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2.2.1双曲线及其标准方程修改版 适合艺术生


2.2.1 双曲线及其 标准方程
高二数学 选修1-1

第二章

圆锥曲线与方程

花瓶

北京摩天大楼

法拉利主题公园

巴西利亚大教堂

教学目标:
1、理解记住双曲线的定义,几何图形. 2、记住双曲线的标准方程,会分析标准方 程的推导过程. 3、会利用双曲线的定义和标准方程解决简 单的应用问题.

问题1:椭圆的定义是什么?
平面内与两个定点|F1F2|的距离的和等于常数(大于|F1F2| ) 的点的轨迹叫做椭圆。 问题2:椭圆的标准方程是怎样的?
x2 y2 y 2 x2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)或 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b a b

ab ,c ,

关系如何?

a 2 ? b2 ? c 2

问题3:如果把椭圆定义中“距离的和”改为“距离的差” 那么动点的轨迹会发生怎样的变化?

试说明在下列条件下动点M的轨迹各是什么图形? (F1、F2是两定点, |MF1|-|MF2| |F1F2| =2c (0<a<c) =2a, 当|MF1|-|MF2|=2a时,点M的轨迹 双曲线的右支 ;

当|MF2|-|MF1|=2a时,点M的轨迹
M 若2a=2c,动点 M的轨迹 F1 F2 若2a>2c,动点M的轨迹

双曲线的左支




以F1、F2为端点的两条射线 不存在

F1

F2

.

若2a=0,动点M的是轨迹_________________.

M 线段F1F2的垂直平分线

因此,在应用定义时,首先要考查 2a与2c的大小 .

F1

F2

2.双曲线的定义
平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值 等于常数 (小于︱F1F2 的点的轨迹叫做双曲线.
︱) ① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点; ② |F1F2|=2c ——焦距.
M

注意 (1)距离之差的绝对值 | |MF1| - |MF2| | = 2a
(2)常数要小于|F1F2|大于0

F

1

o

F

2

0<2a<2c

如何求这优美的曲线的方程? 坐标系 2.设点. 设M(x , y),双曲线的焦 距为2c(c>0),F1(-c,0),F2(c,0)
(1)建系设点; 3.写出条件. (2)写出条件; 1 (3)列出方程; (4)化简方程; 2 4.列出方程 . (5)下结论。

标准方程的推导 : 1. 建系.以F1,F2所在的直线为X轴, 线段F1F2的中点o为原点建立直角

y
M F1 O F2 x

问题 常数为 2a : 求曲线方程的基本步骤

||MF | - |MF2||= 2a
( x ? c) ? y ? ( x ? c) ? y ? ?2a.
2 2 2

5.化简.

(x ? c)2 ? y2 ? (x ? c)2 ? y2 ? ?2a
( (x ? c)2 ? y2 )2 ? ( (x ? c)2 ? y2 ? 2a)2

y

M F1

cx ? a2 ? ?a (x ? c)2 ? y2

o

(c2 ? a2 ) x2 ? a2y2 ? a2(c2 ? a2 )
令c2-a2=b2

x2 y2 ? 2 ?1 2 a b

这个方程叫做双曲线的标准方程,它所表示的双曲线的焦点在x轴 上,焦点是 F1(-c,0),F2(c,0).其中 c 2 ? a 2 ?b 2

类比椭圆的标准方程,请思考焦点在y轴上的 y 双曲线的标准方程是什么?

F2
y2 x2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b
O

x
F1

这个方程叫做双曲线的标准方程 ,它所表示的双曲线的焦 点在y轴上,焦点是 F1(0,-c),F2(0,c). 其中c2=a2+b2.

双曲线的标准方程
y
M

y M F2 x

F1

O

F2

x

O

F1

2 2 x y y x ? ? ? ? 1 a ? 0 , b ? 0 ? 2 ? 1 ?a ? 0, b ? 0? 2 2 2 a b a b

2

2

y
F1
2 2

M
O F 2

M

y

F2 x
2 2

O

x

F1

x y ? 2 ? 1 ?a ? 0, b ? 0?① 2 a b
(1)表示的双曲线焦点在X轴上,
(2)焦点坐标为(-c,0)、(c,0)

y x ② ? ? ? ? 1 a ? 0 , b ? 0 a 2 b2
(1)表示的双曲线焦点在Y轴上 (2)焦点坐标为 (0,-c)、 (0,c

x y (3)左边为 与 平 a b 方差

)x y 与 (3)左边为 平 a b 方和差

y
F1
2 2

M
O F 2

M

y

F2 x
2 2

O

x

F1

x y ① ? ? ? ? 1 a ? 0 , b ? 0 a2 b2
(5)在两种方程中,总有

y x ② ? ? ? ? 1 a ? 0 , b ? 0 a 2 b2

(4)两种方程右边均为1,左边为分式的平方差的形式。

a ? 0, b ? 0
2 2

(6)a,b,c都有关系式:

c ?a ?b
2 2

2

即c ? a ? b , c最大
2

快速练习:
指出焦点坐标。

判定下列双曲线的焦点在那条轴上?并

x y (1) ? ?1 9 16
y x (2) ? ?1 144 25
2 2

2

2

答:在 X 轴。(-5,0)和(5,0)

答:在 y 轴。(0,-13)和(0,13)

判断双曲线的焦点在哪个轴上的准则:
哪个系数是正的,它对应的字母(x或y)就是焦点 所在轴。

x

例1: 已知双曲线两个焦点分别为 F1 (?5,0), F2 (5,0) , 双曲线上一点P到 F1 , F2 距离差的 绝对值等于6,
求:双曲线的标准方程

.

解:因为双曲线的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为

x2 y2 ? 2 ? 1 ?a ? 0, b ? 0? 2 a b 因为2a ? 6,2c ? 10, 所以a ? 3, c ? 5,
b ? c ? a ? 25 ? 9 ? 16
2 2 2

因此,双曲线的标准方程为

求双曲线的标准方程的关键: 1.确定焦点在那条轴上。 2.求出a,b的值。 先定型,后定量。

判断下列方程是否表示双曲线?若是,求出

a , b, c及焦点坐标。

x2 y2 ?1? ? ? 1 4 2 x2 y2 ?3? ? ? ?1 4 2
答案:

x2 y2 ?2? ? ? 1 2 2 x2 y2 ?4? ? ? 1(m ? 0, n ? 0) m n
(? 6,0).( 6,0)
(?2,0).(2,0)

题后反思:

?1?a ? 2, b ? 2, c ? 6 ?2?a ? 2, b ? 2, c ? 2 ?3?a ? 2, b ? 2, c ? 6

(0, 6 ).(0,? 6 )

先把非标准方程 化成标准方程, 再判断焦点所在 的坐标轴。

?4?a ?

m , b ? n , c ? m ? n ( m ? n ,0).(? m ? n ,0)

双曲线与椭圆之间的区别与联系

定义



双曲线
||MF1|-|MF2||=2a
x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b y 2 x2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b

|MF1|+|MF2|=2a
x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b y 2 x2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

方程

焦点

F(±c,0)

F(±c,0)

F(0,±c)
a.b.c的关系

F(0,±c)
a>0,b>0,但a不一 定大于b,c2=a2+b2

a>b>0,a2=b2+c2

双曲线的定义

双曲线的标准方程

应用

48页练习1


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