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【解密高考】2015高考数学(人教A版)一轮作业:4-3函数y=Asin(ωx+φ)的图象与三角函数模型的简单应用]


时间:45 分钟 学号:________

满分:100 分

班级:________

姓名:________

得分:________

一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分,在下列四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.(2014· 安徽模拟)要

得到函数 y=cos(2x+1)的图象,只要将函数 y=cos2x 的图象( ) B.向右平移 1 个单位 1 D.向右平移2个单位

A.向左平移 1 个单位 1 C.向左平移2个单位

1 解析:∵y=cos(2x+1)=cos[2(x+2)], 1 ∴只须将 y=cos2x 的图象向左平移2个单位即可得到 y=cos(2x+1)的图象. 答案:C π 2.(2014· 天津模拟)将函数 f(x)=sinωx(其中 ω>0)的图象向右平移4个单位长 3π 度,所得图象经过点( 4 ,0),则 ω 的最小值是( 1 A.3 5 C.3 B.1 D.2 )

π 解析:f(x)=sinωx 的图象向右平移4个单位长度得: π 3π y=sin[ω(x-4)].又所得图象过点( 4 ,0), 3π π ωπ ∴sin[ω( 4 -4)]=0,∴sin 2 =0, ωπ ∴ 2 =kπ(k∈Z),∴ω=2k(k∈Z). ∵ω>0,∴ω 的最小值为 2. 答案:D

3.(2014· 浙江模拟)把函数 y=cos2x+1 的图象上所有点的横坐标伸长到原 来的 2 倍(纵坐标不变), 然后向左平移 1 个单位长度, 再向下平移 1 个单位长度, 得到的图象是( )

解析: y=cos2x+1 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍得 y1=cosx+1, 再向左平移 1 个单位长度得 y2=cos(x+1)+1,再向下平移 1 个单位长度得 y3= cos(x+1),故相应图象为 A. 答案:A π 4.(2013· 山东)将函数 y=sin(2x+φ)的图象沿 x 轴向左平移8个单位后,得到 一个偶函数的图象,则 φ 的一个可能取值为( 3π A. 4 C.0 π B.4 π D.-4 )

π π 解析: y=sin(2x+φ)的图象向左平移8个单位后, 得到函数 y=sin(2x+φ+4), π 又得到偶函数,所以 φ 的一个可能值为4,故选 B. 答案:B 5.(2013· 湖北)将函数 y= 3cosx+sinx(x∈R)的图象向左平移 m(m>0)个单 位长度后,所得到的图象关于 y 轴对称,则 m 的最小值是( π A.12 π C.3 π B.6 5π D. 6 )

3 1 π 解析:y= 3cos x+sin x=2( 2 cos x+2sin x)=2sin(x+3)的图象向左平移 m

π 个单位后,得到 y=2sin(x+m+3)的图象,此图象关于 y 轴对称,则 x=0 时,y π π π π =± 2,即 2sin(m+3)=± 2,所以 m+3=2+kπ,k∈Z,由于 m>0,所以 mmin=6, 故选 B. 答案:B π π 6.函数 f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,-2<φ<2)的部分图象如图所示,则 ω,φ 的值分别是( π A.2,-3 π C.4,-6 ) π B.2,-6 π D.4,3

3 5π π 3π 2π 5π 解析:由图可得4T=12-(-3)= 4 ,则 T=π= ω ,即有 ω=2,又 2×12+ π π π π π φ=2kπ+2,∴φ=2kπ-3,∵-2<φ<2,∴φ=-3. 答案:A 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分,把正确答案填在题后 的横线上) 7. (2014· 北京海淀期末)函数 f(x)=Asin(ωx+φ), (A, ω, φ 为常数, A>0, ω>0) 的部分图象如图所示,则 f(0)的值是________. T 7π π π 解析:由图可知 A= 2, 4=12-3=4,∴T=π. 2π 2π 又 ω =T,∴ω= π =2. π 2 根据函数图象的对应关系得 2×3+φ=kπ(k∈Z),∴φ=kπ-3π(k∈Z). π π 取 φ=3,则 f(x)= 2sin(2x+3), π 6 ∴f(0)= 2sin3= 2 . 6 答案: 2 π 8.(2014· 海口调研)已知函数 f(x)=Atan(ωx+φ)(ω>0,|φ|<2),y=f(x)的部分

π 图象如图,则 f(24)=________.

π 1 3π π 3π 3π 解析: 由ω×2= 8 -8, 得 ω=2, f(x)=Atan(2x+φ), 又过( 8 , 0), 即 Atan( 4 π π π +φ)=0,∴φ=4,∴f(x)=Atan(2x+4).又过点(0,1),即 Atan4=1,故 A=1. π ∴f(x)=tan(2x+4), π π π π ∴f(24)=tan(2×24+4)=tan3= 3. 答案: 3 9. (2014· 兰州模拟)已知函数 y=sin(ωx+φ)(ω<0, -π≤φ<π)的图象如下图 所示,则 φ=________.

3π 5π 4 解析:T=2×(2π- 4 )= 2 ,故 ω=5. 4 4 3π π ∴y=sin(5x+φ),令5× 4 +φ=2kπ-2(k∈Z). 11π 9π 则 φ=2kπ- 10 ,k∈Z.又-π≤φ<π,则 φ=10. 9π 答案:10 10. (2014· 衡水调研)已知函数 y=sinωx(ω>0)在一个周期内的图象如图所示, 1 π 要得到函数 y=sin(2x+12)的图象,则需将函数 y=sinωx 的图象向________平移 ________个单位长度. 解析:由图象知函数 y=sinωx 的周期为 T=3π-(-π)=4π,

2π 1 1 ∴ω= T =2,故 y=sin2x. x π 1 π 又 y=sin(2+12)=sin[2(x+6)], 1 π x 所以将函数 y=sin2x 的图象向左平移6个单位长度, 即可得到函数 y=sin(2+ π 12)的图象. 答案:左 π 6

三、解答题(本大题共 3 小题,共 40 分,11、12 题各 13 分,13 题 14 分, 写出证明过程或推演步骤) A 11.(2014· 山东模拟)已知向量 m=(sin x,1),n=( 3Acos x, 2 cos 2x)(A>0), 函数 f(x)=m· n 的最大值为 6. (1)求 A; π (2)将函数 y=f(x)的图象向左平移12个单位,再将所得图象上各点的横坐标 1 5π 缩短为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数 y=g(x)的图象,求 g(x)在[0,24]上的 值域. 解:(1)f(x)=m· n A = 3Asin xcos x+ 2 cos 2x 3 1 =A( 2 sin 2x+2cos 2x) π =Asin(2x+6). 因为 A>0,由题意知 A=6. π (2)由(1)f(x)=6sin(2x+6). π 将函数 y=f(x)的图象向左平移12个单位后得到 π π π y=6sin[2(x+12)+6]=6sin(2x+3)的图象;

1 再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的2倍, 纵坐标不变, 得到 y=6sin(4x π +3)的图象. π 因此 g(x)=6sin(4x+3). 5π π π 7π 因为 x∈[0,24],所以 4x+3∈[3, 6 ], 5π 故 g(x)在[0,24]上的值域为[-3,6]. π 12. (2014· 宿州模拟)设函数 f(x)=2sin2(ωx+4)+2cos2ωx(ω>0)的图象上两个 2π 相邻的最低点之间的距离为 3 . (1)求函数 f(x)的最大值,并求出此时的 x 值; π (2)若函数 y=g(x)的图象是由 y=f(x)的图象向右平移8个单位长度,再沿 y 轴翻折后得到,求 y=g(x)的单调递减区间. π 解:(1)f(x)=2sin2(ωx+4)+2cos2ωx π =1-cos(2ωx+2)+1+cos2ωx =sin2ωx+cos2ωx+2 π = 2sin(2ωx+4)+2. 2π 2π 2π 3 由题意知,函数 f(x)的最小正周期为 3 ,则2ω= 3 ,故 ω 的值为2,所以函 π π π 数 f(x)= 2sin(3x+4)+2, 所以函数 f(x)的最大值为 2+2, 此时 3x+4=2kπ+2, 2kπ π 即 x= 3 +12(k∈Z). π π π (2)将 y=f(x)的图象向右平移8个单位长度得 h(x)= 2sin[3(x-8)+4]+2= π π 2sin(3x-8)+2 的图象,再沿 y 轴翻折后得到 g(x)= 2sin(-3x-8)+2=- 2 π sin(3x+8)+2 的图象,易知函数 y=g(x)的单调递减区间,

π 即为 y=sin(3x+8)的单调递增区间, π π π 由 2kπ-2≤3x+8≤2kπ+2(k∈Z), 2kπ 5π 2kπ π 解得 3 -24≤x≤ 3 +8(k∈Z). 故 y=g(x)的单调递减区间为 2kπ 5π 2kπ π [ 3 -24, 3 +8](k∈Z). 13. 据市场调查, 某种商品一年内每件出厂价在 6 千元的基础上, 按月呈 f(x) =Asin(ωx+φ)+B 的模型波动(x 为月份),已知 3 月份达到最高价 8 千元,7 月 份价格最低为 4 千元,该商品每件的售价为 g(x)(x 为月份),且满足 g(x)=f(x- 2)+2. (1)分别写出该商品每件的出厂价函数 f(x)、售价函数 g(x)的解析式; (2)问哪几个月能盈利? 解:(1)f(x)=Asin(ωx+φ)+B,由题意可得, π π A=2,B=6,ω=4,φ=-4, π π 所以 f(x)=2sin(4x-4)+6(1≤x≤12,x 为正整数), π 3 g(x)=2sin(4x-4π)+8(1≤x≤12,x 为正整数). π 2 (2)由 g(x)>f(x),得 sin4x< 2 . 3 π 9 2kπ+4π<4x<2kπ+4π,k∈Z, ∴8k+3<x<8k+9,k∈Z, ∵1≤x≤12,k∈Z,∴k=0 时,3<x<9, ∴x=4,5,6,7,8; k=1 时,11<x<17,∴x=12. ∴x=4,5,6,7,8,12, 故 4,5,6,7,8,12 月份能盈利.


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