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衡水中学2013届高三第六次模拟考试理科数学


衡水中学 2012—2013 学年度下学期第六次模拟考试高三数学 (理科试卷)
(满分:150 分,时间:120 分钟)
注息事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自己 的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。 2.回答第Ⅰ卷时。选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动.用橡皮擦干

净后,再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时。将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 1 . 已 知 集 合 A ? {x | ?5 ? 2 x ? 1 ? 3, x ? R} , B ? {x | x( x ? 8) ? 0, x ? Z } , 则

A? B ? (
A. ? 0, 2 ?

) B. ? 0, 2? C. ?0, 2? D. ?0,1, 2?

m2 ? i 2.如果复数 是实数,则实数 m ? ( 1 ? mi
A. ? 1 B. 1 C. ? 2

)

D. 2 )

3.焦点为(0,6)且与双曲线

x2 ? y 2 ? 1 有相同渐近线的双曲线方程是( 2

A.

x2 y2 y2 x2 y2 x2 x2 y2 ? ?1 B . ? ? 1 C. ? ? 1 D. ? ?1 12 24 12 24 24 12 24 12

4. 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,若 a ?

2 ,b ? 2 ,

sin B ? cos B ? 2 ,则角 A 的大小为(
A. 60 0 B. 30 0 C. 150 0

) D. 45 0

5. 如图,设 D 是图中边长为 4 的正方形区域, E 是 D 内函数 y ? x 图象下方的
2

点构成的区域。在 D 中随机取一点,则该点在 E 中的概率为( A.



1 5

B.

1 4

C.

1 3

D.

1 2

6. 利用如图所示的程序框图在直角坐标平面上打印一系列的点,则打印的 点落在坐标轴上的个数是( A.0 B. 1 ) C. 2 D. 3

???? ? 7.在 ?ABC 中, AB ? AC ? 2 AM , AM ? 1 ,点 P 在 AM 上且满足
??? ??? ??? ? ? ? AP ? 2 PM ,则 PA ? ( PB ? PC ) 等于(
A. ) D. ?

4 9

B.

4 3

C. ?

4 3

4 9

8. 函数

f ( x) ? sin(?x ? ? ) ( x ? R ) (? ? 0, ? ? ) 的部分图像如图
2

?

所示,如果 x1 , x 2 ? (? 则

? ?

, ) ,且 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) , 6 3
? 6

y 1
? O
?
3

f ( x1 ? x2 ) ? (
1 2

) C.
3 2

x

A.

B.

2 2

D.1

9. 如图,正方体 AC1 的棱长为 1,过点 A 作平面 A1 BD 的垂线,垂足 为 H .则以下命题中,错误的命题是( .. A.点 H 是 ?A1 BD 的垂心 C. AH 的延长线经过点 C1 10.已知椭圆 )

B. AH 垂直平面 CB1 D1 D.直线 AH 和 BB1 所成角为 45 0

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 a 2 b2
a c ,则该椭圆的离心 ? sin ?PF1F2 sin ?PF2 F1

F1 ? c,0), F2 (c,0) ,若椭圆上存在点 P 使 (
率的取值范围为( ) B.(

) A.(0, 2 ? 1

2 ,) 1 2

C.(0,

2 ) 2

D.( 2 ? 1 ,1)

11.函数 y ? f (x) 为定义在 R 上的减函数,函数 y ? f ( x ? 1) 的图像关于点(1,0)对称,

x, y 满
足不等式 f ( x 2 ? 2 x) ? f (2 y ? y 2 ) ? 0 ,M (1, 2), N ( x, y ) ,O 为坐标原点, 则当 1 ? x ? 4 时,

???? ???? ? OM ? ON 的取值范围为 (
A. ?12,?? ? B. ?0,3?

) C. ?3,12? D. ?0,12?

?2 x ? 1( x ? 0) ? 12.已知函数 f ( x) ? ? ,把函数 g ? x ? ? f ? x ? ? x 的零点按从小到大的 ? f ? x ? 1? ? 1? x ? 0 ? ?
顺序排 列成一个数列,则该数列的前 n 项的和 S n ,则 S10 =( A.15 B.22 C.45 D. 50 )

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题-第 21 题为必考题,每个试题考生都必须作 答,第 22-24 题为选考题,考生根据要求作答。 二.填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分。 ) 13.直线 y ? kx ? b与曲线y ? x ? ax ? 1 相切于点(2,3) ,则 b 的值为
3



14.已知一个三棱锥的三视图如图所示,其中俯视图是等腰直角三角 形,则该三棱锥的外接球的体积为_______________. 15.某班班会准备从甲、 乙等 7 名学生中选派 4 名学生发言, 要求甲、 乙两名同学至少有一人参加,且若甲、乙同时参加,则他们发言 时不能相邻,那么不同的发言顺序的种数为 .

16.设 a1 , a 2 ,?, a n 是各项不为零的 n ( n ? 4 )项等差数列, 且公差 d ? 0 .若将此数列删去某一项后,得到的数列(按原来顺序)是等比数列,则

所有数 对 ? n,

? ?

a1 ? ? 所组成的集合为________. d ?

三、解答题: (解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 ) (17)(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,a ,b ,c 分别是三内角 A, C 所对的三边, B, 已知 b 2 ? c 2 ? a 2 ? bc . (1)求角 A 的大小; (2)若 2 sin
2

B C ? 2 sin 2 ? 1 ,试判断 ?ABC 的形状. 2 2

(18)(本小题满分 12 分) 现对某市工薪阶层关于“楼市限购令”的态度进行调查,随机抽调了 50 人,他们月收 入的频数分布及对 “楼市限购令”赞成人数如下表. 月收入(单位百元) [15,25 ) 频数 赞成人数 5 4 [25,35 ) 10 8 [35,45 ) 15 12 [45,55 ) 10 5 [55,65 ) 5 2 [65,75 ) 5 1

(Ⅰ) 由以上统计数据填下面 2 乘 2 列联表并问是否有 99%的把握认为“月收入以 5500 为 分界点对“楼市限购令” 的态度有差异; 月收入不低于 55 百元的人数 赞成 不赞成 合计 (Ⅱ)若对月收入在[15,25) ,[25,35)的被调查人中各随机选取两人进行追踪调查, 记选中的 4 人中不赞成“楼市限购令”人数为 ? ,求随机变量 ? 的分布列及数学期望. 参考数据: 月收入低于 55 百元的人数 合计

a?
b?

c?
d?

n(ad ? bc) 2 K ? (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
2

P(K 2 ? k)

0.050 3.841

0.010 6.635

0.001 10.828

k

(19)(本小题满分 12 分) 如图, 几何体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, 四边形 ABCD 为菱形,

D1

C1
B1
E

?BAD ? 60 , AB ? a ,面 B1C1 D1 ∥面 ABCD , BB1 、
?

D

CC1 、DD1 都垂直于面 ABCD ,且 BB1 ? 2a ,E 为 CC1 的
A

C
B

中点, F 为 AB 的中点. (Ⅰ)求证: ?DB1 E 为等腰直角三角形; (Ⅱ)求二面角 B1 ? DE ? F 的余弦值.

F

(20)(本小题满分 12 分)

? 1 1 在平面直角坐标系中,已知点 A( ,0) ,向量 e ? (0,1) ,点 B 为直线 x ? ? 上的动点,

2

2

???? ? ? ???? ??? ? ? ???? ??? ??? ? ? 点 C 满足 2OC ? OA ? OB ,点 M 满足 BM ? e ? 0, CM ? AB ? 0 .
(1)试求动点 M 的轨迹 E 的方程; (2)设点 P 是轨迹 E 上的动点,点 R、N 在 y 轴上,圆 ? x ? 1? ? y 2 ? 1 内切于 ?PRN ,求
2

?PRN 的面积的最小值.

(21)(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? ln x(a ? R ) .
2

(1)当 a ?

1 时,求 f ( x) 在区间 ?1, e ? 上的最大值和最小值; 2

(2)如果函数 g ( x) , f 1( x) , f 2( x) ,在公共定义域 D 上,满足 f 1( x) ? g ( x) ? f 2( x) , 那么就称为 g ( x) 为 f1 ( x), f 2 ( x) 的“活动函数” .已知函数

1 1 f 1( x) ? (a ? ) x 2 ? 2ax ? (1 ? a 2 ) ln x , f 2( x) ? x 2 ? 2ax .若在区间 ?1, ?? ? 上, 2 2
函数 f ( x) 是 f 1( x) , f 2( x) 的“活动函数” ,求 a 的取值范围。

请考生在第 22,23,24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写 清楚题号。(本小题满分 10 分) 22. 如图,已知⊙O 和⊙M 相交于 A、B 两点,AD 为⊙M 的直径,直线 BD 交⊙O 于点 C,点 G 为弧 BD 中点,连结 AG 分别交⊙O、BD 于点 E、F 连结 CE. (1)求证: AG ? EF ? CE ? GD ; A (2)求证:

GF EF ? . AG CE 2
C

2



E B

M · F G D

23. 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 ?

?x ? 2 ? t (t 为参数) ,曲线 P 在以该直角 ? y ? t ?1

坐标系的原点 O 的为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系下的方程为

p 2 ? 4 p cos ? ? 3 ? 0 .
(Ⅰ)求曲线 C 的普通方程和曲线 P 的直角坐标方程; (Ⅱ)设曲线 C 和曲线 P 的交点为 A、B,求|AB|.

24. 设函数 f ( x) ? 2 x ? 1 ? x ? 2 . (Ⅰ)求不等式 f ( x) ? 2 的解集; (Ⅱ) ?x ? R ,使 f ( x) ? t 2 ?

11 t ,求实数的取值范围. 2

2012—2013 学年度下学期第六次模拟考试高三数学 (理科答案)
一、选择题 1.【答案】D 试题分析: A ? [?2,2] , B ? {0,1,2,3,4,5,6,7,8} ,所以 A ? B ? ?0,1, 2? ,选 D。 2. 【答案】A 试题分析: 所以

m 2 ? i (m 2 ? i )(1 ? mi) m 2 ? m ? (1 ? m 3 )i 是实数,则虚部 1 ? m 3 为 0, ? ? 1 ? mi 1 ? m2 1 ? m2

m ? ?1 ,选A
3. 【答案】B 试题分析:设双曲线方程为 选 B。 4.【答案】B 试题分析:由 sin B ? cos B ? 以 B=45? ,又因为 a ? 解得 sin A ? 5.【答案】C

x2 ,则 3? ? 36,? ? ?12 , ? y 2 ? ? ,又因为焦点为(0,6) 2

2 得 1 ? 2sin B cos B ? 2 ,即 sin 2B ? 1 ,因为 0<B<? ,所
2 2 , = sin A sin 45?

2 , b ? 2 ,所以在 ?ABC 中,由正弦定理得:

1 ,又 a <b ,所以 A<B=45? ,所以 A=30? 。 2

试题分析:

?

2

?1

x 2 dx ?

1 3 x 3

2 ?2

16 1 16 ? ,所以 P ? 3 ? ,选 C。 16 3 3

6.【答案】B 7. 【答案】D 试题分析:由题意易知:M 是 BC 的中点,P 是三角形 ABC 的重心,因为 AM ? 1 ,所以

???? ?

PA ?

??? ??? ??? ? ? ? 2 1 2 2 4 , PM ? ,所以 PA ? ( PB ? PC ) = PA ? 2 PM ? ? ? cos ? ? - 。故选 D. 3 3 3 3 9

8.【答案】C

试题分析:由图像可知 T ? ? ? ? ? 2 ? f ? x ? ? sin ? 2 x ? ? ? 代入 ? ?

? ? ? ,0? 得 ? 6 ?

??

? 3

?? ? ? f ? x ? ? sin ? 2 x ? ? 3? ?
2? 3 ? 3 2

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ? x2 ?

?
6

? f ( x1 ? x2 ) ?
9.【答案】D 10.【答案】D

试题分析: 根据正弦定理得

PF2 sin ?PF1 F2

?

PF1 sin ?PF2 F1

, 所以由

a c ? sin ?PF1F2 sin ?PF2 F1

可得

PF1 c a c ? ? ? e ,所以 ,即 ,又 PF1 ? e PF2 PF2 PF1 PF2 a
, 即

PF1 ? PF2 ? e PF2 ? PF2 ? PF2 (e ? 1) ? 2a

PF2 ?

2a e ?1







a ? c ? PF2 ? a ? c



(不等式两边不能取等号,否则分式中的分母为 0,无意义)所以 a ? c ? 2a ? a ? c ,

e ?1

?1 ? e 2 ? 2 ?(1 ? e)(1 ? e) ? 2 ? c 2 c ,所以 2 即1 ? ? , 所以 ? , ? 1? 1? e ? ? 1 ? e ,即 ? 2 ? 2 ? 1? e a e ?1 a e ?1 ?2 ? (1 ? e) ?
解得 2 ? 1 ? e ? 1 ,即 ( 2 ? 1,1) ,选 D. 11. 【答案】D 试题分析:因为函数 y ? f ( x ? 1) 的图像关于点(1,0)对称,所以

y ? f ( x) 的图象关于原点对称,即函数 y ? f ( x) 为奇函数,
2 2 由 f ( x ? 2 x) ? f (2 y ? y ) ? 0 得

f ( x 2 ? 2 x) ? ? f (2 y ? y 2 ) ? f ( y 2 ? 2 y ) ,
2 2 所以 x ? 2 x ? y ? 2 y ,

? x2 ? 2x ? y 2 ? 2 y ?( x ? y )( x ? y ? 2) ? 0 ? ? 1? x ? 4 ?1 ? x ? 4 所以 ,即 ? ,

画出可行域如图,可得 12. 【答案】C

=x+2y∈[0,12].故选 D.

试题分析:根据函数的解析式,画出图像,由图像易知这 10 个零点为 0,1,2,3,??,9, 所以 S10 =45. 二.填空题: 13.【答案】—15 14. 【答案】 4 3? 15.【答案】600
1 3 4 试题分析:甲、乙两名同学只有一人参加时,有 C 2 C 5 A4 =480;甲、乙两人均参加时,有 2 C 52 A2 A32 =120。

共有 600 种。 16. 【答案】 {( 4,?4), (4,1)} 满足题意的数列只能有 4 项,若删掉 a 2 ,则 a3 ? a1 ? a 4 , ad ? ?4d 2 ,若删掉 a 3 ,则
2

? a ? 2 a 2 ? a1 ? a 4 , ad ? d 2 ,所以所有数对 ? n, 1 ? 所组成的集合为 {( 4,?4), (4,1)} ? d ?
三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17)(本小题满分 12 分)

? b2 ? c2 ? a2 bc 1 解析: (1) b ? c ? a ? bc ,所以 cos A ? ? ? ,得到 A ? 3 2bc 2bc 2
2 2 2

?

4分 (2) 2 sin ∵ 6分 即
2

B C ? 2 sin 2 ? 1 2 2

∵ 1 ? cos B ? 1 ? cos C ? 1 ∴ cos B ? cos C ? 1 , ??

cos B ? cos(

2? ? B) ? 1 3







sin( B ?

? ) ? 1, 6

?????8 分

?0 ? B ?
?


2? 3

?

?
6

? B?

?
6

?

5? 6

?B ?


?
6

?

?
2

?B ?


?
3
三 角

?ABC



????12 分

(18)(本小题满分 12 分) 【 解 析 】 ( I) 先 列 出 2 ? 2 列 联 表

n(ad ? bc) 2 然后利用公式 K ? , 计 算 出 k 2 值 ,再 根 据 k 值 是 否 大 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
2

于 6 .6 35 ,来 确 定 是 不 是 有 没有 99%的把握认为月收入以 5500 为分界点对“楼市限购 令”的态度有差异. (II)先确定 ? 所有可能取值有 0,1,2,3,然后求出每个值对应的概率,列出分布列,求出期望 值. (Ⅰ)2 乘 2 列联表 月收入不低于 55 百元人数 赞成 不赞成 合计 月收入低于 55 百元人数 合计 32 18 50

a?3 b?7
10

c ? 29 d ? 11
40

K2 ?

50 ? (3 ?11 ? 7 ? 29) 2 ? 6.27 ? 6.635 6.47 ? 6.635 (3 ? 7)(29 ? 11)(3 ? 29)(7 ? 11)

所以没有 99%的把握认为月收入以 5500 为分界点对“楼市限购令”的态度有差异. ??(6 分) (Ⅱ) ? 所有可能取值有 0, 1,2,3, P ?? ? 0 ? ?
2 C4 C82 6 28 84 ? 2 ? ? ? , 2 C5 C10 10 45 225

P ?? ? 1? ?

1 1 1 2 C4 C82 C4 C8C2 4 28 6 16 104 ? 2 ? 2? 2 ? ? ? ? ? C52 C10 C5 C10 10 45 10 45 225

1 1 1 2 2 C4 C8C2 C4 C2 4 16 6 1 35 P ?? ? 2 ? ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? ? ? C5 C10 C5 C10 10 45 10 45 225 1 2 C4 C2 4 1 2 ? 2 ? ? ? 2 C5 C10 10 45 225

P ?? ? 3? ?

所以 ? 的分布列是

?
P

0

1

2

3

84 225

104 225

35 225

2 225

所以 ? 的期望值是 E? ? 0 ? 分) (19)(本小题满分 12 分)

104 70 6 4 ? ? ? . 225 225 225 5

????????????(12

解: (I) 连接 BD , AC 于 O , 交 因为四边形 ABCD 为菱形,?BAD ? 60? , 所以 BD ? a 因为 BB1 、 1 都垂直于面 ABCD ,? BB1 // CC1 , 又面 B1C1 D1 ∥面 ABCD ,? BC // B1C1 CC 所以四边形 BCC1 B1 为平行四边形 ,则
z

B1C1 ? BC ? a ???????????????2 分
因为 BB1 、 CC1 、 DD1 都垂直于面 ABCD ,则

D1
B1

C1

E

DB1 ? DB 2 ? BB12 ? a 2 ? 2a 2 ? 3a
DE ? DC 2 ? CE 2 ? a 2 ? a 6a ? 2 2
2

H
D

C

O

x A

F

B

y

a2 6a B1 E ? B1C ? C1 E ? a ? ? ?4 分 2 2
2 1 2 2

所以 DE ? B1 E ?
2 2

6a 2 ? 6a 2 ? 3a 2 ? DB12 4

所以 ?DB1 E 为等腰直角三角 形 ?????????????????????5 分

(II)取 DB1 的中点 H ,因为 O, H 分别为 DB, DB1 的中点,所以 OH ∥ BB1 以 OA, OB, OH 分别为 x, y, z 轴建立坐标系,

则 D (0, ?

a 3 2 a 3 a , 0), E ( ? a, 0, a), B1 (0, , 2a), F ( a, , 0) 2 2 2 2 4 4 ???? ???? 3 a 2 3 3 a, , a), DF ? ( a, a, 0) ???????? 2 2 2 4 4

所以 DB1 ? (0, a, 2a ), DE ? ( ? 7分

???? ?

设面 DB1 E 的法向量为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) ,

??

则 n1 ? DB1 ? 0, n1 ? DE ? 0 ,即 ay1 ? 2az1 ? 0 且 ?

?? ???? ?

?? ????

3 a 2 ax1 ? y1 ? az1 ? 0 2 2 2

令 z1 ? 1 ,则 n1 ? (0, ? 2,1) ?????????????????????????? 9分 设面 DFE 的法向量为 n2 ? ( x2 , y2 , z2 ) , 则 n2 ? DF ? 0, n2 ? DE ? 0 即 令 x2 ? 1 ,则 n2 ? (1, ? 分

??

?? ?

?? ???? ?

?? ???? ?

3 3 3 a 2 ax2 ? ay2 ? 0 且 ? ax2 ? y2 ? az2 ? 0 4 4 2 2 2
??????????????????????11

?? ?

3 2 6 , ) 3 3

?? ?? ? 则 cos n1 , n2 ?

6 2 6 ? 2 3 3 ,则二面角 B1 ? DE ? F 的余弦值为 ? 2 1 8 3 ? 1? ? 3 3

2 ????12 分 2
(20)(本小题满分 12 分) 解: (1)设 M ( x, y ), B ( ? , m) , BM ? ( x ? , y ? m), e ? (0,1), CM ? ( x, y ? 则

1 2

???? ?

1 2

?

???? ?

? m ??? ), AB ? (?1, m) , 2

?y ? m ???? ? ? ???? ??? ? ? ? 2 由 BM ? e ? 0, CM ? AB ? 0 得 ? m 2 ,所以动点 M 的轨迹 E 的方程为 y ? 2 x ;????? x? ? 2 ?
4分 (2)设 P ( x0 , y0 ), R (0, b), N (0, c) ,且 b ? c ,? lPR : y ?

y0 ? b x?b, x0
? 1 ,注意到 x0 ? 2 ,化简得

即 lPR : ( y0 ? b) x ? x0 y ? x0b ? 0 ,由相切得

y0 ? b ? x0b ( y0 ? b) 2 ? x0 2

( x0 ? 2)b 2 ? 2 y0b ? x0 ? 0 ,
同理得 ( x0 ? 2)c 2 ? 2 y0 c ? x0 ? 0 , 所以 b, c 是方程 ( x0 ? 2) x 2 ? 2 y0 x ? x0 ? 0 的两根,??????????????????

8分 所以 b ? c ?

4 y0 2 ? 4 x0 ( x0 ? 2) x0 ? 2

?

2 x0 , x0 ? 2

有 S ?PRN ?

1 2 x0 4 ? ? x0 ? ( x0 ? 2) ? ? 4 ? 8 , 当 x0 ? 4 时 ?PRN 的 面 积 的 最 小 值 为 2 x0 ? 2 x0 ? 2

8. ?12 分 (21)(本小题满分 12 分) 解: (1)当 a ?

1 1 2 1 x2 ?1 时, f ( x ) ? x ? ln x , f ?( x ) ? x ? ? ; 2 2 x x

对于 x ? [1, e],有 f ?( x ) ? 0 ,∴ f ( x ) 在区间[1, e]上为增函数 ∴ f max ( x ) ? f (e) ? 1 ? 分 (2) 在区间 (1, +∞) 函数 f ( x ) 是 f1 ( x ), f 2 ( x ) 的“活动函数”, f 1 ( x ) ? f ( x ) ? f 2 ( x ) 上, 则 令 p ( x) ? f ( x) ? f 2 ( x) ? (a ? ) x 2 ? 2ax ? ln x ? 0 ,对 x ? (1,??) 恒成立, 且 h( x ) ? f 1 ( x ) ? f ( x ) = ? 分

e2 1 , f min ( x ) ? f (1 ) ? .???????????????? 3 2 2

1 2

1 2 x ? 2ax ? a 2 ln x ? 0 对 x ? (1,??) 恒成立, ?????? 5 2

?(x ∵ p`( x) ? (2a ? 1) x ? 2a ?

1 (2a ? 1) x 2 ? 2ax ? 1 ( x ? 1)[(2a ? 1) x ? 1] (*) ? ? x x x

1) 若 a

?

1 1 ,令 p ?( x) ? 0 ,得极值点 x 1 ? 1 , x 2 ? , 2 2a ? 1
1 ? a ? 1 时,在( x 2 ,+∞)上有 p ?( x) ? 0 ,此时 p (x) 在区间( x 2 , 2

当 x 2 ? x 1 ? 1 ,即

+∞)上是增函数,并且在该区间上有 p (x) ∈( p ( x2 ) ,+∞) ,不合题意; 当 x 2 ? x 1 ? 1 ,即 a ? 1 时,同理可知, p (x) 在区间(1,+∞)上,有 p (x) ∈( p (1) ,+∞) , 也不 合题 意; 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。

。 7分 。 2) 若 a ?

1 ,则有 2a ? 1 ? 0 ,此时在区间(1,+∞)上恒有 p ?( x) ? 0 ,从而 p (x) 在区 2

间(1,+∞) 上是减函数;要使 p ( x) ? 0 在此区间上恒成立,只须满足 p (1) ? ? a ? 所以 ?

1 1 ?0?a?? , 2 2

1 1 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 ? a ? .。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 9 2 2

分 又因为 h (x)= –x+2a– 函数, h(x)<h(1)= ?
1 +2a ? 0, 2
/

a2 ? x 2 ? 2ax ? a 2 ? ( x ? a ) 2 ? = <0, h(x)在(1, +∞)上为减 x x x

所以 a ?

1 1 1 综合可知 a 的范围是[ ? , ]. 2 4 4

12 分

另解: (接在(*)号后)先考虑 h(x),

h`(x) = – x + 2a ?

a2 ( x ? a)2 =? ?0, x x

h(x)在(1,+?)递减,只要 h(1) ? 0, 得 ? 8分

1 1 。。。。。 ? 2a ? 0 ,解得 a ? . 。。。。。。 2 4

( x ? 1)[(2a ? 1) x ? 1] 1 对 x?(1,+?) 且 a ? 有 p`(x) <0. x 4 1 1 1 1 只要 p(1) ? 0, a ? ? 2a ? 0 ,解得 a ? ? ,所以. ? ? a ? 。。。。。。 。。。。。。12 2 2 2 4
而 p`(x)= 分 22.证明:(1)连结 AB , AC , ∵ AD 为圆 M 的直径,∴ ?ABD ? 900 , ∴ AC 为圆 O 的直径, ∴ ?CEF ? ?AGD , ∵ ?DFG ? ?CFE ,∴ ?ECF ? ?GDF , ∵ G 为弧 BD 中点,∴ ?DAG ? ?GDF , ∵ ?ECB ? ?BAG ,∴ ?DAG ? ?ECF , ∴ ?CEF ∽ ?AGD ,∴ A O· C E B M · F G D

? AG ? EF ? CE ? GD

CE AG , ? EF GD
????????????????????????

5分 (2)由(1)知 ?DAG ? ?GDF , ?G ? ?G , ∴ ?DFG ∽ ?AGD ,∴ DG 2 ? AG ? GF ,

由(1)知

EF 2 GD 2 GF EF 2 ? ? ,∴ . ????????????????? CE 2 AG 2 AG CE 2

10 分 23. 【 解 析 】 (Ⅰ)曲线 C 的普通方程为 x ? y ? 1 ? 0 ,曲线 P 的直角坐标方程为 x ? y ? 4 x ? 3 ? 0 .
2 2

????????????????????????????????????? 5分 (Ⅱ)曲线 P 可化为 ( x ? 2) ? y ? 1 ,表示圆心在 (2,0) ,半径 r ? 1 的圆,
2 2

则圆心到直线 C 的距离为 d ? 分 24. 【解析】

1 2

?

2 2 2 ,所以 AB ? 2 r ? d ? 2 .??????10 2

1 ? ?? x ? 3, x ? ? 2 ? 1 ? 解: (1) f ( x) ? ?3 x ? 1,? ? x ? 2 ,??????????????????????2 2 ? ? x ? 3, x ? 2 ? ?
分 当x? ? 当?

1 ,? x ? 3 ? 2, x ? ?5,? x ? ?5 2

1 ? x ? 2,3 x ? 1 ? 2, x ? 1,?1 ? x ? 2 2

当 x ? 2, x ? 3 ? 2, x ? ?1,? x ? 2 综 上 所 述

?x | x ? 1或x ? ?5?

??????????????????????????5 分

(2)易得 f ( x) min ? ? 则 只

5 11 ,若 ?x ? R 都有 f ( x) ? t 2 ? t 恒成立, 2 2 5 11t 需 f ( x) min ? ? ? t 2 ? 2 2





1 ? t ? 5 ???????????????????10 分 2


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