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高三第一轮复习 等比数列教案


高三第一轮复习 《数列》5.3 等比数列
一、考点分布 1. 等比数列的概念(B) 2. 等比数列的通项公式与前 n 项和的公式(C) 二、考试要求 1. 理解等比数列的概念; 2. 掌握等比数列的通项公式与前 n 项和的公式 3. 能在具体问题情境中识别数列的等比关系,并能有关知识解决问题; 4. 了解等比数列与指数函数的关系. 三、重点与难点 1. 熟练运用等比数列

的通项公式求解问题是复习重点; 2. 判断或证明数列的等比关系是复习的难点. 四、复习过程 1. 知识梳理 等差数列 等比数列 定义 an ?1 ? q 或 an?12 ? an an?2 an
注意; an ? 0, q ? 0.

通项公式 前 n 项和公式

an ? a1qn?1 ? amqn?m (离散型指数函数)
?na1 , q ? 1, ? S n ? ? a1 (1 ? q n ) 注意 q 含字母讨论 , q ? 1. ? 1? q ?
若 m ? n ? s ? t (m, n, s, t ? N ) ,
*

简单性质

则 am ? an ? as ? at .

2. 基础练习 (1)在等比数列 {an } 中,已知 a3 ? 1, S3 ?
提示:-8

3 ,则 a6 ? __________. 4

方法一:基本量法列出 a1 , d 方程组;方法二:求和公式

(2)在等比数列 {an } 中,已知 S1 , 2 S 2 , 3S3 成等差数列,则公比 q =_________. 提示:由题意,得 4(a1 ? a1q) ? a1 ? 3(a1 ? a1q ? a1q2 ) ,故 q(3q ? 1) ? 0 .
又 q ? 0 ,所以 q ?

1 . 3

说明:等比数列通项公式与和 Sn 之间的联系,注意 an ? 0, q ? 0. (3)已知数列 {an } 是等比数列,且 an >0 , n ? N* , a3a5 ? 2a4a6 ? a5a7 ? 81 ,则

a4 ? a6 ? 9 .
(4)设 f (n) ? 2 ? 24 ? 27 ? 210 ?
(A)

? 23n?10 (n ? N ) ,则 f (n) 等于

2 n 2 n ?1 2 n ?3 2 n?4 (8 ? 1) (B) (8 ? 1) (C) (8 ? 1) (D) (8 ? 1) 7 7 7 7 3. 典型例题 例 1.(1) 若等比数列{an}的公比 q<0,前 n 项和为 Sn,则 S2a3 与 S3a2 的大小关系是
(A) S2a3>S3a2 (B) S2a3<S3a2 (C) S2a3= S3a2 (D)不确定

(2) 已知数列满足 a1=1, an+1=2an+3(n∈N*), 则{an}的通项公式为_______. 例 2.若数列 {an } {bn}满足 : a1 ? 1, a2 ? a(a为常数), 且bn ? an ? an?1 (n ? 1,2,3, ???). (Ⅰ)若{an}是等比数列,试求数列{bn}的前 n 项和 Sn 的公式; (Ⅱ)当{bn}是等比数列时,甲同学说:{an}一定是等比数列;乙同学说: {an}一定不是等比数列.你认为他们的说法是否正确?为什么? 解: (1)因为{an}是等比数列 a1=1,a2=a.∴a≠0,an=an-1. 又 bn ? an ? an?1 ,

bn?1 an?1 ? an?2 an?2 a n?1 则b1 ? a1 ? a2 ? a, ? ? ? n?1 ? a 2 , bn an ? an?1 an a
即 {bn } 是以 a 为首项, a2 为公比的等比数列.
?na ? ? Sn ? ? a(1 ? a 2 n ) ? ? 1 ? a2 (| a |? 1), (| a |? 1).

(II)甲、乙两个同学的说法都不正确,理由如下: 设{bn}的公比为 q,则
bn?1 an?1an? 2 an? 2 ? ? ? q且a ? 0 bn an an?1 an

又 a1=1,a2=a, a1, a3, a5,…,a2n-1,…是以 1 为首项,q 为公比的等比数列; 而 a2, a4, a6, …, a2n , …是以 a 为首项,q 为公比的等比数列, 即{an}为:1,a, q, aq , q2, aq2, …. 当 q=a2 时,{an}是等比数列;当 q≠a2 时,{an}不是等比数列. 1 例 3. 数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1=1, an ?1 ? S n ,n=1,2,3,??, 3 求 (I)a2,a3,a4 的值及数列{an}的通项公式; (II) a1 ? a3 ? a5 ?

? a2n?1 的值.

解: (Ⅰ )由 a1 ? 1, a n ?1 ?

1 1 1 1 S n , n ? 1,2,3, ? , 得 a 2 ? S1 ? a1 ? . 3 3 3 3 1 1 4 a3 ? S 2 ? (a1 ? a2 ) ? , 3 3 9 1 1 16 a4 ? S3 ? (a1 ? a2 ? a3 ) ? . 3 3 27 1 1 由an?1 ? an ? ( S n ? S n?1 ) ? an (n ? 2), 3 3 4 得an?1 ? an ,(n ? 2), 3 1 1 4 又a2 ? , 所以an ? ( ) n?2 (n ? 2). 3 3 3 n ? 1, ?1, ? 所以, 数列{an }的通项公式为an ? ? 1 4 n?2 ( ) , n ? 2. ? ?3 3 4 9 4 2 ) 的等比数列, 3

(Ⅱ )由(I)可知 a3,a3,…,a2n-1,是首项为 , 公比为(

所以 a1 ? a3 ? a5 ?

16 1 ? ( )n?1 4 3 4 16 9 ? a2 n?1 ? 1 ? ? ? ? ( ) n?1. 9 1 ? ( 4 )2 7 7 9 3
1

? a n为 偶 数 1 ? 2 n 例 4. (备选)设数列{an}的首项 a1=a≠ ,且 a ? ? , ? n ?1 4 1 ? ? ? an ? 4 n为 奇 数

1 ,n==l,2,3,?· . 4 (I)求 a2,a3; (II)判断数列{bn}是否为等比数列,并证明你的结论;

记 bn ? a2 n ?1 ?

4. 规律总结: ①深刻理解等比数列的定义,紧扣“从第二项起”和“比是同一常数” ,特 别注意 an ? 0, q ? 0. ②判断或证明等比数列的两种思路: 利用定义,证明
an ?1 ? q 为常数; an

利用等比中项,证明 an?12 ? an an?2 对 n ? N* 成立. ③方程思想:在 a1 , an , q, Sn , n 五个两种,运用待定系数法“知三求二” ;

函数思想与分类讨论:当 a1>0, q>1 或 a1< 0, 0< q<1 时为递增数列;
当 a1< 0, q>1 或 a1>0,0<q<1 时为递减数列; 当 q<0 时为摆动数列; 当 q=1 时为常数列. ④掌握等比数列的有关性质: 若 {an } 是公比为 q 等比数列,则 {kan }, {an }, {
2

1 },{a2m},{ a3m ?1} 等还成等比数列, an

公比分别是 kq, q ,

2

1 2 3 , q , q ,其中为非零常数. q

若 m ? n ? s ? t (m, n, s, t ? N * ) ,则 am ? an ? as ? at .

5. 课外作业:海淀总复习检测 P46 5.3 等比数列

每课作业
1.选择题 (1)等比数列 ?an ? 的各项都是正数,若 a1 ? 81 , a5 ? 16 ,则它的前 5 项和是 ( )

(A)179 (B)211 (C)243 (D)275 30 (2)设{an}是由正数组成的等比数列, 公比 q=2, 且 a1· a2· a3· ?· a30=2 , 那么 a3· a6· a9· ?· a30 等于( ) 10 (A)2 (B)220 (C)216 (D)215 (3) 给定正数 p,q,a,b,c,其中 p?q,若 p,a,q 成等比数列,p,b,c,q 成等差数列, 则一元二次程 bx2-2ax+c=0( (A)无实数根 (C)有两个同号的相异的实数根 ) (B)有两个相等的实数根 (D)有两个异号的相异的实数根

2.填空题 (4)一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列,其最小内角是__________. (5)在

1 和 n ? 1 之间插入 n 个正数,使这 n ? 2 个正数成等比数列,则插入的 n 个正数之积为 n

_________. (6)一张报纸, 其厚度为 a , 面积为 b .现将报纸对折(即沿对边中点点连线折叠)7 次,报纸的厚 度为_______,报纸的面积为 . 3.解答题 (7)在数列 ?an ? 中,已知 a1 ? a2 ? ? ? an ? 2 n ? 1,求数列 {an 2 } 前 n 项的和. (8)三个互不相等的数成等差数列,如果适当排列这三个数,也可成等比数列,已知这三个 数的和等于 6,求此三个数.

, 2, 3, ) (9)数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , an?1 ? an ? cn ( c 是常数, n ? 1 ,且 a1,a2,a3 成公比
不为 1 的等比数列. (I)求 c 的值; (II)求 ?an ? 的通项公式.

参考答案
(1) B (2)B (3)A

π ,则 A 与 B 互余且 A 为最小内角.又由已知得 sin2B=sinA,即 2 5 ?1 ? 5 ?1 cos2A=sinA , 1- sin2A=sinA ,解之得 sinA= 或 sinA= (舍) .故最小内角是 2 2
(4)设 Rt△ABC 中,C=

arcsin

5 ?1 . 2
n ?1 n )2 n

(5)(5) (

(6) 128a

b 128 1 3
n

(7)解:由由已知得 an ? 2 n?1 , 所以数列 {an 2 } 前 n 项的和为 (4 ? 1) (8)解:设三个数分别为 a-d,a,a+d 三个数分别为 2-d,2,2+d 当(2-d)2=2(2+d)时, 当(2+d)2=2(2-d)时, 则 (a-d)+a+(a+d)=3a=6 a=2

∵它们互不相等 ∴分以下两种情况:

d=6 三个数分别为-4,2,8 d=-6 三个数分别为 8,2,-4

因此,三个数分别为-4,2,8 或 8,2,-4 (9)(I) a1 ? 2 , a2 ? 2 ? c , a3 ? 2 ? 3c , 因为 a1 , a2 , a3 成等比数列, 所以 (2 ? c) ? 2(2 ? 3c) ,
2

解得 c ? 0 或 c ? 2 . 当 c ? 0 时, a1 ? a2 ? a3 ,不符合题意舍去,故 c ? 2 . (II)当 n ≥ 2 时,由于

a2 ? a1 ? c , a3 ? a2 ? 2c , an ? an?1 ? (n ?1)c ,
所以 an ? a1 ? [1 ? 2 ?

? (n ? 1)]c ?

n(n ? 1) c. 2

又 a1 ? 2 , c ? 2 ,故 an ? 2 ? n(n ?1) ? n2 ? n ? 2(n ? 2, 3, ) . 当 n ? 1 时,上式也成立, 所以 an ? n2 ? n ? 2(n ? 1 , 2, ) .


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