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2013 广东各地 高考一模 文数 打包(一) 广州 佛山 深圳 梅州 揭阳 肇庆


2013 届广东各地一模(文数)打包:广 州 佛山 深圳 揭阳 肇庆 梅州
试卷类型:A

2013 年广州市普通高中毕业班综合测试(一)

数学(文科)
2013.3 本试卷共 4 页,21 小题, 满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试

室号、 座位号填写在答题卡上.用 2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置 上。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息 点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷 上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目 指定区域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的 答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答。 漏涂、错涂、多涂的,答案无效。 5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。

? ?a ? 中系数计算公式 参考公式:线性回归方程 ? y ? bx
? ? b
i ?1

? ( xi ? x)( yi ? y )
i ?1

n

? ( xi ? x)

n

? ? y ? bx ? ,其中 x, y 表示样本均值. ,a

2

锥体的体积公式是 V ?

1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 3

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.已知 i 是虚数单位,则复数 1 ? 2 i 的虚部为 A. 2 B. 1 C. ?1 D. ?2 2.设全集 U ? 1, 2,3, 4,5,6 ,集合 A ? 1,3,5 , B ? A. U ? A ? B

?

?

?

?

?2,4? ,则
?

?B B. U ? ? UA

?

C. U ? A ? ? UB

?

?

D. U ? ? UB UA ? ?

?

? ?

?

3.直线 3x ? 4 y ? 9 ? 0 与圆 x ? 1 A.相离 C.直线与圆相交且过圆心 4.若函数 y ? f A. 4 5.已知平面向量 a ? A. ?2 3

?

?

2

? y 2 ? 1的位置关系是
B.相切 D.直线与圆相交但不过圆心

? x ? 是函数 y
B. 2

? 2x 的反函数,则 f ? 2 ? 的值是

? ?2,m ? , b ?
B. 2 3

?1, 3 ? ,且 ? a ? b ? ? b ,则实数 m 的值为
C. 4 3 D. 6 3
2 1 正视图 1 侧视图

C. 1

D. 0

? x ? 2 y ? 1, ? 6.已知变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1, 则 z ? x ? 2 y 的最大值为 ? y ? 1 ? 0. ? A. ? 3 B. 0 C. 1 D. 3
7. 某空间几何体的三视图及尺寸如图 1,则该几何体的体积是 A. 2 8. 已知函数 f B. 1 C.

2

2 3

D.

1 3

2 俯视图 图1

? x?

?

2 sin 2 x ,为了得到函数 g ? x ? ? sin 2 x ? cos 2 x 的图象,

只要将 y ? f

? x ? 的图象
B.向左平移

A.向右平移

? 个单位长度 4 ? 个单位长度 8

? 个单位长度 4 ? 个单位长度 8

C.向右平移

D.向左平移

2 9.“ m ? 2 ”是“一元二次不等式 x ? mx ? 1 ? 0 的解集为 R”的

A.充分不必要条件 C.充要条件 10.设函数 f

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

? x ? 的定义域为 D ,如果 ?x ? D,?y ? D ,使

f ? x? ? f ? y ? 2

? C(C

为常数 )成立,则称函数 f
x

? x ? 在 D 上的均值为 C . 给出下列四个函数:① y

? x3 ;

?1? ② y ? ? ? ;③ y ? ln x ;④ y ? 2 sin x ? 1, 则满足在其定义域上均值为 1 的 ?2?


数的个数是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题) 11.函数 f

? x?

?

2 ? x ? ln ? x ? 1? 的定义域是

12.某工厂的某种型号的机器的使用年限 x 和所支出的维修费用 y (万元)有下表的统计资 料:

x
y

2 2.2

3 3.8

4 5.5

5 6.5

6 7.0

? ? 1.23x ? a ? ,据此模型估计,该型号机器使用年限为 10 年的维 根据上表可得回归方程 y
修费用约 万元(结果保留两位小数) .

(n ? N * ,n ? 3)个平面, 13. 已知经过同一点的 n 任意三个平面不经过同一条直线.若这 n 个
平面将空间分成 f

? n ? 个部分,则 f ? 3?

?

,f

?n?

?

.

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选做题)
? 3 ? 在极坐标系中,定点 A ? 2, ? ? ,点 B 在直线 ? cos ? ? 3? sin ? ? 0 上运动,当线段 AB 最 ? 2 ? B

短时,点 B 的极坐标为 15. (几何证明选讲选做题)


D O

C

如图 2, AB 是 ? O 的直径, BC 是 ? O 的切线, AC 与 ? O 交于点 D , 若 BC ? 3 , AD ?

16 ,则 AB 的长为 5

A



图2

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分12分) 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? 正周期为 8 . (1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2) 若函数 f ( x ) 图象上的两点 P, Q 的横坐标依次为 2, 4 ,O 为坐标原点, 求 cos ? POQ 的值.

?
4

) (其中 x ? R , A ? 0 , ? ? 0 )的最大值为 2,最小

17. (本小题满分 12 分) 沙糖桔是柑桔类的名优品种,因其味甜如砂糖故名.某果农选取一片山地种植沙糖桔,收 获时,该果农随机选取果树 20 株作为样本测量它们每一株的果实产量(单位:kg) ,获得 的所有数据按照区间 40, 45? 得到频率分布直 ? , 45,50 ? ? , 50, 55? ? , 55, 60 ? ? 进行分组, 方图如图 3.已知样本中产量在区间 45, 50 ? ? 上的果树株数是产量在区间 50, 60 ? ? 上的果 树株数的

?

?

?

?

?

?

4 倍. 3

(1)求 a , b 的值; (2)从样本中产量在区间 50,60 ? ? 上的果树随机抽取两株,求产量在区间 55,60 ? ? 上的果树至少有一株被抽中的概率.
a

?

?

频率 组距

0.06 b 0.02 O 40 45 图3 50 55 60 产量/kg

18. (本小题满分 14 分) 如图 4,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是平行四边形, ?BCD ? 60 ,
?

AB ? 2 AD , PD ? 平面 ABCD ,点 M 为 PC 的中点.
(1)求证: PA // 平面 BMD ; (2)求证: AD ? PB ;

P

M

D

C

A 图4

B

(3)若 AB ? PD ? 2 ,求点 A 到平面 BMD 的距离.

19. (本小题满分 14 分) 设数列 an 的前 n 项和为 Sn ,已知 a1 ? 2 , a2 ? 8 , S n ?1 ? 4 S n ?1 ? 5S n n ? 2 ,

? ?

?

?

Tn 是数列 ?log 2 an ? 的前 n 项和.
(1)求数列 an 的通项公式; (2)求 Tn ; (3)求满足 ?1 ?

? ?
? ?

1 ?? 1? 1 ? ? ?? ? ??? T2 ? ? T 3 ? ?

? 1? 1010 1 ? ? 的最大正整数 n 的值. ? ? ? ? T 2013 n ? ?

20. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C1 的中心在坐标原点,两个焦点分别为 F1 (?2,0) , F2 2,0 ,点 A(2,3) 在椭圆

?

?

C1 上,过点 A 的直线 L 与抛物线 C2 : x2 ? 4 y 交于 B,C 两点,抛物线 C2 在点 B,C 处的
切线分别为 l1,l2 , 且 l1 与 l2 交于点 P . (1) 求椭圆 C1 的方程;

P ? 若存在, (2) 是否存在满足 PF 指出这样的点 P 有几个 (不 1 ? PF 2 ? AF 1 ? AF 2 的点
必求出点 P 的坐标); 若不存在,说明理由.

21. (本小题满分 14 分) 已知 n ?N ,设函数 f n ( x) ? 1 ? x ?
*

x 2 x3 x 2 n ?1 ? ??? , x ? R. 2 3 2n ? 1

(1)求函数 y ? f 2 ( x) ?kx(k ? R )的单调区间;
* (2)是否存在整数 t ,对于任意 n ?N ,关于 x 的方程 f n ( x) ? 0 在区间 ? ?t ,t ? 1? ? 上有唯

一实数解,若存在,求 t 的值;若不存在,说明理由.

2013 年广州市普通高中毕业班综合测试(一) 数学(文科)试题参考答案及评分标准
说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几 种解法供参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点 和能力对照评分标准给以相应的分数. 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答 未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不 得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误, 就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算.共10小题,每小题5分,满分50分. 题号 答案 1 D 2 D 3 A 4 C 5 B 6 C 7 A 8 D 9 B 10 C

二、填空题:本大题考查基本知识和基本运算,体现选择性.共 5 小题,每小题 5 分,满 分 20 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题. 11. ?1,2? 12. 12.38 13. 8 , n ? n ? 2
2

14. ?1,

? 11? ? ? ? 6 ?

15. 4

说明:① 第13题第一个空填对给2分,第二个空填对给3分. ② 第14题的正确答案可以是: ?1,

? 11? ? ? 2k? ? (k ? Z ). ? 6 ?

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分12分) (本小题主要考查三角函数的图象与性质、诱导公式、余弦定理等知识,考查化归与转化的 数学思想方法,以及运算求解能力) (1)解:∵ f ( x ) 的最大值为 2,且 A ? 0 , ∴A?2. ∵ f ( x ) 的最小正周期为 8 , ……………1 分

∴T ?

2?

?

? 8 ,得 ? ?

?
4 ).

.

……………3 分 ……………4 分

∴ f ( x ) ? 2sin(

?
4

x?

?
4

(2)解法 1:∵ f (2) ? 2sin ?

? ?? ? ? ? ? ? 2cos ? 2 , 4 ?2 4?

……………5 分

?? ? ? f (4) ? 2sin ? ? ? ? ? ?2sin ? ? 2 , 4? 4 ?
∴ P(2, 2), Q(4, ? 2) . ∴ OP ? 6, PQ ? 2 3, OQ ? 3 2 .

……………6 分

……………7 分 ……………10 分

∴ cos ?POQ ?

OP ? OQ ? PQ 2 OP OQ

2

2

2

? 6 ? ? ?3 2 ? ? ? 2 3 ? ?
2 2

2

2 6 ?3 2

?

3 .……12 分 3
……………5 分

解法 2:∵ f (2) ? 2sin ?

? ?? ? ? ? ? ? 2cos ? 2 , 4 ?2 4?

?? ? ? f (4) ? 2sin ? ? ? ? ? ?2sin ? ? 2 , 4? 4 ?
∴ P(2, 2), Q(4, ? 2) . ∴ OP ? (2, 2), OQ ? (4, ? 2) .

……………6 分

……………8 分 ……………10 分

??? ?

????

??? ? ???? ??? ? ???? OP ? OQ 6 3 ∴ cos ?POQ ? cos ? OP, OQ ?? ??? . ……………12 分 ? ? ???? ? 3 6 ?3 2 OP OQ

? ?? ? ? 解法 3: ∵ f (2) ? 2sin ? ? ? ? 2cos ? 2 ,……………5 分 4 ?2 4?
?? ? ? f (4) ? 2sin ? ? ? ? ? ?2sin ? ? 2 ,……………6 分 4? 4 ?
∴ P(2, 2), Q(4, ? 2) . ……………7 分
O

y

P Q1 P1 Q x

作 PP ,Q1 , ? x 轴, QQ1 ? x 轴,垂足分别为 P 1 1 ∴ OP ? 6, OP 1 ? 2, PP 1 ? 设 ?POP ? 1

2, OQ ? 3 2 , OQ1 ? 4, QQ1 ?

2 . ………8 分

? ,?QOQ1 ? ? ,

则 sin ? ?

3 6 1 2 2 . ,cos ? ? ,sin ? ? ,cos ? ? 3 3 3 3

……………10 分

∴ cos ?POQ ? cos

??

? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ?

3 .………12 分 3

17. (本小题满分12分) (本小题主要考查频率分布直方图、概率等知识,考查数据处理、推理论证、运算求解能力 和应用意识,以及或然与必然的数学思想) (1)解:样本中产量在区间 45, 50 ? ,…………1 分 ? 上的果树有 a ? 5 ? 20 ? 100a (株) 样本中产量在区间 ? 50, 60 ? (株) , ? 上的果树有 ? b ? 0.02 ? ? 5 ? 20 ? 100 ? b ? 0.02 ? ……………2 分 依题意,有 100a ?

?

4 4 ? 100 ? b ? 0.02 ? ,即 a ? ? b ? 0.02 ? .①…………3 分 3 3

根据频率分布直方图可知 0.02 ? b ? 0.06 ? a ? 5 ? 1 , 解①②得: a ? 0.08,b ? 0.04 .

?

?

② …………4 分 ……………6 分

(2)解:样本中产量在区间 50,55 ? ? 上的果树有 0.04 ? 5 ? 20 ? 4 株,分别记为

?

A1, A2 , A3 , A4 ,

……………… 7 分

产量在区间 55,60 ? ? 上的果树有 0.02 ? 5 ? 20 ? 2 株,分别记为 B1,B2 . … 8 分 从这 6 株果树中随机抽取两株共有 15 种情况: A1 , A2 , A1 , A3 , A1 , A4
1 1 1 2 2 3 2 4 2 1 2 2 3 4 3

?

?

? ?

? ?

?
1

? A , B ? ,? A , B ? ,? A , A ? ,? A , A ? ,? A , B ? ,? A , B ? ,? A , A ? ,? A , B ? , ? A , B ? , ? A , B ? ,? A , B ? ,? B , B ? .
3 2 4 1 4 2 1 2

……………10 分

其中产量在 55, 60 ? ? 上的果树至少有一株共有 9 种情况: A1 , B1 , A1 , B2 ,

?

?

? ?
1

?

? A , B ? ,? A , B ? ,? A , B ? ,? A , B ? , ? A , B ? ,? A , B ? , ? B , B ? . ………11 分
2 1 2 2 3 1 3 2 4 1 4 2 2

记“从样本中产量在区间 50,60 ? ? 上的果树随机抽取两株,产量在区间 55,60 ? ? 上的 果树至少有一株被抽中”为事件 M ,则 P ? M ? ?

?

?

9 3 ? . 15 5

……………12 分

18. (本小题满分14分) (本小题主要考查空间线面位置关系、点到平面的距离等知识,考查数形结合、化归与转化

的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力) (1)证明:连接 AC , AC 与 BD 相交于点 O , 连接 MO , ∵ ABCD 是平行四边形, ∴ O 是 AC 的中点. ∵ M 为 PC 的中点, ∴ MO // AP . ∵ PA ? 平面 BMD , MO ? 平面 BMD , ∴ PA // 平面 BMD . (2)证明:∵ PD ? 平面 ABCD , AD ? 平面 ABCD , ∴ PD ? AD .
? ∵ ?BAD ? ?BCD ? 60 , AB ? 2 AD , 2

……………1 分

……………2 分

……………3 分

……………4 分
P

∴ BD

? AB2 ? AD2 ? 2 AB ? AD ? cos 60?
? AB2 ? AD2 ? 2 AD2 ? AB2 ? AD2 .
……………5 分
A D O N

M

C

∴ AB ? AD ? BD .
2 2 2

B

∴ AD ? BD . ∵ PD ? BD ? D , PD ? 平面 PBD , BD ? 平面 PBD , ∴ AD ? 平面 PBD . ∵ PB ? 平面 PBD , ∴ AD ? PB . (3)解:取 CD 的中点 N ,连接 MN ,则 MN // PD 且 MN ? ∵ PD ? 平面 ABCD , PD ? 2 ,

……………6 分

……………7 分

……………8 分

1 PD . 2

∴ MN ? 平面 ABCD , MN ? 1 .

……………9 分

CD ? AB ? PD ? 2 ,DM ? 在 Rt△ PCD 中,
∵ BC // AD , AD ? PB , ∴ BC ? PB . 在 Rt△ PBC 中, BM ?

1 1 PC ? 2 2

PD 2 ? CD 2 ?

2,

1 PC ? 2

2.

在△ BMD 中, BM ? DM , O 为 BD 的中点, ∴ MO ? BD .
? 在 Rt△ ABD 中, BD ? AB ? sin 60 ? 2 ?

3 ? 2

3.

在 Rt△ MOB 中, MO ?

BM 2 ? OB2 ?

5 . 2 15 .…………11 分 4

∴ S ΔABD ?

1 3 1 , S ΔMBD ? ? AD?BD ? ? BD?MO ? 2 2 2

设点 A 到平面 BMD 的距离为 h , ∵ VM ? ABD ? VA ? MBD , ∴ ?MN ? S ΔABD ?

1 3

1 ?h? SΔMBD . 3

……………12 分



1 3 15 2 5 1 ?1? ? ?h? , 解得 h ? . 3 3 2 4 5

……………13 分

∴点 A 到平面 BMD 的距离为

2 5 . 5

……………14 分

19. (本小题满分14分) (本小题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等知识,考查分类与整合、化归与转化的 数学思想方法,以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识) (1) 解:∵当 n ? 2 时, Sn ?1 ? 4Sn ?1 ? 5Sn , ∴ S n ? 1 ? S n ? 4 S n ? S n ?1 .

?

?

……………1 分

∴ an ?1 ? 4an . ∵ a1 ? 2 , a2 ? 8 , ∴ a2 ? 4a1 . ∴数列 an 是以 a1 ? 2 为首项,公比为 4 的等比数列. ∴ an ? 2 ? 4n ?1 ? 22n ?1 . (2) 解:由(1)得:log2 an ? log2 22n ?1 ? 2n ? 1, ∴ Tn ? log2 a1 ? log2 a2 ? ? ? log2 an

……………2 分

……………3 分

? ?

……………4 分 ……………5 分

? 1 ? 3 ? ? ? ? 2n ? 1?

……………6 分

?

n ?1 ? 2n ? 1? 2

……………7 分

? n2 .
(3)解: ?1 ?

……………8 分

? ?

1 ?? 1? 1? ? ??? ?? ? T2 ? ? T3 ? ?

? 1? ? ?1 ? T ? ? n ? ?
……………9 分

? ? 1 ?? 1? 1? ? ?1 ? 2 ? ?1 ? 2 ? ? ? ? ?1 ? 2 ? 2 ?? 3 ? n ? ? ?
? 22 ? 1 32 ? 1 42 ? 1 n2 ? 1 ? ? ? ? ? 22 32 42 n2

?

1 ? 3 ? 2 ? 4 ? 3 ? 5 ? ? ? ? n ? 1? ? n ? 1? 22 ? 32 ? 42 ? ? ? n2
n ?1 . 2n

……………10 分

?

……………11 分



n ? 1 1010 4 ? ,解得: n ? 287 . 2n 2013 7

……………13 分

故满足条件的最大正整数 n 的值为 287 . ……………14 分 20. (本小题满分14分) (本小题主要考查椭圆、抛物线、曲线的切线等基础知识,考查数形结合、函数与方程、化 归与转化的数学思想方法,以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识)

(1) 解法 1:设椭圆 C1 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 ? a ? b ? 0? , a 2 b2
2 ? ?a ? 16, ? 2 ? ?b ? 12.

? 22 32 ? ? ? 1, 依题意: ? a 2 b2 解得: ?a 2 ? b2 ? 4. ?
∴ 椭圆 C1 的方程为

……………2 分

x2 y 2 ? ? 1. 16 12 x2 y 2 ? ? 1 ? a ? b ? 0? , a 2 b2

……………3 分

解法 2:设椭圆 C1 的方程为

a ? 4, 根据椭圆的定义得 2a ? AF 1 ? AF 2 ? 8 ,即
∵ c ? 2 , ∴ b ? a ? c ? 12 .
2 2 2

……………1 分 ……………2 分

∴ 椭圆 C1 的方程为 (2)解法 1:设点 B ( x1 ,

x2 y 2 ? ? 1. 16 12

……………3 分

1 2 1 2 1 2 x1 ) , C ( x 2 , x 2 ) ,则 BC ? ( x 2 ? x1 , ( x 2 ? x12 )) , 4 4 4 1 2 BA ? (2 ? x1 ,3 ? x1 ) , 4

∵ A, B, C 三点共线, ∴ BC // BA . ∴ x2 ? x1 ? 3 ?

??? ?

??? ?

……………4 分

?

?

? ?

1 2? 1 2 x1 ? ? x2 ? x12 4 ? 4

?

? ?2 ? x ? ,
1

化简得:2 (x1 ? x2 ) ? x1x2 ? 12 . 由 x2 ? 4 y ,即 y ?



……………5 分

1 1 2 x ,得 y? ? x . 4 2

……………6 分

∴抛物线 C2 在点 B 处的切线 l1 的方程为 y ?

1 2 x1 x1 ? ( x ? x1 ) , 4 2
……………7 分

即y?

x1 1 x ? x12 . 2 4



同理, 抛物线 C2 在点 C 处的切线 l2 的方程为 y ?

x2 1 2 x ? x2 . 2 4

③ ……………8 分

设点 P( x, y) ,由②③得: 而 x1 ? x 2 ,则 x ? 代入②得 y ?

x1 x 1 1 2 x ? x12 ? 2 x ? x2 , 2 4 2 4
……………9 分 ……………10 分

1 ( x1 ? x 2 ) . 2

1 x1 x 2 , 4

则 2 x ? x1 ? x2 , 4 y ? x1 x2 代入 ① 得 4 x ? 4 y ? 12 ,即点 P 的轨迹方程为

y ? x ? 3.

……………11 分

P 在椭圆 C1 上,而点 P 又在直线 y ? x ? 3 上, 若 PF 1 ? PF 2 ? AF 1 ? AF 2 ,则点
……………12 分 ∵直线 y ? x ? 3 经过椭圆 C1 内一点 (3, 0) , ∴直线 y ? x ? 3 与椭圆 C1 交于两点. ……………13 分 ……………14 分

P 有两个. ∴满足条件 PF 1 ? PF 2 ? AF 1 ? AF 2 的点
解法 2:设点 B( x1 , y1 ) , C ( x2 , y 2 ) , P( x0 , y0 ) , 由 x2 ? 4 y ,即 y ?

1 1 2 x ,得 y? ? x . 4 2

……………4 分

∴抛物线 C2 在点 B 处的切线 l1 的方程为 y ? y1 ?

x1 ( x ? x1 ) , 2
……………5 分

即y?

x1 1 x ? y1 ? x12 . 2 2

∵ y1 ?

x 1 2 x1 , ∴ y ? 1 x ? y1 . 4 2
∴ y0 ?

∵点 P( x0 , y0 ) 在切线 l1 上,

x1 x0 ? y1 . 2



……………6 分

同理, y 0 ?

x2 x0 ? y 2 . ② 2

……………7 分

综合①、②得,点 B( x1 , y1 ), C ( x2 , y 2 ) 的坐标都满足方程 y 0 ? ∵经过 B( x1 , y1 ), C ( x2 , y 2 ) 两点的直线是唯一的,

x x0 ? y . 2

……8 分

∴直线 L 的方程为 y 0 ?

x x0 ? y , 2
∴ y0 ? x0 ? 3 .

……………9 分 ……………10 分 ……………11 分

∵点 A(2,3) 在直线 L 上, ∴点 P 的轨迹方程为 y ? x ? 3 .

P 在椭圆 C1 上,又在直线 y ? x ? 3 上,…12 分 若 PF 1 ? PF 2 ? AF 1 ? AF 2 ,则点
∵直线 y ? x ? 3 经过椭圆 C1 内一点 (3, 0) , ∴直线 y ? x ? 3 与椭圆 C1 交于两点. ……………13 分 ……………14分

P 有两个. ∴满足条件 PF 1 ? PF 2 ? AF 1 ? AF 2 的点

解法3:显然直线 L 的斜率存在,设直线 L 的方程为 y ? k x ? 2 ? 3 ,

?

?

由?

? ? y ? k ? x ? 2 ? ? 3, ? ? x ? 4 y,
2

消去 y ,得 x ? 4kx ? 8k ? 12 ? 0 .
2

……………4分

设 B x1 , y1 ,C x2 , y2 ,则 x1 ? x2 ? 4k, x1x2 ? 8k ? 12 . 由 x2 ? 4 y ,即 y ?

?

?

?

?

……………5分

1 1 2 x ,得 y? ? x . 4 2

……………6 分

∴抛物线 C2 在点 B 处的切线 l1 的方程为 y ? y1 ?

x1 ( x ? x1 ) , 2
……………7 分

即y?

x1 1 x ? y1 ? x12 . 2 2

∵ y1 ?

x 1 1 2 x1 , ∴ y ? 1 x ? x12 . 4 2 4 x2 1 2 x ? x2 . 2 4
……………8 分

同理,得抛物线 C2 在点 C 处的切线 l2 的方程为 y ?

? x y ? 1 x? ? ? 2 由? ? y ? x2 x ? ? ? 2

? x ? x2 1 2 x1 , x ? 1 ? 2k , ? ? 4 2 解得 ? 1 2 ? y ? x1 x2 ? 2k ? 3. x2 , ? 4 ? 4

∴ P 2k , 2k ? 3 . ∵ PF 1 ? PF 2 ? AF 1 ? AF 2 ,

?

?

……………10 分

∴点 P 在椭圆 C1 :

x2 y2 ? ? 1 上. 16 12
2

……………11 分

? 2k ? ∴
16

2

?
2

? 2k

? 3? 12

? 1.
……………12 分 ……………13 分

化简得 7k ? 12k ? 3 ? 0 .(*)
2 由 Δ ? 12 ? 4 ? 7 ? ?3 ? 228 ? 0 ,

? ?

可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点 P 有两个. ……………14 分 21. (本小题满分14分) (本小题主要考查三次函数、一元二次不等式、一元二次方程、函数的零点、数列求和等基 础知识,考查数形结合、函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法,以及抽象 概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识) (1)解:∵ y ? f 2 ( x) ? kx ? 1 ? x ?

x 2 x3 ? ? kx, 2 3

……………1 分

∴ y? ? ?1 ? x ? x 2 ? k ? ?( x 2 ? x ? k ? 1) . 方程 x ? x ? k ? 1 ? 0 的判别式 Δ ? ?1
2

……………2 分
2

? ?

? 4 ? k ? 1? ? ?3 ? 4k .

当k ? ?

3 时, Δ ? 0 , y? ? ?( x 2 ? x ? k ? 1) ? 0 , 4
……………3 分

故函数 y ? f 2 ( x) ?kx 在 R 上单调递减; 当k ? ?

3 1? 2 时,方程 x ? x ? k ? 1 ? 0 的两个实根为 x1 ? 4

?3 ? 4k , 2

x2 ?

1?

?3 ? 4k . 2

……………4 分

则 x ? ??, x1 时,y? ? 0 ;x ? x1 , x2 时,y? ? 0 ;x ? x2 ,?? 时,y? ? 0 ; 故函数 y ? f 2 ( x) ?kx 的单调递减区间为 ??, x1 和 x2 , ?? , 单调递增区间为 x1 , x2 .

?

?

?

?

?

?

?

? ?

?

?

?

……………5 分

* (2)解:存在 t ? 1 ,对于任意 n ?N ,关于 x 的方程 f n ( x) ? 0 在区间 ? ?t ,t ? 1? ? 上有唯

一实数解,理由如下: 当 n ? 1 时, f1 ( x) ? 1 ? x ,令 f1 ( x) ? 1 ? x ? 0 ,解得 x ? 1 ,

∴关于 x 的方程 f1 ( x) ? 0 有唯一实数解 x ? 1 . 当 n ? 2 时,由 f n ( x) ? 1 ? x ?

……………6 分

x 2 x3 x 2 n ?1 ? ??? , 2 3 2n ? 1
……………7 分

2 2 n ?3 ? x 2 n?2 . 得 f n? ( x) ? ?1 ? x ? x ? ? ? x

若 x ? ?1 ,则 f n? ( x) ? f n? ( ?1) ? ?(2n ? 1) ? 0 , 若 x ? 0 ,则 f n? ( x) ? ?1 ? 0 , 若 x ? ?1 且 x ? 0 时,则 f n? ( x) ? ? 当 x ? ?1 时, x ? 1 ? 0, x
2 n ?1

……………8 分

x 2 n ?1 ? 1 , x ?1

……………9 分

? 1 ? 0, f n? ( x) ? 0 , ? 1 ? 0, f n? ( x) ? 0 ,
……………10 分

当 x ? ?1 时, x ? 1 ? 0, x

2 n ?1

∴ f n? ( x) ? 0 ,故 f n ( x) 在 (??, ??) 上单调递减. ∵ f n (1) ? (1 ? 1) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? (

1 2

1 3

1 4

1 5

1 1 ? ) ? 0 , ………11 分 2n ? 2 2n ? 1

f n (2) ? (1 ? 2) ? (

22 23 24 25 22 n ? 2 22 n?1 ? ) ? ( ? ) ??? ( ? ) 2 3 4 5 2n ? 2 2n ? 1

1 2 1 2 1 2 ? ?1 ? ( ? )22 ? ( ? )24 ? ? ? ( ? )2 2 n ?2 2 3 4 5 2n ? 2 2 n ? 1

? ?1 ?

1 2 3 4 2n ? 3 2 ? 2 ??? 22 n?2 ? 0 . …………12 分 2?3 4?5 (2n ? 2)(2n ? 1)
……………13 分

∴方程 f n ( x) ? 0 在 ?1,2? 上有唯一实数解. 当 x ? ??,1 时,f n x

?

?

? ?

? f n ?1? ? 0 ; ? ? 当 x ? ? 2,
*

? 时,f ? x ?
n

? fn ? 2? ? 0 .

综上所述,对于任意 n ?N ,关于 x 的方程 f n ( x) ? 0 在区间 ? ?1,2 ? ? 上有唯一实数解. ∴t ? 1. ……………14 分

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2013 年佛山市普通高中高三教学质量检测(一) 数 学(文科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目. 2.选择题每小题选出答案后,用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区 域内;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按 以上要求作答的答案无效. 4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷和答题卡交回. 参考公式:棱锥的体积公式: V ?

1 Sh . 3

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.设 i 为虚数单位,则复数 A.

1 2 ? i 5 5

i 等于 2?i 1 2 B. ? ? i 5 5
2

C.

1 2 ? i 5 5

D. ?

1 2 ? i 5 5
开始

2.命题“ ?x ? R, x ? 1 ? 1 ”的否定是 A. ?x ? R, x ? 1 ? 1
2

B. ?x ? R, x ? 1 ? 1
2

s=0 i=1 s=s+2i Y i=i+1

C. ?x ? R, x ? 1 ? 1
2

D. ?x ? R, x ? 1 ? 1
2

3.某程序框图如图所示,该程序运行后,输出 s 的值是 A.10 B.15 C.20 D.30 4.已知 a ? (1, 2) , b ? (0,1) , c ? (k , ?2) ,若 (a ? 2b) ? c ,则 k ? A. 2 B. ?2 C. 8 D. ?8

i<5? N 输出 s 结束

? y?x ? 5.已知实数 x , y 满足 ? x ? y ? 1 ,则目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值为 ? y ? ?1 ?
A. ?3 B.

1 2

C. 5

D. 6

6.已知集合 M ? x log 2 ( x ? 1) ? 2 , N ? x a ? x ? 6 A. 4 B. 5 C. 6

?

?

?

?

,且 M ? N ? ? 2, b? ,则 a ? b ? D. 7

7.函数 f ( x) ? e x ? x 2 ? 2 在区间 ? ?2,1? 内零点的个数为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

8.已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆的

y 2 x2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )焦点与顶点,若双曲 a 2 b2
1 2 2 D. 2
B.
正视图

线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形,则椭圆的离心率为 A. C.

1 3

3 3

9.一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的正视图和俯视图 如图所示,则该几何体的侧视图可以为

俯视图

A.

B.

C.

D.

第 9 题图

10.设二次函数 f ( x) ? ax2 ? 4 x ? c( x ? R) 的值域为 [0, ??) ,则 A. 3 B.

1 9 ? 的最小值为 c a
D. 7

9 2

C. 5

二、填空题:本大共 5 小题.考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题) 11.课题组进行城市空气质量调查,按地域把 24 个城市分成甲、乙、丙三组,对应的城市 的个数分别为 4 、 12 、 8 .若用分层抽样的方法抽取 6 个城市,则丙组中应抽取的城市数 为 . 12.函数 y ? sin x ? sin ? x ? 13.观察下列不等式: ①

? ?

??

? 的最小正周期为 3?

,最大值是



1 1 1 1 1 1 ? 1 ;② ? ? ? 3 ;? ? ? 2 ;③ 2 2 6 12 2 6

则第 5 个不等式为 . (二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程)在极坐标系中,直线 l 过点 (1, 0) 且与直线 ? ? 则直线 l 极坐标方程为 . 15. (几何证明选讲)如图, M 是平行四边形 ABCD 的边 AB 的 中点,直线 l 过点 M 分别交 AD, AC 于点 E , F . 若 AD ? 3 AE ,则 AF : FC ? . A E

?
3
F

( ? ? R )垂直, C B l

D

M
第 15 题图

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本题满分 12 分)
? 如图,在△ ABC 中, ?C ? 45 , D 为 BC 中点, BC ? 2 .

A

记锐角 ?ADB ? ? .且满足 cos 2? ? ? (1)求 cos ? ; (2)求 BC 边上高的值.

7 . 25

C

D

B

第 16 题图

17. (本题满分 12 分) 城市公交车的数量太多容易造成资源的浪费,太少又难以满足乘客需求,为此,某市公 交公司在某站台的 60 名候车乘客中随机抽取 15 人,将他们的候车时间作为样本分成 5 组, 如下表所示(单位:min) : 组别 一 二 三 四 五 候车时间 人数 2 6 4 2 1

[0,5)

[5,10) [10,15) [15, 20)

[20, 25]

(1)求这 15 名乘客的平均候车时间; (2)估计这 60 名乘客中候车时间少于 10 分钟的人数; (3)若从上表第三、四组的 6 人中选 2 人作进一步的问卷调查,求抽到的两人恰好来自 不同组的概率. 18. (本题满分 14 分) 如图所示,已知圆 O 的直径 AB 长度为 4,点 D 为 线段 AB 上一点,且 AD ? P

1 DB ,点 C 为圆 O 上一点, 3

且 BC ? 3 AC .点 P 在圆 O 所在平面上的正投影为 点 D , PD ? BD . (1)求证: CD ? 平面 PAB ; (2)求点 D 到平面 PBC 的距离. A C 19. (本题满分 14 分) 数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ? 2an ? 2 ,数列 ?bn ? 是首项为 a1 ,公差不为零的等差数列, B

D

O

且 b1 , b3 , b11 成等比数列. (1)求 a1 , a2 , a3 的值; (2)求数列 ?an ? 与 ?bn ? 的通项公式; (3)求证:

b b1 b2 b3 ? ? ??? n ? 5 . a1 a2 a3 an

20. (本题满分 14 分) 已知 A(?2, 0) , B(2, 0) , C (m, n) . (1)若 m ? 1 , n ? 3 ,求 ?ABC 的外接圆的方程; (2) 若以线段 AB 为直径的圆 O 过点 C (异于点 A, B ) , 直线 x ? 2 交直线 AC 于点 R , 线段 BR 的中点为 D ,试判断直线 CD 与圆 O 的位置关系,并证明你的结论.

21. (本题满分 14 分) 设函数 f ( x) ?

ex ?1 ,x ? 0. x

(1)判断函数 f ( x ) 在 ? 0, ?? ? 上的单调性; (2)证明:对任意正数 a ,存在正数 x ,使不等式 f ( x) ?1 ? a 成立.

2013 年佛山市普通高中高三教学质量检测(一)
数学试题(文科)参考答案和评分标准
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 1 2 3 4 5 6 题号 7 8 9 B 10 A A C D C C D B D 答案 二、填空题:本大共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 11. 2 12. 2? (2 分) , 3 (3 分) 13.

1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? 5 2 6 12 20 30
15. 1: 4

14. 2 ? sin(? ?

?

) ? 1 (或 2 ? cos(? ? ) ? 1 、 ? cos? ? 3? sin ? ? 1 ) 6 3

?

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本题满分 12 分) 解析: (1)∵ cos 2? ? 2cos ? ?1 ? ?
2

9 7 2 ,∴ cos ? ? , 25 25

∵ ? ? (0, 分

?
2

), o s ?? ∴c

3 . 5
2

-----------------5

(2)方法一、由(1)得 sin ? ? 1 ? cos ? ? ∵ ?CAD ? ?ADB ? ?C ? ? ? 45 ,
?

4 , 5

∴ -----------------9 分

? ? ? 2 sin ?CAD ? sin(? ? ) ? sin ? cos ? cos ? sin ? 4 4 4 10
CD AD ? , sin ?CAD sin ?C



在 ?ACD 中,由正弦定理得:



AD ?

CD ? sin ?C ? sin ?CAD

1?

2 2 ?5 2 10



A

-----------------11 分

4 ? 4. 5 方法二、如图,作 BC 边上的高为 AH
则高 h ? AD ? sin ?ADB ? 5 ?

-----------------12 分 C D B H

DB 3 ? , 在直角△ ADH 中,由(1)可得 cos ? ? AD 5
则 不 妨 设

第 16 题图

AD ? 5m,



DH ? 3m, AH ? 4m

-----------------8 分
? 注意到 ?C =45 ,则 ?AHC 为等腰直角三角形,所以 CD ? DH ? AH ,

则 -----------------10 分 所 以 -----------------12 分 17. (本题满分 12 分) 解析: (

1 ? 3m ? 4m
m ?1
, 即

AH ? 4

1



1 1 (2.5 ? 2 ? 7.5 ? 6 ? 12.5 ? 4 ? 17.5 ? 2 ? 22.5 ?1) ? ? 157.5=10.5 min. -----------------3 分 15 15 3? 6 8 ? ( 2 ) 候 车 时 间 少 于 10 分 钟 的 概 率 为 , 15 15
-----------------4 分 所 以 候 车 时 间 少 于 10 分 钟 的 人 数 为

60 ?

8 ? 32 15

人.

-----------------6 分

(3)将第三组乘客编号为 a1 , a2 , a3 , a4 ,第四组乘客编号为 b1 , b2 .从 6 人中任选两人有包 含以下基本事件: (a1 , a2 ),(a1 , a3 ),(a1, a4 ),(a1, b1 ),(a1, b2 ) ,

(a2 , a3 ),(a2 , a4 ),(a2 , b1 ),(a2 , b2 ) , (a3 , a4 ),(a3 , b1 ),(a3 , b2 ) , (a4 , b1 ),(a4 , b2 ) , (b1 , b2 )


----------------10 分 其 中两人 恰好来自不 同组包含 8 个基 本事件 ,所以,所 求概率 为

8 . 15

-----------------12 分

P

18. (本题满分 14 分) 解析: (Ⅰ)法 1:连接 CO ,由 3 AD ? DB 知,点 D 为 AO 的中点, 又∵ AB 为圆 O 的直径,∴ AC ? CB , 由 3 AC ? BC 知, ?CAB ? 60 ,
?

∴ ?ACO 为等边三角形,从而 CD ? AO .-----------------3 分 ∵点 P 在圆 O 所在平面上的正投影为点 D , ∴ PD ? 平面 ABC ,又 CD ? 平面 ABC , ∴ PD ? CD ,-----------------5 分 由 PD ? AO ? D 得, CD ? 平面 PAB .-----------------6 分

A C

D O

B

(注:证明 CD ? 平面 PAB 时,也可以由平面 PAB ? 平面 ACB 得到,酌情给分. ) 法 2:∵ AB 为圆 O 的直径,∴ AC ? CB , ∵在 Rt?ABC 中, AB ? 4 , ∴由 3 AD ? DB , 3 AC ? BC 得, DB ? 3 , AB ? 4 , BC ? 2 3 ,



BD BC 3 ? ? ,则 ?BDC ∽ ?BCA , BC AB 2

∴ ?BCA ? ?BDC ,即 CD ? AO .-----------------3 分 ∵点 P 在圆 O 所在平面上的正投影为点 D , ∴ PD ? 平面 ABC ,又 CD ? 平面 ABC , ∴ PD ? CD ,-----------------5 分

由 PD ? AO ? D 得, CD ? 平面 PAB .-----------------6 分 法 3:∵ AB 为圆 O 的直径,∴ AC ? CB , 在 Rt?ABC 中由 3 AC ? BC 得, ?ABC ? 30 ,
?

∵ AB ? 4 ,由 3 AD ? DB 得, DB ? 3 , BC ? 2 3 , 由余弦定理得, CD ? DB ? BC ? 2DB ? BC cos30 ? 3 ,
2 2 2 ?

2 2 2 ∴ CD ? DB ? BC ,即 CD ? AO .-----------------3 分

∵点 P 在圆 O 所在平面上的正投影为点 D , ∴ PD ? 平面 ABC ,又 CD ? 平面 ABC , ∴ PD ? CD ,-----------------5 分 由 PD ? AO ? D 得, CD ? 平面 PAB .-----------------6 分 (Ⅱ)法 1:由(Ⅰ)可知 CD ? 3 , PD ? DB ? 3 ,--------7 分 (注:在第(Ⅰ)问中使用方法 1 时,此处需要求出线段的长度,酌情给分. ) ∴ VP ? BDC ? 又 PB ?

1 1 1 1 1 3 3 .--------10 分 S?BDC ? PD ? ? DB ? DC ? PD ? ? ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 3 2 3 2 2

PD2 ? DB2 ? 3 2 ,PC ? PD2 ? DC 2 ? 2 3 ,BC ? DB2 ? DC 2 ? 2 3 ,
1 9 3 15 .--------12 分 ? 3 2 ? 12 ? ? 2 2 2

∴ ?PBC 为等腰三角形,则 S?PBC ? 设点 D 到平面 PBC 的距离为 d , 由 VP? BDC ? VD? PBC 得, S?PBC ? d ?

1 3

3 3 3 5 ,解得 d ? .--------14 分 2 5
P

法 2:由(Ⅰ)可知 CD ? 3 , PD ? DB ? 3 ,

过点 D 作 DE ? CB , 垂足为 E , 连接 PE , 再过点 D 作 DF ? PE , 垂足为 F . -----------------8 分 ∵ PD ? 平面 ABC ,又 CB ? 平面 ABC , ∴ PD ? CB ,又 PD ? DE ? D , ∴ CB ? 平面 PDE ,又 DF ? 平面 PDE , ∴ CB ? DF ,又 CB ? PE ? E , ∴ DF ? 平面 PBC ,故 DF 为点 D 到平面 PBC 的距离.--------10 分 在 Rt?DEB 中, DE ? DB ? sin 30 ?
?

A

D

F O

B

3 3 5 2 2 , PE ? PD ? DE ? , 2 2

C

E

3 3? PD ? DE 2 ? 3 5 , 即 点 D 到 平 面 PBC 的 距 离 为 在 Rt?PDE 中 , DF ? ? PE 5 3 5 2
3 5 .-------14 分 5
19. (本题满分 14 分) 解析: (1)∵ Sn ? 2an ? 2 , ∴当 n ? 1 时,a1 ? 2a1 ? 2 , 解得 a1 ? 2 ; 当 n ? 2 时,S2 ? a1 ? a2 ? 2a2 ? 2 , 解得 a2 ? 4 ; 当 n ? 3 时, S3 ? a1 ? a2 ? a3 ? 2a3 ? 2 ,解得 a3 ? 8 . -----------------3 分 -----------------5

(2)当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? (2an ? 2) ? (2an?1 ? 2) ? 2an ? 2an?1 , 分

得 an ? 2an?1 又 a1 ? S1 ? 2a1 ? 2 , a1 ? 2 ,∴数列{ an }是以 2 为首项,公比为 2 的等比数 列, 所以数列{ an }的通项公式为 an ? 2n . -----------------7 分

b1 ? a1 ? 2 ,设公差为 d ,则由 b1 , b3 , b11 成等比数列,
得 (2 ? 2d ) ? 2 ? (2 ? 10d ) ,
2

-----------------8 分 ----------------9 分

解得 d ? 0 (舍去)或 d ? 3 , 所以数列 {bn } 的通项公式为 bn ? 3n ? 1 .-----------------10 分 (3)令 Tn ?

2 5 8 3n ? 1 b b1 b2 b3 ? ? ??? n ? 1 ? 2 ? 3 ?? ? n , 2 a1 a2 a3 an 2 2 2

2Tn ? 2 ?
两式式相减得

5 8 3n ? 1 ? 2 ? ? ? n ?1 ,-----------------11 分 1 2 2 2

3 3 3 3n ? 1 ? 2 ? ? ? n ?1 ? n , 1 2 2 2 2 3 1 (1 ? n ?1 ) 3n ? 1 3n ? 5 2 ∴ Tn ? 2 ? 2 ? n ? 5 ? n ,-----------------13 分 1 2 2 1? 2 3n ? 5 ? 0 ,故 Tn ? 5 .-----------------14 分 又 2n Tn ? 2 ?

20. (本题满分 14 分) 解析: (1)法 1:设所求圆的方程为 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,

? 4 ? 2D ? F ? 0 ? 由题意可得 ? 4 ? 2 D ? F ? 0 ,解得 D ? E ? 0, F ? ?4 , ? ?1 ? 3 ? D ? 3E ? F ? 0
∴ ?ABC 的外接圆方程为 x 2 ? y 2 ? 4 ? 0 ,即 x2 ? y 2 ? 4 .-----------------6 分 法 2:线段 AC 的中点为 (? ,

1 3 3 , ) ,直线 AC 的斜率为 k1 ? 3 2 2 3 1 ? ? 3( x ? ) , 2 2

∴线段 AC 的中垂线的方程为 y ? 线段 AB 的中垂线方程为 x ? 0 ,

∴ ?ABC 的外接圆圆心为 (0, 0) ,半径为 r ? 2 , ∴ ?ABC 的外接圆方程为 x2 ? y 2 ? 4 .-----------------6 分 法 3:?| OC |?

(1 ? 0) 2 ? ( 3 ? 0) 2 ? 2 ,而 | OA |?| OB |? 2 ,

∴ ?ABC 的外接圆是以 O 为圆心, 2 为半径的圆, ∴ ?ABC 的外接圆方程为 x ? y ? 4 .-----------------6 分
2 2

法 4:直线 AC 的斜率为 k1 ?

3 ,直线 BC 的斜率为 k2 ? ? 3 , 3

∴ k1 ? k2 ? ?1 ,即 AC ? BC , ∴ ?ABC 的外接圆是以线段 AB 为直径的圆, ∴ ?ABC 的外接圆方程为 x ? y ? 4 .-----------------6 分
2 2

(2)由题意可知以线段 AB 为直径的圆的方程为 x ? y ? 4 ,设点 R 的坐标为 (2, t ) ,
2 2

∵ A, C , R 三点共线,∴ AC // AR ,----------------8 分 而 AC ? (m ? 2, n) , AR ? (4, t ) ,则 4n ? t (m ? 2) , ∴t ?

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

4n , m?2 4n 2n ) ,点 D 的坐标为 (2, ) ,-----------------10 分 m?2 m?2

∴点 R 的坐标为 (2,

∴直线 CD 的斜率为 k ?

n?

2n m ? 2 ? (m ? 2)n ? 2n ? mn , m?2 m2 ? 4 m2 ? 4

而 m2 ? n2 ? 4 ,∴ m2 ? 4 ? ?n2 , ∴k ?

mn m ? ? ,-----------------12 分 2 ?n n
m ( x ? m) ,化简得 mx ? ny ? 4 ? 0 , n

∴直线 CD 的方程为 y ? n ? ?

∴圆心 O 到直线 CD 的距离 d ? 所 切. 以 直

4 m ?n
2 2

?

4 ?2?r, 4


线

CD

O 圆 -----------------14 分



21. (本题满分 14 分) 解 析 : ( 1 )

f ?( x) ?

xe x ? (e x ? 1) ( x ? 1)e x ? 1 ? x2 x2



-----------------2 分 令 h( x) ? ( x ?1)ex ? 1 ,则 h?( x) ? e x ? e x ( x ?1) ? xex , 当 x ? 0 时, h?( x) ? xex ? 0 ,∴ h( x) 是 ? 0, ?? ? 上的增函数, ∴ h( x) ? h(0) ? 0 , 故 数. (2) f ( x) ? 1 ?

f ?( x) ?

h( x ) ?0 x2









f ( x)



? 0, ?? ?









-----------------6 分

ex ?1 ex ? x ?1 , ?1 ? x x
, 令



x?0



g(

? x) x

? e

, ?1 x



g?(

? x) x

? e

, 1?

0

-----------------8 分 故 g ( x) ? g (0) ? 0 ,∴ f ( x) ? 1 ?

ex ? x ?1 , x

原不等式化为
x

ex ? x ?1 ? a ,即 ex ? (1 ? a) x ?1 ? 0 ,-----------------10 分 x
x

令 ? ( x) ? e ? (1 ? a) x ?1 ,则 ??( x) ? e ? (1 ? a) ,

由 ? ?( x) ? 0 得: e ? 1 ? a ,解得 x ? ln(1 ? a) ,
x

当 0 ? x ? ln(1 ? a) 时, ? ?( x) ? 0 ;当 x ? ln(1 ? a) 时, ? ?( x) ? 0 . 故当 x ? ln(1 ? a) 时, ? ( x) 取最小值 ?[ln(1 ? a)] ? a ? (1 ? a) ln(1 ? a) ,-----------------12 分 令 s(a) ?

a 1 1 a ? ln(1 ? a ), a ? 0 ,则 s?(a) ? ? ?? ? 0. 2 1? a (1 ? a) 1 ? a (1 ? a) 2

故 s(a) ? s(0) ? 0 ,即 ?[ln(1 ? a)] ? a ? (1 ? a) ln(1 ? a) ? 0 . 因此,存在正数 x ? ln(1 ? a) ,使原不等式成立.----------------14 分

2013 年广东省深圳市高三年级第一次调研考试

数学(文科)
2 013.2 本试卷共 6 页,21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项: 1. 答卷前,考生首先检查答题卡是否整洁无缺损,监考教师分发的考生信息条形码 是否正确; 之后务必用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的 学校、姓名和考号,同时,将监考教师发放的条形码准确粘贴在答题卡的贴条形 码区,请保持条形码整洁、不污损。 2. 选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如 需改动,用橡皮擦干净,再选涂其它答案,答案不能答在试卷上。不按要求填涂 的,答案无效。 3. 非选择题必用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔作答, 答案必须写在答题卡各题目指定 区域内相应位置上,请注意每题答题空间,预先合理安排;如需改动,先划掉原 来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的 答案无效。 4. 作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再做答。漏涂、 错涂、多涂的答案无效。 5. 考生必须保持答案题卡的整洁,考试结束后,将答题卡交回。 参考结论: 三棱锥的体积公式: V ?
?

1 Sh ,其中 V , S , h 分别是三棱锥的体积、底面积和高; 3

回归直线方程是: y ? bx ? a ,

其中: b ?

? (x
i ?1

n

i

? x)( yi ? y )
i

? (x

, a ? y ? bx

? x)

2

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1.已知 i 为虚数单位,则 (1 ? i) 2 = A.2 i B. -2 i C. 2 D. -2

7 2.已知集合 A ? {x ? R | x ? } , B ? {1,2,3,4} ,则(? R A) ? B )= 2
A.{1,2,3,4} 3.下列函数中,最小正周期为 A. y ? tan B. {2,3,4} C. {3,4} D. {4}

? 的是 2
C. y ? cos

x 2

B. y ? sin 2 x

x 4

D. y ? cos 4 x

4.设 f ( x) 为定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? log3 (1 ? x) ,则 f (?2) ? A.-1 B. -3 C. 1 5.下列命题为真命题的是 A.若 p ? q 为真命题,则 p ? q 为真命题 D. 3

2 B. “ x ? 5 ”是“ x ? 4 x ? 5 ? 0 ”的充分不必要条件。 2 2 C. 命题 “若 x ? ?1 , 则 x ? 2x ? 3 ? 0 ” 的否命题为: “若 x ? ?1 , 则 x ? 2x ? 3 ? 0 ” 2 2 D. 已知命题 p :?x ? R ,使得 x ? x ? 1 ? 0 ,则 ? p :?x ? R ,使得 x ? x ? 1 ? 0

6.沿一个正方体三个面的对角线截得几何体如图所示,则该几何体的左视图为

C D 7.某容量为 180 的样本的频率分布直方图共有 n ( n ? 1 )个小矩形,若第一个小矩形的面 积等于其余 n ? 1 个小矩形面积之和的 A.20 B. 25 C. 30

A

B

第 6 小题 图

1 ,则第一个小矩形对应的频数是 5
D. 35

8.等差数列{ an }中,已知 a5 ? 0 , a4 ? a7 ? 0 ,则{ an }的前 n 项和 S n 的最大值为 A. S 7 B. S 6 C.

S5

D.

S4

9.已知抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0 )与双曲线

x2 y2 ? ? 1( a ? 0 , b ? 0 )的一条渐近线 a2 b2

交于一点 M (1, m) ,点 M 到抛物线的焦点的距离为 3,则双曲线的离心率等于 A.3 B. 4 C.

1 3

D.

1 4

10.已知 x ? 0 , y ? 0 ,且 4 xy ? x ? 2 y ? 4 ,则 xy 的最小值为

A.

2 2

B. 2 2

C.

2

D. 2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分。本大题分必做题和选做题两部分。 (一)必做题:第 11、12、13 题为必做题,每道试题考生都必须做答。 开始 11.运行如图所示的程序框图,输出的结果是 。
A ?1

S ?1

A?5
S ? 2S ? 1
结束

输出 S

A ? A ?1

第 11 小题图

? x? y ?2?0 y ? 12 . 已 知 变 量 x , y 满 足 约 束 条 件 ? x ? 1, ,则 的取值范围 x ? 2x ? y ? 8 ? 0 ?
是 。 13.在平面直角坐标系 xoy 中,定点 A(4 ,3)且动点 B ( m, 0)在 x 轴的正半轴上移动,则

m 的最大值为 | AB |



(二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只能选做一题,两题都答的,只计算第一题的 得分。 14. 在平面直角坐标系 xoy 中, 已知直线 l 的参数方程为 ?

? x ? 1? t (参数 t ? R ) , 若以 O ? y ? 4 ? 2t

为极点,x 轴的正半轴为极轴, 曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 4 sin ? ,则直线 l 被曲线 C 所

截得的弦长为 。 15.如图, PA 是⊙ O 的切线, A 为切点,直线 PB 交⊙ O 于 B 、 D 两点,交弦 AC 于 E 点 , 且 AC ? 4 , EC ? 3 , BE ? 6 , PE ? 6 , 则 AP ? 。

A

?O 三、解答题:本大题 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明 过程和演算步骤。 16. (本小题满分 12 分) B

E

D

P

C

第 15 题图

在 平 面 直 角 坐 标 系 xoy 中 , M ( s i2n ? ,1) , N (1,?2 cos2 ? ) ( ? ? R ), 且

OM ? ON ? ?

3 。 2

(1)求点 M , N 的坐标; (2) 若 ? ,? 的顶点都为坐标原点且始边都与 x 轴非负半轴重合, 终边分别经过点 M ,N ,

? ? ? ) 的值。 求 tan(

17. (本小题满分 12 分) 一次考试中,五名学生的数学、物理成绩如下表所示: 学生 数学( x 分) 物理( y 分)

A1
89 87

A2
91 89

A3
93 89

A4
95 92

A5
97 93

(1)要从 5 学生中选 2 人参加一项活动,求选中的学生中至少有一人的 物理成绩高于 90 分的概率; (2) 请在所给的直角坐标系中画出它们的散点图, 并求这些数据的线性回归方程 y ? bx ? a
?

y(物理成绩)

94 92 90 88

O

89

91

93

95

97 x(

18. (本小题满分 14 分) 如图甲,⊙ O 的直径 AB ? 2 。圆上两点 C , D 在直径的两侧,使 ?CAB ?

?
4



?DAB ?

?
3

。沿直径 AB 折起,

使两个半圆所在平面互相垂直(如图乙) , F 为 BC 的中点, E 为 AO 的中点。根据图乙解 答下列各题: (1)求三棱锥 C ? BOD 的体积; (2)求证: CB ? DE ; (3)在 上是否存在一点 G ,使得 FG ∥平面 ACD ?若存在,确定点 G 的位置;若不

存在,请说明理由。

19.(本题满分 14 分) 设{ an }是公比大于 1 的等比数列,S n 为数列{ an }的前 n 项和。已知 S 3 ? 7 ,且 3a 2 是

a1 ? 1和 a3 ? 4 的等差中项。
(1)求数列{ an }的通项公式; (2)设 bn ?

an 1 ,数列{ bn }的前 n 项和为 Tn ,求证: Tn ? 2 (an ? 1)(an?1 ? 1)

20.(本题满分 14 分) 已知椭圆 C 的中心为原点 O ,焦点在 x 轴上,离心率为

3 3 ,且点(1, )在该椭 2 2

圆上。 (1)求椭圆 C 的方程; (2)如图,椭圆 C 的长轴为 AB ,设 P 是椭圆上异于 A 、 B 的任意 点, PH ? x 轴, H 为垂足,点 Q 满足 PQ ? HP ,直线 AQ 与过 点 B 且垂直于 x 轴的直线交于点 M , BM ? 4BN ,求证:?OQN 为锐角。

21.(本题满分 14 分 已知函数 f ( x) ? a x ? x 2 ? x ln a ? b ( a, b ? R, a ? 1 ) , e 是自然对数的底数。 (1)试判断函数 f ( x) 在区间 (0,??) 上的单调性; (2)当 a ? e , b ? 4 时,求整数 k 的值,使得函数 f ( x) 在区间( k , k ? 1 )上存在零点; (3)若存在 x1 , x2 ? [-1,1],使得 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? e ? 1 ,求 a 的取值范围。

2013 年深圳市高三年级第一次调研考试数学(文科)答案及评分标准
说明: 一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的 主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则. 二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容 和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后 续部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分数. 一、选择题:本大题每小题 5 分,满分 50 分. 1 B 2 D 3 D 4 A 5 B 6 B 7 C 8 C 9 A 10 D

二、填空题:本大题每小题 5 分;第 14、15 两小题中选做一题,如果两题都做,以第 14 题的得分为最后得分),满分 20 分.

11.

.

12.

.

13.



14.



15.

.

三、解答题:本大题 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演 算步骤.
16.(本小题满分 12 分)

解:(1)

…….2 分

解得



所以



….6 分

(2) 由 (1) 可知 分





…………….10

…………….12 分 【说明】 本小题主要考查了同角三角函数的关系、三角函数的定义、两角和正切公式, 以及向量的有关知识.考查了运算能力. 17.(本小题满分 12 分)

解:(1)从 名学生中任取 、 3分 、 、

名学生的所有情况为: 、 、 、



、 共种情

、 况.………

其中至少有一人物理成绩高于 、 、 、

分的情况有: 共 种情况,







故上述抽取的 人中选 人,选中的学生的物理成绩至少有一人的成绩高于

分的概



.

…………………………………………5 分 ……………………………………………6 分

(2)散点图如右所示.

可求得: =

=

=



=

, …………………8 分

=

=40,

=0.75, 故 关于 的线性回归方程是:

, .

…………………11 分 …………12 分

【说明】 本题主要考查了古典概型和线性回归方程等知识,考查了学生的数据处理能 力和应用意识. 18.(本小题满分 14 分)

解: (1) ∵ 为

为圆周上一点, 且 中点, , 与平面

为直径, . 互相垂直且其交线为 .∴ 就是点 , 的距离,

∵两个半圆所在平面 ∴ 平面 ,

平面

到平面



中,



. ………………………………………4 分 (2)在 又 为 中, 的中点, 与平面 , 互相垂直且其交线为 ∴ . , ………………9 为正三角形,

∵两个半圆所在平面 平面 分 (3)存在, 连接 ∴ ∴ ∴ 平面 , . 平面 为 .

的中点.证明如下: ,∴ , 在 , ∴平面 ,∵ 平面 中, 平面 平面 为⊙ , 分别为 , , 的直径, 平面 , 的中点,



平面



平面

.………………………………………14 分

【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系,考查空间想象能力、运算能力和逻辑 推理能力. 19.(本题满分 14 分)

解:(1)由已知,得 解得 .设数列 的公比为 ,则

………………………………………3 分 ,



.由

,可知



∴ 由题意,得 ∴ 7分 .故数列

,解得 . 的通项为

. …………………………………………………5 分 . …………………………………………………

(2)∵

, …………11 分



.……………………………………………14 分 【说明】考查了等差数列、等比数列的概念及其性质,考查了数列求和的“裂项相消法”; 考查了学生的运算能力和思维能力. 20.(本题满分 14 分)

解: (1)设椭圆 C 的方程为



由题意可得 又 ,∴

, . …………………2 分

∵椭圆 C 经过

,代入椭圆方程有

,解得

.

5分

∴ (2)设 ∵

,故椭圆 C 的方程为 , , ∵

. …………7 分 , ∴

………6 分

, ∴ 直 线

的 方 程 为

. ………………9 分



,得

.∵



,∴











∵ ∵ ∴

,∴ ,∴ 为锐角.

∴ .又 、 、

…………12 分 不在同一条直线,

…………………………………………………14 分

【说明】本题主要考查椭圆的方程与性质、向量等基础知识,考查学生运算能力、推理 论证以及分析问题、解决问题的能力. 21.(本小题满分 14 分) 解:(1) 由于 ,故当 故函数 (2) , 在 时, …………………………1 分 ,所以 ,…………2 分

上单调递增 . …………………………………………3 分 , ……………………4 分 ,

当 同理,

时, 是



,故 上的减函数.



上的增函数;

…………………………………5 分 ,当 , ,

故当

时,函数

的零点在

内,

满足条件;

,当 故当 综上所述 (3) 因为存在 所 以 ,使得 当 时,函数 或 . , , 的零点在 内,





满足条件.

………………………………………7 分

时 …………………………8 分 ,



①当 ②当 ③当 ∴ ∴当 在

时,由 时,由 时,

,可知 ,可知 .

, ,

,∴ ,∴

; ;

上递减,在 时,

上递增,…………………………………11 分 ,







, 因为

(当

时取等号) ,





上单调递增,而



∴当

时,



∴当 ∴

时, ,∴

,∴ ,即

, ,

设 ∴函数 即 的取值范围是

,则 在

. 上为增函数,∴ .

……………………………………14 分

【说明】本小题主要考查函数、导数、不等式证明等知识,通过运用导数知识解决函数、 不等式问题,考查考生综合运用数学知识解决问题的能力,同时也考查函数与方程思想、化 归与转化思想.

绝密★启用前

揭阳市 2013 年高中毕业班第一次高考模拟考试试题

数学(文科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 参考公式: 样本数据 ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ),L ,( xn , yn ) 的回归方程为: y ? bx ? a
?

其中 b ?

? ( xi ? x)( yi ? y)
i ?1

n

? ( x ? x)
i ?1 i

n

?

? x y ? nx y
i ?1 n i i

n

2

?x
i ?1

2

i

? nx

2



x?
距.

x1 ? x2 ? ??? ? xn y ? y2 ? ??? ? yn ,y ? 1 , a ? y ? bx . b 是回归方程得斜率, a 是截 n n

棱锥的体积公式: V ?

1 Sh .其中 S 表示棱锥的底面积,h 表示棱锥的高. 3

一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.已知复数 z1 , z2 在复平面内对应的点分别为 A(0,1), B(?1,3) ,则 A. ?1 ? 3i B. ?3 ? i C. 3 ? i

z2 ? z1
D. 3 ? i

2.已知集合 A ? {x | y ? log2 ( x ? 1)},集合 B ? { y | y ? ( ) , x ? 0} ,则 A I B =
x

1 2

A. (1, ??)

B. (?1,1)

C. (0, ??)

D. (0,1)

3.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为 3 : 3 : 4 ,现用分层抽样的方法从该校高中三个年 级的学生中抽取容量为 50 的样本,则应从高三年级抽取的学生人数为. A.15 B.20 C25. D.30 uu u r uuu r uuu r 4.在四边形 ABCD 中, “ AB ? DC ,且 AC ? BD ? 0 ”是“四边形 ABCD 是菱形”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

5.已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? n2 ? 2n ,则 a2 ? a18 = A.36 B.35 C.34 6.下列函数在其定义域内,既是奇函数又存在零点的是: A. f ( x) ? e ? 1 B. f ( x) ? x ? x
x ?1

D.33
?1

C. f ( x) ? x ? x

D. f ( x) ? ? | sin x |

7.已知 ?、 ? 是两不同的平面,m、n 是两不同直线,下列命题中不正确 的是: ... A.若 m∥n,m⊥ ? ,则 n⊥ ? C.若 m⊥ ? ,m⊥ ? ,则 ? ∥ ? B.若 m∥ ? , ? ∩ ? = n,则 m∥n D.若 m⊥ ? ,m∥ ? ,则 ? ⊥ ?

开始

任意输入x(0≤x≤1) 任意输入y(0≤y≤1) 1 y≥x+ ? 2 是 输出数对(x,y) 否

图(1)

8.在图(1)的程序框图中,任意输入一次 x(0 ? x ? 1) 与 y(0 ? y ? 1) , 则能输出数对 ( x, y ) 的概率为 A.

1 8

B.

3 8

C.

7 8

D.

1 4

9. 已知抛物线 C: 直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 与 C 交于 A, B 两点. 则 cos ?AFB x2 ? 4 y 的焦点为 F , 的值为 A.

4 5

B.

3 5

C. ?

3 5

D. ?

4 5

10.设 f ( x) ? x2 ? bx ? c ,若方程 f ( x) ? x 无实数根,则方程 f ( f ( x)) ? x A.有四个相异的实根 B. 有两个相异的实根 C.有一个实根 D.无实根 二、填空题:本大题共 6 小题,考生作答 5 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11-13 题) 11.计算: log 1 sin15o ? log 1 cos15o =
2 2



12.给出下列等式: 2 ? 2 cos

?
4

, 2 ? 2 ? 2 cos

?
8

, 2 ? 2 ? 2 ? 2 cos

?
16

,??

2 ? ...42 ? 4444444 2? 2 请从中归纳出第 n 个等式: 1444444 3=
n个 2



13.某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为 400 元.若每批生产 x 件,则平均仓 储时间为

x 天,且每件产品每天的仓储费用为 1 元.为使平均到每件产品的生产准备费用 4

与仓储费用之和最小,每批应生产产品 件. (二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选做题)已知曲线 C1 : ? ? 2 和曲线 C2 : ? cos(? ? ) ? 2 ,则 C1 4 上到 C2 的距离等于 2 的点的个数为 .
A
O

?

15.(几何证明选讲选做题)如图(2)所示,AB 是⊙O 的直径,过 圆上一点 E 作切线 ED⊥AF,交 AF 的延长线于点 D,交 AB 的延长 线于点 C.若 CB=2,CE=4,则⊙O 的半径长为 ;AD 的长 为 .

B C

E 图(2) 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)

F D

在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且满足 (1)求角 C 的大小;

a c . ? sin A 3 cos C

(2)求 3 sin A ? cos B 的最大值,并求取得最大值时角 A, B 的大小.

17. (本小题满分 12 分) 一般来说, 一个人脚掌越长, 他的身高就越高.现对 10 名成年人的脚掌长 x 与身高 y 进 行测量,得到数据(单位均为 cm )作为一个样本如上表示. 脚掌长(x) 身高(y) 20 141 21 146 22 154 23 160 24 169 25 176 26 181 27 188 28 197 29 203

(1)在上表数据中,以“脚掌长”为横坐标, “身高”为纵坐标,作出散点图后,发现 散点在一条直线附近,试求“身高”与“脚掌长”之间的线性回归方程 y ? bx ? a ; (2)若某人的脚掌长为 26.5cm ,试估计此人的身高; (3)在样本中,从身高 180cm 以上的 4 人中随机抽取 2 人作进一步的分析,求所抽取 的 2 人中至少有 1 人身高在 190cm 以上的概率. (参考数据:
?

? ( xi ? x)( yi ? y) ? 577.5 , ? ( xi ? x)2 ? 82.5 )
i ?1 i ?1

10

10

18. (本小题满分 14 分) 设 {an } 是 各 项 都 为 正 数 的 等 比 数 列 ,

?bn ? 是 等 差 数 列 , 且 a1 ? b1 ? 1, ,

a3 ? b5 ? 13, a5 ? b3 ? 21.
(1)求数列 {an } , ?bn ? 的通项公式; (2)设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,求数列 {Sn ? bn } 的前 n 项和 Tn .

19. (本小题满分 14 分)

如图(3) ,在等腰梯形 CDEF 中,CB、DA 是梯形的高, AE ? BF ? 2 , AB ? 2 2 ,现 将梯形沿 CB、DA 折起,使 EF//AB 且 EF ? 2 AB ,得一简单组合体 ABCDEF 如图(4)示, 已知 M , N , P 分别为 AF , BD, EF 的中点. (1)求证: MN // 平面 BCF ; (2)求证: AP ? 平面 DAE ; F (3)若 AD ? 2 ,求四棱锥 F-ABCD 的体积. 20. (本小题满分 14 分)
C
C D

D N

B
B A E

A M P E

图(3)

F

图(4)

x2 2 如图(5) ,设点 F1 (?c,0) 、 F2 (c,0) 分别是椭圆 C : 2 ? y ? 1(a ? 1) a uuu r uuu r 的左、右焦点, P 为椭圆 C 上任意一点,且 PF1 ? PF2 最小值为 0 . (1)求椭圆 C 的方程; o F1
(2)设直线 l1 : y ? kx ? m, l2 : y ? kx ? n ,若 l1 、 l2 均与椭圆

y

x F2

C 相切,证明: m ? n ? 0 ;
图(5)

(3)在(2)的条件下,试探究在 x 轴上是否存在定点 B ,点 B 到 l1 , l2 的距离之积恒为 1?若存在,请求出点 B 坐标;若不存在,请说明理由.

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln x , g ( x) ? f ( x) ? ax2 ? bx ,函数 g ( x) 的图象在点 (1, g (1)) 处的 切线平行于 x 轴. (1)确定 a 与 b 的关系; (2)若 a ? 0 ,试讨论函数 g ( x) 的单调性; (3)设斜率为 k 的直线与函数 f ( x ) 的图象交于两点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , ( x1 ? x2 ) 证明:

1 1 ?k? . x2 x1

揭阳市 2013 年高中毕业班高考第一次模拟考

数学(文科)参考答案及评分说明
一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的 主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则. 二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容 和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后 续部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数. 一.选择题:CDBCC 解析: CBADD
1
y

1 8.结合右图易得所求概率为 ,选 A. 8

y=x+

2
y=1

? x2 ? 4 y 9.联立 ? ,消去 y 得 x 2 ? 2 x ? 8 ? 0 ,解得 x1 ? ?2, x2 ? 4 . ?x ? 2 y ? 4 ? 0
不妨设 A 在 y 轴左侧,于是 A,B 的坐标分别为(-2,1),(4,4), 解法 1:由抛物线的定义可得: | AF |? 1 ? (?1) ? 2, | BF |? 4 ? (?1) ? 5 ,

x 0 x=1 3

| AB |? 36 ? 9 ? 3 5 ,由余弦定理 cos ?AFB ?

AF 2 ? BF 2 ? AB 2 4 ? ? .故选 D. 2 AF ? BF 5

解法 2:由抛物线的定义可得: | AF |? 1 ? (?1) ? 2, | BF |? 4 ? (?1) ? 5 , 可求 AB ? 3 5, AF ? 5, BF ? 2 ,∵ FA ? (?2,0), FB ? (4,3) ∴ FA ? FB ?| FA | ?| FB | cos ?AFB ? ?8 ,∴ cos ?AFB ?

uu r

uur

uu r uur

uu r uuu r

?8 4 ?? 2? 2?5 5

2 10.因抛物线 f ( x) ? x ? bx ? c 开口向上,由方程 f ( x) ? x 无实数根知,对任意的 x ? R ,

f ( x) ? x ? f ( f ( x)) ? f ( x) ? x ,所以方程 f ( f ( x)) ? x 没有实根,故选 D.
二.填空题: 11.2;12. 2 cos

?
2
n ?1

;13.40;14.2;15.3 (2 分) ;

24 (3 分). 5

解析: 13.设平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为 y,则

x ? x ?1 ? 400 x 400 x 400 ,即 x ? 40 时“=”成立, 故每批应 y? 4 ? ? ? 20 ,当且仅当 ? y 4 x x 4 x
生产产品 40 件. 14.将方程 ? ? 2 与 ? cos(? ? ) ? 2 化为直角坐标方程得 4
o

?

y=x-2 x

x2 ? y 2 ? 22 与 x ? y ? 2 ? 0 ,知 C1 为圆心在坐标原点,半径为 2
的圆,C2 为直线, 因圆心到直线 x ? y ? 2 ? 0 的距离为 2 , 故满足条件的点的个数 n ? 2 . 15.设 r 是⊙O 的半径.由 CE ? CA ? CB ,解得 r=3.由
2

CO OE 24 ? 解得 AD ? . CA AD 5

三.解答题: 16.解: (1)由条件结合正弦定理得,

a c c ----2 分 ? ? sin A 3 cos C sin C





s C? i
0?C ??

C n



3 tan C ?c 3

o ,

s

-----------------------------------------------4 分 ∵ , ∴

C?

?
3



--------------------------------------------------------------6 分 ( 2 ) 由 ( 1 )



B?

2? ? A -------------------------------------------------------------7 分 3 2? ? A) ∴ 3 sin A ? cos B ? 3 sin A ? cos( 3 2? 2? ? 3 sin A ? cos cos A ? sin sin A ------9 分 3 3

?
分 ∵0 ? A ? 当

? 3 1 sin A ? cos A ? sin( A ? ) --------------10 6 2 2

A?

?

2? ? ? 5? ,∴ ? A ? ? 3 6 6 6 ?

?

6

2





3

sA ? i n B?

?
2

s 取 i n 得( 最

大) 值

1



------------------------------11 分 此



A?

?
3

,B ?

?
3

. ---------------------------------------------------------------

--------12 分 17.解:(1)记样本中 10 人的“脚掌长”为 xi (i ? 1, 2,L 10) , “身高”为 yi (i ? 1, 2,L 10) ,



b?

? ( x ? x)( y ? y)
i ?1 i i

n

? ( x ? x)
i ?1 i

n

?

2

577.5 ?7 82.5



------------------------------------------1 分

∵x? ∴

x1 ? x2 ? ... ? x10 y ? y2 ? ... ? y10 ? 24.5 , y ? 1 ? 171.5 -----------------3 分 10 10

a ? y ? bx ? 0

-----------------------------------------------------------------------------4 分 ∴ y ? 7 x ---------------------------------------------------------5 分 (2)由(20)知 y ? 7 x ,当 x ? 26.5 时, y ? 7 ? 26.5 ? 185.5(cm) ,--------6 分 故 估 计 此 人 的 身 高 为
? ? ?

185.5cm



------------------------------------------------------7 分 (3)将身高为 181、188、197、203(cm)的 4 人分别记为 A、B、C、D,--------8 分 记“从身高 180cm 以上 4 人中随机抽取 2 人,所抽的 2 人中至少有 1 个身高在 190cm 以上”为事件 A, 则基本事件有: (AB) 、 (AC)、 (AD)、 (BC)、 (BD)、 (CD), 总数 6, --------------------10 分 A 包含的基本事件有:(AC)、(AD)、(BC)、(BD)、(CD),个数 5, 所 以

P( A) ?

5 .-------------------------------------------------------------------6

--------------------------12 分 18. 解: (1) 设数列 {an } 的公比为 q (q ? 0), 数列 ?bn ? 的 公差为 d , 依题意得: ?

?1 ? 2d ? q 4 ? 21L L (1') ? ----------2 分 2 ? ?1 ? 4d ? q ? 13L L (2 ')

(1') ? 2 ? (2') 得 2q4 ? q2 ? 28 ? 0 ? (q2 ? 4)(2q2 ? 7) ? 0
∵q ? 0 ∴ an ? 2 ∴ q ? 2 ,将 q ? 2 代入 (1') 得 d ? 2 --------------4 分
n?1

, bn ? 2n ?1. ----------------------------------------------------5 分

(2)由题意得

Tn ? S1b1 ? S2b2 ? L ? Snbn ? a1b1 ? (a1 ? a2 )b2 ? (a1 ? a2 ? a3 )b3 ? L ? (a1 ? a2 ? L ? an )bn

? (21 ?1)b1 ? (22 ?1)b2 ? L ? (2n ?1)bn ? 21 ? b1 ? 22 ? b2 ? L ? 2n ? bn ? (b1 ? b2 ? L ? bn )

令 S ? 21 ? b1 ? 22 ? b2 ? L ? 2n ? bn , -------------------------------------① 则 2S ? 22 ? b1 ? 23 ? b2 ? L ? 2n?1 ? bn ------------------------------------② ①-②得: ?S ? 21 ? 2 ? 22 ? 2 ? 23 L ? 2 ? 2n ? (2n ?1) ? 2n?1,

?S ? 2(1 ? 22 ? 23 ? L ? 2n ) ? (2n ?1)2n?1 ? 2[1 ? 22 (2n?1 ?1)] ? (2n ?1) ? 2n?1


S ? (2n ? 3) ? 2n?1 ? 6, ----------------------------------------------------------------------13 分 又 b1 ? b2 ? L ? bn ? ∴

n(1 ? 2n ? 1) ? n2 , 2

Tn ? (2n ? 3) ? 2n?1 ? 6 ? n2 ---------------------------------------------------------------14 分 19. (1)证明:连结 AC ,∵四边形 ABCD 是矩形, N 为 BD 中点, N AC ∴ 为 中 点 --------------------------------------------------------------1 分 在 ?ACF 中, M 为 AF 中点,故 MN // CF --------------------------3 分 ∵ CF ? 平面 BCF , MN ? 平面 BCF ,? MN // 平面 BCF ;---4 分 (2)依题意知 DA ? AB, DA ? AE 且 AB I AE ? A ∴ AD ? 平面 ABFE ∵ AP ? 平面 ABFE ,∴ AP ? AD ,------------------5 分 ∵ P 为 EF 中点,∴ FP ? AB ? 2 2
F C N B A M P E D



结合 AB // EF ,知四边形 ABFP 是平行四边形 AP // BF ∴ AP ? BF ? 2 ----------------------------------------------------7 分 而 AE ? 2, PE ? 2 2 ,∴ AP ? AE ? PE
2 2 2



? ∴ ?EAP ? 90 ,即 AP ? AE -----8

分 又 AD I AE ? A 分 (3)解法一:过 F 点作 FQ ? AB 交 AB 于 Q 点,由(2)知△PAE 为等腰直角三角形, ∴ AP ? 平面 ADE , ----------------------------------9



?APE ? 45o







?FBQ ? ?BFE ? 45o ,------------------------------------------10 分


FQ ? BF sin 450 ? 2
A ? D F ? Q 平 ? F面 Q ABCD



-------------------------------------------------------------------11 分 又 由 ( 2 ) 可 知

,



-----------------------------------------12 分 ∴

1 1 8 VF ? ABCD ? FQ ? S四边形ABCD ? ? 2 ? 2 ? 2 2 ? ,---------------------------------3 3 3
----14 分 【解法 2:∵三棱锥 F-CBD 与 F-ABD 等底等高,∴ VF ? BCD ? VF ? ABD ,-----------10 分 ∴

VF ? ABCD ? 2VF ? ABD ? 2VD? ABF ,-----------------------------------------------11 分
由 (2) 知△PAE 为等腰直角三角形, ∴ ?APE ? 45 ,从而 ?FBA ? ?APF ? 135 ------12
o o

分 故 S?ABF ?

1 1 2 AB ? BF sin ?ABF ? ? 2 2 ? 2 ? ?2 2 2 2
1 1 4 S ?ABF ? DA ? ? 2 ? 2 ? 3 3 3 8 ---------------------------------------------------------3

∴ VD ? ABF ? ∴

VF ? ABCD ? 2VD ? AEF ?
------------14 分】

20.解: (1)设 P( x, y ) ,则有 F1 P ? ( x ? c, y) , F2 P ? ( x ? c, y) -------------1 分

a2 ?1 2 PF1 ? PF2 ? x ? y ? c ? x ? 1 ? c 2 , x ? ?? a, a? -----------------2 分 2 a uuu r uuu r 2 2 由 PF1 ? PF2 最小值为 0 得 1 ? c ? 0 ? c ? 1 ? a ? 2 ,-------------------3 分
2 2 2

∴椭圆 C 的方程为 分

x2 ? y 2 ? 1 . ---------------------------------------------4 2
2 2 2

(2)把 l1 的方程代入椭圆方程得 (1 ? 2k ) x ? 4mkx ? 2m ? 2 ? 0 ∵直线 l1 与椭圆 C 相切,∴ ? ? 16k m ? 4(1 ? 2k )(2m ? 2) ? 0 ,化简得
2 2 2 2

m2 ? 1 ? 2k 2 ----------------------------------------------------------------

--------------------7 分 同 理







n2 ? 1 ? 2k 2 --------------------------------------------------------------------8 分 ∴ m ? n ,若 m ? n ,则 l1 , l2 重合,不合题意,
2 2



m?n ? 0


, 即 -------------------------------------------------------------------9

m ? ?n

(3)设在 x 轴上存在点 B(t , 0) ,点 B 到直线 l1 , l2 的距离之积为 1,则

| kt ? m | | kt ? m | ? ?1 k 2 ?1 k 2 ?1





| k2 ?

t2

|?

m2,

?1

k2

--------------------------------------11 分 把 1 ? 2k ? m 代入并去绝对值整理,
2 2

k 2 (t 2 ? 3) ? 2 或者 k 2 (t 2 ?1) ? 0
前式显然不恒成立;而要使得后式对任意的 k ? R 恒成立 则

t 2 ?1 ? 0







t ? ?1



----------------------------------------------------------------------13 分 综 上 所 述 , 满 足 题 意 的 定 点 B 存 在 , 其 坐 标 为 (? 1 , 0 或) (1, 0) ---------------------------14 分 21.解: (1)依题意得 g ( x) ? ln x ? ax ? bx ,则 g '( x) ?
2

1 ? 2ax ? b x 由函数 g ( x) 的图象在点 (1, g (1)) 处的切线平行于 x 轴得: g '(1) ? 1 ? 2a ? b ? 0


b ? ?2a ? 1 ------------------------------------------------------------------------3 分 (2)由(1)得 g '( x) ? 分 ∵函数 g ( x) 的定义域为 (0, ??) ∴当 a ? 0 时, g '( x ) ? ?

2ax 2 ? (2a ? 1) x ?1 (2ax ? 1)( x ?1) ? --------ks5u-----------4 x x

x ?1 x 由 g '( x) ? 0 得 0 ? x ? 1 ,由 g '( x) ? 0 得 x ? 1 , 即 函 数 g ( x) 在 (0,1) 上 单 调 递 增 , 在 (1, ??) 单 调 递 减 ;
-------------------------------------5 分 当 a ? 0 时,令 g '( x) ? 0 得 x ? 1 或 x ?

1 , 2a

1 1 1 1 ?1, ? x ?1, 即 a ? 时, 由 g '( x) ? 0 得 x ? 1 或 0 ? x ? , 由 g(')x 0? 得 2a 2 2a 2a 1 1 ), ,1) 单调递减; 即函数 g ( x) 在 (0, 在( -----------------6 (1, ??) 上单调递增, 2a 2a
若 分

1 1 1 1 ? 1, 若 即 0 ? a ? 时, 由 g '( x) ? 0 得 x ? 或 0 ? x ? 1, 由 g( , ') x 0 ? 得1 ? x ? 2a 2a 2 2a 1 1 ) 单调递减;------------7 分 即函数 g ( x) 在 (0,1) , ( , ??) 上单调递增,在 (1, 2a 2a 1 1 ? 1 ,即 a ? 时,在 (0, ??) 上恒有 g '( x) ? 0 , 若 2a 2 即 函 数 在 上 单 调 递 增 , g ( x) (0, ??)
------------------------------------------------------------8 分 综上得:当 a ? 0 时,函数 g ( x) 在(0,1)上单调递增,在 (1, ??) 单调递减; 当0 ? a ? 调递增;

1 1 1 ) 单调递减;在 ( , ?? ) 上单 时,函数 g ( x) 在 (0,1) 单调递增,在 (1, 2a 2 2a

1 时,函数 g ( x) 在 (0, ??) 上单调递增, 2 1 1 1 ) 上单调递增,在 ( ,1) 单调递减;在 ( 1 , ?? ) 上单调递增. 当 a ? 时, 函数 g ( x) 在 (0, 2 2a 2a
当a ? ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------9 分 (3)证法一:依题意得 k ?

y2 ? y1 ln x2 ? ln x1 , ? x2 ? x1 x2 ? x1 1 1 1 ln x2 ? ln x1 1 证 ? k ? ,即证 ? ? x2 x1 x2 x2 ? x1 x1 因 , 即 证 x2 ? x1 ? 0 x2 ? x1 x x ?x ? ln 2 ? 2 1 ---------------------------------------------10 分 x2 x1 x1 1 x2 令 ? t ( t ? 1 ) , 即 证 1 ? ? ln t ? t ? 1 ( t ? 1 ) t x1
------------ks5u------------------11 分 令 h(t ) ? ln t ? ? 1( t ? 1 )则 h '(t ) ? ? ∴ h(t ) 在(1,+ ? )上单调递增,

1 t

1 1 t ?1 ? 2 ?0 t t2 t

n t? 1 ? ( t ? 1) ∴ h(t ) ? h(1) =0, 即l --------------②-----------------------13
分 综 ① ② 得

1 t

1 1 ? ? ln t ? t ? 1 t



t ?1







1 1 ? k ? .-----------------------------------14 分 x2 x1

【证法二: 依题意得 k ? 分

y2 ? y1 ln x2 ? ln x1 -------------10 ? ? ln x2 ? kx2 ? ln x1 ? kx1 , x2 ? x1 x2 ? x1

1 ? k , -------------11 分 x 1 1 1 由 h?( x) ? 0 得 x ? , 当 x ? 时,h?( x) ? 0 , 当 0 ? x ? 时,h?( x) ? 0 , -----------12 k k k
令 h( x) ? ln x ? kx, 则 h?( x) ? 分

1 1 ? h( x) 在 (0, ) 单调递增,在 ( , ??) 单调递减,又 h( x1 ) ? h( x2 ), -------------13 分 k k 1 ? x1 ? ? x2 , 即 k 1 1 ? k ? -------------------------------------------------------------------x2 x1
14 分】

x 1 1 , 则 h?( x) ? ? , -------------10 分 x1 x x1 当 x ? x1 时, h?( x) ? 0, ∴函数 h( x) 在 ( x1 , ??) 单调递减,-------------11 分 x ln x2 ? ln x1 1 ∴当 x2 ? x1 时, h( x2 ) ? h( x1 ) ? ln x2 ? 2 ? ln x1 ? 1 ,即 ? ;--------12 x1 x2 ? x1 x1
【证法三:令 h( x) ? ln x ? 分 同 理 , 令

m( x) ? ln x ?

x , x2







1 ln x2 ? ln x1 -----------------------------------------14 分】 ? x2 x2 ? x1 y ? y1 ln x2 ? ln x1 1 1 【证法四:依题意得 k ? 2 , ? ?k? x2 ? x1 x2 ? x1 x2 x1 1 ln x2 ? ln x1 1 ? ? ? ? x1 ln x2 ? x1 ln x1 ? x2 ? x1 ? x2 ln x2 ? x2 ln x1 ------------x2 x2 ? x1 x1
10 分 令 h( x) ? x ? x1 ln x ? x1 ln x1 ? x1 , 则 h?( x ) ? 1 ?

当 x ? x1 时, h?( x) ? 0, ∴函数 h( x) 在 ( x1 , ??) 单调递增, 时 , x2 ? x1 h( x2 ) ? h( x1 ) ? 0 分 x1 x1 l ? n x2 ? x1-------------------------12 l n? x1 x2 x 令 m( x) ? x ? x2 ln x ? x2 ln x2 ? x2 , 则 m?( x) ? 1 ? 2 , x 当 x ? x2 时, m?( x) ? 0, ∴函数 m( x) 在 (0, x2 ) 单调递减, ∴当 x1 ? x2 时, m( x1 ) ? h( x2 ) ? 0 ,即 x2 ? x1 ? x2 ln x2 ? x2 ln x1 ; ∴ 当 , 即

x1 , x

所以命题得证 ------------------------------ks5u------------------------------------------------------14 分】

肇庆市中小学教学质量评估 2013 届高中毕业班第一次模拟试题 数 学(文科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分. 考试用时 120 分钟. 注意事项:1. 答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班别、姓名、考号填 写在答题 卡的密封线内. 2. 选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑; 如需要改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能写在试卷上. 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在另发的答题卷 各题目指定区域内相应的位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写 上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 参考公式:锥体的体积公式 V ?

1 Sh 其中 S 为锥体的底面积, h 为锥体的高 3

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.设 i 为虚数单位,复数 z1 ? a ? 3i , z 2 ? 2 ? bi ,其中 a、b?R. 若 z1 ? z2 ,则 ab ? A. ? 1 B. 5 C. ?6 D. 6

2.已知全集 U ? {?2, ?1, 0,1, 2,3, 4,5, 6} ,集合 M={大于 ?2 且小于 5 的整数},则 CU M ? A. ?
x

B. {6}

C. {?2, 6}

D. {?2,5, 6}

3.命题“?x∈R, 2 ? 1 ”的否定是 A. ?x ? R, 2 ? 1
x

B. ?x ? R, 2 ? 1
x

C. ?x ? R, 2 ? 1
x

D. ?x ? R,2 ? 1
x

4.甲、乙两种水稻试验品种连续 5 年的单位面积平均产量如下(单位:t/hm2) ,根据这组 数据下列说法正确的是

品种 甲 乙

第1年 9.8 9.4

第2年 9.9 10.3

第3年 10.1 10.8

第4年 10 9.7

第5年 10.2 9.8

A.甲品种的样本平均数大于乙品种的样本平均数 B.甲品种的样本平均数小于乙品种的样本平均数 C. 甲品种的样本方差大于乙品种的样本方差 D. 甲品种的样本方差小于乙品种的样本方差

5.已知等差数列{ an },满足 a3 ? a9 ? 8 ,则此数列的前 11 项的和 S11 ? A.44 B.33 C.22 D.11

6.平面上有三个点 A(2,2) 、M(1,3) 、N(7,k) ,若向量 AM 与 AN 垂直,则 k= A.6 B.7 C.8 D.9

7.阅读如图 1 的程序框,并判断运行结果为 A.55 B.-55 C.5 D.-5

?x ? y ? 2 ? 8.设变量 x , y 满足 ?0 ? x ? y ? 4 ,则 z ? 3x ? 2 y 的最大值为 ?0 ? y ? 3 ?
A. 1 B. 9 C. 11 D.13

9.△ABC 中, AB ? 3, BC ? 13, AC ? 4 ,则△ABC 的面积是

A.

3 2

B.

3 3 2

C. 3

D. 3 3

M 上定义运算“ ? ”为: Ai ? Aj ? Ak ,其 10.设集合 M ? ? A0 , A 1, A 2, A 3, A 4, A 5? ,在
中 k 为 i ? j 被 4 除的余数, i, j ? 0,1, 2,3, 4,5 .则满足关系式 (a ? a) ? A2 ? A0 的

a(a ? M ) 的个数为
A.2 B.3 C.4 D.5

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题) 11.函数 f ( x) ? 1 ? x ? ln x 的定义域为__▲__. 12.若圆心在直线 y ? x 上、半径为 2 的圆 M 与直线 x ? y ? 4 相切, 则圆 M 的方程是__▲__. 13.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图 2 所示,则其表面积 ... 等于__▲__.







14 . (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中,圆 ? ?2 上的点到直线

? cos? ? 3 sin ? ? 6 的距离的最小值为__▲__.

?

?

15. (几何证明选讲选做题)如图 3,D 是⊙O 的直径 AB 延长线上一点,PD 是⊙O 的切线, P 是切点,∠D =30° , AB ? 4, BD ? 2 ,则 PA ? __▲__.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin( 2 x ?

?
3

) ? cos( 2 x ?

?
6

) ? 2 cos 2 x ? 1 ,x∈R.

(1)求函数 f ( x) 的最小正周期; (2)求函数 f ( x) 在区间 [ ?

? ?

, ] 上的最大值和最小值. 4 4

17. (本小题满分 13 分) 某市电视台为了宣传举办问答活动,随机对该市 15~65 岁的人群抽样了 n 人,回答问 题统计结果如下图表所示:

(1)分别求出 a,b,x,y 的值; (2)从第 2,3,4 组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取 6 人,则第 2,3,4 组 每组各抽取多少人? (3)在(2)的前提下,电视台决定在所抽取的 6 人中随机抽取 2 人颁发幸运奖,求 所抽取的人中第 2 组至少有 1 人获得幸运奖的概率.

18. (本小题满分 13 分) 如图 4,PA 垂直于⊙O 所在平面 ABC,AB 为⊙O 的直径,PA=AB=2,
BF ? 1 BP ,C 是弧 AB 的中点. 4

(1)证明:BC?平面 PAC;

(2)证明:CF?BP; (3)求四棱锥 C—AOFP 的体积. 19. (本小题满分 14 分) 已知 Sn 是数列 {an } 的前 n 项和,且 a1 ? 1 , nan?1 ? 2S n (n ? N * ) . (1)求 a2 , a3 , a4 的值; (2)求数列 {an } 的通项 an ; (3)设数列 {bn } 满足 bn ?

2 ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . (n ? 2)an

20. (本小题满分 14 分) 已知圆 C 的方程为 x2 ? y 2 ? 2 x ? 7 ? 0 ,圆心 C 关于原点对称的点为 A,P 是圆上任 一点,线段 AP 的垂直平分线 l 交 PC 于点 Q . (1)当点 P 在圆上运动时,求点 Q 的轨迹 L 方程; (2)过点 B(1,

1 )能否作出直线 l2 ,使 l2 与轨迹 L 交于 M、N 两点,且点 B 是线 2

段 MN 的中点,若这样的直线 l2 存在,请求出它的方程和 M、N 两点的坐标;若不存在,请 说明理由.

21. (本小题满分 14 分)
2 ? ? x ? a (ln x ? 1)(0 ? x ? e) 若 f ( x) ? ? 2 ,其中 a ? R . ? ? x ? a (ln x ? 1)( x ? e)

2 (1)当 a ? ?2 时,求函数 f ( x) 在区间 [e, e ] 上的最大值;

(2)当 a ? 0 时,若 x ? ?1,??? , f ( x ) ?

3 a 恒成立,求 a 的取值范围. 2

肇庆市中小学教学质量评估 2013 届高中毕业班第一次模拟试题 数
一、选择题

学(文科)参考答案
4 D 5 A 6 B 7 D 8 C 9 D 10 B

题号 答案

1 C

2 D

3 A

10B 解析:设 a ? Ai ,则 (a ? a) ? A2 ? A0 等价于 2i ? 2 被 4 除的余 0,等价于 i 是奇数.故

a 可取 A1 , A3 , A5
二、填空题 11. (0,1] 得 5 分) 13. 24 ? 8 3 三、解答题 16. (本小题满分 12 分) 解: (1) f ( x) ? sin 2 x cos 14.1 15. 2 3 12. ( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 2 或 ( x ? 3)2 ? ( y ? 3)2 ? 2 (对 1 个得 3 分,对 2 个

?

3 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 sin( 2 x ?

? cos 2 x sin

?
3

? cos 2 x cos

?
6

? sin 2 x sin

?
6

? cos 2 x (3 分)

(4 分) (5 分) (6 分)

?
4

) 2? ?? . 2

所以函数 f ( x) 的最小正周期 T ? (2)因为 f ( x) 在区间 [ ? 又 f (?

? ?

?

) ? ?1 , f ( ) ? 2 , f ( ) ? 1 , 4 8 4

?

, ] 上是增函数,在区间 [ , ] 上是减函数, (8 分) 4 8 8 4

? ?

?

(11 分)

故函数 f ( x) 在区间 [ ?

? ?

, ] 上的最大值为 2 ,最小值为-1. (12 分) 4 4

17. (本小题满分 13 分)

解: (1)由频率表中第 1 组数据可知,第 1 组总人数为 再结合频率分布直方图可知 n ? ∴a=100×0.020×10×0.9=18, b=100×0.025×10×0.36=9,

5 ? 10 , 0.5
(1 分) (2 分) (3 分) (4 分) (5 分)

10 ? 100 . 0.01 ? 10

27 ? 0.9 , 100 ? 0.3 3 y? ? 0.2 100 ? 0.15 x?
(2)第 2,3,4 组中回答正确的共有 54 人. ∴利用分层抽样在 54 人中抽取 6 人,每组分别抽取的人数为:

18 ? 6 ? 2 人, 54 27 ? 6 ? 3 人, 第 3 组: 54 9 ? 6 ? 1 人. 第 4 组: 54
第 2 组:

(6 分) (7 分) (8 分)

(3)设第 2 组的 2 人为 A 1 、 A2 ,第 3 组的 3 人为 B 1 、 B2 、 B2 ,第 4 组的 1 人为 C1 ,则 从 6 人中抽 2 人所有可能的结果有: ? A 1, A 2?,?A 1, B 1? ,? A 1 , B2 ? , ? A 1 , B3 ? , ? A 1 , C1 ? ,

? A2 , B1 ? , ? A2 , B2 ? , ? A2 , B3 ? , ? A2 , C1 ? , ? B1, B2 ? , ? B1, B3 ? , ? B1, C1 ? , ? B2 , B3 ? , ? B2 , C1 ? , ? B3 , C1 ?
(10 分) 其中第 2 组至少有 1 人被抽中的有 ? A 1, A 2?,?A 1, B 1? ,? A 1 , B2 ? , ? A 1 , B3 ? , ? A 1 , C1 ? , , 共 15 个 基 本 事 件 ,

? A2 , B1 ? , ? A2 , B2 ? , ? A2 , B3 ? , ? A2 , C1 ? 这
分) ∴第 2 组至少有 1 人获得幸运奖的概率为

9 个基本事件.

(12

9 3 ? 15 5

(13 分)

18. (本小题满分 13 分) (1)证明:∵PA?平面 ABC,BC?平面 ABC, ∴BC?PA. ∵?ACB 是直径所对的圆周角, ∴ ?ACB ? 90o ,即 BC?AC. 又∵ PA ? AC ? A ,∴ BC ? 平面 PAC . (2 分) (3 分) (1 分)

(2)证明:∵PA?平面 ABC,OC?平面 ABC, ∴OC?PA. (4 分)

∵C 是弧 AB 的中点, ∴?ABC 是等腰三角形,AC=BC, 又 O 是 AB 的中点,∴OC?AB. (5 分)

又∵ PA ? AB ? A ,∴ OC ? 平面 PAB ,又 PB ? 平面 PAB , ∴ BP ? OC . (6 分)

设 BP 的中点为 E,连结 AE,则 OF // AE , AE ? BP ∴ BP ? OF . (7 分)

∵ OC ? OF ? O ,∴ BP ? 平面 CFO . 又 CF ? 平面 CFO ,∴ CF ? BP . (8 分) (3)解:由(2)知 OC ? 平面 PAB ,∴ CO 是三棱锥 C ? BFO 的高,且 CO ? 1 . (9 分)
1 1 1 2 2 1 1 1 2 又∵ BF ? BP ? , FO ? AE ? ? PB ? PA2 ? AB2 ? 2 ? 22 ? 4 4 4 2 2 2 2 2

(10 分) (11 分) (12 分) (13 分)

∴ VC ? BFO ? S BOF ? CO ? ? BF ? FO ? 1 ? ?

1 3

1 1 3 2

1 6

2 2 1 ? ? 2 2 12

1 1 1 1 1 2 又∵ VP ? ABC ? S?ABC ? AP ? ? AB ? CO ? AP ? ? ? 2 ?1? 2 ? 3 3 2 3 2 3 2 1 7 ∴四棱锥 C ? AOFP 的体积 V ? VP ? ABC ? VC ? BFO ? ? ? 3 12 12

19. (本小题满分 14 分) 解: (1)由 a1 ? 1, nan?1 ? 2Sn (n ? N ? ) 得 a2 ? 2a1 ? 2 , (1 分) (2 分) (3 分)

a3 ? S2 ? a1 ? a2 ? 3 ,
由 3a4 ? 2S3 ? 2(a1 ? a2 ? a3 ) 得 a4 ? 4 (2)当 n ? 1 时,由 nan?1 ? 2Sn ① ,得 (n ?1) an ? 2 Sn?1 ②

(4 分)

①-②得 nan?1 ? (n ?1)an ? 2(Sn ? Sn?1 ) ,化简得 nan?1 ? (n ? 1)an , (5 分)



an?1 n ? 1 ? ( n ? 1 ). an n a3 3 a n ? ,……, n ? a2 2 an?1 n ? 1

(6 分)

∴ a2 ? 2 ,

(7 分)

以上( n ? 1 )个式子相乘得 a n ? 2 ? 又 a1 ? 1 ,∴ an ? n(n ? N ? )

3 n ? ?? ? n ( n ? 1) 2 n ?1

(8 分)

(9 分)

(3)∵ bn ? ∴ Tn ? ?
? 1?

2 2 1 1 ? ? ? (n ? 2)an (n ? 2)n n n ? 2

(11 分)

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? (12 分) 1 3 2 4 3 5 n ? 2 n n ?1 n ?1 n n ? 2
1 1 1 3 2n ? 3 ? ? ? ? 2 n ? 1 n ? 2 2 (n ? 1)(n ? 2)

(14 分)

20. (本小题满分 14 分) 解: (1)如图,由已知可得圆心 C (?1, 0) ,半径 r ? 2 2 ,点 A(1,0) (1 分) ∵点 Q 是线段 AP 的垂直平分线 l 与 CP 的交点,∴ | QP |? QA | 又∵ | PQ | ? | QC |? 2 2 ,∴ | QA | ? | QC |? 2 2 ? AC ? 2 ∴点 Q 的轨迹是以 O 为中心, C , A 为焦点的椭圆, ∵ c ? 1, a ? (2 分) (3 分)

2 ,∴ b ? a 2 ? c 2 ? 1 ,
x2 ? y 2 ? 1. 2

(4 分) (5 分)

∴点 Q 的轨迹 L 的方程

(2)假设直线 l2 存在,设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,分别代入

x2 ? y 2 ? 1得 2

? x12 ? y12 ? 1 ? ?2 , ? 2 ? x2 ? y 2 ? 1 2 ? ?2
两式相减得

(6 分)

( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) y ?y 1 x ?x ? ?( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ,即 1 2 ? ? ? 1 2 2 x1 ? x2 2 y1 ? y2
(8 分) (9 分)

(7 分)

由题意,得 x1 ? x2 ? 2, y1 ? y 2 ? 1, ∴

y1 ? y2 ? ?1 ,即 kMN ? ?1 x1 ? x2

∴直线 l2 的方程为 y ? ? x ?

3 2

(10 分)

? x2 ? y2 ? 1 ? ?2 2 由? 得 6 x ? 12 x ? 5 ? 0 ? y ? ?x ? 3 ? ? 2
∵点 B 在椭圆 L 内, ∴直线 l2 的方程为 y ? ? x ?
2

(11 分)

3 ,它与轨迹 L 存在两个交点, 2

解方程 6 x ? 12 x ? 5 ? 0 得 x ? 1 ?

6 6

(12 分)

当 x ? 1?

6 1 6 6 1 6 时, y ? ? ;当 x ? 1 ? 时, y ? ? 6 2 6 6 2 6
? ? ? 6 1 6? ? 6 1 6? , ? , ? 和 ?1 ? ? ? ? 6 2 6 ? 6 2 6 ? ? ? ?

(13 分)

所以,两交点坐标分别为 ? 1 ?

(14 分)

21. (本小题满分 14 分) 解: (1)当 a ? ?2 , x ?[e, e ] 时, f ( x) ? x ? 2ln x ? 2 ,
2 2

(1 分) (2 分) (3 分) (4 分)

∵ f ?( x) ? 2 x ?

2 2 ,∴当 x ? [e, e ] 时, f ?( x) ? 0 , x
2
2

∴函数 f ( x) ? x ? 2ln x ? 2 在 [e, e ] 上单调递增, 故 f ( x)max ? f (e2 ) ? (e2 )2 ? 2ln e2 ?2 ? e ? 2
4

2 (2)①当 x ? e 时, f ( x) ? x ? a ln x ? a , f ?( x) ? 2 x ?

a , x
(5 分) (6 分)

? a ? 0 , f ?( x) ? 0 ,∴f(x)在 [e,??) 上增函数,
故当 x ? e 时, f ( x) min ? f (e) ? e ;
2
2 ②当 1 ? x ? e 时, f ( x) ? x ? a ln x ? a , f ?( x) ? 2 x ?

a 2 a a (7 分) ? (x ? )(x ? ), x x 2 2

(i)当

a ? 1, 即 0 ? a ? 2 时, f ( x) 在区间 [1, e) 上为增函数, 2
(8 分)

2 当 x ? 1 时, f ( x) min ? f (1) ? 1 ? a ,且此时 f (1) ? f (e) ? e ;

(ii)当 1 ?

? ? a ? a? a 1, ? e ,即 2 ? a ? 2e2 时, f ( x) 在区间 ? ? 上为减函数,在区间 ? ? ? 2 , e? 2? 2 ? ? ?
(9 分)

上为增函数, 故当 x ?

a a a 3a a a 时, f ( x) min ? f ( (10 分) )? ? ln ,且此时 f ( ) ? f (e) ? e 2 ; 2 2 2 2 2 2
a ? e ,即 a ? 2e 2 时, f ( x) ? x2 ? a ln x ? a 在区间[1,e]上为减函数, 2
(11 分)

(iii)当

故当 x ? e 时, f ( x) min ? f (e) ? e 2 .

综上所述,函数 y ? f ( x) 的在 ?1,??? 上的最小值为 f ( x) min

?1 ? a,0 ? a ? 2 ? 3a a a ? ? ? ? ln ,2 ? a ? 2e 2 ?2 2 2 2 2 ? ?e , a ? 2e

(12 分)

?2 ? a ? 2e 2 , ?a ? 2e 2 , ?0 ? a ? 2, ? ? ? 由? 由 ? 3a a a 3a 得无解; 由 ? 2 3a 得无解; (13 3 得0 ? a ? 2 ; 1 ? a ? a, , , ? ? ? ln ? ?e ? 2 ? 2 ?2 2 2 2 ?
分) 故所求 a 的取值范围是 ?0,2? . (14 分)

广东省梅州市 2013 届高三总复习质检 数学文试题(2013.3)
一、选择题(50 分) 1、设 i 是虚数单位,复数

i 对应的点在 1? i

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 2 2、设集合 A={x|x -2x-3<0,x ? R},集合 B={-2,2},则 A∩B 为 A、 (-1,2) B、 (-2,-1) C、 (-2,3) D、 (-2,2) 3、下列函数中,既是偶函数又在(0,+ ? )上单调递增的函数是 A、y=cosx B、y=x3 C、y ? log 1 x 2
2

D、y= e x ? e ? x

4、下列命题中假命题是 A、 ?x >0,有 ln2x+lnx+1>0 B、 ?? , ? ? R,使 cos(? ? ? ) ? cos ? ? cos ? C、 “a2<b2”是“a<b”的必要不充分条件 D、 ?m ? R ,使 f ( x) ? (m ?1) xm
2

?4m?3

是幂函数,且在(0,+ ? )上递减

5、如图是一个几何体的三视图,若它的体积是 3 3 ,则 a= A、 2

B、

2 2

C、 3

D、

3 2

6、某程序框图如右图所示,若输出的 S=57,则判断框内填 A、k>4? B、k>5? C、k>6? D、k>7? 7、函数 y ? sin( x ? 变) ,右平移

?
6

) 图象上各点的横坐标缩短到原来的

?
3

1 倍(纵坐标不 2

个单位,那么所得图象的一条对称轴方程为 B、 x ? ? D、 x ?

A、 x ? ? C、 x ?

?
4

?
2

?
8

?
4

8、已知 m 是两个正数 2 和 8 的等比中项,则圆锥曲线 x 2 ?

y2 =1 的离心率是 m

A、

3 5 或 2 2

B、

3 2

C、 5

D、

3 或 5 2

9、若圆 C 的半径为 1,圆心在第一象限,且与直线 4x-3y=0 和 x 轴都相切,则该圆的标 准方程是 A、 ( x ? 3) ? ( y ? ) =1
2 2

7 3

B、 ( x ? 2)2 ? ( y ?1)2 =1 D、 ( x ? ) ? ( y ? 1) =1
2 2

C、 ( x ?1)2 ? ( y ? 3)2= 1学科网

3 2

10、设 f(x)与 g(x)是定义在同一区间[a,b]上的两个函数,若函数 y=f(x)-g(x) 在 x ? [a,b]上有两个不同的零点,则称 f(x)和 g(x)在[a,b]上是“关联函数” , 区间[a,b] 称为“关联区间” ,若 f(x)=x2-3x+4 与 g(x)=2x+m 在[0,3]上是“关联函数” , 则m的 取值范围为 A、 (??, ?2) B、 [-1,0] C、 (?

9 , ?2] 4

D、 (?

9 , ??) 4

二、填空题(20 分) (一)必做题(9-13 题) 11、设等比数列{ an }的公比 q=2,前 n 项和为 Sn ,则

S4 =___ a2

12、在 2012 年 8 月 15 日那天,某物价部门对本市的 5 家商场的某商品的一天销售量价格 进行调查,5 家商场的售价 x 元和销售量 y 件之间的一组数据如下表所示:

由散点图可知,销售量 y 与价格 x 之间有较强的线性相关关系,其线性回归直线方程是:

? y ? ?3.2 x ? 40 ,且 m+n=20,则其中的 n=____
?2 x ? y ? 4 ? 13、设 x,y 满足 ? x ? y ? 1 学科网 ,则 z=x+y-3 的最小值为____ ?x ? 2 y ? 2 ?
(二)选做题(14、15 题中选做一题) 14、 (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,圆 ? =2 上的点到直线 ? sin(? ?

?
6

) =3

的距离的最小值是____ 15、 (几何证明选讲选做题)如图⊙O 的直径 AB=6cm,P 是 AB 延长线上的一点,过 P 点作 ⊙O 的切线,切点为 C,连接 AC,且∠CPA=30°,则 BP=____cm

三、解答题(80 分) 16、 (本小题满分 12 分) 已知△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,满足 3 sin C cos C ? cos 2 C ? (1)求角 C (2)若向量 m ? (1,sin A) 与 n ? (2,sin B) 共线,且 c=3,求 a、b 的值。

1 。 2

??

?

17、 (本小题满分 12 分) 某高校在 2012 年的自主招生考试成绩中随机抽以 100 名学生的笔试成绩, 按成绩分组, 依次为第一组[160,165) ,第 2 组[165,170) ,第 3 组[170,175) ,第 4 组[175,180) ,第 5 组[180,185) ,统计后得到如图所示的频率分布直方图。 (1)为了能选拔出最优秀的学生,该校决定在笔试成绩高的第 3,4,5 组中用分层抽 样抽取 6 名学生进入第二轮大幅度, 求第 3、 4、 5 组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试? (2)在(1)的前提下,学校决定在 6 名学生中随机抽取 2 名学生接受 A 考官进行面 试,求第 4 组至少有一名学生被 A 考官面试的概率?

18、 (本小题满分 14 分) 已知在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,PA⊥平面 ABCD,AB=2,E,F 分别是 AB、 PD 的中点。 (1)求证:AF⊥平面 PDC; (2)求三棱锥 B-PEC 的体积; (3)求证:AF∥平面 PEC。

19、 (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?

1 2 3 x ? x ,数列{ an }的前 n 项和为 Sn ,点 (n, Sn ) (n ? N *) 都在函 2 2

数 y=f(x)的图象上。 (1)求数列{ an }的通项公式 an ; (2)令 bn ? (3)令

an , Tn 是数列{ bn }的前 n 项和,求 Tn ; 2 n ?1

20、 (本小题满分 14 分) 已知 F1,F2 分别是椭圆 C:
2

y 2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的上、下焦点,其中 F1 也是抛物线 a 2 b2
5 。 3

C1: x ? 4 y 的焦点,点 M 是 C1 与 C2 在第二象限的交点,且 | MF1 |?

(1)求椭圆 C1 的方程; (2)已知 A(b,0) ,B(0,a) ,直线 y=kx(k>0)与 AB 相交于点 D,与椭圆 C1 相 交于点 E,F 两点,求四边形 AEBF 面积的最大值。

21、 (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ( a ? ) x 2 ? ln x( x ? R ) 。 (1)当 a=1 时, ?x0 ? [1, e] 使不等式 f ( x0 ) ? m ,求实数 m 的取值范围;

1 2

(2)若在区间(1,+ ? )上,函数 f(x)的图象恒在直线 y=2ax 的下方,求实数 a 的取值范围。


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