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函数图像知识讲解


一.函数图像的三种变换 (1)平移变换. y=f(x)的图像向左平移 a(a>0)个单位,得到 y=f(x+a)的图像; y=f(x-b)(b>0)的图像可由 y=f(x)的图像向右平移 b 个单位而得到; y=f(x)的图像向下平移 b(b>0)个单位,得到 y=f(x)-b 的图像; y=f(x)+b(b>0)的图像可由 y=f(x)的图像向上平移 b

个单位而得到. 总之,对于平移变换,记忆口诀为:左加右减,上加下减. (2)对称变换. y=f(-x)与 y=f(x)的图像关于 y 轴对称; y=-f(x)与 y=f(x)的图像关于 x 轴对称; y=-f(-x)与 y=f(x)的图像关于原点对称; y=|f(x)|的图像可将 y=f(x)的图像在 x 轴下方的部分折到 x 轴上方,其余部分不变而得到; y=f(|x|)的图像可先作出 y=f(x)当 x≥0 时的图像,再作关于 y 轴的对称. (3)伸缩变换. 1 y=f(ax)(a>0)的图像,可将 y=f(x)的图像上所有点的横坐标变为原来的 倍,纵坐标不变而得到. a y=af(x)的图像,可将 y=f(x)的图像上所有点的横坐标不变,纵坐标变为原来的 a 倍. 二.几个重要结论 (1)若 f(m+x)=f(m-x)恒成立,则 y=f(x)的图像关于直线 x=m 对称. (2)设函数 y=f(x)定义在实数集上,则函数 y=f(x-m)与 y=f(m-x)(m>0)的图像关于直线 x=m 对称. a+b (3)若 f(a+x)=f(b-x),对任意 x∈R 恒成立,则 y=f(x)的图像关于 x= 对称. 2 b-a (4)函数 y=f(a+x)与函数 y=f(b-x)的图像关于 x= 对称. 2 三.画函数图像的一般方法有: (1)直接法:当函数表达式(或变形后的表达式)是基本函数或函数图像是解析几何中熟悉的曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线的一部分)时,就可根据这些函数或 曲线的特征直接作出. (2)图像变换法:若函数图像可由某个基本函数的图像经过平移、翻折、对称得到,可利用图像变换作出,但要注意变换顺序,对不能直接找到基本函数的要先变 形,并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响. (3)描点法:当上面两种方法都失效时,则可采用描点法,为了通过描少量点,就能得到比较准确的图像,常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论. 四.对于给定函数的图像,要能从图像的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性、周期性,注意图像 与函数解析式中参数的关系,常用的方法有: (1)定性分析法:通过对问题进行定性的分析,从而得出图像的上升(或下降)的趋势,利用这一特征分析解决问题. (2)定量计算法:通过定量的计算来分析解决问题. (3)函数模型法:由所提供的图像特征,联想相关函数模型,利用这一函数模型来分析解决问题.


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