )

A.4 3 B.8 C.12 D.4 2 解析:

由三视图可知,几何体为正八面体,棱长为 2. 3 1 ∴S 表= 2× 2× 2 ×2×8=4 3. 答案:A 6.(2013· 辽宁六校联考)从一个正方体中截去部分几何体,得到 的几何体的三

视图及尺寸(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积是( 22 A. 3 cm3 47 B. 6 cm3 23 C. 3 cm3 D.8 cm3

)

解析:该几何体的直观图是棱长为 2 的正方体截去一角,其体积 1 1 47 V=23-3×2×1×1×1= 6 (cm3),故选 B. 答案:B 7.

(2013· 云南昆明高三调研)如图,若一个空间几何体的三视图中, 正视图和侧视图都是直角三角形,其直角边长均为 1,则该几何体的 表面积为( )

A.1+ 2 B.2+2 2 1 C.3 D.2+ 2

解析:依题意得,题中的几何体是底面为正方形,侧棱垂直于底 面的四棱锥 P-ABCD, 其中底面边长为 1, PD=1, PD⊥平面 ABCD, 1 1 1 2 S△PAD=S△PCD=2×1×1=2, S△PAB=S△PBC=2×1× 2= 2 , S 正方形 ABCD

=12=1,因此该几何体的表面积为 2+ 2,选 D. 答案:D 8. (2013· 河南洛阳统考)已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上,SA⊥平面 ABC,SA=2 3,AB=1,AC=2,∠BAC=60° , 则球 O 的表面积为( A.4π C.16π ) B.12π D.64π

解析:取 SC 的中点 E,连接 AE、BE,依题意,BC2=AB2+AC2 -2AB· ACcos 60° =3,∴AC2=AB2+BC2,即 AB⊥BC.又 SA⊥平面 ABC,∴SA⊥BC,又 SA∩AB=A,∴BC⊥平面 SAB,BC⊥SB,AE 1 =2SC=BE,∴点 E 是三棱锥 S-ABC 的外接球的球心,即点 E 与点 1 1 O 重合,OA=2SC=2 16π,选 C. 答案:C 二、填空题 SA2+AC2=2,球 O 的表面积为 4π×OA2=

9.(2013· 河南郑州第一次质量预测)一个几何体的三视图如图所

示(单位:m),则该几何体的体积为________m3. 解析:由三视图知,该几何体是由一个长方体和一个圆锥拼接而 1 成的组合体,故其体积 V=3×2×1+3×π×12×3=6+π. 答案:6+π 10.(2013· 吉林长春三校调研)已知一个棱长为 2 的正方体,被一 个平面截后所得几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 ________.

解析:根据三视图,我们先画出其几何直观图,几何体为正方体 切割而成,即正方体截去一个棱台.如图所示,故所求几何体的体积 17 V= 3 . 17 答案: 3

三、解答题 11.(2013· 上海卷)如图,正三棱锥 O-ABC 底面边长为 2,高为 1,求该三棱锥的体积及表面积.

解:由已知条件可知,正三棱锥 O-ABC 的底面△ABC 是边长 为 2 的正三角形. 经计算得底面△ABC 的面积为 3. 1 3 所以该三棱锥的体积为3× 3×1= 3 . 设 O′是正三角形 ABC 的中心, 由正三棱锥的性质可知,OO′垂直于平面 ABC,连接 AO′交 3 BC 于 D,得 AD= 3,O′D= 3 . 2 3 又因为 OO′=1,所以正三棱锥的斜高 OD= 3 . 1 2 3 故侧面积为2×6× 3 =2 3, 所以该三棱锥的表面积为 3+2 3=3 3.

12.(2013· 江西南昌调研)如图 1 所示,在边长为 12 的正方形 AA′A′1A1 中,点 B、C 在线段 AA′上,且 AB=3,BC=4,作 BB1 ∥AA1, 分别交 A1A′1、 AA′1 于点 B1、 P, 作 CC1∥AA1, 分别交 A1A′1、 AA′1 于点 C1、Q,将该正方形沿 BB1、CC1 折叠,使得 A′A′1 与 AA1 重合,构成如图 2 所示的三棱柱 ABC-A1B1C1.

(1)在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,求证:AB⊥平面 BCC1B1; (2)求平面 APQ 将三棱柱 ABC-A1B1C1 分成上、下两部分几何体 的体积之比. 解:(1)证明:因为 AB=3,BC=4,所以 AC=5,从而有 AC2=AB2+BC2,即 AB⊥BC.

又因为 AB⊥BB1,而 BC∩BB1=B,所以 AB⊥平面 BCC1B1; (2)因为 BP=AB=3,CQ=AC=7,所以 SBCQP= ?3+7?×4 =20, 2 1 1 从而 VA-BCQP=3· SBCQP· AB=3×20×3=20. 1 又因为 VABC-A1B1C1=SABC· AA1=2×3×4×12=72, 所以平面 APQ 将三棱柱 ABC-A1B1C1 分成上、下两部分几何体 的体积之比为 V上 72-20 52 13 = 20 =20= 5 . V下 [热点预测] 13.(1)(2013· 河南郑州第一次质量预测)在三棱锥 A-BCD 中, 侧棱 AB、AC、AD 两两垂直,△ABC、△ACD、△ADB 的面积分别 2 3 6 为 2 、 2 、 2 ,则该三棱锥外接球的表面积为( A.2π B.6π C.4 6π D.24π ) ?BP+CQ?· BC = 2

(2)(2013· 北京昌平区期末考试)已知一个空间几何体的三视图如

图所示,根据图中标出的尺寸,可得这个几何体的体积为( A.4 C.12 B.8 D.24

)

(3)(2013· 石家庄第二次模拟)已知正方形 AP1P2P3 的边长为 2,点 B,C 分别为边 P1P2,P2P3 的中点,沿 AB,BC,CA 折叠成一个三棱 锥 P-ABC(使 P1,P2,P3 重合于点 P),则三棱锥 P-ABC 的外接球 的表面积为( A.8 3π C.12π 2 AB · AC = ?1 2 2 ?1 3 解析:(1)依题意,? AC· AD = 2 2 ?1 6 AB · AD = ?2 2 ) B.36π D.6π

AB= 2 ? ? ,解得?AC=1 ? ?AD= 3

,而三

棱锥 A-BCD 可补成一个长方体, 该三棱锥与该长方体的外接球 1 6 是同一个球, 故外接球的半径 R=2 AB2+AC2+AD2= 2 , 所求表面 积 S 球=4πR2=6π. (2)由三视图可知,原几何体是一个四棱锥,高为 2,底面是一个 1 ?2+4?×2 直角梯形,则体积为 V=3× ×2=4,选 A. 2 (3)画出折叠前后的图形,如图.

折叠后:PA、PB、PC 两两垂直且 PA=2,PB=PC=1,可知三 棱锥 P-ABC 的外接球即以 PA、PB、PC 为棱的长方体的外接球,其 6 直径 2R= 22+12+12= 6,∴R= 2 ,∴S 球=4πR2=6π. 答案:(1)B (2)A (3)D


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