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2014届高考物理第一轮复习指导课件29曲线运动 万有引力定律4


第四章

曲线运动万有引力定律

第四讲

万有引力与航天

1.万有引力定律及其应用(Ⅱ) 考纲 2.环绕速度(Ⅱ) 展示 3.第二宇宙速度和第三宇宙速度(Ⅰ) 4.经典时空观和相对论时空观(Ⅰ) 1.了解开普勒行星运动规律.
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2.掌握万有引力定律内容、

计算公式及适用条件, 复习 并会应用万有引力定律计算天体的质量、星球表面 目标 的重力加速度等.
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3.掌握人造卫星的运行规律,会计算第一宇宙速 度.了解第二、三宇宙速度.

? 知识点一 开普勒行星运行定律 ? 1.开普勒第一定律(轨道定律):所有行星绕 椭圆 太阳运动的轨道都是椭圆,太阳处在 的一 个焦点上. 扫过的面积相等 ? 2.开普勒第二定律(面积定律):对任意一个 行星来说,太阳和行星的连线在相等的时间内 3.开普勒第三定律(周期定律):所有行星轨道的半长轴的 . 3
三次方 _________跟它的公转周期的 二次方
a 的比值相等,即 2=k. T

? 1.关于行星绕太阳运动的下列说法中正确的 是( ) ? A.所有行星都在同一椭圆轨道上绕太阳运动 ? B.所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转 周期的二次方的比值都相等 ? C.离太阳越近的行星运动周期越大 ? D.行星绕太阳运动时太阳位于行星轨道的中 心处

? 解析:所有行星都沿不同的椭圆轨道绕太阳运 动,太阳位于椭圆轨道的一个公共焦点上,故 A、D均错误;由开普勒第三定律知,所有行 星的轨道半长轴的三次方跟公转周期的二次方 的比值都相等,而且半长轴越大,行星运行周 期越大,B对,C错. ? 答案:B

? 知识点二 万有引力定律 ? 1.内容:自然界中任何两个物体都相互吸引, 物体的质量m1和m 距离r的 引力的大小与 2的乘积 成正比, 二次方 与它们之间_________ ________成反比.

?

m1m2 F=G 2 r 2.公式:

,其中G= N·m2/kg2,叫引力常量.

6.67×10-11

质点之间 ? 3.适用条件:两个 的相互作用. ? (1)质量分布均匀的球体间的相互作用,也可 两球心间的距离 用本定律来计算,其中r为 . 质点对球心间的距离 ? (2)一个质量分布均匀的球体和球外一个质点 之间的万有引力也适用,其中r为 .

1.解决天体圆周运动问题的两条思路 (1)在中心天体表面或附近而又不涉及中心天体自转运动 Mm 时,万有引力等于重力,即 G 2 =mg,整理得 GM=gR2,称 R 为黄金代换.(g 表示天体表面的重力加速度) (2)天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力,即 v2 Mm 4π2 G 2 =m r =mrω2=m 2 r=man r T

? 2.天体质量和密度的计算 ? (1)估算中心天体的质量 ? ①从环绕天体出发:通过观测环绕天体运动的 周期T和轨道半径r,就可以求出中心天体的质 量M. ? ②从中心天体本身出发:只要知道中心天体表 面的重力加速度g和半径R,就可以求出中心天 体的质量M.

(2)估算中心天体的密度 ρ 测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径 r 和周期 T,由 Mm 4π2 4π2r3 M 3πr3 G 2 =m 2 r 得 M= ,ρ= = (R 为天体的半 r T GT2 4 3 GT2R3 0 0 πR0 3 径).若卫星绕中心天体表面运行时,轨道半径 r=R0,则有 ρ 3π = = . 4 3 GT2 πR 3 0 M

? 2.如图所示,是美国的“卡西尼”号探测器经 过长达7年的“艰苦”旅行,进入绕土星飞行 的轨道.若“卡西尼”号探测器在半径为R的 土星上空离土星表面高h的圆形轨道上绕土星 飞行,环绕n周飞行时间为t,已知万有引力常 量为G,则下列关于土星质量M和平均密度ρ 的表达式正确的是( )

4π2?R+h?3 3π?R+h?3 A.M= ,ρ= Gt2 Gt2R3 4π2?R+h?2 3π?R+h?2 B.M= ,ρ= Gt2 Gt2R3 4π2t2?R+h?3 3πt2?R+h?3 C.M= ,ρ= Gn2 Gn2R3 4π2n2?R+h?3 3πn2?R+h?3 D.M= ,ρ= Gt2 Gt2R3

解析: 设“卡西尼”号的质量为 m, 土星的质量为 M, “卡 西尼”号围绕土星的中心做匀速圆周运动,其向心力由万有引
?2π? Mm t ? ? 2 ,其中 T= ,解得 M= 力提供,G =m(R+h) T n ?R+h?2 ? ?
2 3 4π2n2?R+h?3 4 3 M 3πn ?R+h? .又土星体积 V= πR ,所以 ρ= V = . Gt2 3 Gt2R3

答案:D

? 知识点三 三种宇宙速度
宇宙速度
第一宇宙速度 (环绕速度) 第二宇宙速度 (脱离速度) 第三宇宙速度 (逃逸速度)

数值(km/s) 7.9

意义
是人造地球卫星的最小发射速 度,也是人造地球卫星绕地球 做圆周运动的最大环绕速度. 使物体挣脱地球引力束缚的最 小发射速度. 使物体挣脱太阳引力束缚的最 小发射速度.

11.2 16.7

1.卫星的线速度、角速度、周期与轨道半径的关系 做匀速圆周运动的卫星所受万有引力完全提供所需向心 v2 Mm 4π2 力,即由 G 2 =m r =mrω2=m 2 r=man 可推导出: r T GM ? v= r ? ? ?v减小 GM ? ? ω= ?ω减小 r3 ? ? ? 2 3 ?当 r 增大时 4π r ? ?T增大 T= ?an减小 GM ? ? ? M ? an=G 2 r ?

(越高越慢)

2.卫星的变轨问题 当卫星由于某种原因速度突然改变时(开启或关闭发动机 或空气阻力作用),万有引力不再等于向心力,卫星将做变轨运 行: v2 Mm (1)当卫星的速度突然增加时,G 2 <m r ,即万有引力不 r 足以提供向心力,卫星将做离心运动,脱离原来的圆轨道,轨 道半径变大,当卫星进入新的轨道稳定运行时由 v= 知其运行速度比原轨道时减小; GM r 可

v2 Mm (2)当卫星的速度突然减小时,G 2 >m r ,即万有引力大 r 于所需要的向心力,卫星将做近心运动,脱离原来的圆轨道, 轨道半径变小, 当卫星进入新的轨道稳定运行时由 v= GM r 可

知其运行速度比原轨道时增大;卫星的发射和回收就是利用这 一原理.

3.地球同步卫星的特点 (1)轨道平面一定:轨道平面和赤道平面重合. (2)周期一定:与地球自转周期相同,即 T=24 h=86 400 s. (3)角速度一定:与地球自转的角速度相同. 3 GMT2 Mm 4π2 4 (4)高度一定: G 2 =m 2 r 得 r= 据 2 =4.23×10 r T 4π km,卫星离地面高度 h=r-R≈6R(为恒量). (5)绕行方向一定:与地球自转的方向一致.

? 4.极地卫星和近地卫星 ? (1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极,由 于地球自转,极地卫星可以实现全球覆盖. ? (2)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀 速圆周运动的卫星,其运行的轨道半径可近似 认为等于地球的半径,其运行线速度约为7.9 km/s. ? (3)两种卫星的轨道平面一定通过地球的球 心.
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? 3.2012年6月24日,“神舟九号”飞船和“天 宫一号”目标飞行器,在距离地面高度343公 里的轨道上成功实施了首次手动交会对接,在 交会对接前,“天宫一号”在高度约为350公 里的近圆轨道上绕行,如图所示,若它们绕地 球的运行均可视为匀速圆周运动,如图所示, 关于对接前的下列分析正确的是( )

? A.“神舟九号”的绕行周期比“天宫一号” 更长 ? B.“神舟九号”的绕行速度比“天宫一号” 更大 ? C.“神舟九号”的向心加速度比“天宫一号”

解析:设“神舟九号”和“天宫一号”的运动半径分别为 v2 Mm 4π2 r1 和 r2,万有引力提供向心力,由 G 2 =ma=m r =mr 2 可 r T T1 得周期之比 = T2 v1 r3 1 ,A 项错;线速度之比 = r3 v2 2 r2 ,B 项 r1

a1 r 2 ω1 T2 2 正确;向心加速度之比 = 2,C 项正确;角速度之比 = , a2 r 1 ω2 T1 D 项错.
答案:BC

? 知识点四 经典时空观和相对论时空观

? 1.经典时空观 运动状态 ? (1)在经典力学中,物体的质量不随 而改变; 相同 ? (2)在经典力学中,同一物理过程发生的位移 和对应时间的测量结果在不同的参考系中是 的.

? 2.相对论时空观
? (1)在狭义相对论中,物体的质量随物体的速 m0
m=
增加

v2 1- 2 c

度的增加而_______,用公式表示
不同



.

? (2)在狭义相对论中,同一物理过程发生的位

? 两种时空观的理解 ? (1)经典时空观认为时间和空间是脱离物质而 存在的,是绝对的,时间和空间之间也是没有 联系的. ? (2)相对论时空观认为有物质才有时间和空间, 空间和时间与物质的运动状态有关,它们不是 相互独立的.

? 4.在日常生活中我们并没有发现物体的质量 随物体的运动的变化而变化,其原因是( ) ? A.物体运动无法称质量 ? B.物体的速度远小于光速,质量变化极小 ? C.物体质量太大 ? D.物体的质量不随速度变化而变化

解析:按照爱因斯坦狭义相对论观点,物体的质量随速度 的增加而增加,其具体关系为 m= m0 v2 1- 2 c ,通常情况下我们

在日常生活中所观察到的物体速度 v?c,所以 m=m0,即质量 随速度的变化极其微小,故正确答案选 B.

答案:B

? 天体质量和密度的估算 ? (2012·福建高考)一卫星绕某一行星表 面附近做匀速圆周运动,其线速度大小为v.假 设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一 质量为m的物体重力,物体静止时,弹簧测力 计的示数为N.已知引力常量为G,则这颗行星 mv2 mv4 的质量为 A. GN B. GN
Nv2 C. Gm Nv4 D. Gm

解析:行星对卫星的万有引力提供其做匀速圆周运动的向 Mm′ v2 心力,有 G 2 =m′ R R 行星对处于其表面物体的万有引力等于物体重力, Mm 有 G 2 =mg R 根据题意,有 N=mg mv4 解以上三式可得 M= GN ,选项 B 正确. 答案:B

? 【变式训练】1.美国宇航局发布声明宣布,通 过开普勒太空望远镜项目证实了太阳系外第一 颗类似地球的、可适合居住的行星。该行星被 命名为开普勒-22b(Kepler-22b),距离地球约 600光年之遥,体积是地球的2.4倍.这是目前 被证实的从大小和运行轨道来说最接近地球形 态的行星,它每290天环绕着一颗类似于太阳 的恒星运转一圈.若行星开普勒-22b绕恒星 做圆运动的轨道半径可测量,万有引力常量G 己知.根据以上数据可以估算的物理量有 ( )
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解析:由万有引力定律和牛顿第二定律卫星绕中心天体运 Mm 动的向心力由中心天体对卫星的万有引力提供,由 G 2 = r 4π2 4π2r3 mr 2 求得地球质量 M= ,所以选项 C 正确. T GT2
答案:C

? 卫星的运行规律
(2012· 天津高考)一人造地球卫星绕地球做匀速圆周 运动,假如该卫星变轨后仍做匀速圆周运动,动能减小为原来 1 的 ,不考虑卫星质量的变化,则变轨前后卫星的 4 A.向心加速度大小之比为 4∶1 B.角速度大小之比为 2∶1 C.周期之比为 1∶8 D.轨道半径之比为 1∶2

1 解析:卫星变轨后动能减小为原来的 ,则其速度变为原来 4 v2 1 Mm 4π2 的 ,由 G 2 =m r =m 2 r=mω2r=ma 可得:v= 2 r T GM r 知

GM 半径变为原来的 4 倍,选项 D 错误;a= 2 知加速度变为原来 r 1 的 ,选项 A 错误; 由 ω= 16 错;由 T=
答案:C

GM 1 知 ω 变为原来的 .选项 B r3 8

4π2r3 GM ,知周期变为原来的 8 倍,选项 C 正确.

? 【变式训练】2.如图所示,A、 B是在地球大气层外圆周轨道 上运行的质量不等的两颗卫星, 它们的轨道半径满足RA=2R, RB=3R,R为地球半径,下列 A.A、B 的角速度之比 ωA∶ωB=1∶1 说法正确的是( ) B.A、B 的线速度之比 vA∶vB= 3∶ 2
C.A、B 的加速度之比 aA∶aB=9∶4 D.A、B 受到的万有引力之比 FA∶FB=9∶4

解析:两颗卫星的轨道半径不一样,由 ω= 选项 A 错误;由 v=

GM 3 可知, r

GM r ,RA∶RB=2∶3 可知,选项 B 正

M Mm 确;由 a=G 2 ,RA∶RB=2∶3 可知选项 C 正确;F=G 2 , r r 由于两颗卫星的质量不知,卫星 A、B 受到的万有引力无法确 定,选项 D 错误.
答案:BC

? 卫星变轨问题 ? “嫦娥二号”探月卫星沿地月转移轨 道直奔月球,在距月球表面100 km的P点进行 第一次“刹车制动”后被月球捕获,进入椭圆 轨道Ⅰ绕月飞行,之后,卫星在P点又经过第 二次“刹车制动”,进入距月球表面100 km的圆形工作轨道Ⅱ,绕月球做匀速圆周运 动,如图所示.则下列说法正 确的是

? A.卫星在轨道Ⅰ上运动周期比在轨道Ⅱ上长 ? B.卫星在轨道Ⅰ上运动周期比在轨道Ⅱ上短 ? C.卫星沿轨道Ⅰ经P点时的加速度小于沿轨 道Ⅱ经P点时的加速度 ? D.卫星沿轨道Ⅰ经P点时的加速度等于沿轨 道Ⅱ经P点时的加速度

? 解析:由图可知,卫星轨道Ⅰ半长轴大于轨道 Ⅱ,由开普勒定律可知,卫星在轨道Ⅰ上运动 周期比在轨道Ⅱ上长,选项A正确,B错误; 卫星在同一点所受引力相同,其加速度相同, 卫星沿轨道Ⅰ经P点时的加速度等于沿轨道Ⅱ 经P点时的加速度,选项D正确,C错误. ? 答案:AD
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?

卫星稳定运行与变轨运行的区
1.圆轨道上的稳定运行 别
?2π? v2 Mm 2 G 2 =m r =mrω =mr? T ?2 r ? ?

2.变轨运行分析 当卫星由于某种原因速度 v 突然改变时,受到的万有引力 v2 Mm G 2 和需要的向心力 m r 不再相等, 卫星将偏离原轨道运动. 当 r v2 Mm G 2 >m r 时,卫星做近心运动,其轨道半径 r 变小,由于万 r v2 Mm 有引力做正功,因而速度越来越大;反之,当 G 2 <m r 时, r 卫星做离心运动,其轨道半径 r 变大,由于万有引力做负功, 因而速度越来越小.

? 【变式训练】3.北京航天飞行控制中心对“嫦 娥一号”卫星实施多次变轨控制并获得成 功.首次变轨是在卫星运行到远地点时实施的, 紧随其后进行的3次变轨均在近地点实 施.“嫦娥一号”卫星的首次变轨之所以选择 在远地点实施,是为了抬高卫星近地点的轨道 高度.同样的道理,要抬高远地点的高度就需 要在近地点实施变轨.如图为“嫦娥一号”某 次在近地点A由轨道1变轨为轨道2的示意图, 下列说法中正确的是( )

? A.“嫦娥一号”在轨道1的A点处应点火加速 ? B.“嫦娥一号”在轨道1的A点处的速度比轨 道2的A点处的速度大 ? C.“嫦娥一号”在轨道1的A点处的加速度比 在轨道2的A点处的加速度大 ? D.“嫦娥一号”在轨道1的B点处的机械能比 在轨道2的C点处的机械能大

解析: 卫星要由轨道 1 变轨为轨道 2 在 A 处需做离心运动, v2 应加速使其做圆周运动所需向心力 m r 大于地球所能提供的万 Mm Mm 有引力 G 2 ,故 A 项正确,B 项错误;由 G 2 =ma 可知, r r 卫星在不同轨道同一点处的加速度大小相等,C 项错误;卫星 由轨道 1 变轨到轨道 2,反冲发动机的推力对卫星做正功,卫 星的机械能增加,所以卫星在轨道 1 的 B 点处的机械能比在轨 道 2 的 C 点处的机械能小,D 项错误.

答案:A

? 双星问题 ? (16分)如图所示,质量分别为m和M的 两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速圆 周运动,星球A和B两者中心之间的距离为L. 已知A、B的中心和O三点始终共线,A和B分 别在O的两侧.引力常量为G.

? (1)求两星球做圆周运动的周期; ? (2)在地月系统中,若忽略其他星球的影响, 可以将月球和地球看成上述星球A和B,月球 绕其轨道中心运行的周期记为T1.但在近似处 理问题时,常常认为月球是绕地心做圆周运动 的,这样算得的运行周期记为T2.已知地球和 月球的质量分别为5.98×1024 kg和7.35×1022 kg.求T2与T1两者平方之比.(结果保留3位小数)
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?

(1)A和B绕O做匀速圆周运动,它 们之间的万有引力提供向心力,则A和B的向 心力相等,且A、B的中心和O始终共线,说明 A和B有相同的角速度和周期. 分) 因此有:mω2r =Mω2r ,r +r =L,(2
A B A B

m M 联立解得:rB= L,rA= L(1 分) m+M m+M 对 A 星根据牛顿第二定律和万有引力定律得:
?2π? GMm M ? ?2 =m T L,(2 分) L2 ? ? M+m

解得:T=2π

L3 .(1 分) G?M+m?

(2)将地月看成双星,由(1)所求有:T1=2π 分)

L3 (2 G?M+m?

将月球看做绕地心做圆周运动,根据牛顿第二定律和万有 引力定律
?2π? GMm 得 2 =m? T ?2L,(4 分) L ? 2?

解得 T2=2π

L3 GM(2 分)

所以 T2 与 T1 的平方之比为
?T2? M+m 5.98×1024+7.35×1022 ? ?2= =1.01.(2 24 T1? M = 5.98×10 ?

分)

答案:(1)2π

L3 G?M+m?

(2)1.01

? 双星问题的特点 ? 在天体运动中,将两颗彼此相距较近的行 星称为双星.星体在万有引力提供向心力 的情况下做匀速圆周运动,具有以下三个 特点:

? (1)两颗行星做圆周运动所需的向心力由它们 之间的万有引力提供,故F1=F2,且方向相反, 分别作用在m1、m2两颗行星上. ? (2)由于两颗行星之间的距离总是恒定不变的, 所以两颗行星的运行周期就必须相等,即T1= T2. ? (3)由于圆心在两颗行星的连线上,所以r1+r2 =L.

? 【变式训练】4.天文学家如果观察到一个星球 独自做圆周运动,那么就想到在这个星球附近 存在着一个看不见的星体黑洞.星球与黑洞由 万有引力的作用组成双星,以两者连线上某点 为圆心做匀速圆周运动,那么( ) ? A.它们做圆周运动的角速度与其质量成反比 ? B.它们做圆周运动的周期与其质量成反比 ? C.它们做圆周运动的半径与其质量成反比 ? D.它们所受的向心力与其质量成反比

? 解析:设星球与黑洞做匀速圆周运动的半径分 别为r1、r2,质量分别为m、M,在组成的双星 运动中,其角速度与周期都相同,故A、B错 误;由F万=mr1ω2=Mr2ω2可知,C正确,D错 误. ? 答案:C

?

如图同步卫星与地心的距离为r,运 行速率为v1,向心加速度为a1;地球赤道上的 物体随地球自转的向心加速度为a2,第一宇宙 速度为v2,地球半径为R,则下列比值正确的 是

a1 r A. =R a2 v1 r C. =R v2

a1 ?R?2 B. =? r ? a2 ? ? v1 D. = v2 R r

? 解析:本题中涉及三个物体,其已知量排列如 下.地球同步卫星:轨道半径r,运行速率v1, 加速度a1; ? 地球赤道上的物体: ? 轨道半径R,随地球自转的向心加速度a2; ? 近地卫星:轨道半径R,运行速率v2.

对于卫星,其共同特点是万有引力提供向心力, v2 Mm 有 G 2 =m r , r v1 故 = v2 R r.

对于同步卫星和地球赤道上的物体, 其共同特点是角速度相等,有 a=ω2r, a1 r 故 = R. a2
答案AD

[易错分析]解本题容易犯的错误是, 不分青红皂白, 由于思 维定式,对近地卫星、同步卫星、地球赤道上的物体均由 v2 Mm G 2 =ma=m r 分析得出结论,错选 B. r

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? 活页作业(十三)
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