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三角函数课件


数学教育方法的核心是学生的再创 造. 教师不应该把数学当作一个已经完 成了的形式理论来教,不应该将各种定 义、规则、算法灌输给学生,而是应该 创造合适的条件,让学生在学习数学的 过程中,用自己的体验,用自己的思维 方式,重新创造有关的数学知识.

课堂教学内容组织主要形式为: 问题情境 →学生活动→意义建构

→数学理论→数学运用 →回

顾反思

? 三角函数
? 平面上的向量(简称平面向量) ? 三角恒等变换

课标要求
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三角函数是基本初等函数,它是描述周期现象的 重要数学模型,在数学和其他领域中具有重要的 作用.在本模块中,学生将通过实例,逐步理解 三角函数的概念及其基本性质,认识三角函数与 实际生活的联系,体会三角函数在解决具有周期 变化规律的问题中的作用.

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向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一, 它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具,有 着极其丰富的实际背景.在本模块中,学生将了 解向量丰富的实际背景,理解平面向量及其运算 的意义,能用向量语言和方法表述和解决数学和 物理中的一些问题,发展运算能力和解决实际问 题的能力.

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三角恒等变换在数学中有一定的应用,同时有利 于发展学生的推理能力和运算能力.在本模块中, 学生将运用向量的方法推导基本的三角恒等变换 公式,由此出发导出其他的三角恒等变换公式, 并能运用这些公式进行简单的恒等变换,发展学 生的推理和运算能力.

? 本章结构

? 内容和要求
? 本章内容的定位 ? 教学建议

第一章 三角函数 (约16课时)

一、本章结构
周期现象 任意角 弧度

三角函数

三角函数线

同角三角函数关系

诱导公式

三角函数图象性质

综合运用

二、内容与要求
(1)任意角、弧度 了解任意角的概念和弧度制,能进行弧度与角度 的互化. (2)三角函数 ①借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余 弦、正切)的定义.

二、内容与要求
②借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式 (π/2±α, π±α的正弦、余弦、正切),能画出 y=sin x, y=cos x, y=tan x的图象,了解三角函数 的周期性. ③借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π], 正切函数在(-π/2,π/2)上的性质(如单调性、 最大和最小值、图象与x轴交点等).

④理解同角三角函数的基本关系式:sin2x+cos2x=1, sin x/cos x=tan x. ⑤结合具体实例,了解y=Asin(ωx+φ)的实际意义; 能借助计算器或计算机画出 y=Asin(ωx+φ)的图象. 观察参数A,ω?,φ对函数图象变化的影响. ⑥会用三角函数解决一些简单实际问题,体会三角 函数是描述周期变化现象的重要函数模型.

三、本章内容的定位
1.引言 提供背景:自然界广泛地存在着周期性现象,
圆周上一点的运动是一个简单又基本的例子. 提出问题:用什么样的数学模型来刻画周期性 运动? 明确任务:建构这样的数学模型. 教学的起点是:对周期性现象的数学(分析) 研究. 教材的定位是:展示对周期现象进行数学研究 的过程,即建构刻画周期性现象的数学模型的 (思维)过程.

2.教科书的的特点 苏教版教材把本章定位为“展示建构刻 画周期性现象的数学模型的(思维)过 程”,为了保证这个定位的落实,或者说, 作为定位的具体体现,教材形成了鲜明的 特点.

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采用以问题链为线索的呈现方式.
既然教材要展示“思维过程”,而思维是从问 题开始的,思维的过程就是不断地提出问题, 解决问题的过程.所以教材采用了以问题链展 开的呈现方式.注意提出问题的环节,注意问 题间的逻辑联系,强化目标(建构刻画周期性 现象的数学模型)的指向作用.

案例:任意角三角函数
任意角三角函数概念无疑是本部分的核心概 念.苏教版的教材和其它的教材一样是在讲了 “任意角”、“弧度制”以后,通过对锐角三角 函数的考察后建立起任意角三角函数的概念 的.应该指出的,尽管在建立三角函数概念的程 序上看起来是相同的,只是在具体的处理方法上 有些“微妙“的差异,可是不应该小看了这里的 差异,因为这些差异正是对教材不同定位的表 现.

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教材中的问题链

(1)720°是怎样的一个角? (2)具有相同终边的角彼此之间有什么关系? (3)在本章引言中,我们用(r,l)表示点P,那 么r,l与α之间具有怎样的关系? (4)用怎样的数学模型建立(x,y)与(r, α)之间的 关系? (5)怎样将锐角的三角函数推广到任意角?

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以“数学地研究”的一般程序来组织、选 取教学内容.
实际问题 -建立数学模型 -数学模型进行研究 -利用数学模型解决实际问题

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?

教材充分发挥学习“函数”一章的 经验在建构 “刻画周期性现象的数学模型”中的作用,在结 构上尽可能地与“函数”一章相同. 为了突出“建构—研究—应用”这一主线,教材 对传统的教学内容做了“强干削枝”的处理.如 抽出“三角变换”的内容,另立一章; 把6种三角函数减为3种等等. 意图:一方面可以让学生利用已有的经验,掌握 学习的主动权,发现数学知识的联系,加深对知 识的理解;另一方面又突出了基本的数学思想和 数学地研究问题的方法,有利于正确的数学观念 的形成.

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突出周期性
本章的研究对象是周期性现象,建构的是“刻画周期性现 象的数学模型”,在教材中,突出了周期性,把它看成是 教材出发点和归属. 教材P4引言中“日出日落,寒来暑往?等” 生活中的摩天轮的运动?圆周上的点的运动 “周而复始” “周期现象” “三角函数的应用”

案例:三角函数的性质 在很多教材中,总是通过作出三角函数的 图象,然后再由图象的观察得到三角函数 的性质的.对此,苏教版的教材做了不同 的处理.

y
4 3

O 12

5

8

x

已知 f(1)=3,f(37)=?

“周而复始,重复出现”

对于 函数f(x),如果存在一个非零常数

T,使得定义域内的每一个x,都满足:
f(x+T)=f(x),则函数f(x)叫做周期函 数.T叫做这个函数的周期. y
4

O

2

5

8

x

y
4

O
注:

2

5

8

x

①定义域向数轴两端无限延伸; ②周期有无数个 ——最小正周期; ③不是所有的周期函数都有最小正周期.

三角函数的周期性:

① f(x)=sinx
② f(x)=cosx ③ f(x)=tanx

最小正周期:2?

最小正周期:2?
最小正周期:?

tan(?+k?)=tan?,k∈Z

例 求下列函数的周期: ① f(x)=sin 1 x; 2

T=4?
T=4? T=4?

1 x- ? ); ② g(x)=sin( 4 2 1 x- ? ); ③ h(x)=2sin( 4 2

④ f(x)=Asin(?x+?),其中A≠0, ?>0. 2? T= |? | ?

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加强几何直观,强调形数结合的思想
三角函数的基础是几何中的相似形和圆,而研 究方法又主要是代数的,因此三角函数集中地体现 了形数结合的思想,在代数和几何之间建立了初步 的联系. 在本章中,充分渗透了数形结合的思想. 一方面是以形助数,突出了几何直观对理解抽 象数学概念的作用.
(1)在三角函数及其性质的学习中,注意充分发挥单位 圆的直观作用,借助单位圆认识任意角、任意角的三角函 数,理解三角函数的周期性、诱导公式、同角三角函数关 系式以及三角函数的图象.

(2)通过角终边之间的对称关系来研究诱导公式.
(3)借助三角函数的图象理解三角函数在一个周期上的单 调性、最大和最小值、图象与轴的交点等性质;

另一方面以数助形,例如应用三角函数的周 期性来简化函数图象的作图.

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案例 诱导公式的推导
提出问题:由三角函数的定义可以知道:终边相 同的角的同一三角函数值相等.除此以外还有一 些角,它们的终边具有某种特殊关系,如关于坐 标轴对称,关于原点对称等,那么它们之间的三 角函数值之间具有什么样的关系呢?

对称的位 置关系

问题

终边的的 位置关系

诱导公式

三角函数值之间 的关系

四、教学建议
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准确把握教学要求
(1)与过去的教材相比,新教材强调了三角函数 是一种“数学模型”.

(2)与以往的三角函数内容相比较,本章提出了 对三角函数作为刻画现实世界的数学模型的认识 的要求,加强了对借助单位圆理解三角函数的概 念、性质,以及通过建立三角函数模型解决实际 问题等内容.

(3)“标准”删减了任意角的余切、正割、余割, 已知三角函数求角,反三角函数符号等内容. “标准”降低了对任意角概念,弧度制概念,同 角三角函数的基本关系式,诱导公式,三角函数 的奇偶性的要求.

这样的处理,把重点放在使学生理解三角函数 及其基本性质、体会三角函数在解决具有周期变 化规律的问题中的作用上,而对一些细枝末节的 内容不再作过多要求. 教学时应当把握好这种变化,遵循 “标准”所规 定的内容和要求,不要随意补充已被删减的知识 点.也不要引进那些繁琐的、技巧性高的变换题 目. 例如:求定义域、值域; 已知 sin a=m 求的其他三角函数值; 用诱导公式进行复杂变换的问题等.

(4)但是也不能放松基本的技能训练,应该让学生 记牢并熟练地使用诱导公式,同角三角函数关系 式,能用五点法画出正(余)弦函数的图象等, 因为这是利用三角函数解决问题的基础.

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注意从数学模型的角度来认识三角函数, 突出数学思想方法在数学模型建构中的作 用.

(1)要突出数学模型思想.教学中应当充分利用章 引言提供的情境,引导学生利用学习《函数》的经验, 自觉地参与建构刻画周期现象的数学模型的活动,使 学生从学习之初就建立起从数学模型的角度看三角函 数的意识,在此基础上,要充分注意运用三角函数模 型解决实际问题的教学,使学生经历运用三角函数模 型描述周期现象、解决实际问题的全过程.

(2)要充分发挥形数结合思想方法在本章 的运用.发挥单位圆、三角函数线、图象 的作用.

(3)运用和深化函数思想方法.
三角函数是学生在高中阶段系统学习的又一个 基本初等函数,教学中应当注意引导学生以数学l 中学到的研究函数的方法为指导来学习本章知识, 即在函数观点的指导下,学习三角函数,这对进 一步理解三角函数概念,理解函数思想方法对提 高学生在学习过程中的数学思维水平都是十分重 要的.

案例:用集合与对应的函数观点看三角函 数,这是一种“多对一”的函数;用函数 研究中的基本问题(对应关系、定义域、 值域、表示方法、图象,性质等)来理解 学习三角函数的进程;在讨论y=Asin(ωx+φ) 的图象时,渗透函数变换与图象变换 (平移、 伸缩)的关系.(需要注意分寸)

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以问题为中心,充分发挥理性思维在建构 数学模型中的作用. 恰当地使用信息技术.

案例:三角函数的应用

例1.在图中,点O为做简谐运动的物体的平衡位置, 取向右的方向为物体位移的正方向,若已知振幅为3cm, 周期为3s,且物体向右运到到距离平衡位置最远处时开 始计时. (1)求物体对平衡位置的位移x(cm)和时间t(s)之间的 函数关系; (2)求该物体在t=5s时的位置.
?用什么模型描述物体的运动? ?如何确定模型中的参数? ?已知条件“物体向右运到到距离平衡位置最远处时开始计时” 怎样应用?

例1.在图1中,点O为做简谐运动的物体的平衡位置, 取向右的方向为物体位移的正方向,若已知振幅为3cm, 周期为3s,且物体向右运到到距离平衡位置最远处时开 始计时.

回顾说明: ?注意简谐振动中的振幅、周期、频率、初 相的意义; ?本题的难点在于初相的确定; ?书写函数解析式时,需要根据自变量的实 际意义,书写定义域.

例2.如图2,某地一天从6~14时的 温度变化曲线近似满足函数y= Asin(ωx+?)+b. (1)求这一天该时段的最大温差; (2)写出这段曲线的函数解析式.

图2

例3.一半径为3m的水轮如图3所示,水轮圆心O距离 水面2m,已知水轮每分钟转动4圈,如果当水轮上点P 从水中浮现(图中点P0)开始计算时间. (1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的 函数; ?时刻t时,物体位于何处? ?时刻t时,物体距离水面的高度如

何计算?
?如何确定??

(2)点P第一次到达最高点大约要多少时间?

例4.海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现 象叫潮汐,一般的早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情况下, 船在涨潮时驶进航道,靠近船坞;卸货后落潮时返回海 洋.下面给出了某港口在某季节每天几个时刻的水深.

(1)选用一个三角函数来近似描述这个港口的水深 和时间的函数关系,并给出在整点时的水深的近似数 值(精确到0.001);

为什么是 “12”?

为什么是 ?=0?

(2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为 4m,安全条例规定至少要有1.5m的安全间隙(船底 与海底的距离),该船何时能进入港口?在港口能呆 多久?

(2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为 4m,安全条例规定至少要有1.5m的安全间隙(船底 与海底的距离),该船何时能进入港口?在港口能呆 多久?

(3)若船的吃水深度为4m,安全间隙为1.5m,该船 在2:00开始卸货,吃水深度以每小时0.3m的速度减少, 那么该船在什么时间必须停止卸货,将船驶向较深的 水域?

如何求交 点坐标?

三角函数作为描述现实世界中周期现象的一 种数学模型,可以用来研究很多问题,在刻画 周期变化规律、预测未来等方面发挥着十分重 要的作用. 具体的,我们可以利用搜集到的数据,作出 相应的“散点图”,通过观察散点图并进行函 数拟合而获得具体函数模型,最后利用这个函 数模型来解决相应的实际问题. 实际问题通常涉及复杂的数据.因此往往需 要使用计算机或计算器.

第二章 平面向量
(约12课时)

一、本章结构

背景 平面向量

几何表示

符号表示
向量的运算

坐标表示

加法

减法

数乘

数量积

向量的应用

二、内容和要求
(1)平面向量的实际背景及基本概念 通过力和力的分析等实例,了解向量的 实际背景,理解平面向量和向量相等的含 义,理解向量的几何表示.

二、内容和要求
(2)向量的线性运算
① 通过实例,掌握向量加、减法的运算,并理解其 几何意义. ② 通过实例,掌握向量数乘的运算,并理解其几何 意义,以及两个向量共线的含义. ③ 了解向量的线性运算性质及其几何意义.

(3)平面向量的基本定理及坐标表示
① ② ③ ④ 了解平面向量的基本定理及其意义; 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示; 会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算; 理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
了解向量的非正交分解.

(4)平面向量的数量积
① 通过物理中“功”等实例,理解平面向量数量积 的含义及其物理意义; ② 体会平面向量的数量积与向量投影的关系; ③ 掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量 积的运算; ④ 能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积 判断两个平面向量的垂直关系. 了解向量投影的概念(教材中的链接)
线段的定比分比及应用不作要求

(5)向量的应用
经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、 力学问题与其他一些实际问题的过程,体会向量 是一种处理几何问题、物理问题等的工具,发展 运算能力和解决实际问题的能力.

三、本章内容的定位
对一种具有丰富的几何背景与物理背景的 近代数学模型的研究.
(1)向量是具有深刻的几何背景和物理背景的数 学模型.

三、本章内容的定位
(2)向量是近代数学中重要的、基本的概念, 也是一种基本的重要的数学工具 ①向量既是代数的对象,又是几何的对象. 作为代数对象,向量可以运算; 作为几何对象,向量有方向,可以刻画直线、 平面等几何对象;

向量有长度,可以刻画长度、面积、体积 等几何度量问题; 向量由大小和方向两个因素确定: 大小反映了向量数的特征 , 方向反映了向量形的特征. 向量是集数形于一身的数学概念,是数学 中数形结合思想的典型体现.

三、本章内容的定位
②向量是抽象代数、线性代数、泛函分析 中的基本数学模型,是理解这些数学内容 的基础.

三、本章内容的定位
③向量也是重要的物理模型.平面力场、平面位移 场以及二者混合产生的做功问题,都可以用向量 空间来刻画和描述. 向量不仅沟通了代数与几何的联系,而且,体现 了近现代数学的思想,它在高中数学中的重要地 位是不言而喻的.

? 教材特点 1.按照数学模型研究的一般程序展开教材: (1)和《函数》、《三角函数》类似,本章也是对 一种数学模型的研究.教材也是按照对数学模型 研究的一般程序即“建构模型——研究模型—— 应用模型”的顺序展开的.这样的编写顺序不仅 符合向量知识的发展过程,而且可以唤起学生在 《函数》、《三角函数》学习中获得的经验,在 助于发挥学生在学习中的主动权.

(2)本章首先现实根据学生的生活经验,创 设丰富的情境,从大量的实际 背景中抽象 出向量的概念(数学模型),然后用数学 的方法研究向量及其运算的性质,最后再 运用数学模型去解决实际问题.

意图:这样处理体现了数学知识产生和发 展的过程,突出了数学的来龙去脉,有助 于学生理解数学的本质,形成对数学完整 的认识,达到培养学生的创新思维和理性 思维的目的,同时也有助于数学应用意识 的发展.

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案例 向量的概念及表示

小狗向西北方向逃窜,如果金钱豹向正东 方向追.请问: 金钱豹能追上小狗吗?

神舟六号载人飞船

现实生活中,还有哪 些量只有大小没有方 向?哪些量既有大小 又有方向?

在四台发动机的推动下,返回舱的速度由8米/秒迅速下降到1米 /秒,如同一片羽毛,轻轻地落在草地上. 着陆场总指挥隋起胜从耳机中听到了费俊龙的声音:“我是神 舟六号,我已着陆.” 费俊龙、聂海胜隔着舷窗,在向人们招手——返回舱内柔和的 灯光,映着他们的微笑.这一刻,距他们离开大地4天又19个多小 时,他们的总行程为325万余公里.(注:费俊龙 身高1.68米)

数量

距离、身高、时间、质量等

向量 位移、力、速度、加速度、电场强度等
向量的定义:既有大小又有方向的量叫向量.

区别:
数量只有大小,是一个代数量,可以进行 代数运算、比较大小; 向量有方向,大小,双重性,不能比较大小.

(3)以问题为中心,用问题链为线索揭示知 识的发生过程.

2.突出向量的物理背景和几何背景
(1) 教科书特别注意从丰富的物理背景和几何背 景中引人向量概念. 接着教材又以位移为原型,建立了向量的概念, 接着用有向线段给出了向量的儿何背景,并定义 向量的模、单位向量等概念. 意图:可以使学生认识到向量在刻画现实问题、 物理问题以及数学问题中的作用,使学生建立起 理解和运用向量概念的背景支撑.

(2)在有关向量的运算中,教材也注意突出向量运 算的原型. 以位移的“积累”为原型定义向量的加法和数乘; 以功为原型定义向量的数量积. 在研究向量的线性运算时,充分发挥有向线段几 何背景的作用.如用有向线段来解释数乘的几何 意义. 在向量基本定理中,提供力的分解和速度分解的 背景. (3)在向量的应用中,揭示它丰富的背景.

3.突出运算的核心地位
(1)运算是向量的核心内容,对中学生来说,根据 现实的原型,自觉地“构造”运算,还是第一 次.虽然学生对运算并不陌生,但是,他们眼中 的运算只有数的运算、字母(式)的运算.现在 要学习向量的运算,这对于运算的理解时一个突 破.

(2)教材在处理向量运算的内容时,注意和 数的运算进行类比,这样既可以有效地利 用学生有关数的运算的经验,而且可以帮 助学生发展对运算的认识.
例如:和数进行类比,在建立了向量的运算以后, 研究向量的运算(加、减、数乘等等)和它们满 足的运算律,在定义了运算以后,探讨运算的应 用,就都是很自然的了. 类比推理.

(3)和数学中的概念一样,数学对象的运算 也是一种数学模型,它也有一个建构的过 程,它同样是从原型中抽象出来的.教材 特别注意展示这个建构过程.
如:向量的加法就是从位移的积累,从分力和合 力的关系中抽象出来的. 特别地,向量的数量积是以功为原型抽象出来 的.

(4)向量既是代数对象,又是几何对象,因而向量 具有多种表示方法.作为代数对象,向量可以用 一个“符号”表示;作为几何对象,向量可以用 有向线段表示.在学习了向量基本定理以后,还 可以用坐标来表示.实际上,向量的每一种表示 方法,都建立了一种语言.对向量的运算也可以 用不同的语言来表示.在教材中,先用几何语言 即有向线段来表示向量的线性运算.然后再用代 数语言来坐标语言来表示.这样就使向量成为联 系代数和几何的桥梁,成为解决现实问题和数学 问题的工具.

(5)向量是通过运算来解决问题

4.突出向量与相关知识的联系,突出向 量的工具作用
(1)教材特别注意联系实际,注意向量与相 关学科(如:力学、物理学、几何、代数、 三角)的联系.注意用向量方法解决各类 问题. (2)在例题和习题中都安排了向量在相邻领 域内的应用题. 例:P84 例1 物理中的力的合成问题
P84 例2 几何问题 P85 习题2.5 2 速度问题

四、教学建议
1.明确教学要求

2.让学生参与建构活动
(1)要让学生参与建构向量及其运算的活动,经历 建构过程,引导学生认识到向量是一种描述现实 问题的数学模型. (2)要让学生了解向量的物理背景、几何背景,知 道它的原型. (3)通过建构活动,让学生熟悉向量及其运算的几 何意义,物理意义,这是灵活运用向量解决问题 的基础.

3.让学生明确研究向量问题的基本思路
(1)向量是代数的对象.作为代数对象,向量可以 运算,而且正是因为有了运算,向量的威力才得 到充分的发挥; (2)向量又是几何对象,所以向量可以刻画儿何元 素 (点、线、面,利用向量的方向可以与三角函 数发生联系.

(3)因为向量“一身二任”,所以几何图形的许多 性质会表现为向量的运算性质,这样我们就可以 通过向量的运算来描述和研究几何元素之间的关 系(如直线的平行、垂直等),确定几何图形的 长度、面积、夹角等等. 在贯穿向量教学的全过程中,都要向学生讲 清本章研究的总思路,让学生明确向量研究的基 本思路.特别是在学完本章后,更应引导学生反 思,因为这对于向量方法的理解 是至关重要的.

(4)让学生理解向量方法的实质
①建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中 涉及的几何元素,将平面儿何问题抟化为向量问 题; ②通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距 离、 夹角等问题; ③把运算结果“翻译”成几何关系.

? 案例

平面向量的数量积

活动一:创设问题情景,引出新课 问题1:请同学们回顾一下,我们已经研究了向量的 哪些运算?这些运算的结果是什么? 向量的加法、减法及数乘运算. 问题2:请同学们继续回忆,我们是怎么引入向量的 加法运算的?我们又是按照怎样的顺序研究了这 种运算的? 物理模型→概念→性质→运算律→应用.

活动二:探究数量积的概念

F A

|F| |s|cos?
O

a
?

b

s

B

W=|F| |s|cos?

|a| |b|cos?

F A

|F| |s|cos?
O

a
?

b

s

B

W=|F| |s|cos?

|a| |b|cos?

对于两个非零向量a和b,作 OA=a, OB=b,则∠AOB=?(0?≤?≤180?)叫做向 量a与b的夹角.

数量积的定义:
已知两个非零向量a和b,它们的夹

角是?,我们把数量|a| |b|cos?叫做向量a
和b的数量积(或内积),记作a?b,即

a?b=|a| |b|cos?. 规定:零向量与任一向量的数量积为0.

问题3:向量的数量积运算与线性运算的结 果有什么不同?影响数量积大小的因素有 哪些?
线性运算的结果是向量,而数量积的结果则是数, 这个数值的大小不仅和向量与的模有关,还和它 们的夹角有关.

问题:已知向量a与b的夹角为?, |a|=4,|b|=3,分别在下列条件下 求a?b: (1)?=45? ; (2)?=90? ; (3)?=120? .

问题:已知|a|=4,|b|=3,分别 在下列条件下求a?b: (1) a⊥b ; (2) a∥b.

(1)当?=0? 时,a与b同向,此时,
a?b=|a| |b|; (2)当?=180? 时,a与b反向,此时, a?b=-|a| |b|; (3)当?=90? 时,则称向量a与b垂直, 记作a⊥b.此时,a?b=0; (4)a?a=|a|2或|a|= ?a?a.

?

活动三:探究数量积的运算规律

问题:向量a与b的夹角为45? ,|a|

=4,|b|=3,试求:a?b,b?a,(2a)?b, a?(2b)和2(a?b).

运算律
(1) a?b=b?a; (2) (?a)?b=a?(?b)=?(a?b)=?a?b;

(3) (a+b)?c=a?c+b?c.
思考:向量的数量积是否满足结合律?

?

案例 向量的应用

向量是既有大小又有方向的量,它既有代数特 征,又有几何特征.通过向量可以实现代数问 题与几何问题的互相转化,所以向量是数形结 合的桥梁.同时,向量也是解决许多物理问题 的有力工具.

一、向量在物理中的应用

例1如图所示,无弹性的细绳OA,OB的一端分 别固定在A,B 处,同质量的细绳OC 下端系着一 个称盘,且使得OB⊥OC,试分析OA,OB,OC 三根绳子受力的大小,判断哪根绳受力最大.

受力分析

解 设OA,OB,OC 三根绳子所受的力分别为a, b,c,则a+b+c=0. a,b的合力为c′=a+b,|c|=|c′|. 如图,在OB′C′A′中, 因为OB′⊥ OC′, 所以| OA′| >|OB′|,

| OA′| >|OC′|.
即|a|>|b|,|a|>|c|,所以细绳OA 受力最大.

二、向量在数学中的应用

例2 用向量法证明:直径所对的圆周角是直角. 已知:如图,线段AB为⊙O的直径,点C为圆周 上异于A、B的任意一点.求证:∠ACB是直角.
C

A

O

B

例3 已知:OA⊥BC, OB ⊥ AC . 求证: OC ⊥ AB . 证: 因为 OA⊥BC, OB ⊥ AC . 所有 即


OA· = 0 , OB · = 0. BC AC OA· -OB) = 0 , ① (OC OB · -OA) = 0.② (OC

OC · -OA) = 0, (OB 即 OC · AB= 0, 所以OC ⊥ AB .
-①得

例3 已知:OA⊥BC, OB ⊥ AC . 求证: OC ⊥ AB . ?你能否画出一个几何图形来解释例3?

?你知道向量等式 OA· = OA · BC AC给出的是 什么几何关系吗?

第三章 三角恒等变换 (约8课时)

一、本章结构
C? ? ?

S? ? ?

T? ? ?

C? + ?

S? + ?

T? + ?

C2?

S2?

T2?

二、内容和要求
(1)经历用向量的数量积推导出两角差的 余弦公式的过程,进一步体会向量方法的 作用.

二、内容和要求
(2)能从两角差的余弦公式导出两角和与差 的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、 余弦、正切公式,了解它们的内在联系.

二、内容和要求
(3)能运用上述公式进行简单的恒等变换 (包括引导导出积化和差、和差化积、半 角公式,但不要求记忆).(简单的三角 函数式的化简、求值及恒等式证明指三角 函数变形的次数一般不超过三次,整个解 题中三角函数公式的使用一般不超过5个)

三、本章内容的定位
本章的主要教学内容是三角函数式的恒等 变换.只涉及一个角的恒等变换在《三角 函数》中已经做了研究.
(1)是(在第1章的基础上)对三角函数这一数学 模型(运算)性质的进一步研究; (2)是用演绎方法(借助于运算),建立数学知识 体系的一个范例.

说明:
(1)三角恒等变换公式实质上是三角函数的运算性质,而 运算性质是函数的重要性质;是对函数研究的一个方面 (可以和对数函数、指数函数类比); (2)如果不研究三角变形就不能发挥三角的工具价值; (3)三角变换公式繁多,但相互之间存在着紧密的逻辑联 系,从一个公式出发,就可以推出其它的公式.这种类似 于公理化的结构,在中学数学中是不可多得的.另一方面, 三角恒等变换也是一种演绎推理的方式,应该充分发挥它 在培养学生推理能力方面的作用.

教材特点:
(1)把演绎的知识结构放在“对周期性现象作数学 研究”的大背景下展开. (2)本章的教学内容是按照三角变换公式之间的逻 辑联系展开的.

C? ? ?

S? ? ?

T? ? ?

C? + ?

S? + ?

T? + ?

C2?

S2?

T2?

本章中的三角变换公式都是由余弦的差角公式推导出来 的,化归思想是推导这些公式的主导思想.在教学中, 不论是在推导公式时,还是在应用公式时,都应该自始 至终地贯彻这一思想.

?

这是一个逻辑的演绎的体系,为了突出三角函数 的主干内容,特别是突出三角函数作为描述周期 变化的数学模型这一本质,在教科书中,这个演 绎的体系是放在对周期现象进行研究的大背景下 建立的.
在引言中就从周期运动合成的角度提出三角变换的 课题,在讨论了和差角公式以后,教科书又通过《链 接》(P111),给出了正弦函数、余弦函数叠加的问 题的结论.本章就构成了一个相对完整的数学发现和 应用的过程.

意图:有助于学生从总体上理解三角变换.

(3)运用问题链,展现公式的发现和推导过 程
?

在传统的教学中,往往把三角变换单纯地视为基 本的技能训练,强调反复的练习和操作,强调三 角变换的具体方法和技巧,造成了公式头绪多, 练习习题难,技巧方法刁的现象.和过去相比, 教科书更重视公式的发现和推导过程,重视学生 在三角变换中的思维过程,重视这些过程中的思 维活动,和指导这些活动的思想方法.这和传统 的教学是有明显的区别的.

?

根据《课程标准》的要求,教科书降低了对三角 变换的要求.特别是不再要求用积化和差、和差 化积、半角公式等作复杂的恒等变形,而把推导 积化和差、和差化积、半角公式作为三角恒等变 换的基本训练,避免任意加大三角变换的难度, 防止在三角变换中深挖洞的现象 .

(4)注意从运算的角度看待三角变换
注意从运算的角度看待三角变换.把三角变换 看成是三角函数的运算.这样就使的三角变换和 运算(包括向量的运算)发生了联系. 在教科书中,三角变换的公式都是通过运算的 方法推导和证明的.在本章最后更从运算的角度 提出和差化积、积化和差的研究课题.

(5)注意突出向量和三角函数的联系
教科书利用向量的数量积推导出两角差的余 弦公式的过程,并由此公式作为出发点,推导出 两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的 正弦、余弦、正切公式.

? 案例

两角和与差的三角函数

如图,有一个小山坡OA,OA的长度为a,AC⊥OC, ∠AOC=15°,求坡脚线OC的长度? A

O 如图,OC=OA· cos15°=a · cos15°. 问题1:你会算cos15°吗?

C

问题2:还有其它方法算cos15°吗?

y

如图,向量a=(cos45°,sin45 °) b=(cos60° ,sin60 °),试分别 计算a?b =|a|? |b |cosθ及 a?b =x1x2+y1y2,比较两次计算 的结果,你能发现什么?

P2
60? 45?

P1 x

O

cos(60°-45°) = cos60°cos45 ° +sin60° sin45 ° .

问题3 :这个表达式揭示了哪些角的三角函数间的关 系?
揭示了60°和45 °的正余弦与15 °的余弦之间的关系.

问题4:以上关系能否推广到任意的两个角 α与β之间呢?即cos(α-β)能否用α与 β的三角函数来表示?

cos(α -β)=cosαcosβ+sinαsinβ

y

问题5:如何证明?
问题6:若借助于向量证明,要 构造怎样的两个向量?
O

P2 P1 x

令a=(cosα, sinα),b=(cosβ,sinβ). a?b=|a|?| b |cos(β-α)=cos(β-α), a ?b=cosαcosβ+sinαsinβ, 故cos(α-β) =cosαcosβ+sinαsinβ. 问题7:还有其它方法吗?(距离法)

问题8:如何推导两角和的余弦cos(α+β)的 公式? cos(α+β) = cos(α - (-β) ) = cosαcos (-β)+sinαsin( - β) =cosαcosβ-sinαsinβ.

两角差的余弦公式 cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ 两角和的余弦公式 cos(α+β)=cosαcosβ - sinαsinβ

四、教学建议
1.准确地把握教学要求 根据《课程标准》的要求,教科书降低了对三 角变换的要求.特别是不再要求用积化和差、和 差化积、半角公式等作复杂的恒等变形,而把推 导积化和差、和差化积、半角公式作为三角恒等 变换的基本训练,避免任意加大三角变换的难度, 不要随意补充已被删减的内容,也不要引进那些 繁琐的,技巧性高的难题,更不要一味在细微耒 节上做文章.但要注意基础训练.

2.对公式asinx+bcosx的处理.
有关形如asinx+bcosx的三角函数式化简的一般结论, 是超出教学的一般要求的.而课本第98页的例3到思考 是作为和差角公式的逆向应用,因此在习题中的处理 也仅仅作为差角公式的应用,不宜过多地加深拓宽.
1 3 例 3 求函数 y= sinx+ cosx 的最大值. 2 2 思考: 函数 y= 3sinx+cosx 是周期函数吗? 有最大值吗?

辅助角仅限于特殊角.

3.对几个三角恒等式的处理,力求让学生经 历探索过程,不要求作比较复杂的恒等变 形. ? “重过程,轻结论”. 4.设计数学探究或数学建模活动.


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