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1.2.1任意角的三角函数课件(一)


1.2.1任意角的三角函数
复习回顾
1、在初中我们是如何定义锐角三角函数的? P c
a

sin ? ?

O

?
b

cos? ?
tan ? ?

M

a c b c a b

新课

导入

2.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数?
P
a

O y

?
b

M

x

新课

导入

2.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数? 其中 : MP b sin ? ? ? OM ? a OP r MP ? b OM a cos ? ? ? 2 2 OP ? r ? a ? b OP r
y

﹒P?a, b?
?

MP b tan ? ? ? OM a

o


M

x

诱思

探究

如果改变点P在终边上的位置,这三个比值会改变吗?
y

P?
P(a,b)

?OMP ∽ ?OM ?P?
MP sin ? ? OP
OM cos ? ? OP


M

?
O

M?

x

MP tan ? ? OM

M ?P? ? OP? ? OM ? OP? M ?P? ? OM ?

3.锐角三角函数(在单位圆中)

若OP ? r ? 1 ,则
以原点O为圆心,以单位 长度为半径的圆,称为单位圆.
y

P(a, b)
1

MP sin ? ? OP
x

?b

?
o

M

OM cos ? ? OP

?a b MP tan ? ? ? OM a

2.任意角的三角函数定义
设 ? 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P( x, y)
那么:(1)y 叫做

? 的正弦,记作 sin ?,即 sin ? ? y ; (2)x 叫做? 的余弦,记作 cos? ,即 cos ? ? x ; y y tan ? ? 的正切,记作 ,即 tan ? ? ( x ? 0) (3) 叫做
x
x
y

﹒ ? P?x, y
?
O
A?1,0? x

所以,正弦,余弦,正切都 是以角为自变量,以单位圆上点 的坐标或坐标的比值为函数值的 函数,我们将他们称为三角函数. 使比值有意义的角的集合 即为三角函数的定义域.

? 的终边

y

说 明

P( x, y )
?

x
A(1,0)

o (1)正弦就是交点的纵坐标,余弦就是交点

正切就是 交点的纵坐标与 的横坐标,
横坐标的比值.

(2) 正弦、余弦总有意义.当
横坐标等于0,tan ? ?

y ? 无意义,此时 ? ? ? k? (k ? z ). x 2

? 的终边在 y 轴上时,点P 的

(3)由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系,

三角函数可以看成是自变量为实数的函数.

任意角的三角函数的定义过程:
直角三角形中定义锐角三角函数 sin ? ?
b a b , cos ? ? , tan ? ? r r a

直角坐标系中定义锐角三角函数 sin ? ?

b a b , cos ? ? , tan ? ? r r a

单位圆中定义锐角三角函数

b sin ? ? b, cos ? ? a, tan ? ? a
y sin ? ? y, cos ? ? x , tan ? ? x

单位圆中定义任意角的三角函数

实例
例1

剖析

求 5? 的正弦、余弦和正切值. 3 5? ,易知 ?AOB 解:在直角坐标系中,作 ?AOB ? 的终边与单位圆的交点坐标为


3



5? ? 3 ? 所以 sin 3 2 y
5? 3

o



A

x

﹒B

5? tan ?? 3 3 7? 5? 思考:若把角 改为 呢? 3 6 7? 1 sin ?? , 6 2 7? ? 3 cos ? , 6 2
5? 1 cos ? 3 2

1 ? 3 ( , ) 2 2

7? 3 tan ? 6 3

例2 已知角 ? 的终边经过点 P0 (?3,?4),求角 ? 的正弦、余 弦和正切值 . 解:由已知可得 设角 ? 的终边与单位圆交于 P( x, y) , M 0 P0 分别过点 P 、 P0 作 x 轴的垂线 MP、
OP0 ? (?3) 2 ? (?4) 2 ? 5
y

M0

M

M 0 P0 ? 4

OM0 ? 3 ?OMP ∽ ?OM 0 P0

OM ? ? x MP ? ? y

O
P ? x, y ?

x

P0 ?? 3,?4?

4 0 于是, sin ? ? y ? y ? ? | MP | ? ? M 0 P ?? ; 1 OP OP 5 0 OM 0 x ? OM 3 cos? ? x ? ? ?? ?? ; 1 OP OP 5 0 y sin ? 4 tan ? ? ? ? x cos ? 3

定义推广: 设角? 是一个任意角, P( x, y) 是终边上的任意一点,
点 P 与原点的距离 r ?

x2 ? y2 ? 0

y y 那么① 叫做 ? 的正弦,即 sin ? ? r r x x ? ② r 叫做 的余弦,即 cos ? ? r y y ③ x 叫做? 的正弦,即 tan ? ? ?x ? 0? x

任意角? 的三角函数值仅与 ? 有关,而与点 P 在角的 终边上的位置无关.

巩固


提高

练习 1、已知角

?

的终边过点

P?? 12,5? ,

?

的三个三角函数值.

解:由已知可得:

r? x ?y ?
2 2

??12?

2

? 52 ? 13

y 5 于是,sin ? ? ? r 13 y 5 tan ? ? ? ? x 12

x 12 cos ? ? ? ? r 13

2、已知角?的终边上一点P ? ?15a,8a ? ?a ? R且a ? 0?,

求角?的sin ? ,cos ? , tan ?的值.
解:由于x ? -15a, y ? 8a,
所以r ?

? ?15a ? ? ?8a ? ? 17 a ? a ? 0?
2 2

?1? 若a ? 0则r ? 17a, 于是
8a 8 ?15a 15 8a 8 sin ? ? ? , cos ? ? ? ? , tan ? ? ?? 17a 17 17a 17 ?15a 15

? 2? 若a ? 0则r ? -17a, 于是
8a 8 ?15a 15 8a 8 sin ? ? ? ? , cos ? ? ? , tan ? ? ?? ?17a 17 ?17 a 17 ?15a 15

3、已知角?的终边在直线y ? 2x上,求角?的sin ? ,cos ? , tan ?的值.

解: ?1?当角?的终边在第一象限时,
在角?的终边上取点?1, 2 ?,则r= 12 ? 22 ? 5
sin ? ? 2 2 5 1 5 2 ? ,cos ? ? ? , tan ? ? ? 2 5 5 1 5 5

? 2?当角?的终边在第三象限时,
在角?的终边上取点? ?1, ?2?,则r ?

? ?1? ? ? ?2? ? 5
2 2

sin ? ?

?2 2 5 ?1 5 ?2 ?? ,cos ? ? ?? , tan ? ? ?2 5 5 ?1 5 5




1.根据三角函数的定义,确定它们的定义域 (弧度制)
三角函数 定义域

cos ? tan ?

sin ?

R
? ? ? ? ? ? ? k ? ( k ? Z ) ? ? 2 ? ?

R

2.确定三角函数值在各象限的符号
y (+) + o x ( - )( - )
sin ?

y ( - )( + ) o x ( - )( + ) cos ?

y ( -) (+ ) o x ( +) ( - ) tan ?

例3 求证:当且仅当下列不等式组成立时,
角 ? 为第三象限角.
证明: 因为①式sin ? ? 0 成立,所以 ? 角的终边可能位于第三 或第四象限,也可能位于y 轴的非正半轴上; 又因为②式 tan ? ? 0 成立,所以角? 的终边可能位于 第一或第三象限.

?sin ? ? 0 ? ? tan ? ? 0

① ②

因为①②式都成立,所以角? 的终边只能位于第三象限. 于是角 ? 为第三象限角. 反过来请同学们自己证明.

如果两个角的终边相同,那么这两个角的

? 同一三角函数值有何关系?
终边相同的角的同一三角函数值相等(公式一)

sin( ? ? k ? 2? ) ? sin ? cos(? ? k ? 2? ) ? cos ? tan( ? ? k ? 2? ) ? tan ?
其中

k?z

利用公式一,可以把求任意角的三角函数值,转化为 求 0到2?

?或0?到360?? 角的三角函数值 .

例4 确定下列三角函数值的符号:

解: (1)因为 250 ? 是第三象限角,所以cos 250 ? ? 0 ;
(2)因为 tan(?672?) = tan(48? ? 2 ? 360?) ? tan48?, 而 48 ?是第一象限角,所以 tan(?672?) ? 0 ; ? ? ?? ? sin (3)因为 是第四象限角,所以 ? ? 4 ? ? 0 . ? ? 4

? ?? sin ? ? ? cos 250?(2)tan( ?672?)(3) ( 1) ? 4?

练习 确定下列三角函数值的符号 4? 17 16
cos

?

5

?

sin( ?

?

3

)

tan( ?

?

8

?)

例5 求下列三角函数值:

9? (1) cos 4

11? ) (2) tan( ? 6

9? ? ? 2 cos ? cos( ? 2? ) ? cos ? 解:(1) 4 4 4 2 11? ? ? ? 3 tan( ? ) ? tan( ? 2 ? ) ? tan ? tan ? (2) 6 6 6 6 3
练习 求下列三角函数值

19? tan ? 3

3

31? tan( ? )? 4

1

? 11? 练习:求值 cos ? ? ? 3

? ? 71? ? ? sin ? ? ? ? 6

? ? 19? ? ? ? tan ? ? 3 ? ? ?

? 11? 解: cos ? ? ? 3

? ? 71? ? ? sin ? ? ? ? 6

? ? 19? ? ? ? tan ? ? 3 ? ? ?

?? ?? ?? ? ? ? ? cos ? ?4? ? ? ? sin ? ?12? ? ? ? tan ? 6? ? ? 3? 6? 3? ? ? ?
? cos

?

3 6 3 1 1 ? ? ? 3 ? 1? 3 2 2

? sin

?

? tan

?

归纳

总结

1. 内容总结: ①三角函数的概念. ②三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号. ③诱导公式一. 2 .方法总结: 运用了定义法、公式法、数形结合法解题. 3 .体现的数学思想: 划归的思想,数形结合的思想.

作业:

课本第20页 习题1.2 A组 1、2、6、7、第 9题的(1)(3)题.


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