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(平面向量及应用)教学备课讲义完美综合版


中小学 1 对 1 课外辅导专家

精锐教育学科教师辅导讲义
讲义编号_ 学员编号: 学员姓名: 课 题 年 级:高二 课时数:3 学科教师: T 平面向量应用 T 综合应用求解

辅导科目:数学 T 平面向量基础

授课日期及时段 教学内容

平面向量及其应用
☆ 知识点归纳

r />平面向量的坐标表示及其运算
1. 主要方法: ① 运用向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法则进行运算; ② 向量是沟通代数、集合与三角函数的一种工具. 2. 易错、易漏点: ① 向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关,只与其相对位置有关; ② 向量的坐标与点的坐标既有联系又有区别,二者不能混淆; ③ 向量是既有大小,又有方向的量,具有“数”和“形”的双重特点; ④ 定比分点坐标公式在使用时一定要分清起点、分点、终点. 3.典例分析 【例 1】 给出下列命题: ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ⑴ 若 a ? b ,则 a ? b ; ⑵ 若 a // b , b // c ,则 a // c ; ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ⑶ 若 a ? b , b ? c ,则 a ? c ; ⑷ a ? b 的充要条件是 a ? b 且 a // b ;
??? ???? ? ⑸ 若 A、B、C、D 是不共线的四点,则 AB ? DC 是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件.

其中正确的命题序号是___________. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 【例 2】 已知向量 a ? (1,2),b ? ( x,1) , u ? a ? 2b,v ? 2a ? b ,且 u // v ,求实数 x 的值.

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? ? ? 【例 3】 平面内给定三个向量 a ? (3,2),b ? (?1,2),c ? (4,1) .
? ? ? ⑴ 求满足 a ? mb ? nc 的实数 m、n;

? ? ? ? ? ? ? ? ⑵ 若 d 满足 d ? c // a ? b ,且 d ? c ? 5 ,求 d .

?

? ?

?

??? ??? ? ? ??? ? 【例 4】 已知点 O(0,0),A(1,2),B(4,5) 及 OP ? OA ? t ? AB ,试问:

⑴ 当 t 为何值时,P 在 x 轴上? P 在 y 轴上? P 在第三象限? ⑵ 四边形 OABP 是否能成为平行四边形? 若能,则求出 t 的值;若不能,说明理由.

4.相关练习
? ? ? ? 1. 设非零向量 a ? ( x1 , y1 ),b ? ( x2 , y2 ) ,则下列为 a 与 b 共线的充要条件的有

(

).
? ? ? ? ① 存在一个实数 λ ,使 a ? λb 或 b ? λa ;

? ? ? ? ② a?b ? a ? b ; ? ? ? ? ④ a ? b // a ? b .



x1 y1 ? ; x 2 y2

?

? ?

?

A. 1 个 2.

B. 2 个 C. 3 个 ???? ??? ? ???? ? ? ??? ? ???? 在 ΔABC 中, AB ? c , AC ? b ,若点 D 满足 BD ? 2DC ,则 AD ? ).

D. 4 个 (

3. 4.

5? 2 ? 2? 1? 1? 2? C. b ? c D. b ? c c? b 3 3 3 3 3 3 ???? ? 7 ? ? 已知两点 P (?1, ?6),P2 (3,0) ,点 P ? ? , y ? 分有向线段 P P2 所成的比为 λ ,则 λ ? _________, y ? _________. 1 1 ? 3 ?
A. B. 已知 ΔABC 的顶点 A(2,3)、B(?4, ?2) 和重心 G (2, ?1) ,则 C 点坐标为___________.

2? 1? b? c 3 3

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中小学 1 对 1 课外辅导专家 5.
??? ? 已知点 B 的坐标为 (1,2) , AB 的坐标为 ( m, n ) ,则 A 点坐标为___________.

6.

? ? ? ? 已知向量 a ? ( x,3),b ? (3, ?1) ,且 a 与 b 共线,则 x ? ___________.

?? ?? ?? ? ? ? ? 14. 已知向量 a ? (3,2),b ? (?1,1) ,向量 m 与 3a ? 2b 平行,且 m ? 4 137 ,则向量 m ? ___________.

7.

如图所示,正六边形 ABCDEF 中,有下列四个命题: ???? ??? ? ??? ? ??? ??? ? ? ??? ? ⑴ AC ? AF ? 2 BC ; ⑵ AD ? 2 AB ? 2 AF ;
??? ???? ???? ??? ? ? ⑶ AC ? AD ? AD ? AB ;

E

D

F

C



? AD ? AF ? EF ? AD ? AF ? EF ? .

???? ??? ??? ? ?

???? ??? ??? ? ?

A

B

其中是真命题的命题序号为___________(写出所有真命题的序号). 8.
???? ? 在平行四边形 ABCD 中,AC 与 BD 交于点 O,E 是线段 OD 的中点,AE 的延长线与 CD 交于点 F,若 AC ? a ,
??? ? ??? ? ? BD ? b ,求 AF .

9.

? ? ? ? 已知向量 u ? ( x, y) 与 v ? ( y,2 y ? x ) 的对应关系用 v ? f (u ) 表示. ? ? ? ? ? ? ⑴ 证明: 对于任意向量 a、b 及常数 m、n,恒有 f ma ? nb ? mf ? a ? ? nf b 成立; ? ? ? ? ⑵ 设 a ? (1,1),b ? (1,0) ,求向量 f ? a ?、f b 的坐标.

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?

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☆ 知识点归纳
向量的数量积
1. 主要方法: ① 数量积的主要应用: ⑴求模长;⑵求夹角;⑶判垂直; ② 平面向量数量积的定义及其几何意义,并能运用它们解决相关问题. 2. 易错、易漏点: ① 两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别: ⑴ 两个向量的数量积是一个实数,不是向量,符号由 cos θ 的符号所决定; ⑵ 两个向量的数量积称为内积,符号“ ? ”在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“ ? ”代替; ② 在向量数量积的运算中: ⑴ 不满足结合律、消去律; ? ? ? ? ? ? ⑵ a ? b ? 0 不能得到 a ? 0 或 b ? 0 ; ③ 正确理解向量夹角的定义: 从同一点出发的两个向量所构成的较小的非负角. 3、典例分析 【例 1】 给出下列命题: ? ? ? ⑴ 0?a ? 0; ⑵ 0?a ? 0; ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ⑶ 若 a ? 0,a ? b ? a ? c ,则 b ? c ; ⑷ 若 a ? b ? a ? c ,则 b ? c ,当且仅当 a ? 0 时成立; ? ? ? ? ? ?2 ? ? ? ? ? ? ⑸ a ? b ? c ? a ? b ? c 对任意 a、b、c 都成立; ⑹ 对任意向量 a ,有 a 2 ? a .

?

?

?

?

其中为真命题的所有命题序号为___________. ? ? ? ? 1 ? ? ? 【例 2】 已知 a ? b ? 3 , a 在 b 方向上的投影为 b ,则 a ? b ? ___________. 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 【例 3】 已知两个单位向量 a 与 b 的夹角为 120? ,若 c ? 2a ? b,d ? 3b ? a ,则 c 与 d 的夹角大小等于___________. ? ? ? ? ? ? 【例 4】 已知 a 与 b 的夹角为 120? ,且 a ? 1 , b ? 3 ,则 5a ? b ? ___________.
? ? ? ? ? ? ? 【例 5】 已知 a ? (1,3),b ? (1,1),c ? a ? λb ,是否存在常数 λ ,使 a 和 c 的夹角是锐角? 若存在,求出 λ 的取值范围;

若不存在,说明理由.

?? ? ? ? ? ? ? ? 【例 6】 已知 a ? (4,3),b ? (?1,2) , m ? a ? λb,n ? 2a ? b ,分别按下列条件求实数 λ 的值. ?? ?? ? ?? ? ? ⑴ m ? n; ⑵ m // n ; ⑶ m ? n.

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??? ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? 【例 7】 ⑴若 P 是 ΔABC 所在平面上一点,且 PA ? PB ? PB ? PC ? PC ? PA ,则 P 是 ΔABC 的

(

). A. 内心

B. 外心 C. 垂心 ??? ??? ??? ? ? ? ? ⑵ 若 P 是 ΔABC 内一点,且 PA ? PB ? PC ? 0 ,则 P 是 ΔABC 的 ). A. 内心 B. 外心 C. 垂心

D. 重心 ( D. 重心

☆ 知识点归纳
平面向量的分解定理及应用
1. 主要方法: ① 平面向量分解定理的实质: 同一平面内任意向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合; ② 构造向量法的应用: 利用数量积的坐标表示,掌握坐标表示的数量积性质的形式特点; ③ 三点共线的证明: 对于三点共线的证明,可以利用向量共线的充要条件证明,也可利用定比分点知识证明; 定比分点问题中所涉及的三个点必然共线;而三个点共线时,必然构成定比分点. 2. 易错、易漏点: ① 注意图形语言的应用; ② 用向量法解平面几何问题,实质上是将平面几何问题的代数化处理,在解题中应注意进行向量语言与图形语 言的互译. 3.典例分析 ?? ?? ? ?? ?? ? ?? ?? ? 【例 1】 ⑴已知向量 e1 、 e2 不共线,实数 x、y 满足 (3x ? 4 y)e1 ? (2 x ? 3y)e2 ? 6e1 ? 3e2 ,则 x ? y ? ___________;
? ? ? ? ? ⑵已知 a、b 不共线,且 λa ? μb ? 0 ( λ、μ ? R) ,则 λ ? ___________; μ ? ___________;
? ? ? ? ? ? ? ⑶已知 a、b 不共线,且 c ? λa ? μb ( λ、μ ? R) ,若 c 与 b 共线,则 λ ? ___________.

??? ? ??? ? ??? ? 【例 2】 已知向量 OA ? (k,12) , OB ? (4,5) , OC ? (?k,10) ,且 A、B、C 三点共线,求 k 的值.

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中小学 1 对 1 课外辅导专家 ???? ? ???? ???? ???? ? ???? ? 6 ? 2 ???? 【例 3】 平面内作用在同一质点 O 的三个力 OF1 、 2 和 OF3 处于平衡状态, 已知 OF1 ? 1 ,OF2 ? , 1、 OF OF 2 ???? ? ???? ? ???? ???? ? OF2 的夹角为 45 ? ,求 OF3 及 OF3 与 OF1 的夹角.

【例 4】 利用向量知识证明: (a2 ? b2 )(c2 ? d 2 ) ? (ac ? bd )2 .

【例5】

如图,在三角形 ABC 中,M、N 分别是边 AC、BC 上的点,且 AM ? 2 MC , BN ? NC ,AN 与 BM 相交于 ??? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ? 点 P,设 CA ? a 、 CB ? b ,试以 a、b 作为基向量来表示 CP .

A

P B N

M C

4、相关练习 ?? ?? ? 1. 如果 e1 、 e2 是平面内两个不共线的向量,那么在下列各说法中错误的有 ).

(

?? ?? ? ① λe1 ? μe2 ( λ、μ ? R) 可以表示平面内的所有向量; ?? ?? ? ? ? ② 对于平面内的任意向量 a ,使 a ? λe1 ? μe2 的实数 λ、μ 有无数多对;
?? ?? ? ?? ?? ? ??? ?? ? ??? ? ?? ? ③ 若向量 λ1 e1 ? μ1 e2 与 λ 2 e1 ? μ2 e2 共线,则有且只有一个实数 k,使 λ2 e1 ? μ2 e2 ? k λ1 e1 ? μ1 e2 ;

?

?

?? ?? ? ? ④ 若实数 λ、μ 使 λe1 ? μe2 ? 0 ,则 λ ? μ ? 0 .
A. ①② 2. B. ②③ C. ③④ D. ② ??? ? ??? ? 设一直线上三点 A、B、P 满足 AP ? λPB ( λ ? ?1) ,O 是平面上一点,则用以下正确的是 ).
??? ??? ? ? ??? ? A. OP ? OA ? λOB
??? ? ??? ? ??? OA ? λOB ? C. OP ? 1? λ

(

??? ? ??? ? ??? ? B. OP ? λOA ? (1 ? λ)OB

??? 1 ??? ? ? ? 1 ??? D. OP ? OA ? OB λ 1? λ

3.

??? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? 若 a、b 是不共线的两向量,且 AB ? λa ? b , AC ? a ? μb ( λ、μ ? R) ,则 A、B、C 三点共线的充要条件是

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中小学 1 对 1 课外辅导专家 ( A. λ ? μ ? ?1 B. λ ? μ ? 1 C. λμ ? 1 ? 0 ??? ? ?? ?? ? ??? ?? ?? ??? ?? ?? ? ? ? ? 已知 AB ? 3 e1 ? e2 , CB ? e1 ? e2 , CD ? e1 ? 2e2 ,则下列关系一定成立的是 D. λμ ? 1 ? 0 ( ).

4.

?

?

5.

). A. A、B、C 三点共线 B. A、B、D 三点共线 C. A、C、D 三点共线 D. B、C、D 三点共线 已知 A(?1, ?2),B(4,8),C (5, x) ,如果 A、B、C 三点共线,那么实数 x 的值为___________.
?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? 力 F1 、 F2 共同作用在某质点上,已知 F1 ? 5 N , F2 ? 12 N ,且 F1 与 F2 互相垂直,则质点所受合力的大小为

6.

( ). A. 7 N 7. B. 17 N C. 13 N D. 10 N ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? 若 a ? ?e1 ? 3e2,b ? 4e1 ? 2e2,c ? ?3e1 ? 12e2 ,则将向量 a 表示为 λb ? μc 的形式是___________.
???? ? ??? ? ? ??? ? 已知 AD、BE 分别为 ΔABC 的边 BC、AC 上的中线,设 AD ? a , BE ? b ,则 BC ? ___________.

8.

9.

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 设平面内有四边形 ABCD 和点 P, PA ? a , PB ? b , PC ? c , PD ? d , a ? c ? b ? d ,则四边形 ABCD 的形状

是___________.

?? ?? ? ?? ?? ? ?? ?? ? ?? ?? ? ? ? ? 10. 已知向量 a ? 2e1 ? 3e2 , b ? 2e1 ? 3e2 ,其中 e1 、 e2 不共线,向量 c ? 2e1 ? 9e2 ,问是否存在这样的实数 λ、μ ,
? ? ? ? 使 d ? λa ? μb 与 c 共线?

11. 利用向量知识证明下列各式: ⑴ x 2 ? y2 ? 2 xy ;
?2 ?2 ? ? ⑵ x ? y ? 2x ? y .

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??? ? ??? ? ΔABC 的面积为 S 2 , ? pPB , 12. 已知 ΔABC 中, 过重心 G 的直线交边 AB 于 P, 交边 AC 于 Q, ΔAPQ 的面积为 S1 , 设 AP ???? ??? ? AQ ? qQC ,求:

pq 的值; p?q



S1 的取值范围. S2

D C E F

A

B

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