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一个新的基本母不等式及其应用


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2 0 0 4年第 2 1 期 

数 学 通 讯 

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个新的基本母不等式及其应用 
吴国胜  
( 四 川 师 范 大 学 学 前 教 育 学 院 , 成 都 6 1 0 0 2 1 )   >  
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中图分类号 : 0 1 2 2 . 3  

文献标识码: A  

文章编号: 0 4 8 8 — 7 3 9 5 ( 2 0 0 4 ) 2 1 —0 0 2 5 — 0 2  

本文建构的一个新的基本母不等式. 它的应用   十分广泛, 可生成大量的 新不等式和已知不等式, 特  别是由 它获得了平面一般 ( ≥3 ) 边形中的母不等  式. 它的力学背景是平面汇交力系合成的几何法 ( 力  多 边形法则) 和解析法( 合力投影定理) .   1 基本母不等式 
定理 1 设 T1 , 丁 2 , …,   , a l , a 2 , …,   ∈R,  

B,  

一C, 可得 
≥2 T l   T 2 e o s A +2 7 " 2 T 3 e o s B一2 T 3 T 1  

∑ 

? c o s ( A+B )   ( 5 )   ∑  ≥ 2 T l   7 " 2 e o s A + 2 丁 2   T 3 c o s B +   2 丁 3   T 4 c o s C一2 T l   T 3 c o s ( A +B) 一2 7 " 2   T 4 c o s ( B+   C ) + 2 T l T 4 c o s ( A+B+C )   ( 6 )  

n ∈N , 则有 

若 作 变 换A 一 号+ A , B 一 号+ B ,   号+ c ,  
可得  ∑  ≥2 T l T 2 s i n A +2 丁 2 T 3 s i n B +2 T 3 Tl  

备  ≥ 一 。 ≤ 荟   2 T , T j m s (   一   ) ?  
证 设 =Tl   C O S t / l +T 2 C O S t / 2 +… +   C O S t /  
Y=T1   s i n a l +T2 s i n a 2 +… +   s l n a  

由   + Y   ≥0即可得定理 1 .  

? c o s ( A+B )   ( 7 )   ∑  ≥ 2 Tl T 2 s i n A + 2 T z T 3 s i n B +   2 丁 3   T 4 s i n C+2 T l   T 3 c 0 s ( A+B) +2 T 2   T 4 c o s ( B+   C ) 一 2 T l T 4 s i n ( A+B+C )   ( 8 )  

文[ 1 ] ~[ 6 ] 中的三角形中的母不等式及相关的   不等式仅是本文所给基本母不等式的特款.   2  J l = 3 , 4 之情形  ∑T   ≥ 一2 T l T 2 c o s ( a l —a 2 ) 一2 T 2 T 3 o 0 s ( a 2  
一a 3 ) 一 2 T 3 T l   c o s ( a 3 一a 1 )   ( 1 )   ∑  ≥ 一2 T l   T 2 c o s ( a l —a 2 ) 一2 T l   T 3 c o s ( a l   一口 3 ) 一 2 T l   T 4 c o s ( 口 l 一口 4 ) 一 2 T 2 T 3 c o s ( 口 2 一口 3 ) 一   2 T 2   T 4 c o s ( a 2 一a 4 ) 一 2 T 3   T 4 c o s ( a 3 一a 4 )   3 应用举例  ( 2 )  

若 作 变 换 A 一 号一 A , B 一 号一 B , c 一 号一 C ,  
可得  ∑  ∑  ≥ 一2 Tl 丁 2 s i n A 一2 7 " 2   T 3 s i n B+  

2 丁 3 Tl   c o s ( A十B)  

( 9 )  

≥ 一2 T l   T 2   s i n A 一2 7 " 2   T 3 s i n B 一  

2 丁 3   T 4 s l n C+2 T l   T 3 c 0 s ( A +B) +2 T 2   T 4 c o s ( B+   C) +2 T l   T 4 c o s ( A+B+C)   ( 1 0 )   3 . 3 等价变形  由( 3 ) , ( 4 ) 变形 、 变换可得  ( ∑  )  ≥ 4 T l   T 2 s i n  ̄ A +4 丁 2   T 3 s . n 2 B+   4 丁 3 Tl   s i n z ( A+B )   ( ∑  ( 1 1 )   ) 。≥ 4 T l   T 2 s l r  ̄ A +4 丁 2   T 3 s m . 2 B+   ( 1 2 )  

3 . 1 等价变形 

作变换 A=a l 一 口 2 , B=a 2 一a 3 , C=a 3 一a 4 ,  
由( 1 ) , ( 2 ) 可得  ∑  ≥ 一2 Tl 丁 2   c o s A 一2 丁 2   T 3 e o s B一   2 丁 3 T l   c o s ( A+B)  
∑ 

( 3 )  

≥ 一2 T l   T 2 e o s A 一2 丁 2   T 3 e o s B一  

4 丁 3 丁 4 s i n   C+4 T l   T 3 s i n   ( A+B) +4  T , s i n z ( B   +C ) +4 Tl   T 4 s i n   ( A+B+C )  

2 丁 3 T 4 e o s C一2 T l   T 3   c o s ( A +B) 一2 T 2 T 4 c o s ( B+   C ) 一 2 T l   T 4 c o s ( A+B+C )   ( 4 )  

由( 5 ) 变换可得 

3 . 2 等价变形 

对( 3 ) , ( 4 ) 两式, 若作变换 A 一 一A, B 一 一  

x m s A + y c o s B — z e o s ( A + B ) ≤ 告 (  + y z   +  

收稿 日 期: 2 0 0 7 —0 7 —1 2  

作者简介: 吴国胜( 1 9 6 2 -) , 男, 苗族, 重庆秀山县人, 高级讲师, 学士.  

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数 学 通 讯 

2 0 0 4 年第 2 1 期 

壁 

( 1 3 )  

+s i n 2 C s i n 2 As i n 2 C   ≤ 

( 2 2 )  

其中, . z - y z > 0 . 若x y z <0 , 则不等号反向.   3 . 4 获得代数不等式 

若△ 3 C c o AA, 日   C   ,  ̄ J l ( 2 2 ) 即为 
s i n 4 As i n 2 B+s i n  ̄ B s i n 2 c+s  c s i l 1 2 A≤  ( 2 3 )  

令A = B : 要, 由 ( 5 ) 可 得熟 知的 不 等式  
砰+   +   ≥T 1   T 2 +T 2   T 3 +T 3   T 1 .  
3 . 5 获得无约束三角函数不等式  令T 3 =A T   =  T 2 SO , 由( 5 ) 可得  o o s A+  [ ∞ 6 B 一 ∞ 6 ( A+ B ) ] ≤1 +   令T 。 =   =   =L≠0 , 由( 6 ) 可得 
o 0 s A+o 0 s B+o 0 s C—o 0 s ( A+B) 一o 0 s ( 且+C)   +∞ 6 ( A+B+C) ≤2   ( 1 5 )  
^  

若△ 3 C C o AB   C , A   , 则( 2 2 ) 即为熟知不等式 
  s i n As . 1 n 廿 . s .. m L / /    - 3 — 43
i  
o 

( 1 4 )  

令T 1 = o 0 s 口 o 0 s   , T 2 =o 0 s 口  p , T s =s i n a , 由  
( 5 ) 可得  ∞S 2 a s i n 2 l f o o s A +s i n 2 a d m l f ms B —s i n 2 a o o s l f   ? o o  ̄ ( A+B ) ≤1   ( 1 6 )   令T 1 =s i d口 , T 2 =s i n  , T s :S i l 1 2 ( 口+p ) , 由  ( 1 1 ) 可得  s i d口 s i n 2 p s i n 2 A+S i n 2  i n 2 ( 口+ p) s i n 2 B+  

3 . 8 . 2 平面一般 ( ≥3 ) 边形中的母不等式  应用定理 1 可 彻底解决文[ 3 ] 中未完美解决的   平面一般 ( ≥3 ) 边形中的母不等式问题.   令忌 =1 , A, B, C 为三角 形 三 内角 , 则( 1 8 ) ,   ( 1 9 ) , 即 成为文[ 1 ] ~[ 4 ] 中的三角形的母不等式.   令 A+ B+C + D= 2 7 c , 忌 ∈Z , 由( 4 ) , ( 6 ) , ( 8 ) ,   ( 1 0 ) 可得 
∑  2  


≥ 一2 T 1   T 2 e o s  ̄, 一2 7 " 2   T 3 e o s k B一   ( 2 4 )  

e o s k C一2 T 】 T 4 c o s k D 一2 T 1   T 3 e o s k ( A +B)   ∑  ≥ 2 T 1   T 2 o o s k A + 2 7 " 2   T s o o s k B +   ( 2 5 )   +2 T 2   T 3 s i n k B +   ( 2 6 )  

2   T 2   T 4 e o s k ( B+C )  

2 T 3   T 4 o o s k C+2 T 1   T 4 e o s k D 一2 T 1   T 3 e o s k ( A+B)  


s   ( a +  ̄ ) s i d a s i d ( A + B ) ≤ 器  
∑  2 T 3   T 1   c o s C  

( 1 7 )  

2   T 2   T 4 e o s k ( B+C )   ∑  ≥ 2 T 1   7 " 2  

3 . 6 获得有约束三角函数不等式  令 A+B+C=( 2 k 一1 ) 7 f , k ∈Z , 由( 5 ) 可得 
≥ 2 T 1   7 " 2 c o s A + 2 T 2   T s c o s B +   ( 1 8 )  

2  7 " 4 s i n k C+2 T 1   s i n k / ) +2 T l   7 5 c o s k( A +B)   + 2   T 2   T 4 e o s k ( B+C )   ’   ∑  ≥ 一2 T 1   T 2 s i n k A 一2 T 2   T s s i n 肥 一   ( 2 7 )  

令 A+B+C=7 f , 忌 ∈Z , 由( 5 ) 可得 
∑  ≥ } 2 T 1   T 2 c o s ( 2 k一1 ) A+ 2 T 2   T s c o s ( 2 k 一   1 ) B+ 2 T s T 1   c o s ( 2 k一1 ) C   ( 1 9 )  

2   T 3 T 4 s i n k C一2 T 1 T 4 s i n k D +2 T 1 T s e o s k ( A +B)   + 2   T 2   T 4 e o s k ( B+C )  

3 . 7 获得有趣的同向 不等式相乘  注意到 T   , T 2 , T 3 的任意性, 作轮换, 由( 5 ) 可 

若再限定 A, B, C , D为平面一般四边形( 凸或   凹) 的四个内角 , 则( 2 4 ) -( 2 7 ) 即为平面一般四边形  中的 母不等式. 由此可进一步发现大量新颖优美的   几何不等式.   限于篇隔, 不再赘述 . 定理 1 的诸多更深入 的应  用结果已另分别成文予以论述 .  
参考文献 :  
[ 1 ] 匡继昌? 常用不等式? 第2 版. 长沙: 湖南教育出版社,  
1 9 9 3 . 2 7 5 .  

另得两式, 将这三式相加可得两同向不等式相乘的  
结果:   ( T 1   T 2 +T 2   T 3 +T 3 T 1 ) [ c o s A+c o s B一 ∞ 6 ( A  

+ B ) ] ≤  ∑ 

.  

3 . 8 用于几何不等式研究   3 . 8 . 1 涉及两个三角形的不等式  应用( 5 ) , ( 1 1 ) 可知: 在△  3 C与A, 日   C   之间成  立不等式 :  
s i n As i n Bc o s A  +s i n Bs i n Ce o s B  

[ 2 ] 杨之? 初等数学研究的问题与课题. 长沙: 湖南教育出  
版社 , 1 9 9 3 . 6 , 3 1 8 .  

[ 3 ] 杨世明? 中国初等数学研究文集. 郑州: 河南教育出版  
社, 1 9 9 2 . 1 2 , 8 7 0 .  

+ s i n C s i n A c o s C   ≤÷ 
m s Ams B s i r  ̄ A   +ms B m s C s i  ̄B  

( 2 0 )  

[ 4 ] 蒋明 斌等? 征解问题4 3 解答. 数学通讯, 1 9 9 1 ( 6 ) 4 0 .   [ 5 ] 李炯生, 黄国勋? 中国初等数学研究. 上海: 科学技术  
文南出版社, 1 9 8 9 . 8 3 ~1 1 2 .   [ 6 ]O . B o t t e r n a 等. 几何不等 式 单蹲译. 北京: 北京大学出   版社, 1 9 9 1  

+ m s C e o s A s i l 1 2 c   ≤ 素  
s i dAs i n 2 B s i n 2 A   +s i dB s i n 2 C s i n 2 B  

( 2 1 )  


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