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河南省扶沟县高级中学2012-2013学年高二上学期第三次考试数学试题


河南省扶沟县高级中学 2012-2013 学年高二上学期第三次考 试数学试题第Ⅰ卷
一、选择题:本题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个 选项中,恰有一项 是符合题目要求的,把正确答案涂在答题卡上. .... 1.命题“若 a ? b ,则 ac ? bc ( a 、 b 、 c ? R ) ”与它的逆命题、否命题、逆否 命题中,真命题的个数为( ) ) D.a|c|>b|c| ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 0 2.若 a、b、c∈R,a>b,则下列不等式成立的是( 1 1 a b A. < B.a2>b2 C. 2 > 2 a b c +1 c +1 3.全称命题“ ?x ? R, x2 ? x ? A. ?x ? R, x2 ? x ?
1 ? 0 ”的否定是 ( 4

1 ?0 4 1 C. ? x ? R, x 2 ? x ? ? 0 4

B. ?x ? R, x2 ? x ?

1 ?0 4 1 D. ?x ? R, x2 ? x ? ? 0 4

4.(理科做) “曲线 C 上的点的坐标都是方程 f ( x, y ) ? 0 的解”是“曲线 C 的方 程是 f ( x, y ) ? 0 ”的( A.充要 )条件 C.必要不充分 D.既不充分又不必要 )条件

B.充分不必要

(文科做) “ mn ? 0 ”是“ mx 2 ? ny 2 ? mn 为椭圆”的( A.充要 B.充分不必要 C.必要不充分

D.既不充分又不必要 ) 或
2? 3

5.在 ?ABC 中,已知 a 2 ? b 2 ? bc ? c 2 ,则角 A 为 ( A.
2? 3

B.

?
6

C.

?
3

D.

?
3

6.已知等差数列 {an } 的前项和为 S n ,若 M 、 N 、 P 三点共线, O 为坐标原点, 且 ON ? a15 OM ? a6 op (直线 MP 不过点 O ),则 S 20 等于 A. 15 B. 10 C. 40
?? ? ? ? ?? ?? ?

( D. 20



7.下列函数中,最小值是 4 的函数是( ) 4 4 A.y=x+x B.y=sinx+sinx(0<x<π) C.y=ex+4e-x 8.椭圆

D.y=log3x+logx81

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两焦点为 F1 、 F2 ,以 F1 F2 为边作正三角形,若椭 a2 b2


圆恰好平分该正三角形的另两边,则椭圆的离心率是(

A. 4 ? 2 3

B.

3 ?1 2

C. 3 ? 1

D. 3 ? 1

9.设等比数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n ,且 4a1 ,2a 2 , a3 成等差数列.若 a1 ? 1 ,则 S 4 ? ( ) A. 8 B. 16 C. 15 D. 7

x2 y2 10.已知椭圆 ? ? 1 ,过点 P(2,1) 且被点 P 平分的椭圆的弦所在的直线方程 16 4
是( ) B. x ? 2 y ? 4 ? 0 C. x ? 2 y ? 0 D. 8 x ? y ? 15 ? 0

A. 8 x ? y ? 17 ? 0

11.若 F1 、 F2 是双曲线 8 x 2 ? y 2 ? 8 的两焦点,点 P 在该双曲线上,且 ?PF1 F2 是 等腰三角形,则 ?PF1 F2 的周长为( ) A. 17 B. 16 C. 20 D. 16或20 12.(理科做)过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 上一定点 P( x0 , y 0 )( y 0 ? 0) ,作两条直线

B( x2 , y 2 ) . 分别交抛物线于 A( x1 , y1 ) 、 当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时,
则 y1 ? y 2 的值为(
y0

) C. 2 D.无法确定

A. ?

1 2

B. ? 2

(文科做)双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的两个焦点为 F1、F2,若 P 为其上一点,且 a 2 b2
( D. ?3, ?? ? ) B. ?1, 2? C.(3,+ ? )

|PF1|=3|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为 A.(1,2)

第Ⅱ卷
二、填空题:本题共 4 个小题,每题 5 分,共 20 分,把答案写在答题卷上. x?0 ? ? 13. 设 变 量 x 、 y 满 足 约 束 条 件 ? x ? y ? 0 , 则 z ? 3 x ? 2 y 的 最 大 值 为 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ? ________. 14.在 ?ABC 中, b ?
4 3 , c ? 2 2 , ?B ? 45 ? ,则 ?A =________. 3

15.若互不相等的实数 a,b,c 成等差数列,c,a,b 成等比数列,且 a ? 3b ? c ? 10 ,则 a= .

16.(理科做)若直线 y ? ? x ? m 与曲线 值范围是________

y ? 5?

1 2 x 4 只有一个公共点,则 m 的取

(文科做) 已知直线 y ? kx ? 1 与双曲线 x 2 ? y 2 ? 2 的右支相交于不同的两点, 则 k 的取值范围是________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出必要的文字说明、证明过 程或演算步骤,答案写在答题卷上. 17. (本小题满分 10 分) 已知 p : ? x 2 ? 8 x ? 20 ? 0 , q : x 2 ? 2 x ? 1 ? m 2 ? 0(m ? 0) .若“ ? p ”是 “ ? q ”的充分不必要条件,求实数 m 的取值范围. 18.(本小题满分 12 分) (理科做)如图,已知抛物线 y 2 ? 4 x ,焦点为 F ,顶 点为 O , 点 P 在抛物线上移动,Q 是 OP 的中点,M 是
FQ 的中点,求点 M 的轨迹方程.

(文科做)已知直线 l : y ? x ? 1 与抛物线 y 2 ? 4 x 交于 A , B 两点,求弦 AB 的长. 19. (本小题满分12分) 已知 ?ABC 中, AC ? 1 , ?B ? 120 ? , ?A ? ? . (1)求 ?ABC 的面积关于 ? 的表达式; (2)求 ?ABC 的面积的最大值. B C 20. (本小题满分 12 分) (20 理图) (理科做)为了竖一块广告牌,要制造三角型支架,三角形支架如图所示, 要求 ?C ? 60 ? , BC 长度大于 1 米,且 AC 比 AB 长 0.5 米,为了广告牌的稳固, 要求 AC 的长度越短越好,求 AC 最短为多少? (文科做)已知关于 x 不等式 ax 2 ? 3ax ? 6 ? 0 的解集为 ?x | x ? 1 或 x ? b? (1)求 a、b 的值; 21.(本小题满分12分) 已知数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n ,对一切正整数,点 (n, S n ) 都在函数 (2)解关于 x 不等式 ax 2 ? (ac ? b) x ? bc ? 0

A

f ( x) ? 2 x ? 2 ? 4 的图像上.
(1)求数列 ?a n ? 的通项公式;

(2)设 bn ? a n ? log 2 a n ,求数列 ?bn ?的前项和 Tn . 22. (本小题满分 12 分) 已知椭圆中心在原点,焦点在 x 轴上,椭圆短轴的端点和焦点组成的四边形 为正方形,且

2a 2 ? 4. c

(1)求椭圆方程; (2)直线 l 过点 P(0,2) ,且与椭圆相交于 A 、 B 不同的两点,当 ?AOB 面积取 得最大值时,求直线 l 的方程.

扶沟高中 2012 - 2013 学年度(上)高二第三次考试

数学参考答案

三、解答题 17. (本小题满分 10 分) 解:p: ?2 ? x ? 10 ,q: 1 ? m ? x ? 1 ? m ---------------------- 3 分 ∵“¬p”是“¬q”的充分不必要条件 ∴q 是 p 的充分不必要条件 ---------------------------------- 5 分

?m ? 0 ? ?1 ? m ? ?2 ?1 ? m ? 10 ?

----------------------------------------------- 8 分

解之,得 0 ? m ? 3 --------------------------------------- 10 分

19. (本小题满分 12 分) 解:(1)由正弦定理,得

BC 1 AB ? ? ? sin ? sin 120 sin(60 ? ? ? ) ? BC ? ? S ?ABC sin ? 2 3 sin(60 ? ? ? ) 2 3 ? sin ? , AB ? ? sin(60 ? ? ? ) ? ? 3 3 sin 120 sin 120 1 3 ? AB ? BC sin 120 ? ? sin ? sin(60 ? ? ?( ) 0 ? ? ? ? 60 ?) 2 3 -------------------------------------- 6 分

(理)解:设 BC ? x( x ? 1), AC ? y ,则 AB ? y ?

1 2

在 ?ABC 中, AB 2 ? AC 2 ? BC 2 ? 2 AC ? BC cos C
1 则 ( y ? ) 2 ? y 2 ? x 2 ? 2 xy cos 60 ? ------------------------- 5 分 2

1 3 ( x ? 1) 2 ? 2( x ? 1) ? 3 4 ? 4 ? ( x ? 1) ? 化简得: y ? ?2 x ?1 x ?1 4( x ? 1) x2 ?
? 3?2
当且仅当 x ? 1 ? ---------------------------------- 10 分

3 3 ,即 x ? ? 1 时, y 有最小值为 3 ? 2 2 4( x ? 1)

所以, AC 最短为 ( 3 ? 2) 米时,广告牌最稳固 ----------- 12 分

? 1? b ?1 ? (文科)本小题满分 12 分)解: (1)由题意知: ? 1?b ? 6 a ?

?

a ?3 b?2

21. (本小题满分 12 分) 解(1)由题意, S n ? 2 n ? 2 ? 4

n ? 2 时, a n ? S n ? S n ?1 ? 2 n ? 2 ? 2 n ?1 ? 2 n ?1
当 n ? 1 时, a1 ? 4 ? 21?1 ,符合公式
? 数 列 ?a n ? 的 通 项 公 式 为 a n ? 2 n ?1 ------------------------ 5 分

22. (本小题满分 12 分) 解: (理)(1)由题意知: b ? c,? a 2 ? 2c 2 , 又 故椭圆方程为

a2 ? 2,? a 2 ? 2, b 2 ? c 2 ? 1 c

x2 ? y 2 ? 1 ------------------------------- 4 分 2 (2)易知直线 l 的斜率存在,设为 k ,直线 l 方程: y ? kx ? 2 ,则 ? y ? kx ? 2 1 ? 2 ? (k 2 ? ) x 2 ? 4kx ? 3 ? 0 ?x 2 ? y ?1 2 ? ?2 ? 8k 6 设 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ) ,则 x1 ? x 2 ? 2 , , x1 ? x 2 ? 2 2k ? 1 2k ? 1 3 又? ? 0 ? k2 ? ----------------------------------- 7 分 2
64k 2 6 ?4 2 ] 2 2 (2k ? 1) 2k ? 1 2 又点 O 到直线 l 的距离 d ? 1? k 2 | AB |? (1 ? k 2 )[

? S ?AOB ?

1 2k 2 ? 3 | AB | ?d ? 2 2 2 2k 2 ? 1

--------------------- 10 分

令 2k 2 ? 3 ? t (t ? 0) ,则 S ?AOB ? 2 2

t 1 2 ?2 2 ? 4 2 t ?4 t? t
2

7 14 时,取“ ? ” ,k ? ? 2 2 14 此时 l 的方程为 y ? ? x ? 2 ------------------------- 12 分 2

当且仅当 t 2 ? 4 即 k 2 ?


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