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1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则


1.2.2

基本初等函数的导数及导数的运算法则 备课人:王宏伟 年级组:高二

教材分析 本节内容是导数的计算这一节的关键部分,对后面更深刻地研究导数起着至关重要的作 用.在导数的定义中,我们不仅阐明了导数概念的实质,也给出了利用定义求导数的方法.但 是,如果对每一个函数都直接按定义去求它的导数,往往是极为复杂和困难的,甚至是不可 能的.

因此,我们希望找到一些简单函数的导数(作为我们的基本公式)与运算法则,借助它 们来简化导数的计算过程.因此教材直接给出了基本初等函数的导数公式和导数的四则运算 法则,使得用定义求导数比较麻烦问题得以解决,为以后导数的研究带来了方便,同时也将 所学的导数和实际应用问题结合起来,使得导数的优越性发挥得淋漓尽致.复合函数的求导 法则是导数的计算这一节的最后一小节内容.教材在基本初等函数的导数公式和导数的四则 运算法则的基础上将导数的计算研究得更深入,虽然基本初等函数的导数公式和导数的四则 运算法则解决了不少导数问题,但对于由函数和函数复合而成的函数还没有涉及,我们平时 研究的函数不会仅限于基本初等函数,因此我们要想将问题研究得更加透彻,就得继续研究 导数.教材层层深入,给我们展示了什么是复合函数,同时将复合函数的构成和复合函数的 求导法则也展示给了学生.因此,使很多较难的问题层层分解以后显得简单易懂. 课时分配 2 课时.

第 1 课时(基本初等函数的导数公式及导数的运算法则); 第 2 课时(复合函数的求导法则) 第 1 课时 教学目标 1.知识与技能目标 (1)熟练掌握基本初等函数的导数公式; (2)掌握导数的四则运算法则. 2.过程与方法目标 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数. 3.情感、态度与价值观 通过学习本节课,培养学生对问题的认知能力.由于利用定义求函数的导数非常复杂, 本节课直接给出了八个基本初等函数的导数公式表和导数的运算法则.学生不用推导而直接

1 / 12

去求一些简单函数的导数,认识事物之间的普遍联系,达到学有所用.在训练中也加深了学 生对学习数学的兴趣,激发学生将所学知识应用于实际的求知欲,培养浓厚的学习兴趣. 教学重点:应用八个函数导数求复杂函数的导数.. 教学难点:商求导法则的理解与应用. 教学过程: 一、复习回顾 复习五种常见函数 y ? c 、 y ? x 、 y ? x2 、 y ? 函数 导数

1 、 y ? x 的导数公式填写下表 x

y?c y?x

y ? x2
y? 1 x

y? x
y ? f ( x) ? xn (n ? Q* )
二、提出问题,展示目标 我们知道,函数 y ? f ( x) ? xn (n ? Q* ) 的导数为 y' ? nxn?1 ,以后看见这种函数就可以直 接按公式去做,而不必用导数的定义了。那么其它基本初等函数的导数怎么呢?又如何解决 两个函数加。减。乘。除的导数呢?这一节我们就来解决这个问题。 三、合作探究 1.(1)分四组对比记忆基本初等函数的导数公式表 函数 导数

y?c

y' ? 0 y' ? nxn?1 y' ? cos x

y ? f ( x) ? xn (n ? Q* )
y ? sin x

2 / 12

y ? cos x

y ' ? ? sin x y' ? a x ? ln a (a ? 0) y' ? ex
f ( x) ? log a xf ' ( x) ? 1 (a ? 0且a ? 1) x ln a 1 x

y ? f ( x) ? a x y ? f ( x) ? e x f ( x) ? loga x

f ( x) ? ln x

f ' ( x) ?

(2)根据基本初等函数的导数公式,求下列函数的导数. (1) y ? x2 与 y ? 2x (2) y ? 3 与 y ? log3 x
x

2.导数运算法则: (1)和(或差)的导数 法则 1 两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差),即 (u±v)?=u?±v?. 例 1 求 y=x +sinx 的导数. 解:y?=(x ) ?+(sinx) ?=3x +cosx.
3 2 3

例 2 求 y=x -x -x+3 的导数. 解:y?=4x -2x-1.
3

4

2

(2)积的导数 法则 2 两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上第一个函数乘第 (uv)?=u?v+uv?. (Cu)?=C ?u+Cu?=0+Cu?=Cu? . (Cu)?=Cu? .

二个函数的导数,即 由此可以得出

也就是说,常数与函数的积的导数,等于常数乘函数的导数,即 例 3 求 y=2x -3x +5x-4 的导数. 解:y?=6x -6x+5.
2 3 2

例 4 求 y=(2x +3) (3x-2) 的导数. 解:y?=(2x +3) ? (3x-2)+(2x +3)(3x-2) ?=4x(3x-2)+(2x +3)·3=18x -8x+9.
2 2 2 2

2

3 / 12

或: y ? 6x (3)商的导数

3

? 2x 2 ? 9x ? 6 , y ? ? 18x 2 ? 4x ? 9

例 5.求下列函数的导数 (1) y ? x tan x (2) y ?

sin x 1 ? cos x

(3) y ?

sin x log 2 x

提示:积法则,商法则, 都是前导后不导, 前不导后导, 但积法则中间是加号, 商法则中 间是减号. 四、当堂检测 1.填空: ⑴ [(3x +1)(4x -3)] ?=(
2 2

)(4x -3)+ (3x +1)(
3

2

2

);

⑵ (x sinx) ?=(
3

)x ·sinx+x · (

2

).

2.判断下列求导是否正确,如果不正确,加以改正: [(3+x )(2-x )] ?=2x(2-x )+3x (3+x ).
2 3 3 2 2

[(3+x )(2-x )] ?=2x(2-x )-3x (3+x ).
2 3 3 2 2

3.求下列函数的导数: (1)y=2x +3x -5x+4; (3) y=sinx-x+1;
3 2

(2) y=ax -bx+c; (4)y=(3x +1)(2-x);
2

3

4.求函数 y ? x sin x cos x 的导数 5.思考:设 f(x)=x(x+1) (x+2) ? (x+n),求 f ? (0). 6.函数 f(x)=x(x-1) (x-2)(x-3) ?(x-100)在 x=0 处的导数值为( A. 0 五、课堂总结 (1)分四组写出基本初等函数的导数公式表: (2)导数的运算法则: 1.和(或差)的导数 2.积的导数 (u±v)?=u?±v?. (uv)?=u?v+uv?. B. 100
2

)

C. 200

D. 100!

4 / 12

3.商的导数 六.课后作业 1.课本第 18 页习题 1.1A 组:4 2.求下列函数的导数: (1) y=(1+x )cosx; (3) y ? 七、板书设计 1.2.2 基本初等函数的导 三、合作探究 1.分四组对比记忆基本初等 函数的导数公式表 2.导数运算法则: (1)和(或差)的导数 (2)积的导数 六.课后作业 五.课堂总结 (3)商的导数四、当堂检测
2

(2) y ? 2 cos x ? 3 log 2
x

x

1

x

?

2

x

2

?

5

x3

(4) y ? x tan x ? cos x

数及导数的运算法则(1) 一、复习回顾 复习五种常见函数 y ? c 、

y? x 、 y?x 、
2



y ? x 的导数公式
二、提出问题,展示目标

八.课后反思

第 2 课时 课程内容:复合函数的导数 内容分析: 复合函数的导数是导数的重点,也是导数的难点. 要弄清每一步的求导是哪个变量对哪 个变量的求导.求导时对哪个变量求导要写明,可以通过具体的例子,让学生对求导法则有一 个直观的了解. 教学目标: 1.知识与技能 (1)理解复合函数的概念 (2)能正确分解简单的复合函数,记住复合函数的求导公式

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(3)理解并掌握复合函数的求导法则 2.过程与方法 (1)记基本初等函数求导公式,会利用基本初等函数求导公式求函数的导数 (2)通过分析复合层次确定函数的复合顺序,为正确求导奠定基础 3.情感态度与价值观 通过正确分解复合函数的复合过程,做到不漏,不重,熟练,正确.培养学生严谨的治 学态度,做事的条理性和处理问题大局观,进而影响到学生的一生。 教学目的:理解 ,善于发现规律,认识规律,掌握规律,利用规律 教学重点:复合函数的求导法则的概念与应用 教学难点:复合函数的求导法则的导入与理解 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教学过程: 一、复习引入 1.常见函数的导数公式:

C ' ? 0 ; ( x n )' ? nxn?1 ; (sin x)' ? cos x ; (cos x)' ? ? sin x
2.法则 1 法则 2

王新敞
奎屯

新疆

[u( x) ? v( x)]' ? u ' ( x) ? v ' ( x) .
[u( x)v( x)]? ? u '( x)v( x) ? u( x)v '( x) , [Cu( x)]? ? Cu '( x)
王新敞
奎屯 新疆

法则 3

? u ? u ' v ? uv ' (v ? 0) ? ? ? v2 ?v?

'

王新敞
奎屯

新疆

二、讲解新课 1.举出例子 y ? (3x ? 2)2 、 y ? sin x 2 ,让学生感觉到这既不是基本初等函数,也不是初 等函数,然后引入如何函数的概念。 2.复合函数: 由几个函数复合而成的函数,叫复合函数.由函数 y ? f (u ) 与 u ? ? ( x) 复 合而成的函数一般形式是 y ? f [? ( x)] ,其中 u 称为中间变量. 3.求函数 y ? (3x ? 2) 的导数的两种方法与思路:
2

? ? 方法一: y? x ? [(3x ? 2) ] ? (9x ?12x ? 4) ? 18x ? 12 ;
2 2

方法二: 将函数 y ? (3x ? 2) 看作是函数 y ? u 和函数 u ? 3 x ? 2 复合函数,并分别求对
2
2

6 / 12

应变量的导数如下:

? ? ? (u2 )? ? 2u , u? yu x ? (3x ? 2) ? 3
两个导数相乘,得

? u? yu x ? 2u 3 ? 2(3x ? 2) 3 ? 18x ? 12 ,
从而有

y'x ? y'u ?u'x

对于一般的复合函数,结论也成立,以后我们求 y′x 时,就可以转化为求 yu′和 u′x 的 乘积,关键是找中间变量,随着中间变量的不同,难易程度不同. 4.复合函数的导数:设函数 u= ? (x)在点 x 处有导数 u′x= ? ′(x),函数 y=f(u)在点 x 的对应点 u 处有导数 y′u=f′(u), 则复合函数 y=f( ? (x))在点 x 处也有导数, 且 y' x ? y'u ?u' x 或 f′x( ? (x))=f′(u)

? ′(x).

证明:(教师参考不需要给学生讲) 设 x 有增量 Δ x,则对应的 u,y 分别有增量 Δ u,Δ y,因为 u=φ (x)在点 x 可导,所以

u= ? (x)在点 x 处连续.因此当 Δ x→0 时,Δ u→0.
当 Δ u≠0 时,由

?y ?y ?u ?y ?y ? lim ? ? . 且 lim . ?x ? 0 ?u ?u ? 0 ?x ?x ?u ?x

∴ lim

?y ?y ?u ?y ?u ?y ?u ? lim ? ? lim ? lim ? lim ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?u ?x ?x ?0 ?u ?x ?0 ?x ?u ?0 ?u ?x ?0 ?x
(当 Δ u=0 时,也成立)

即 y' x ? y'u ?u' x

5.复合函数的求导法则 复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量的 导数. 6.复合函数求导的基本步骤是:分解——求导——相乘——回代. 注意: ① 间变量的选择应是基本初等函数结构 ② 键是正确分清函数的复合层次 ③ 般是从最外层开始,由外及里,一层一层地求导 ④ 善于把一部分表达式作为一个整体 ⑤最后要把中间变量换成自变量的函数(即代回) 三、讲解范例
7 / 12

例 1 试说明下列函数是怎样复合而成的? (1) y ? (2 ? x 2 ) 3 ; (3) y ? cos( (2) y ? sin x 2 ; (4) y ? ln sin(3x ? 1) .
2

?
4

? x) ;

解:(1)函数 y ? (2 ? x 2 ) 3 由函数 y ? u 3 和 u ? 2 ? x 复合而成; (2)函数 y ? sin x 2 由函数 y ? sin u 和 u ? x 复合而成;
2

(3)函数 y ? cos(

?
4

? x) 由函数 y ? cos u 和 u ?

?
4

? x 复合而成;

(4)函数 y ? ln sin(3x ? 1) 由函数 y ? ln u 、 u ? sin v 和 v ? 3x ? 1 复合而成. 说明:讨论复合函数的构成时,“内层”、“外层”函数一般应是基本初等函数,如一 次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等. 例 2 写出由下列函数复合而成的函数:
2 (1) y ? cos u , u ? 1 ? x ;

(2) y ? ln u , u ? ln x .

解:(1) y ? cos( 1 ? x 2 ) ; (2) y ? ln(ln x) . 例 3 求 y ? (2 x ? 1) 5 的导数.
5 解: 设 y ? u , u ? 2 x ? 1 ,则

y'x ? y'u ?u'x ? (u 5 )'x ?(2x ? 1)' ? 5u 4 ? 2 ? 5(2x ? 1) 3 ? 2 ? 10(2x ? 1) 4 .
注意:在利用复合函数的求导法则求导数后,要把中间变量换成自变量的函数.有时复合 函数可以由几个基本初等函数组成,所以在求复合函数的导数时,先要弄清复合函数是由哪 些基本初等函数复合而成的,特别要注意将哪一部分看作一个整体,然后按照复合次序从外 向内逐层求导. 例 4 求 f(x)=sinx 的导数. 解:令 y=f(x)=sinu; u=x
2 2

∴ y' x ? y'u ?u' x =(sinu)′u·(x )x′=cosu·2x=cosx ·2x=2xcosx
2 2

2

∴f′(x)=2xcosx

2

8 / 12

例 5 求 y=sin (2x+

2

? )的导数. 3 ? 3
)时,求 u′x,但此时 u 仍是复合函数,所以可再设 v=2x+

分析: 设 u=sin(2x+

? 3

.

解:令 y=u ,u=sin(2x+

2

? ? ),再令 u=sinv,v=2x+ 3 3

∴ y' x ? y'u ?u' x =y′u(u′v·v′x) ∴y′x=y′u·u′v·v′x=(u )′u·(sinv)′v·(2x+
2

? 3

)′x

=2u·cosv·2=2sin(2x+

? 3

)cos(2x+

? 3

)·2

=4sin(2x+

? ? )cos(2x+ 3 3
2? ) 3

)=2sin(4x+

2? ) 3

即 y′x=2sin(4x+ 例 6 求函数 y=(2x -3)
2

1 ? x 2 的导数.
2

分析 : y 可看成两个函数的乘积, 2x -3 可求导,

1 ? x 2 是复合函数,可以先算出

1 ? x 2 对 x 的导数.
解:令 y=uv,u=2x -3,v=
2

1 ? x 2 , 令 v= ? ,ω =1+x2

2 ? ? ? v? x ? v? ? ?x = ( ? )? (1+x )′x

=

1 ?1 2x x ? 2 (2 x) ? ? 2 2 1? x2 1? x2

∴y′x=(uv)′x=u′xv+uv′x =(2x -3)′x·
2

1 ? x 2 +(2x2-3)·

x 1? x2

=4x

1 ? x2 ?

2 x 3 ? 3x 1 ? x2
王新敞
奎屯 新疆

?

6x3 ? x 1 ? x2

即 y′x=

6x3 ? x 1 ? x2
9 / 12

四、课堂练习 1.求下列函数的导数(先设中间变量,再求导). (1)y=(5x-3)
4

(2)y=(2+3x)

5

(3)y=(2-x ) (4)y=(2x +x)
*

2 3

3

2

2.求下列函数的导数(先设中间变量,再求导)(n∈N ) (1)y=sinnx (2)y=cosnx (3)y=tannx 解:(1)令 y=sinu,u=nx (4)y=cotnx

y'x ? y'u ?u'x =(sinu)′u·(nx)′x=cosu·n=ncosnx
(2)令 y=cosu,u=nx

y'x ? y'u ?u'x =(cosu)′u·(nx)′x=-sinu·n=-nsinnx
(3)令 y=tanu,u=nx

y'x ? y'u ?u'x =(tanu)′u·(nx)′x=(

sin u )′u·n cos u

=

1 n cos u ? cos u ? sin u(? sin u) 2 n? ·n= =n·sec nx 2 2 2 cos u cos nx (cos u)

(4)令 y=cotu,u=nx

y'x ? y'u ?u'x =(cotu)′u·(nx)′x=(

cos u )′u·n sin u

= 五、课堂小结

1 n ? sin u ? sin u ? cos u ? cos u 2 ·n=- ·n=- =-ncsc nx. 2 2 2 sin u sin nx (sin u )

这节课你学到了什么?把它写下来! (1)明确了什么是复合函数 (2)学会了分解复合函数 (3)复合函数的求导法则: (4)开阔思路,恰当选用求导数方法. (5)计算要认真,要学会循序渐进。 (6)复合函数的求导,要注意分析复合函数的结构,引入中间变量,将复合函数分解成为 较简单的函数,然后再用复合函数的求导法则求导; (7)复合函数求导的基本步骤是:分解——求导——相乘——回代. 六、课后作业
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1. 课本第 18 页习题 1.1A 组:4、6 2. 求 y ? 解:令 y= 3
3

ax 2 ? bx ? c 的导数.

u ,u=ax2+bx+c
3
2

1 ?2 ∴ y' x ? y'u ?u' x =( u )′u·(ax +bx+c)′x= u 3 ·(2ax+b) 3
2 ? 2ax ? b 1 2 = (ax +bx+c) 3 (2ax+b)= 3 33 ( ax 2 ? bx ? c ) 2

即 y′x=

2ax ? b 33 ( ax 2 ? bx ? c ) 2

1 3. 求 y=sin x 的导数.
2

解:令 y=u ,u=sin

2

1 1 ,再令 u =sin v , v = x x
2

∴ y' x ? y'u ?u' x ·v′x=(u )′u·(sinv)′v·(

1 x )′x

=2u·cosv·

1 2 1 1 ?1 0 ?1 2 ·sin =2sin ·cos · = - x x x2 x x x2

1 2 2 ∴y′x=- x sin x
设计意图:对一般学生布置第 1 题,而对学有余力的学生布置 2、3 题,体现 了分层、有梯度的教学,及时巩固新知识。
七、板书设计 1.2.2 基本初等函数的导 二、讲解新课 1. 复合函数概念 2. 复合函数求导的两种方法 与思路 3. 复合函数的求导法则 4. 基本步骤 三、讲解范例 六.课后作业

四、课堂练习

数及导数的运算法则(2) 一、复习回顾 1.基本函数求导公式 2.求导法则

五.课堂总结

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八、课后反思

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