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江西省临川区第一中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题 文


临川一中 2016-2017 学年度下学期期中考试 高二数学(文科)试卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A ? {x | x ? x ? 2 ? 0}, B ? {x | log 4 x ? 0.5} ,则(
2

) D.A ? B ? B

A.A ? B ? ? 2.设 i 是虚数单位,复数

B. A ? B ? B

C. CU A ? B ? R )

1 ? ai 为纯虚数,则实数 a 为( 2?i

A. 错误!未找到引用源。 B. 错误!未找到引用源。 未找到引用源。 D. 错误!未找到引用源。 3.如果等差数列 {an } 中, a3 ? a4 ? a5 ? 12 ,则 a1 ? a2 ? ? ? a7 ? ( A. 28 B.35 C.21 D.14 ) )

C.错误!

4. 要得到一个偶函数,只需将函数 f ( x) ? sin x ? 3 cos x 的图象(

? A .向左平移 个单位 ? ? C .向左平移 个单位 ?

? B . 向右平移 个单位 ? ? D . 向右平移 个单位 ?


?x ? 0 ? 5. 若x,y 满足 ? x ? 2 y ? 3 ? 0 ,则u=2x+y的最大值为( ?2 x ? y ? 3 ? 0 ?
A.3 B.

5 3 C.2 D. 2 2 x?2 ) ? a 在区间 (1,2) 内有零点,则实数 a 的取值范围为( 6.设函数 f ( x) ? log 3 ( x
A. (?1,? log3 2) B. (0, log3 2) C. (1, log3 4) D. (log3 2,1)



7. 执行如图所示的程序框图, 若输入 n 的值为 8, 则输出 S 的 值为( ) A. 4 B. 8 C. 10 D. 12 8.已知点P ( x0 , y0 ) 在抛物线W: y ? 4 x 上,且点P到W的准
2

线的距离与点P到x轴的距离相等,则 x0 的值为(

)

A.

1 2

B.、1

C.

3 2

D. 2

9.某三棱锥的三视图如图所示,则其体积为(

)
1

A.

2 6 3

B.

3 2

C.

2 3 3
3 2

D.

3 3

10.若圆锥曲线 C 是椭圆或双曲线,若其中心为坐标原点, 对 称轴为坐标轴,且过 A( ?2, 2 3), B ( , ? 5) 则( ) A.曲线 C 可为椭圆,也可为双曲线 B.曲线 C 一 定是双曲线 C.曲线 C 一定是椭圆 D.这样曲线 C 不存在 11.函数 f ( x ) 的定义域为[-1,1] ,图象如图1所示,函数 g ( x) ?的定义域为[-1,2] , 图 象如图 2 所示,若集合 A= ?x | f ( g ( x)) ? 0? ,B= ?x | g ( f ( x)) ? 0? ,则 A ? B中元 素的个数为( )

A.1

B.2

C.3

D.4

12.对于函数 f ( x) ,如果存在锐角 ? 使得 f ( x) 的图象绕坐标原点逆时针旋转角 ? ,所得曲 线仍是一函数,则称函数 f ( x) 具备角 ? 的旋转性,下列函数具有角 ( )

?
4

的旋转性的是

A. y ?

x2 ?1

B. y ? x2

C. y ? 2

x

D. y ? ln x

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.在复平面内,复数 z1 与 z2 对应的点关于虚轴对称,且 z1 ? ?1 ? i ,则 z1 z2 ? ____. 14.已知平面向量 a =(1,-3) , b =(4,-2) , ? a ? b 与 a 垂直,则 ? 是 15. 若圆 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 1与双曲线 C: 程是 16.下列命题中,正确的序号是 ①存在 x0 ? 0 ,使得 x0 ? sin x0 . ② 若 sin ? ?

?

?

? ?

?

x2 ? y 2 ? 1(a ? 0) 的渐近线相切, 双曲线 C 的渐近线方 2 a

? 1 ,则 ? ? 6 2

a b ③ “ lna ? lnb ”是“ 10 ? 10 ”的充要条件

④若函数 f ( x) ? x ? 3ax ? bx ? a 在 x ? ?1 有极值 0 ,则 a ? 2, b ? 9 或 a ? 1, b ? 3
3 2 2

2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x?2m
2

? m?3

(m ? Z ) 是偶函数, 且 f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增.

(1)求 m 的值,并确定 f ( x) 的解析式; (2) g ( x) ? log2[3 ? 2 x ? f ( x)] ,求 g ( x) 的定义域和值域。 18. (本小题满分 12 分) 随着“全面二孩”政策推行,我市将迎来生育高峰.今年新春伊始,抚州各医院产科就 已经是一片忙碌, 至今热度不减. 卫生部门进行调查统计, 期间发现各医院的新生儿中, 不少都是“二孩” ;在市第一医院,共有 40 个猴宝宝降生,其中 20 个是“二孩”宝宝; 市妇幼保健院共有 30 个猴宝宝降生,其中 10 个是“二孩”宝宝. (I)从两个医院当前出生的所有宝宝中按分层抽样方法抽取 7 个宝宝做健康咨询. ①在市第一医院出生的一孩宝宝中抽取多少个? ②若从 7 个宝宝中抽取两个宝宝进行 体检,求这两个宝宝恰出生不同医院且均属“二孩”的概率; (II)根据以上数据,能否有 85 %的把握认为一孩或二孩宝宝的出生与医院有关?

19.(本题满分 12 分) 如图, 圆柱 ? ? ?1 中,?? 为下底面圆 ? 的直径,CD 为上底面圆 ?1 的直径,?? //CD , 点 ? 、 F 在圆 ? 上,且 ?? //?F ,且 ?? ? 2 , ?D ? 1 . (1)求证:平面 ?DF ? 平面 C? F ; (2)若 DF 与底面所成角为

? ,求几何体 ?F ? ??CD 的体积. 4

3

20. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ln x ? ax 2 ? 1,且 f ?(1) ? ?1 . (1)求 f ( x) 的解析式; (2)证明:函数 y ? f ( x) ? xe x ? x 2 的图象在直线 y ? ? x ? 1 的图象下方.

21. (本小题满分12 分)

x2 y 2 3 已知椭圆C: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,椭圆C 与y 轴交于A , B 两点, a b 2
且|AB|=2. (1)求椭圆C 的方程; (2)设点P是椭圆C上的一个动点,且直线PA,PB与直线x=4分别交于M , N 两点.是 否存在点P使得以MN 为直径的圆经过点(2,0)?若存在,求出点P的横坐标;若不 存在,说明理由。

请考生在第 22、23、二题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.解答时请写 清题号. 23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中,以原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,并在两坐标系 中取相同的长度单位.已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2 cos ? ,直线 l 的参数方程为

? x ? ?1 ? t cos ? ( t 为参数, ? 为直线的倾斜角) . ? ? y ? t sin ?
(I)写出直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程; (II)若直线 l 与曲线 C 有公共点,求角 ? 的正切值的取值范围.

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ? x ? ? x ? 3 ? x ? a ,其中 a ? R . (I)当 a ? 2 时,解不等式 f ? x ? ? 1 ; (II)若对于任意实数 x ,恒有 f ? x ? ? 2a 成立,求 a 的取值范围.
4

高二数学文科答案 一、选择题 题号 答案 1 B 2 C 3 A 4 D 5 A 6 D 7 B 8 B 9 D 10 B 11 C 12 A

二、填空题 题号 答案 13 -2
2

14 -1

15

16 ②

y??

3 x 3

17.(1) m ? 1 , f ? x ? ? x ; ????5 分
2 2 (2)由(Ⅰ)知 g ? x ? ? log 2 ? x ? 2 x ? 3 ,由 ? x ? 2 x ?3 ?0 得 ?3 ? x ? 1 ,所以 g ( x)

?

?

的定 义域为 (?3,1) 。????9 分 设 t ? ? x2 ? 2 x ? 3, x ? (?3,1) , 则 t ? ? 0 , ?4 , 此 时 g ? x ? 的 值 域 , 就 是 函 数

y ? log2 t, t ? ? 0,4? 的值域. y ? log2 t 在区间 ? 0, 4? 上是增函数,所以 y ? ? ??,2? ;
所以函数 g ? x ? 的值域为 ? ??, 2? .????12 分. 18.解析: (Ⅰ)(1)由分层抽样知在市第一医院出生的宝宝有 7 ? 2 个.

4 ? 4 个,其中一孩宝宝有 7

(2) 在抽取 7 个宝宝中,市一院出生的一孩宝宝 2 人,分别记为 A1 , B1 ,二孩宝

宝 2 人,分别记为 a1 , b1 ,妇幼保健院出生的一孩宝宝 2 人,分别记为 A2 , B2 ,二孩宝宝 1 人, 记为 a2 ,从 7 人中抽取 2 人的一切可能结果所组成的基本事件空间为? 5 用 A 表示: “两 个宝宝恰出生不同医院且均属二孩” ,则 A ? {(a1, a2 ),(b1, a2 )}

? P( A) ?

2 21
一孩 第一医院 妇幼保健 院 合 计 40 30 70 20 20 二孩 20 10 合计 40 30

???? 6 分 表

(Ⅱ)2 ? 2 列联

5

???? 8 分

K2 ?

70 ? ?20 ? 10 ? 20 ? 20? 70 ? ? 1.944 ? 2.072,故没有 85%的把握认为一孩、 40 ? 30 ? 40 ? 30 36
2

二孩宝宝的出生与医院有关. 19.解析: (1)由已知, AF ? BF , AD ? BF ,且 AF ? AD ? A ,故

???? 12 分

BF ? 平面 ADF ,所以平面 ADF ? 平面 CBF .
(2)因 AD 垂直于底面,若 DF 与底面所成角为 则四棱锥 F ? ABCD 的高为

???? 5 分

? ? ,则 ?AFD ? ,故 AF ? 1 , 4 4

3 1 3 3 ,又 S ABCD ? 2 , VF ? ABCD ? ? ;三棱 ?2 ? 2 3 2 3

E F 中,BE ? BF ? 1 ,?BEF ? 120o , 锥 C ? BEF 的高为 1, 而 ?B 所以 S BEF ?

3 , 4

则 VC ? BEF ?

5 3 1 3 3 ,所以几何体 EF ? ABCD 的体积为 . ???12 分 ? 1? ? 12 3 4 12
f ?( x) ? 1 ? ln x ? 2ax


20. (1)解:对 f ( x) 求导,得 得
2

f ?(1) ? 1 ? 2a ? ?1
???????5 分



a ? ?1

, f ( x) ? x ln x ? x ?1 .

( 2 )证明: “函数 y ? f ( x) ? xex ? x2 的图象在直线 y ? ? x ? 1 的下方”等价于即要证
x ln x ? e x ? 1 ? 0 , 所以只要证. h( x) ? ln x ? e ? 1, h ?( x ) ?

1 ? e x , x 趋于 0 时, x
x0

h?( x) ? 0 , 存 在 一 个 极 值 x0 ? (0,1)

使 得 e

?

1 x0

等 价 于

h( x) ? ln x0 ?

1 ? 1 (0 ? x0 ? 1) 所以 h( x) ? 0 x0
???????12

故函数 y ? f ( x) ? xe x ? x 2 的图象在直线 y ? ? x ? 1 的下方.

21 (1)

x2 ? y2 ? 1 4

(Ⅱ)解法一:假设存在.设 P( x0 , y0 ) 由 已 知 可 得

M (4, m) N (4, n)
, 所

A( 0 , B 1 ?)

( , 以 0 AP

1 )直 的

线







6

y?

y0 ? 1 x ? 1, x0

?????????.6 分

BP 的 直 线 方 程 为 y ?
4( y0 ? 1) ?1, x0

y0 ? 1 4 (y0 ? 1) x ?1 , 令 x ? 4 , 分 别 可 得 m ? ?1 , x0 x0

n?

?????????.8 分

MN ? m ? n ? 2 ?

8 , x0
4 y0 ) , x0

?????????.9 分

线 MN 的 中 点 (4,

若 以 MN 为 直 径 的 圆 经 过 点 (2,0) 则

(4 ? 2)2 ? (

4 y0 4 ? 0)2 ? (1 ? )2 , x0 x0

?????????.10

点 P 在椭圆上,所以

8 x0 2 ? y0 2 ? 1 ,代入化简得 1 ? ? 0 ,?????.11 4 x0

所以 x0 ? 8 而 x0 ? ?2, 2 矛盾所以这样的点 P 不存在.

?

?

?????????.12

0) . 设 P( x , y ) 解法二:假设存在,记 D (2, 0 0
由 已 知 可 得

M (4, m) N (4, n)


A( 0 B , 1?)



( 0 AP , 以

1 )直 的

线







y?

y0 ? 1 x ? 1, x0

?????????.6 分

BP 的 直 线 方 程 为 y ?

y0 ? 1 4( y0 ? 1) x ?1 , 令 x ? 4 , 分 别 可 得 m ? ?1 , x0 x0

4( y0 ? 1) n? ?1, x0
因 为 ???? ? ???? ? DM ? DM ? 0

M (4,
????.8 分所以

4( y0 ? 1) 4( y ? 1) ? 1), N (4, 0 ? 1) x0 x0
径 , 所 以

MN





?????????.9 分





???? ? ???? DM ? DN ?

(2,

4( y0 ? 1) 4( y0 ? 1) ? 1) ? (2, ? 1) ? 0 x0 x0





7

???? ? ???? 16 y02 ? (4 ? x0 )2 DM ? DN ? 4 ? ?0 x02
因为点 P 在椭圆上,所以

?????????.10

x0 2 ? y0 2 ? 1 , 4
2 0

?????????.

???? ? ???? ?4 x02 ? 8 x 0? x DM ? DN ? 4 ? 代入得到 x02

?

8x ? 0x x02

2 0

?0

所以

x0 ? 8 , 这

x0 ? [ ? 2 , 2 ] 矛盾
23.解析: (Ⅰ)当 ? ? 当? ?

不存在?????????.12

?
2

时,直线 l 的普通方程为 x ? ?1 ; ???? 2 分 ???? 4 分

?
2

时,直线 l 的普通方程为 y ? ( x ? 1) tan? .

x2 + y2 = 2x ,即为曲线 C 的直角坐标方程.
(Ⅱ) 当直线 l 的普通方程为 x ? ?1 ,不符合

2 tana 1 ? tan2 a

?1

?

3 3 ? tan a ? 3 3

???? 10 分

24.解析: (Ⅰ) a ? 2 时, f ( x) ? 1 就是 x ? 3 ? x ? 2 ? 1. 综上可知,不等式 f ( x) ? 1 的解集是 (0 , ? ?) . (Ⅱ) 因为 f ( x) ? x ? 3 ? x ? a ≤ ( x ? 3) ? ( x ? a) ? a ? 3 , 所以 f ( x) 的最大值为 a ? 3 .对于任意实数 x ,恒有 f ( x) ≤ 2a 成立等价于 a ? 3 ≤ 2a . 当 a ≥ ? 3 时, a ? 3 ≤ 2a ,得 a ≥ 3 ;当 a ? ? 3 时, ?a ? 3 ≤ 2a , a ≥ ?1 ,不成立. 综上,所求 a 的取值范围是 [3 , ? ?) . ???? 10 分 ????5 分

8


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