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高一数学竞赛辅导


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奇数偶数
将全体整数分为两类,凡是 2 的倍数的数称为偶数,否则称为奇数.因此,任一偶数可 表为 2m(m∈Z),任一奇数可表为 2m+1 或 2m-1 的形式.奇、偶数具有如下性质: (1)奇数±奇数=偶数;偶数±偶数=偶数; 奇数±偶数=奇数;偶数×偶数=偶数; 奇数×偶数=偶数;奇数×奇数=奇数; (2) 奇数的平方都可表为 8m+1

形式, 偶数的平方都可表为 8m 或 8m+4 的形式 (m∈Z) . (3)任何一个正整数 n,都可以写成 n ? 2 l 的形式,其中 m 为非负整数,l 为奇数.
m

整除性质:
1、若 a | b, b | c, 则a | c. 2、若 a | bi , 则a |

? c b , 其中c
i ?1 i i

n

i

? Z , i ? 1,2,?, n.

3、若 a | c ,则 ab | cb. 反之,亦成立. 4、若 a | b, 则 | a |?| b | .因此,若 a | b, 又b | a, 则a ? ?b . 5、 a 、 b 互质,若 a | c, b | c, 则ab | c. 6、 p 为质数,若 p | a1 ? a2 ? ?? an , 则 p 必能整除 a1 , a2 ,?, an 中的某一个.
n 特别地,若 p 为质数, p | a , 则p | a.

7、n 个连续整数中有且只有一个是 n 的倍数. 8、任何 n 个连续整数之积一定是 n 的倍数.

一个整数整除的判定方法:
设 N 是正整数,在十进制中的 n+1 位数可表示为

N ? an an?1an?2 ?a2 a1a0 ? an ?10n ? an?1 ?10n?2 ? ?? a2 ?102 ? a1 ?101 ? a0
其中 0 ? ai ? 9, ai ? Z (i ? 1,2,?, n), an ? 0 1. 当 a ? 2,5 时,若 a | a 0 ,则 a | N ; 2 . 当 a ? 3,9 时,若 a |

?a
i ?0

n

i

,则 a | N ;

3.当 a ? 4,25 时,若 a | a1a0 ,则 a | N ; 4. 当 a ? 8,125 时,若 a | a2 a1a0 ,则 a | N ; 5.若 7 | an an?1 ?a1 ? 2a0 ,则 7 | N ;

6.若11| (a0 ? a2 ? ?) ? (a1 ? a3 ? ?), 则 11|N
1

最大公约数和最小公倍数:
b a与 c 设 a 、 是两个不全为 0 的整数.若整数 c 满足: | a, c | b , 则称 c为a, b 的公约数, b
的所有公约数中的最大者称为 a与b 的最大公约数。 如果 d是a 、 b 的倍数,则称 d是a 、 b 的公倍数. a与b 的公倍数中最小的正数称为

a与b 的最小公倍数。

方幂问题:
一个正整数 n 能否表成 m 个整数的 k 次方和的问题称为方幂和问题.特别地,当 m ? 1 时称为 k 次方问题, k ? 2 时, 当 称为平方和问题.能表为某整数的平方的数称为完全平方数. 简称平方数,关于平方数,明显有如下一些简单的性质和结论: (1)平方数的个位数字只可能是 0,1,4,5,6,9. (2)偶数的平方数是 4 的倍数,奇数的平方数被 8 除余 1,即任何平方数被 4 除的余数只 能是 0 或 1. (3)奇数平方的十位数字是偶数. (4)十位数字是奇数的平方数的个位数一定是 6. (5)不能被 3 整除的数的平方被 3 除余 1,能被 3 整除的数的平方能被 3 整除.因而,平方 数被 9 除的余数为 0,1,4,7,且此平方数的各位数字的和被 9 除的余数也只能为 0,1,4, 7. (6)平方数的约数的个数为奇数. (7)任何四个连续整数的乘积加 1,必定是一个平方数.

例题讲解
1.已知 n 是偶数,m 是奇数,方程组 ?

? x ? 1988y ? n ?x ? p 的解 ? 是整数,那么( C ) ?11x ? 27 y ? m ?y ? q
(B)p、q 都是奇数.

(A)p、q 都是偶数.

(C)p 是偶数,q 是奇数

(D)p 是奇数,q 是偶数


5.设 a、b 是自然数,且有关系式 123456789=(11111+a)(11111-b),
证明:a-b 是 4 的倍数. 证明 由①式可知 11111(a-b)=ab+4×617 ②∵a>0,b>0,∴a-b>0

首先,易知 a-b 是偶数,否则 11111(a-b)是奇数,从而知 ab 是奇数,进而知 a、b 都是奇数,可知(11111+a)及(11111-b)都为偶数,这与式①矛盾

2

其次, a-b 是偶数, 从 根据②可知 ab 是偶数, 进而易知 a、 皆为偶数, b 从而 ab+4×617 是 4 的倍数,由②知 a-b 是 4 的倍数. 2、设 a、b 都是整数,下列命题正确的个数是( B) ①若 a+5b 是偶数,则 a-3b 是偶数;②若 a+5b 是偶数,则 a-3b 是奇数; ③若 a+5b 是奇数,则 a-3b 是奇数;④若 a+5b 是奇数,则 a-3b 是偶数. (A)1 (B)2 (C)3 (D)4

3.若数 n=20· 40· 60· 80· 100· 120· 30· 50· 70· 90· 110· 130,则不是 n 的因数的最小质数是(B ).

(A)19

(B)17 (C)13

(D)非上述答案

4、在整数 0、1、2…、8、9 中质数有 x 个,偶数有 y 个,完全平方数有 z 个,则 x+y+z 等于( B ). (A)14 (B)13 (C)12
11 18

(D)11 ).
11 18

(E)10

5、可除尽 3 +5 的最小整数是(A (A)2 (B)3 (C)5

(D)3 +5 (E)以上都不是
8 11 n

6、求所有这样的自然数 n ,使得 2 ? 2 ? 2 是一个自然数的平方.
8 11 n 8?n 11?n 证明:(1)当 n ? 8 时, N ? 2 ? 2 ? 2 ? (2 ? 2 ? 1) ,因(…)为奇数,所以要

使 N 为平方数, n 必为偶数.逐一验证 n ? 2,4,6,8 知,N 都不是平方数.
8 11 9 8 (2)当 n ? 9 时, N ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 11不是平方数.

(3)当 n ? 10 时, N ? 28 (9 ? 2 n?8 ) ,要 N 为平方数, 9 ? 2 n?8 应为奇数的平 方, 不妨假设 9 ? 2 n?8 = (2k ? 1) 2 ,则 2 n?10 ? (k ? 1) ? (k ? 2). 由于 k ? 1 和 k ? 2 是一奇 一偶,左边为 2 的幂,因而只能 k ? 1 =1,于是得 k ? 2 ,由 2 n?10 ? 2 2 知 n ? 12 为 所求.

3

高一数学竞赛辅导材料—— 不等式与函数、方程的联系
一、不等式的基本性质: 1、 a ? b ? a ? b ? 0, a ? b ? a ? b ? 0 2、 a ? b, c ? 0 ? ac ? bc; a ? b, c ? 0 ? ac ? bc 3、 a ? b ? 0, n ? N ? ? a n ? b n , n a ? n b 4、 || a | ? | b ||?| a ? b |?| a | ? | b | 二、解不等式的基本方法: 1、 ax ? b且a ? 0 ? x ? 2、 数轴标根法 3、分式不等式的解法:

b b , ax ? b且a ? 0 ? x ? a a

f ( x) f ( x) ? 0 ? f ( x) g ( x) ?; ? 0 ? f ( x) g ( x) ? 0且g ( x) ? 0 g ( x) g ( x)
? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 或? , ? f ( x) ? g 2 ( x) ? g ( x) ? 0 ?

4、无理不等式的解法:

? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? g 2 ( x) ?
5、在解指数不等式或对数不等式时应注意定义域 的问题还要注意底数是在 0,1 之间还是 大于 1,关系到不等号是否需要改向的问题。 6、利用图象解不等式。 三、重要的不等式:若 a, b ? (0,??),则a ? b ? 2 ab当且仅当 ? b等号成立 a 。 四、二次函数、二次方程与不等式的联系: 二次方程问题其实质就是其相应二次函数的零点(图象与 x 轴的交点)问题, 因此, 二次 方程的实根分布问题, 即二次方程的实根在什么区间内的问题, 借助于二次函数及其图象利 用形数结合的方法来研究是非常有益的。 设 f(x)=ax +bx+c(a≠0)的二实根为 x1,x2,(x1<x2),Δ =b -4ac,且α 、β (α <β )是预 先给定的两个实数。 1.当两根都在区间(α ,β )内,方程系数所满足的充要条件:
4
2 2

∵α <x1<x2<β ,对应的二次函数 f (x)的图象有下列两种情形(图 1)

当 a>0 时的充要条件是:Δ >0,α <-b/2a<β ,f(α )>0,f (β )>0 当 a<0 时的充要条件是:Δ >0,α <-b/2a<β ,f(α )<0,f (β )<0 两种情形合并后的充要条件是: Δ >0,α <-b/2a<β ,af(α )>0,af (β )>0 ①

2.当两根中有且仅有一根在区间(α ,β )内,方程系数所满足的充要条件: ∵α <x1<β 或α <x2<β ,对应的函数 f(x)的图象有下列四种情形(图 2)

从四种情形得充要条件是: f (α )·f (β )<0 ②

3.当两根都不在区间[α ,β ]内方程系数所满足的充要条件: (1)两根分别在区间[α ,β ]之外的两旁时: ∵x1<α <β <x2,对应的函数 f(x)的图象有下列两种情形(图 3):

5

当 a>0 时的充要条件是:f (α )<0,f (β )<0 当 a>0 时的充要条件是:f (α )>0,f (β )>0 两种情形合并后的充要条件是: af (α )<0,af (β )<0 ③

(2)两根分别在区间[α ,β ]之外的同旁时: ∵x1<x2<α <β 或α <β <x1<x2,对应函数 f(x)的图象有下列四种情形(图 4):

当 x1<x2<α 时的充要条件是: Δ >0,-b/2a<α ,af (α )>0 当β <x1<x2 时的充要条件是: Δ >0,-b/2a>β ,af (β )>0 二次函数与二次不等式 前面提到,一元二次不等式的解集相应于一元二次函数的正值、负值区间。解不等式与 证明不等式成立,经常要用到二次函数的极值性质、单调性、图象与 x 轴的位置关系等。 ⑤ ④

例题讲解
1.设二次函数 f(x)= ax +bx+c(a>0),方程 f(x)-x=0 的两个根 x1,x2 满足 0<x1<x2<1/a。 (1)当 x∈(0,x1)时,证明 x<f(x)<x1 (2)设函数 f(x)的图象关于直线 x=x0 对称,证明:x0<x1/2。 2 从代数角度看, f(x)是二次函数, 从而方程 f(x)-x=0 即 ax +(b-1)x+c=0(a>0)是二次 2 方程, 由于 x1,x2 是它的两个根, 且方程中 x 的系数是 a, 因此有表达式: f(x)-x=a(x-x1)(x-x2) 进而,利用二次函数的性质和题设条件,可得第(1)问的证明。 从几何角度看,抛物线 y=f(x)-x 开口向上,因此在区间[x1,x2]的外部,f(x)-x>0, (1)的左端得证。其次,抛物线 y=f(x)的开口也向上,又 x1=f(x1),于是为了证得(1)的 右端, 相当于要求证明函数 f(x)在区间 [0,x1] 的最大值是 f(x1), 这相当于证明 f(0)≤f(x1), 也即 C≤x1,利用韦达定理和题设,立即可得。
2

6

至于(Ⅱ)的证明,应用配方法可得 x0=-b/2a,进而利用韦达定理与题设,即得证明。 证明:①欲证:x<f(x)<x
只须证:0<f(x)-x<x1-x
2



因为方程 f(x)-x=0 的两根为 x1,x2,f(x)=ax +bx+c(a>0),∴f(x)-x=a(x-x1)(x-x2)
①式即: 0<a(x-x1)(x-x2)<x1-x ②

∵a>0,x∈(0,x1),x1-x>0,∴a(x1-x)>0

②式两边同除以 a(x1-x)>0,得:0<x2-x<1/a,即:x<x2<1/a+x 这由已知条件:0<x<x1<x2<1/a,即得:x<x2<(1/a)<1/a+x, 故命题得证。 (2)欲证 x0<x1/2,因为 x0=-b/2a,故只须证:x0-x1/2=-b/2a-x1/2<0 由韦达定理,x1+x2=(-b-1)/a,(x1+x2)/2=-(b-1)/2a,代入③式,有 (-(b/2a))-(x1/2)=(x2/2)-(1/(2a))<0 ,即:x2<1/a 由已知:0<x1<x2<1/a,命题得证。 [评注]证(1)用到了二次函数的零点式 f(x)-x=a(x-x1)(x-x2) 证(2)用到了 x0=-(b/(2a)),((x1+x2)/2)=-((b-1)/2a),都是二次函数二次方 程的基础知识。 2、当 K 为什么实数时,关于 X 的二次方程 7x -(k+13)x+k -k-2=0 的两个实根α 和β 分别满 足 0<α <1 和 1<β <2? 1<β <2 顺理成章,但计算变形较繁难。如果把此题的方程的左端看作是一个二次函数的 话,结合函数的图象和性质来解此题,那就简便得多了。 解:设 y=f(x)=7x -(k+13)x+k -k-2,则因为 a=7>0,且方程 f(x)=0 有两实根α ,β , 所以它的图象是开口向上且与 X 轴相交于两点(α ,0)、(β ,0)的抛物线。由于 0<α <1, 1<β <2,可知在 x<α 或 x>β 时,f(x)取正值;在α <x<β 时,f(x)取负值。于是,当 2 2 2 x 分列取 0,1,2 时,有:f(0)=k -k-2>0,f(1)=k -2k-8<0,f(2)=k -3k>0 解这三个不等 式组成的不等式组,可得-2<k<-1 和 3<k<4。 显然,上述三个一元二次不等式解起来要容易得多。
2 2 2 2



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