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2013年全国高考理科数学试题分类汇编:数列


2013 年全国高考理科数学试题分类汇编:数列
一、选择题 1 . (2013 年高考上海卷(理) 在数列 {an } 中, an )

? 2n ?1,若一个 7 行 12 列的矩阵的第 i 行第 j 列的元素

ai, j ? ai ? a j ? ai ? a j ,( i ? 1, 2,?,7; j ? 1, 2,?,12

)则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为( )
(A)18
【答案】A. 2 . (2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学(理) 已知数列 )

(B)28

(C)48

(D)63

?an ? 满足 3an?1 ? an ? 0, a2 ? ? 3 ,则
?10 (D) 3 1+3

4

?an ? 的前 10 项和等于
?10 (A) ?6 1 ? 3

?

?

(B)

1 ?1 ? 3?10 ? 9

?10 (C) 3 1 ? 3

?

?

?

?

【答案】C 3 (2013 年高考新课标 1 理)设 ?An BnCn 的三边长分别为 an , bn , cn , ?An BnCn 的面积为 Sn , n ? 1, 2,3,? , . ( )

若 b1 ? c1 , b1 ? c1 ? 2a1 , an ?1 ? an , bn ?1 ? A.{S n}为递减数列 C.{S2n-1}为递增数列,{S2n}为递减数列 【答案】B

cn ? an b ? an , cn ?1 ? n ,则( ) 2 2
B.{Sn}为递增数列 D.{S2n-1}为递减数列,{S2n}为递增数列

4 . (2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学(理) 函数 y =f (x) 的图像如图所示,在区间 )

?a,b? 上可找

到 n(n ? 2) 个不同的数 x1 ,x2 ...,xn , 使得

f (x1 ) f (x2 ) f (xn ) = = , 则 n 的取值范围是 x1 x2 xn

(A) ?3,4?
【答案】B

(B) ?2,3,4?

(C)

?3,4,5?

(D) ?2,3?

5 . 2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 福 建 数 学 ( 理 ) 已 知 等 比 数 列 ( )

的 公 比 为 q, 记

cn ? am ( n ?1) ?1 ? am ( n ?1) ? 2 ? ... ? am ( n ?1) ? m (m, n ? N * ), 则以下结论一定
正确的是( )
m

A.数列 {bn } 为等差数列,公差为 q C.数列 {cn } 为等比数列,公比为 q

B.数列 {bn } 为等比数列,公比为 q D.数列 {cn } 为等比数列,公比为 q

2m

m2

mm

【答案】C

6 . (2013 年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学(理) (纯 WORD 版含答案) 等比数列 )

的前



和为 (A)

,已知 (B)

,

,则 (C) (D)

【答案】C 7 . (2013 年高考新课标 1(理) 设等差数列 )

?an ? 的前 n 项和为 Sn , Sm?1 ? ?2, Sm ? 0, Sm?1 ? 3 ,则 m ?
D.6

(

)A.3 【答案】C

B.4

C.5

8 . 2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学 ( (理) (WORD 版) 下面是关于公差 d ? 0 的等差数列 试题 )

? an ?

的四个命题:

p1 : 数列?an ?是递增数列;
?a ? p3 : 数列 ? n ? 是递增数列; ?n?
其中的真命题为(A) p1 , p2
【答案】D

p2 : 数列?nan ?是递增数列;
p4 : 数列?an ? 3nd?是递增数列;
(B) p3 , p4 (C) p2 , p3 (D) p1 , p4

9 . (2013 年高考江西卷(理) 等比数列 x,3x+3,6x+6,..的第四项等于 )

A.-24
【答案】A 二、填空题

B.0

C.12

D.24

10. (2013 年高考四川卷(理) 在等差数列 {an } 中, a2 )

? a1 ? 8 ,且 a4 为 a2 和 a3 的等比中项,求数列 {an } 的

首项、公差及前 n 项和.
【答案】解:设该数列公差为 d ,前 n 项和为 s n .由已知,可得

2a1 ? 2d ? 8, ? a1 ? 3d ? ? ? a1 ? d ?? a1 ? 8d ? . 所以 a1 ? d ? 4, d ? d ? 3a1 ? ? 0 ,
2

解得 a1 ? 4, d ? 0 ,或 a1 ? 1, d ? 3 ,即数列 ?an ? 的首相为 4,公差为 0,或首相为 1,公差为 3. 所以数列的前 n 项和 sn ? 4n 或 sn ?

3n 2 ? n 2
的前 项和为 ,已知

11. (2013 年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学(理) 等差数列 )

,则

的最小值为________.【答案】 ?49

12.2013 年高考湖北卷 ( (理)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数 1,3,6,10,, )

第 n 个三角形数为

n ? n ? 1? 1 2 1 ? n ? n .记第 n 个 k 边形数为 N ? n, k ? ? k ? 3? ,以下列出了部分 k 边形 2 2 2
1 2 1 n ? n 2 2

数中第 n 个数的表达式: 三角形数

N ? n,3? ?

正方形数 五边形数 六边形数

N ? n, 4 ? ? n 2
N ? n,5? ? 3 2 1 n ? n 2 2

N ? n,6 ? ? 2n 2 ? n

可以推测 N ? n, k ? 的表达式,由此计算 N ?10, 24 ? ? ___________.【答案】1000
13. (2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷)在正项等比数列 {an } 中, a5 ?

1 , a ? a7 ? 3 ,则 2 6

满足 a1 ? a2 ? ? ? an ? a1a2 ?an 的最大正整数 n 的值为_____________.【答案】12
14. (2013 年高考湖南卷(理) 设 Sn 为数列 )

?an ? 的前 n 项和, Sn ? (?1)n an ? 2n , n ? N ? , 则
1 1 1 1 ? 1) ; ( 16 3 2100
时,有如下表达式:

(1) a3 ? _____; (2) S1 ? S2 ? ??? ? S100 ? ___________.【答案】 ?

15 . 2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 福 建 数 学 ( 理 ) 当 ( )

1 ? x ? x 2 ? ... ? x n ? ... ?
两边同时积分得:

1 . 1? x

从而得到如下等式: 请根据以下材料所蕴含的数学思想方法,计算:
【答案】 16. (2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学(理) 已知 )

?an ? 是等差数列, a1 ? 1 ,公差 d ? 0 , Sn 为其

前 n 项和,若 a1 , a2 , a5 成等比数列,则 S8 ? _____ 【答案】 64
17. (2013 年上海市春季高考数学试卷) 若等差数列的前 6 项和为 23,前 9 项和为 57,则数列的前 n 项和 Sn =

__________.【答案】

5 2 7 n ? n 6 6

18. (2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学 (理) 在等差数列 )

?an ? 中,已知 a3 ? a8 ? 10 ,则 3a5 ? a7

? _____.【答案】 20
19. (2013 年高考陕西卷(理) 观察下列等式: )

12 ? 1 12 ? 22 ? ?3 12 ? 22 ? 32 ? 6 12 ? 22 ? 32 ? 42 ? ?10

( ) 照此规律, 第 n 个等式可为___ 1 - 2 ? 3 - ? ? - 1 n ?
2 2 2 n -1 2

( - 1) n ?1 n(n ? 1) ____. 2

【答案】 1

2

( - 1) n ?1 - 2 2 ? 32 - ? ? - 1)-1n 2 ? ( n n(n ? 1) 2
}的前 n 项和为 Sn= ,则数列{ }的通项公式是

20. (2013 年 高考新课标 1(理) 若数列{ )

=______.【答案】

=

.

21. (2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学(理) 如图,互不-相同的点 A , A2 ?, X n ,? 和 ) 1

B1 , B2 ?, Bn ,? 分别在角O的两条边上,所有 An Bn 相互平行,且所有梯形 An Bn Bn?1 An?1 的面积均相等.设
OAn ? an . 若 a1 ? 1, a2 ? 2, 则数列 ?an ? 的通项公式是_________.

【答案】 n a

? 3n ? 2, n ? N *

22.2013 年高考北京卷 ( (理)若等比数列{an}满足 a2+a4=20,a3+a5=40, )
n?1

则公比 q=_______;前 n 项和 Sn=___________.【答案】2, 2

?2

23. (2013 年普通 高等学校招生统一考试辽宁数学 (理) 已知等比数列 )

?an ? 是递增数列, Sn 是 ?an ? 的前 n 项

2 和,若 a1,a3 是方程 x ? 5x ? 4 ? 0 的两个根,则 S6 ? ____________.【答案】63

三、解答题 24. (2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学(理) 设函数 )

x2 x2 xn f n ( x) ? ?1 ? x ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ( x ? R, n ? N n ) ,证明: 2 3 n
n (Ⅰ)对每个 n ? N ,存在唯一的 xn ? [ ,1] ,满足 f n ( xn ) ? 0 ;

2 3

n (Ⅱ)对任意 p ? N ,由(Ⅰ)中 xn 构成的数列 ?xn ? 满足 0 ? xn ? xn ? p ?

1 . n

【答案】解: (Ⅰ)

? 当x ? 0时,y ?

xn x2 x3 x4 xn 是单调递增的? f n ( x) ? ?1 ? x ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 是 n2 2 3 4 n

x 的单调递增函数,也是 n 的单 调递增函数. 且f n (0) ? ?1 ? 0, f n (1) ? ?1 ? 1 ? 0 .

? 存在唯一xn ? (0,1],满足f n ( xn ) ? 0,且 ? x1 ? x2 ? x3 ? xn ? 0 1
当x ? (0,1).时, f n ( x) ? ?1 ? x ?
2

x2 x3 x4 xn x 2 1 ? x n ?1 x2 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? ?1 ? x ? ? ? ?1 ? x ? ? 2 4 1? x 4 1? x 2 2 2 2

? 0 ? f n ( xn ) ? ?1 ? xn ?

xn 1 2 ? ? ( xn ? 2)(3xn ? 2) ? 0 ? xn ? [ ,1] 4 1 ? xn 3
2 3

综上,对每个 n ? N n ,存在唯一的 xn ? [ ,1] ,满足 f n ( xn ) ? 0 ;(证毕) (Ⅱ) 由题知 1 ? xn ? xn ? p ? 0, f n ( xn ) ? ?1 ? xn ?

xn x x x ? n2 ? n2 ? ? ? n2 ? 0 2 2 3 4 n

2

3

4

n

f n? p ( xn? p ) ? ?1 ? xn? p ?

xn? p 22

2

?

xn? p 32

3

?

xn? p 42

4

???
2

xn? p n2
3

n

?

xn? p

n ?1

(n ? 1) 2
4

???
n

xn? p

n? p

(n ? p) 2
n ?1

? 0 上式相减:
n? p

2 3 4 n xn? p xn? p xn? p xn? p xn? p xn? p x x x x xn ? n2 ? n2 ? n2 ? ? ? n2 ? xn? p ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? ??? 2 3 4 n 2 3 4 n (n ? 1) 2 (n ? p) 2
2 2 3 3 4 4 n n n ?1 n? p

xn - xn? p ? (

xn? p - xn 22

?

xn? p - xn 32

?

xn? p - xn 42

???

xn? p - xn n2

)( ?

xn? p

(n ? 1) 2

???

xn? p

(n ? p) 2



?

1 1 1 1 ? ? ? xn - xn? p ? . n n? p n n

法二:

25. (2013 年高考上海卷(理) (3 分+6 分+9 分)给 定常数 c ? 0 ,定义函数 f ( x) ? 2 | x ? c ? 4 | ? | x ? c | , )

数列 a1 , a2 , a3 ,? 满足 an?1 ? f (an ), n ? N * . (1)若 a1 ? ?c ? 2 ,求 a2 及 a3 ;(2)求证:对任意 n ? N * , an?1 ? an ? c ,; (3)是否存在 a1 ,使得 a1 , a2 ,?an ,? 成等差数列?若存在,求出所有这样的 a1 ,若不存在,说明理由.
【答案】:(1)因为 c ? 0 , a1

? ?(c ? 2) ,故 a2 ? f (a1 ) ? 2 | a1 ? c ? 4 | ? | a1 ? c |? 2 ,

a3 ? f (a1 ) ? 2 | a2 ? c ? 4 | ? | a2 ? c |? c ? 10
(2) 要 证 明 原 命 题 , 只 需 证 明

f ( x) ? x ? c

对 任 意

x?R 都 成 立 ,

f ( x) ? x ? c ? 2 | x ? c ? 4 | ? | x ? c |? x ? c 即只需证明 2 | x ? c ? 4 |?| x ? c | + x ? c
若 x ? c ? 0 ,显然有 2 | x ? c ? 4 |?| x ? c | + x ? c=0 成立; 若 x ? c ? 0 ,则 2 | x ? c ? 4 |?| x ? c | + x ? c ? x ? c ? 4 ? x ? c 显然成立 综上, f ( x) ? x ? c 恒成立,即对任意的 n ? N , an?1 ? an ? c
*

(3)由(2)知,若 {an } 为等差数列,则公差 d ? c ? 0 ,故 n 无限增大时,总有 an ? 0 此时, an?1 ? f (an ) ? 2(an ? c ? 4) ? (an ? c) ? an ? c ? 8 即d ? c?8 故 a2 ? f (a1 ) ? 2 | a1 ? c ? 4 | ? | a1 ? c |? a1 ? c ? 8 , 即 2 | a1 ? c ? 4 |?| a1 ? c | ?a1 ? c ? 8 , 当 a1 ? c ? 0 时,等式成立,且 n ? 2 时, an ? 0 ,此时 {an } 为等差数列,满足题意; 若 a1 ? c ? 0 ,则 | a1 ? c ? 4 |? 4 ? a1 ? ?c ? 8 , 此时, a2 ? 0, a3 ? c ? 8,?, an ? (n ? 2)(c ? 8) 也满足题意;

综上,满足题意的 a1 的取值范围是 [?c, ??) ? {?c ? 8} .
26. (2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷(数学)本小题满分 10 分.
k个 ????????? k -1 k )-1 设数列 ?an ?: 2,-2,3,3,3,-4,-4,-4,-4, , -1 k, ,( -1 k , 1 ,?( ) ?

即当

(k ? 1 k ) (k ? 1 k ) ?n? (- k ? k ? N ? ? 时, an ? 1)?1k ,记 Sn ? a1 ? a2 ?? an ? n ? N ? ? ,对于 l ? N ? , 2 2

? 定义集合 Pl ? n S n 是an的整数倍,n ? N ,且1 ? n ? l

?

?

(1)求集合 P11 中元素的个数; (2)求集合 P2000 中元素的个数.
【答案】 本题主要考察集合.数列的概念与运算.计数原理等基础知识,考察探究能力及运用数学归纳法分析

解决问题能力及推理论证能力. (1)解:由数列 ?an ? 的定义得: a1 ? 1 , a2 ? ?2 , a3 ? ?2 , a4 ? 3 , a5 ? 3 , a6 ? 3 , a7 ? ?4 , a8 ? ?4 ,

a9 ? ?4 , a10 ? ?4 , a11 ? 5
∴ S1 ? 1 , S 2 ? ?1 , S 3 ? ?3 , S 4 ? 0 , S 5 ? 3 , S 6 ? 6 , S 7 ? 2 , S8 ? ?2 , S 9 ? ?6 , S10 ? ?10 ,

S11 ? ?5
∴ S1 ? 1 ? a1 , S 4 ? 0 ? a 4 , S 5 ? 1 ? a5 , S 6 ? 2 ? a6 , S11 ? ?1 ? a11 ∴集合 P11 中元素的个数为 5 (2)证明:用数学归纳法先证 Si ( 2i ?1) ? ?i(2i ? 1) 事实上, ① 当 i ? 1 时, Si ( 2i ?1) ? S3 ? ?1 ? (2 ? 1) ? ?3 故原式成立 故原式成立

② 假设当 i ? m 时,等式成立,即 S m( 2m?1) ? ?m ? (2m ? 1) 则: i ? m ? 1 ,时,

S(m?1)[2(m?1)?1} ? S(m?1)(2m?3} ? Sm(2m?1) ? (2m ? 1) 2 ? (2m ? 2) 2 ? ?m(2m ? 1) ? (2m ? 1) 2 ? (2m ? 2) 2
? ?(2m2 ? 5m ? 3) ? ?(m ? 1)(2m ? 3)
综合①②得: Si ( 2i ?1) ? ?i(2i ? 1) 于是

S(i?1)[2i?1} ? Si (2i ?1} ? (2i ? 1) 2 ? ?i(2i ? 1) ? (2i ? 1) 2 ? (2i ? 1)(i ? 1)
由上可知: Si ( 2i ?1} 是 (2i ? 1) 的倍数 而 a(i ?1)( 2i ?1}? j ? 2i ? 1( j ? 1,2,?,2i ? 1) ,所以 Si ( 2i ?1)? j ? Si ( 2i ?1) ? j (2i ? 1) 是

a(i ?1)( 2i ?1}? j ( j ? 1,2,?,2i ? 1) 的倍数
又 S (i ?1)[ 2i ?1} ? (i ? 1)(2i ? 1) 不是 2i ? 2 的倍数, 而 a(i ?1)( 2i ?1}? j ? ?(2i ? 2)( j ? 1,2,?,2i ? 2) 所以 S(i ?1)( 2i ?1)? j ? S(i ?1)( 2i ?1) ? j(2i ? 2) ? (2i ? 1)(i ? 1) ? j(2i ? 2) 不是 a(i ?1)( 2i ?1}? j ( j ? 1,2,?,2i ? 2) 的 倍数 故当 l ? i(2i ? 1) 时,集合 Pl 中元素的个数为 1 ? 3 ? ? ? 2i - 1 ? i 2 ( ) 于是当 l ? i(2i ? 1) ? j( ? j ? 2i ? 1 时,集合 Pl 中元素的个数为 i 2 ? j 1 )

( ) 又 2000 ? 31 ? 2 ? 31 ? 1 ? 47
2 故集合 P2000 中元素的个数为 31 ? 47 ? 1008

27. (2013 年普通高等学校招生统一考试浙 江数学(理) 在公差为 d 的等差数列 {an } 中,已知 a1 )

? 10 ,且

a1 ,2a2 ? 2,5a3 成等比数列.(1)求 d, an ; (2)若 d ? 0 ,求 | a1 | ? | a2 | ? | a3 | ??? | an | .
【答案】解:(Ⅰ)由已知得到:

(2a2 ? 2)2 ? 5a1a3 ? 4(a1 ? d ? 1)2 ? 50(a1 ? 2d ) ? (11 ? d ) 2 ? 25(5 ? d )

?d ? 4 ?d ? ?1 ; ? 121 ? 22d ? d 2 ? 125 ? 25d ? d 2 ? 3d ? 4 ? 0 ? ? 或? ?an ? 4n ? 6 ?an ? 11 ? n
(Ⅱ)由(1)知,当 d

? 0 时, an ? 11 ? n ,

①当1 ? n ? 11时,

an ? 0? a1 | ? | a2 | ? | a3 | ?? ?? | an |? a1 ? a2 ? a3 ?? ??an ? | ? ?
②当12 ?

n(10 ? 11 ? n) n(21 ? n) ? 2 2

n 时,
11(21 ? 11) n(21 ? n) n2 ? 21n ? 220 ? ? 2 2 2

an ? 0 ?| a1 | ? | a2 | ? | a3 | ?? ?? | an |? a1 ? a2 ? a3 ?? ?? a11 ? (a12 ? a13 ?? ? an ) ? ? ?? ? 2(a1 ? a2 ? a3 ?? ?? a11 ) ? (a1 ? a2 ? a3 ?? ?? an ) ? 2 ? ? ?

? n(21 ? n) ,(1 ? n ? 11) ? 2 ? 所以,综上所述: | a1 | ? | a2 | ? | a3 | ?? ? | an |? ? ; ?? n2 ? 21n ? 220 ? ,(n ? 12) ? ? 2
28. (2013 年高考湖北卷(理) 已知等比数列 ?an ? 满足: )

a2 ? a3 ? 10 , a1a2a3 ? 125 .

(I)求数列 ?an ? 的通项公式 ;

(II)是否存在正整数 m ,使得

1 1 1 ? ??? ? 1 ?若存在,求 m 的最小值;若不存在,说明理由. a1 a2 am

【答案】解:(I)由已知条件得: a2

? 5 ,又 a2 q ? 1 ? 10 ,? q ? ?1或3 ,
n ?2

所以数列 ?an ? 的通项或 an ? 5 ? 3 (II)若 q ? ?1 ,

1 1 1 1 ? ??? ? ? 或0 ,不存在这样的正整数 m ; a1 a2 am 5

m 1 1 1 9 ? ?1? ? 9 若q ? 3, ? ??? ? ?1 ? ? ? ? ? ,不存在这样的正整数 m . a1 a2 am 10 ? ? 3 ? ? 10 ? ?

29. (2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学(理) 设等差数列 )

?an ? 的前

n 项和为 Sn ,且 S4 ? 4S2 ,

a2n ? 2an ? 1.(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式;(Ⅱ)设数列 ?bn ? 前 n 项和为 Tn ,且 Tn ?
数).令 cn ? b2n (n ? N * ) .求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Rn .
【答案】解:(Ⅰ)设等差数列

an ? 1 ? ? ( ? 为常 2n

?an ? 的首项为 a1 ,公差为 d ,



S4 ? 4S2 , a2n ? 2an ? 1得

4a1 ? 6d ? 8a1 ? 4d ? ? * ?a1 ? (2n ? 1) ? 2a1 ? 2(n ? 1)d ? 1 , 解得, a1 ? 1 , d ? 2 因此 an ? 2n ? 1 (n ? N )
Tn ? ? ? n 2
n ?1

(Ⅱ)由题意知:

所以 n ? 2 时,

bn ? Tn ? Tn ?1 ? ?

n 2
n ?1

?

n ?1 2n ?2

故,

cn ? b2 n ?

2n ? 2 1 ? (n ? 1)( ) n ?1 2 n ?1 2 4

(n ? N * )

1 1 1 1 1 Rn ? 0 ? ( )0 ? 1? ( )1 ? 2 ? ( ) 2 ? 3 ? ( )3 ? ??? ? ( n ? 1) ? ( ) n ?1 4 4 4 4 4 所以 , 1 1 1 1 1 1 Rn ? 0 ? ( )1 ? 1? ( ) 2 ? 2 ? ( )3 ? ??? ? ( n ? 2) ? ( ) n ?1 ? ( n ? 1) ? ( ) n 4 4 4 4 4 则4

3 1 1 1 1 1 Rn ? ( )1 ? ( ) 2 ? ( )3 ? ??? ? ( ) n ?1 ? ( n ? 1) ? ( ) n 4 4 4 4 4 两式相减得 4

1 1 n ?( ) 1 ? 4 4 ? (n ? 1)( )n 1 4 1? 4

1 3n ? 1 1 3n ? 1 Rn ? (4 ? n ?1 ) Rn ? (4 ? n ?1 ) cn ? ? 的前 n 项和 9 4 9 4 整理得 所以数列数列

30. (2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷)本小题满分 16 分.设 {an } 是首项为 a ,公差为 d 的

等差数列 (d ? 0) , Sn 是其前 n 项和.记 bn ?

nS n , n ? N * ,其中 c 为实数. 2 n ?c

(1)若 c ? 0 ,且 b1,b2,b4 成等比数列,证明: Snk ? n2 Sk ( k , n ? N * ); (2)若 {bn } 是等差数列,证明: c ? 0 .
【答案】证明:∵ {an } 是首项为 a ,公差为 d 的等差数列 (d ? 0) , Sn 是其前 n 项和

∴ S n ? na ?

n(n ? 1) d (1)∵ c ? 0 2
2

∴ bn ?

Sn n ?1 ?a? d n 2

∵ b1,b2,b4 成等比数列 ∴

∴ b2 ? b1b4 ∴ (a ?

1 1 1 1 ad ? d 2 ? 0 ∴ d (a ? d ) ? 0 2 4 2 2 n(n ? 1) n(n ? 1) d ? na ? 2a ? n 2 a ∴ S n ? na ? 2 2
∴左边 = S nk ? (nk) 2 a ? n 2 k 2 a ∴左边=右边∴原式成立

1 2 3 d ) ? a(a ? d ) 2 2 1 ∵d ? 0 ∴ a ? d ∴ d ? 2a 2

右边= n 2 S k ? n 2 k 2 a

(2)∵ {bn } 是等差数列∴设公差为 d1 ,∴ bn ? b1 ? (n ? 1)d1 带入 bn ?

nS n 得: n2 ? c

b1 ? (n ? 1)d1 ?

nSn 1 1 3 2 ? ∴ (d1 ? d )n ? (b1 ? d1 ? a ? d )n ? cd 1 n ? c(d1 ? b1 ) 对 n ? N 恒成立 2 2 2 n ?c

1 ? ?d1 ? 2 d ? 0 ? 1 1 ? ∴ ?b1 ? d1 ? a ? d ? 0 由①式得: d 1 ? d 2 2 ? ?cd1 ? 0 ?c(d ? b ) ? 0 ? 1 1
法二:证:(1)若 c ? 0 ,则 an ? a ? (n ? 1)d , S n ? 当 b1,b2,b4 成等比数列, b2 ? b1b4 ,
2

∵ d ?0

∴ d1 ? 0 由③式得: c ? 0

n[( n ? 1)d ? 2a ] (n ? 1) d ? 2a , bn ? . 2 2

即: ? a ?

? ?

d? 3d ? ? 2 ? ? a? a ? ? ,得: d ? 2ad ,又 d ? 0 ,故 d ? 2a . 2? 2 ? ?
*

2

由此: S n ? n 2 a , S nk ? (nk) 2 a ? n 2 k 2 a , n 2 S k ? n 2 k 2 a . 故: Snk ? n2 Sk ( k , n ? N ).

nS (2) bn ? 2 n ? n ?c

n2

(n ? 1)d ? 2a 2 , 2 n ?c

(n ? 1)d ? 2a (n ? 1)d ? 2a (n ? 1)d ? 2a ?c ?c 2 2 2 ? n2 ? c (n ? 1)d ? 2a c (n ? 1)d ? 2a 2 . (※) ? ? 2 2 n ?c n2
若 {bn } 是等差数列,则 bn ? An ? Bn 型. 观察(※)式后一项,分子幂低于分母幂,

(n ? 1)d ? 2a (n ? 1)d ? 2a (n ? 1)d ? 2a 2 ? 0 ,而 故有: ≠0, 故 c ? 0 . ? 0 ,即 c 2 2 2 n ?c c
经检验,当 c ? 0 时 {bn } 是等差数列.
31. (2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学(理) 等差数 列 )

?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 S3 =a22 ,

且 S1 , S2 , S4 成等比数列,求 ?an ? 的通项式.
【答案】

32. (2013 年普通高等学校招生统一考试天津数学(理) 已知首项为 )

3 的等比数列 {an } 不是递减数列, 其 2

前 n 项和为 Sn (n ? N *) , 且 S3 + a3, S5 + a5, S4 + a4 成等差数列. (Ⅰ) 求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ) 设 Tn ? Sn ?
1 (n ? N *) , 求数列 {Tn } 的最大项的值与最小项的值. 【答案】 Sn

33. (2013 年高考江西卷(理) 正项数列{an}的前项和{an}满足: sn )

2

? (n2 ? n ?1)sn ? (n2 ? n) ? 0

(1)求数列{an}的通项公式 an; (2)令 bn ?

n ?1 5 * ,数列{bn}的前 n 项和为 Tn .证明:对于任意的 n ? N ,都有 Tn ? 2 2 64 (n ? 2) a
2

【答案】(1)解:由 Sn

? (n2 ? n ?1)Sn ? (n2 ? n) ? 0 ,得 ? Sn ? (n 2 ? n) ? ( S n ? 1) ? 0 . ? ?

由于 ?an ? 是正项数列,所以 Sn ? 0, Sn ? n2 ? n . 于是 a1 ? S1 ? 2, n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? n2 ? n ? (n ?1)2 ? (n ?1) ? 2n .综上,数列 ?an ? 的通项 an ? 2n . (2)证明:由于 an ? 2n, bn ?

n ?1 1 ?1 1 ? n ?1 . 则 bn ? . ? ? 2? 2 2 2 2 (n ? 2) an 4n (n ? 2) 16 ? n (n ? 2)2 ? ?

Tn ? ?

1 ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ?1 ? 32 ? 22 ? 42 ? 32 ? 52 ? … ? (n ? 1)2 ? (n ? 1)2 ? n2 ? (n ? 2)2 ? 16 ? ?

1 ? 1 1 1 ? 1 1 5 ?1 ? 22 ? (n ? 1)2 ? (n ? 2)2 ? ? 16 (1 ? 22 ) ? 64 . 16 ? ?

34. (2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学(理) 设数列

?an ? 的前 n 项和为 Sn .已知 a1 ? 1 ,

2Sn 1 2 ? an ?1 ? n 2 ? n ? , n ? N* .(Ⅰ) 求 a2 的值;(Ⅱ) 求数列 ?an ? 的通项公式; n 3 3

(Ⅲ) 证明:对一切正整数 n ,有
【答案】.(1) 解:?

1 1 1 7 ? ?? ? ? . a1 a2 an 4

2Sn 1 2 ? an ?1 ? n 2 ? n ? , n ? N ? . n 3 3 1 2 ? 当 n ? 1 时, 2a1 ? 2S1 ? a2 ? ? 1 ? ? a2 ? 2 又 a1 ? 1 ,? a2 ? 4 3 3 2Sn 1 2 ? an ?1 ? n 2 ? n ? , n ? N ? . (2)解:? n 3 3

n ? n ? 1?? n ? 2 ? 1 2 ? 2Sn ? nan ?1 ? n3 ? n 2 ? n ? nan ?1 ? 3 3 3
? 当 n ? 2 时, 2Sn ?1 ? ? n ? 1? an ?



? n ? 1? n ? n ? 1?
3



由① — ②,得 2Sn ? 2Sn?1 ? nan?1 ? ? n ?1? an ? n ? n ?1? ? 2an ? 2Sn ? 2Sn?1

?2an ? nan?1 ? ? n ?1? an ? n ? n ?1?
? ? an ?1 an ? ?1 n ?1 n a ?a ? ? 数列 ? n ? 是以首项为 1 ? 1 ,公差为 1 的等差数列. 1 ?n?

an ? 1 ? 1? ? n ? 1? ? n,? an ? n 2 ? n ? 2 ? n

当 n ? 1 时,上式显然成立. ①当 n ? 1 时,

?an ? n2 , n ? N * (3)证明:由(2)知, an ? n2 , n ? N *

1 7 ? 1 ? ,? 原不等式成立. a1 4 1 1 1 7 ? ? 1 ? ? ,? 原不等式亦成立. a1 a2 4 4
2

②当 n ? 2 时,

③当 n ? 3 时, ? n ? ? n ? 1? ? ? n ? 1? ,?

1 1 ? 2 n ? n ?1? ? ? n ? 1?

?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ?? ? 2 ? 2 ? ?? 2 ? 1? ? ? ?? ? a1 a2 an 1 2 n 1? 3 2 ? 4 ? n ? 2? ? n ? n ? 1? ? ? n ? 1?

1 ?1 1 ? 1 ? 1 1 ? 1 ? 1 1 ? 1? 1 1? 1? 1 1 ? ? 1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 2 ?1 3 ? 2 ? 2 4 ? 2 ? 3 5 ? 2 ? n ? 2 n ? 2 ? n ?1 n ? 1 ? 1 ?1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? 1? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 2 ?1 3 2 4 3 5 n ? 2 n n ?1 n ? 1 ? 1 ?1 1 1 1 ? 7 1? 1 1 ? 7 ? 1? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 当 n ? 3 时,,? 原不等式亦成立. 2 ? 1 2 n n ?1 ? 4 2 ? n n ?1 ? 4

综上,对一切正整数 n ,有

1 1 1 7 ? ??? ? . a1 a2 an 4

35. (2013 年高考北京卷(理) 已知{an}是由非负整数组成的无穷数列,该数列前 n 项的最大值记为 An,第 n )

项之后各项 an ?1 , an?2 ,的最小值记为 Bn,dn=An-Bn . (I)若{an}为 2,1,4,3,2,1,4,3,,是一个 周期为 4 的数列(即对任意 n∈N , an? 4 ? an ),写出 d1,d2,d3,d4 的值;
*

(II)设 d 为非负整数,证明:dn=-d(n=1,2,3)的充分必要条件为{an}为公差为 d 的等差数列; (III)证明:若 a1=2,dn=1(n=1,2,3,),则{an}的项只能是 1 或者 2,且有无穷多项为 1.
【答案】(I) d1

? d2 ? 1, d3 ? d4 ? 3.

(II)(充分性)因为 ?an ? 是公差为 d 的等差数列,且 d ? 0 ,所以 a1 ? a2 ? ? ? an ? ? . 因此 An ? an , Bn ? an?1 , dn ? an ? an?1 ? ?d (n ? 1, 2,3,?) . (必要性)因为 dn ? ?d ? 0 (n ? 1,2,3, ? ,所以 An ? Bn ? dn ? Bn . ) 又因为 an ? An , an?1 ? Bn ,所以 an ? an?1 . 于是 An ? an , Bn ? an?1 .

因此 an?1 ? an ? Bn ? An ? ?dn ? d ,即 ?an ? 是公差为 d 的等差数列. (III)因为 a1 ? 2, d1 ? 1,所以 A1 ? a1 ? 2 , B1 ? A ? d1 ? 1 .故对任意 n ? 1, an ? B1 ? 1. 1 假设 ?an ? (n ? 2) 中存在大于 2 的项. 设 m 为满足 an ? 2 的最小正整数,则 m ? 2 ,并且对任意 1 ? k ? m, ak ? 2 ,. 又因为 a1 ? 2 ,所以 Am?1 ? 2 ,且 Am ? am ? 2 . 于是 Bm ? Am ? dm ? 2 ?1 ? 1 , Bm?1 ? min ?am , Bm? ? 2 . 故 dm?1 ? Am?1 ? Bm?1 ? 2 ? 2 ? 0 ,与 dm?1 ? 1 矛盾. 所以对于任意 n ? 1 ,有 an ? 2 ,即非负整数列 ?an ? 的各项只能为 1 或 2. 因此对任意 n ? 1 , an ? 2 ? a1 ,所以 An ? 2 . 故 Bn ? An ? dn ? 2 ?1 ? 1 .

因此对于任意正整数 n ,存在 m 满足 m ? n ,且 am ? 1 ,即数列 ?an ? 有无穷多项为 1.
36. (2013 年高考陕西卷(理) )

设 {an } 是公比为 q 的等比数列. (Ⅰ) 导 {an } 的前 n 项和公式; (Ⅱ) 设 q≠1, 证明数列 {an ? 1} 不是 等比 数列. 【答案】解:(Ⅰ) 分两种情况讨论. ① 当q ? 1时,数列 an }是首项为 1的常数数列,所以 n ? a1 ? a1 ? ? ? a1 ? na1 . { a S

② 当q ? 1时,S n ? a1 ? a2 ? ? ? an?1 ? an ? qSn ? qa1 ? qa2 ? ? ? qan?1 ? qan . 上面两式错位相减:( - q)S n ? a1 ? (a2 ? qa1 ) ? (a3 ? qa2 )? ? (an ? qan?1 ) ? qan ? a1 ? qan . 1

? Sn ?

a1 ? qan a (1 ? q n ) . ?. 1 1- q 1- q
(q ? 1) (q ? 1)

?na1 , ? ③综上, S n ? ? a1 (1 ? q n ) ? 1? q , ?
(Ⅱ) 使用反证法.

设 {an } 是公比 q≠1 的等比数列, 假设数列 {an ? 1} 是等比数列.则 ①当 ?n ? N *,使得an ? 1 =0 成立,则 {an ? 1} 不是等比数列. ②当 ?n ? N *,使得an ? 1 ? 0 成立,则

an?1 ? 1 a1q n ? 1 ? ? 恒为常数 an ? 1 a1q n?1 ? 1

? a1q n ? 1 ? a1q n?1 ? 1 ? 当a1 ? 0时, q ? 1 .这与题目条件 q≠1 矛盾.
③综上两种情况,假设数列 {an ? 1} 是等比数列均不成立,所以当 q≠1 时, 数列 {an ? 1} 不是等比数列.


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