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武汉市第二中学2016-2017学年高一上学期期中考试数学试题(word版有答案)


武汉二中 2016-2017 学年度上学期期中考试

高一数学试卷
考试时间:2016 年 11 月 10 日上午 8:00-10:00 试卷满分:150 分

第Ⅰ卷
一、选择题:本题共 12 小题, 每小题 5 分, 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合 题目要求的. 1. 设集合 A ? ?x | x ?1 ? 0?, B ? ?x | x ? 2 ? 0? , 则图中阴影部分表示的集合为( A. C. )

?x | x ? ?1?

B. D.

?x | x ? 2?
?x | ?1 ? x ? 2?


R A

?x | x ? 2或x ? ?1?
?x ? y ? 1 的解集是 x ? y ? ? 1 ?

2. 方程组 ?



A. {x=0, y=1} C. {(0, 1)} 3. 下列各组函数是同一函数的是 A. y=
x2 ? x 与 y=x(x≠ -1) x ?1

B. {0, 1} D. {(x, y)|x=0 或 y=1} ( B. y=
2| x| 与 y=2 x



C. y=|x-2|与 y=x-2(x≥2) 4. 函数 f (x)的定义域为[0, 8], 则函数 A. (0, 4) B. [0, 4)

D. y=|x+1|+|x|与 y=2x+1
f (2 x) 的定义域为 x?4





C. [0, 4]

D. [0, 4)∪(4, 16] ( )

5. 如果 log a 8 ? log b 8 ? 0 , 那么 a、b 间的关系是 A. 0<a<b<1 B. 0<b<a<1 C. 1<a<b

D. 1<b<a )

6. 已知函数 y=f (x)是定义在 R 上的偶函数, 当 x≤0 时, y=f (x)是减函数, 若|x1|<|x2( |, A. f (x1)-f (x2)<0 B. f (x1)-f (x2)>0 C. f (x1)+f (x2)<0 D. f (x 1)+f (x2)>0 ( ②loga(1+a)>loga(1+ ④a
1? a

7. 对于 0 ? a ? 1 , 给出下列四个不等式 ①loga(1+a)<loga(1+ ③a
1? a



1 ) a

1 ) a

?a

1?

1 a

?a

1?

1 a

其中成立的是





A. ①与③

B. ①与④

C. ②与③ ( )

D. ②与④

8. 下列函数中, 在(0, 2)上为增函数的是

A.错误!未找到引用源。 y ? log1 ( x ? 1)
2

B.



误!未找到引用源。 y ? log2

x 2 ?1
1 x
D.错误!未找到引用源。

C.错误!未找到引用源。 y ? log 2

y ? log 1 ( x 2 ? 4 x ? 5)
2

9. 如下图①对应于函数 f ( x) , 则在下列给出的四个函数中, 图②对应的函数只能是 (



A. y ? f ( x )

B. y ? f (? x )

C. y ? f ( x) )

D. y ? ? f ( x )

x 10. 若 x0 是方程 e ? 3 ? 2 x 的根, 则 x0 属于区间(

A. (-1, 0)
2

B. (0,

1 ) 2

C. (

1 , 1) 2

D. (1, 2)

11. 若函数 f ( x) ? x ? a x ? 2 ( x? R) 在区间 ?3, ?? ? 和 ??2, ?1? 上均为增函数, 则实数 a 的取值范围是( A. ) B. ? ? , ?3? ? 3 ?

??6, ?4?

? 11

?

C. ? ?3, ?2 2 ?

?

?

D.

??4, ?3?

1 1 ? ) ? x ? 2 ,x ? [0, 2 12. 已知函数 f ( x) ? ? , 若存在 x1 , x2 , 当 0 ? x1 ? x2 ? 2 时, f (x1)=f 1 ? 2 x ?1 , x ? [ , 2] 2 ?
(x2), 则 x1 f ? x2 ? ? f ? x2 ? 的取值范围为 ( A. ? 0, ? )

? ?

2?3 2 ? ? ? 4 ?

B. ? ?

? 9 2?3 2 ? , ? ? 4 ? 16 ?

C. ?

?2 ? 3 2 1 ? ? 9 1? ,? ? D. ? ? , ? ? ? 2? ? 16 2 ? ? 4

第Ⅱ卷

二、填空题:本题共 4 小题, 每小题 5 分.

[来源:学 |科 |网 ]

13. 已知 A={ x | x2-2x-3 ≤ 0}, 若实数 a∈A, 则 a 的取值范围是__________; 14. 若 f ( x ? 1) ? 1 ? lg x , 则 f (9) =____________;
2 ? ? x ? 1 , x ? 1, 15. 已知函数 f ( x) ? ? 若 关于 x 的方程 f ( x) ? k 有三个不同的实根, 则实 log 1 x , x ≥ 1. ? ? 2

数 k 的取值范围是

;

16. 设已知函数 f ( x) ? log2 x , 正实数 m, n 满足 m ? n , 且 f (m) ? f (n) , 若 f ( x) 在区间

[m2 , n] 上的最大值为 2, 则 n ? m ?

.

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分)

计算:①

25 ? 8 ? 3 ?1? 0 ? ? ? ? ?? ? e ? ? ? ? 9 ? 27 ? ?4?

1

?

1 2

;

2 2 ② (lg 2) ? lg 2 lg 5 ? (lg 2) ? lg 4 ? 1 .

18. (本小题满分 12 分) 已知函数 f (x)= log0.3 (4x ? 1) 的定义域为 A, m>0, 函数 g(x)=4 x-1
(0<x≤m)的值域为 B . (1) 当 m ? 1 时, 求 (CR A)∩B; (2) 是否存在实数 m , 使得 A ? B ?若存在, 求出 m 的值; 若不存在, 请说 明理由.

19. (本小题满分 12 分) 已知二次函数 f (x)满足 f (0)=2 和 f (x+1)-f (x)=2x-1。 (1) 求函数 f (x)的解析式; (2) 当 t ? [ ?1,3] 时, 求 g (t ) ? f (2t ) 的值域。

20. (本小题满分 12 分) 已知 f ( x) ? log 2 (2 ? a) 的定义域为 (0, ??) .
x

(1) 求 a 的值; (2) 若 g ( x) ? log 2 (2 ? 1) , 且关于 x 的方程 f ( x) ? m ? g ( x) 在 [1, 2] 上有解, 求 m 的
x

取值范围.

21. (本小题满分 12 分) 已知定义在 R 上的函数 f ( x) ? 2 x ? (1) 若 f (x)=
3 , 求 x 的值; 2

1 . 2| x|

(2) 若 2t f (2t)+m f (t)≥0 对于 t ?[1, 2] 恒成立, 求实数 m 的取值范围.

22. (本小题满分 12 分) 已知 f (ex ) ? ax2 ? x , a ? R . (1) 求 f ( x) 的解析式; (2) 求 x ? (0,1] 时, f ( x) 的值域; (3) 设 a ?

1 , 若 h( x) ? [ f ( x) ? 1 ? a] ? log x e 对 任 意 的 x1 , x2 ?[e?3 , e?1 ] , 总 有 2 1 h( x1 ) ? h( x2 ) ? a ? 恒成立, 求实数 a 的取值范围. 3

武汉二中 2016-2017 学年度上学期期中考试 高一数学试卷参考答案
一、选择题 1 B 2 C 3 A 4 B 5 C 6 A 7 D 8 D 9
[来源:学。科。网]

10 C

11 A

12 D

B

二、填空题 13. [-1,3] 三、解答题: 17、①2; ②1. 14. 2 15. (-1, 0) 16.
5 2

[来源:学|科|网]

? 1 1 1 1 ?4 x ? 1 ? 0 18、解:(1) 由 ? ,解得 ? x ? ,即 A ? ( , ] 4 2 4 2 ? ?log 0.3 ? 4 x ? 1? ? 0
当 m ? 1 时,因为 0 ? x ? 1,所以 所以 ? CR A? ? B ? ( (2) 因为 B ? (

1 1 ? 4x ?1 ? 1 ,即 B ? ( , 1] , 4 4

1 , 1] . 2

1 1 1 , 4m?1 ] ,若存在实数 m ,使 A ? B ,则必有 4m?1 ? ,解得 m ? . 2 4 2 1 故存在实数 m ? ,使得 A ? B . 2

19、解: (1) 由题意可设函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) ,则 由 f (0) ? 2 得 c ? 2 。
[来源:学科网]

2 由 f ( x ? 1) ? f ( x) ? 2 x ? 1得 a(x ? 1 ) ? b( x ? 1) ? 2 ? ax2 ? bx ? 2 ? 2x ?1

即 2ax ? a ? b ? 2 x ? 1

? 2a ? 2 ? a ?1 ?? ?? ?a ? b ? ?1 ?b ? ?2
t t 2 t

? f ( x) ? x 2 ? 2x ? 2
t 2

(2) ∵ g (t ) ? f (2 ) ? (2 ) ? 2 ? 2 ? 2 ? (2 ?1) ? 1
t 又∵当 t ? [ ?1,3] 时, 2 ? [ ,8] t t 2 ∴ (2 ? 1) ? [? , 7] , (2 ?1) ?[0, 49]

1 2

1 2

∴ g (t ) ? [1,50] 即当 t ? [ ?1,3] 时,求 g (t ) ? f (2t ) 的值域为 [1, 50] 。 20、 解: (1) 2 x ? a ? 0 , 2x ? ?a ,x ? log 2 (?a) . 由题设知道, log2 (?a) ? 0 ? a ? ?1 .

1 (2) 由 题 设 知 , 关 于 x 的 方 程 m ? l o g 2 (? 2 H ( x ) ? l o2g ? (1 x ,) 2 ?1

2 ) [1, 2] 上 有 解 , 令 在 2 ?1
x

易知 H ( x ) 在 [1, 2] 上单增. ? H ( x) ? [log 2 , log 2 ] ? m ? [log 2 , log 2 ] .
x 21、解: (1) 当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 ,无解;当 x ? 0 时, f ( x) ? 2 ?

1 3

3 5

1 3

3 5

1 , 2x

[来源:学*科*网 Z*X*X*K]

由 2x ?

1 3 ? ,得 2 ? 22 x ? 3 ? 2 x ? 2 ? 0 , x 2 2 1 , 2

看成关于 2 x 的一元二次方程,解得 2 x ? 2 或 2 x ? ? ∵ 2 x ? 0 ,∴ x ? 1 . (2) 当 t ?[1, 2] 时, 2t (22t ?

1 1 ) ? m(2t ? t ) ? 0 ,即 m(22t ?1) ? ?(24t ?1) , 2t 2 2

∵ 22t ? 1 ? 0 ,∴ m ? ?(22t ? 1) , ∵ t ?[1, 2] ,∴ ?(22t ? 1) ?[?17, ?5] , 故 m 的取值范围是 [?5, ??) .
x 2 22、解: (1) 设 e ? t ,则 x ? ln t ,所以 f (t ) ? a(ln t ) ? ln t ,

所以 f ( x) ? a(ln x)2 ? ln x( x ? 0) ; (2) 设 ln x ? m(m ? 0) ,则 f ( x) ? g (m) ? am2 ? m 当 a ? 0 时, f ( x) ? g (m) ? ?m , g ( m) 的值域为 [0, ??) 当 a ? 0 时, f ( x) ? g (m) ? am 2 ? m ? a(m ? 若a ? 0,

1 2 1 ) ? (m ? 0) 2a 4a

1 ? 0 , g (m) 的值域为 [0, ??) 2a 1 1 1 ? 0 ,g (m) 在 ( ??, ] 上单调递增,在 [ , 0] 上单调递减, 若a ? 0, 2a 2a 2a

g (m) 的值域为 ( ??, ?

1 ] 4a

综 上 , 当 a ? 0 时 f ( x) 的 值 域 为 [ 0,?? ), 当 a ? 0 时 f ( x) 的 值 域 为

( ? ?, ?
(3)

1 ]; 4a xl? n? ( ? 1a 1 ln x
所 ,
n

)a 因 为 h( x ?

对 任 意 x1 , x2 ?[e?3 , e?1 ] 总 有 以

)

h( x1 ) ? h( x2 ) ? a ?
h( x) ? a h(

1 3

h( x )



[e?3 , e?1 ]





m

x

1 ? x) m i? 3

a 1? a ? 1 , s ? [?3, ?1] s

设 ln x ? s( s ?[?3, ?1]) ,则 h( x) ? r ( s ) ? as ?

当 a ? 1 即 1 ? a ? 0 时 r ( s) 在区间 [?3, ?1] 单调递增 所以 r (s) max ? r (s) min ? r (?1) ? r (?3) ? a ? 即 ?2 ? (? a ? ) ? a ?

1 , 3

8 3

4 3

3 1 ,解得 a ? (舍) 5 3

当 a ? 1 时, r ( s) ? s ? 1,不符合题意 当

1 ? a ? 1时,下证函数 r ( s) 在区间 [?3, ?1] 单调递增: 2
任取 ? 3 ? s1 ? s2 ? ?1 ,则

r ( s1 ) ? r ( s2 ) ? a( s1 ? s2 ) ? (1 ? a)(

1 1 1? a ? ) ? ( s1 ? s2 )(a ? ) s1 s2 s1s2 ?a ? 1? a ?0 s1s2

1 ?1 ? a ? (0, ), s1 s2 ? (1,9) 2

?

1? a 1 ? (0, ) s1 s2 2

又 s1 ? s2 ? 0 ,所以 r ( s1 ) ? r ( s2 ) .即函数 r ( s) 在 区间 [?3, ?1] 单调递 增. 所以

1 1 1 3 ? a ? 1时, r (s)max ? r (s)min ? r (?1) ? r (?3) ? a ? ,即 ? a ? 3 2 2 5

综上所述,

1 3 ? a ? .. 2 5


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