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高二数学理科复习笔记-排列组合


排列组合题型总结
排列组合问题千变万化,解法灵活,条件隐晦,思维抽象,难以找到解题的突破口。因而在求解排列 组合应用题时,除做到:排列组合分清,加乘原理辩明,避免重复遗漏外,还应注意积累排列组合问题得 以快速准确求解。 一.直接法 1. 特殊元素法 例 1 用 1,2,3,4,5,6 这 6 个数字组成无重复的四位数,试求满足下列条件的四位数各有多少个 (1)数字 1

不排在个位和千位 (2)数字 1 不在个位,数字 6 不在千位。
2 2 分析:1) ( 个位和千位有 5 个数字可供选择 A5 , 其余 2 位有四个可供选择 A4 , 由乘法原理: 5 A4 =240 A2 2

2.特殊位置法
1 1 2 3 (2) 1 在千位时余下三位有 A5 =60, 不在千位时, 当 1 千位有 A4 种选法, 个位有 A4 种, 余下的有 A4 , 1 1 2

共有 A4 A4 A4 =192 所以总共有 192+60=252
4 3 2 二.间接法 当直接法求解类别比较大时,应采用间接法。如上例中(2)可用间接法 A6 ? 2 A5 ? A4 =252

例 2 有五张卡片,它的正反面分别写 0 与 1,2 与 3,4 与 5,6 与 7,8 与 9,将它们任意三张并排 放在一起组成三位数,共可组成多少个不同的三维书? 分析:此例正面求解需考虑 0 与 1 卡片用与不用,且用此卡片又分使用 0 与使用 1,类别较复杂,因
3 3 而可使用间接计算:任取三张卡片可以组成不同的三位数 C5 ? 23 ? A3 个,其中 0 在百位的有
2 2 2 2 3 3 C4 ? 2 2 ? A2 个,这是不合题意的。故共可组成不同的三位数 C5 ? 23 ? A3 - C4 ? 2 2 ? A2 =432

(个) 三.插空法 当需排元素中有不能相邻的元素时,宜用插空法。 例3 在一个含有 8 个节目的节目单中,临时插入两个歌唱节目,且保持原节目顺序,有多少中插 入方法?
1 1 分析:原有的 8 个节目中含有 9 个空档,插入一个节目后,空档变为 10 个,故有 A9 ? A10 =100 中

插入方法。 四.捆绑法 当需排元素中有必须相邻的元素时,宜用捆绑法。 例4 4 名男生和 3 名女生共坐一排,男生必须排在一起的坐法有多少种? 分析:先将男生捆绑在一起看成一个大元素与女生全排列有 A4 种排法,而男生之间又有 A4 种排法, 又乘法原理满足条件的排法有: A4 × A4 =576 练习 1.四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中,若使每个盒子不空,则不同的放法有
2 3 ( C4 A3 )
4 4 4 4



2. 某市植物园要在 30 天内接待 20 所学校的学生参观,但每天只能安排一所学校,其中有一所学校
1 19 人数较多,要安排连续参观 2 天,其余只参观一天,则植物园 30 天内不同的安排方法有( C29 ? A28 ) (注

1 意连续参观 2 天,即需把 30 天种的连续两天捆绑看成一天作为一个整体来选有 C 29 其余的就是 19 所学校

选 28 天进行排列) 五.阁板法 名额分配或相同物品的分配问题,适宜采阁板用法 例 5 某校准备组建一个由 12 人组成篮球队,这 12 个人由 8 个班的学生组成,每班至少一人,名额分 配方案共 种 。 分析:此例的实质是 12 个名额分配给 8 个班,每班至少一个名额,可在 12 个名额种的 11 个空当中插
7 入 7 块闸板,一种插法对应一种名额的分配方式,故有 C11 种

练习 1.(a+b+c+d) 有多少项?
1 1 0 当项中只有一个字母时,有 C 4 种(即 a.b.c.d 而指数只有 15 故 C4 ? C14 。

15

当项中有 2 个字母时, C 4 而指数和为 15, 有 即将 15 分配给 2 个字母时, 如何分, 闸板法一分为 2, 14 C 即 C 4 C14 当项中有 3 个字母时 C 4 指数 15 分给 3 个字母分三组即可 C4 C14 当项种 4 个字母都在时 C4 ? C14
4 3 3 3 2 2 1

2

1

四者都相加即可.

练习 2.有 20 个不加区别的小球放入编号为 1,2,3 的三个盒子里,要求每个盒子内的球数不少编号
2 数,问有多少种不同的方法?( C16 ) 49 3.不定方程 X1+X2+X3+?+X50=100 中不同的整数解有( C 99 )

六.平均分堆问题 例 6

6 本不同的书平均分成三堆,有多少种不同的方法?

3 分析:分出三堆书(a1,a2),(a3,a4), 5,a6)由顺序不同可以有 A3 =6 种,而这 6 种分法只算一种分 (a
2 2 2 C6 C 4 C 2 =15 种 3 A3

堆方式,故 6 本不同的书平均分成三堆方式有

练习:1.6 本书分三份,2 份 1 本,1 份 4 本,则有不同分法? 2.某年级 6 个班的数学课,分配给甲乙丙三名数学教师任教,每人教两个班,则分派方法的种数。 七. 合并单元格解决染色问题 例 7 (全国卷(文、理) )如图 1,一个地区分为 5 个行政区域,现给地图着色,要求相邻区域不 得 使用同一颜色,现有四种颜色可供选择,则不同的着色方法共有 种(以数字作答) 。 分析:颜色相同的区域可能是 2、3、4、5. 下面分情况讨论: (ⅰ)当 2、4 颜色相同且 3、5 颜色不同时,将 2、4 合并成一个单元格,此时不同的着色方法相当于 4 个元素 ①③⑤的全排列数

A

4 4
2,4

(ⅱ)当 2、4 颜色不同且 3、5 颜色相同时,与情形(ⅰ)类似同理可得

A

4 4

种着色法.

(ⅲ)当 2、4 与 3、5 分别同色时,将 2、4;3、5 分别合并,这样仅有三个单元格
2,4

3,5

① 从 4 种颜色中选 3 种来着色这三个单元格,计有 由加法原理知:不同着色方法共有 2 练习 1(天津卷(文) )将 3 种作物种植 1 2 3 4 5
4 4

C ? A 种方法.
3 3 3 4 3 3 3 4

A ? C A =48+24=72(种)

在如图的 5 块试验田里,每快种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物 , 不同的种植方法共 种(以数字作答) (72) 2. (江苏、辽宁、天津卷(理) )某城市中心广场建造一个花圃,花圃 6 分为个部分(如图 3) ,现要栽 种 4 种颜色的花,每部分栽种一种且相邻部分不能栽种 同一样颜色的话,不同的栽种方法有 种(以 数字作答)(120) .
5 6 2 1 3 4

B A C D E

图3 图4 3.如图 4,用不同的 5 种颜色分别为 ABCDE 五部分着色,相邻部分不能用同一颜色,但同一种颜色可以 反复使用也可以不用,则符合这种要求的不同着色种数. (540) 4.如图 5:四个区域坐定 4 个单位的人,有四种不同颜色的服装,每个单位的观众必须穿同种颜色的服 装,且相邻两区域的颜色不同,不相邻区域颜色相同,不相邻区域颜色相同与否不受限制,那么不同的着 A 色方法是 种(84)
4 1 2 3

B C D

E

图5 图6 5.将一四棱锥(图 6)的每个顶点染一种颜色,并使同一条棱的两端点异色,若只有五种颜色可供使用, 则不同的染色方法共 种(420) 八.递推法 例八 一楼梯共 10 级, 如果规定每次只能跨上一级或两级, 要走上这 10 级楼梯, 共有多少种不同的走法? 分析:设上 n 级楼梯的走法为 an 种,易知 a1=1,a2=2,当 n≥2 时,上 n 级楼梯的走法可分两类:第一类: 是最后一步跨一级,有 an-1 种走法,第二类是最后一步跨两级,有 an-2 种走法,由加法原理知:an=an-1+ an-2, 据此, 3=a1+a2=3,a4=a#+a2=5,a5=a4+a3=8,a6=13,a7=21,a8=34,a9=55,a10=89.故走上 10 级楼梯共有 89 种不同的 a 方法。 九.几何问题 1.四面体的一个顶点位 A,从其它顶点与各棱中点取 3 个点,使它们和点 A 在同一平面上,不同的取法有
3 种(3 C5 +3=33)

2.四面体的棱中点和顶点共 10 个点(1)从中任取 3 个点确定一个平面,共能确定多少个平面?
3 3 ( C10 -4 C6 +4-3 C 4 +3-6C 4 +6+2×6=29)
3 3

(2)以这 10 个点为顶点,共能确定多少格凸棱锥? 三棱锥 C10 -4C6 -6C4 -3C4 =141 四棱锥 6×4×4=96 3 ×6=18 共有 114 十. 先选后排法 例 9 有甲乙丙三项任务,甲需 2 人承担,乙丙各需 1 人承担,从 10 人中选派 4 人承担这三项任务,不同的 选派方法有( ) A.1260 种 B.2025 种 C.2520 种 D.5054 种 分析:先从 10 人中选出 2 人 十一.用转换法解排列组合问题 例 10.某人连续射击 8 次有四次命中,其中有三次连续命中,按“中”与“不中”报告结果,不同的结 果有多少种. 解
2 把问题转化为四个相同的黑球与四个相同白球,其中只有三个黑球相邻的排列问题. A5 =20 种

4

4

4

4

例11. 个人参加秋游带 10 瓶饮料,每人至少带 1 瓶,一共有多少钟不同的带法. 解 把问题转化为 5 个相同的白球不相邻地插入已经排好的 10 个相同的黑球之间的 9 个空隙种的排列问
5 题. C9 =126 种

例 12 解 例13 解

从 1,2,3,?,1000 个自然数中任取 10 个不连续的自然数,有多少种不同的去法.
10 把稳体转化为 10 个相同的黑球与 990 个相同白球,其其中黑球不相邻的排列问题。 C991

某城市街道呈棋盘形,南北向大街 5 条,东西向大街 4 条,一人欲从西南角走到东北角,路程最 短的走法有多少种. 无论怎样走必须经过三横四纵,因此,把问题转化为 3 个相同的白球与四个相同的黑球的排列问

3 题. C7 =35(种)

例14 一个楼梯共 18 个台阶 12 步登完, 可一步登一个台阶也可一步登两个台阶, 一共有多少种不同的走 法. 解 根据题意要想 12 步登完只能 6 个一步登一个台阶,6 个一步登两个台阶,因此,把问题转化为 6 个 相同的黑球与 6 个相同的白球的排列问题. C12 =924(种) . 例15 求(a+b+c) 的展开式的项数. α β γ 解 展开使的项为 a b c ,且α +β +γ =10, 因此, 把问题转化为 2 个相同的黑球与 10 个相同的白球的排 列问题. C12 =66(种) 亚、欧乒乓球对抗赛,各队均有 5 名队员,按事先排好的顺序参加擂台赛,双方先由 1 号队员比 赛,负者淘汰,胜者再与负方 2 号队员比赛,直到一方全被淘汰为止,另一方获胜,形成一种比赛 过程.那么所有可能出现的比赛过程有多少种? 解 设亚洲队队员为 a1,a2,?,a5,欧洲队队员为 b1,b2,?,b5,下标表示事先排列的出场顺序,若以依 次被淘汰的队员为顺序.比赛过程转化为这 10 个字母互相穿插的一个排列,最后师胜队种步被淘汰的队 员和可能未参加参赛的队员,所以比赛过程可表示为 5 个相同的白球和 5 个相同黑球排列问题,比赛过程
6 的总数为 C10 =252(种)
2
10

6

例16

十二.转化命题法 例17 圆周上共有 15 个不同的点,过其中任意两点连一弦,这些弦在圆内的交点最多有多少各? 分析:因两弦在圆内若有一交点,则该交点对应于一个以两弦的四端点为顶点的圆内接四边形,则问题

4 化为圆周上的 15 个不同的点能构成多少个圆内接四边形, 因此这些现在圆内的交点最多有 C15 =1365 个) (

十三.概率法 例18 一天的课程表要排入语文、数学、物理、化学、英语、体育六节课,如果数学必须排在体育之前, 那么该天的课程表有多少种排法? 分析:在六节课的排列总数中,体育课排在数学之前与数学课排在体育之前的概率相等,均为 例所求的排法种数就是所有排法的

1 ,故本 2

1 1 ,即 A=360 种 2 2

十四.除序法 例 19 用 1,2,3,4,5,6,7 这七个数字组成没有重复数字的七位数中, (1)若偶数 2,4,6 次序一定,有多少个? (2)若偶数 2,4,6 次序一定,奇数 1,3,5,7 的次序也一定的有多少个?
7 A77 A7 解(1) 3 (2) 3 4 A3 A4 A3

十五.错位排列 例 20 同室四人各写一张贺卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的卡片,则不同的分配方法 有 种(9) 公式 1) an ? (n ? 1)(an?1 ? an?2 ) 2) an =n!(1n=4 时 a4=3(a3+a2)=9 种 即三个人有两种错排,两个人有一种错排.

1 1 1 n 1 + - +?+ ?? 1? 1! 2! 3! n!

练习 有五位客人参加宴会,他们把帽子放在衣帽寄放室内,宴会结束后每人戴了一顶帽子回家,回家 后,他们的妻子都发现他们戴了别人的帽子,问 5 位客人都不戴自己帽子的戴法有多少种?(44)


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