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高考数列复习小结


小初高 1 对 1 课外辅导专家

龙文教育学科教师辅导讲义
教师: 课 学生: 虞晓洋 题 时间:2012 年 12 月___ 日 时段_____至______ 数列复习小结
1.系统掌握数列的有关概念和公式
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教学目标

2.了解数列的通项公式 an 与前

n 项和公式 S n 的关系. 3.能通过前 n 项和公式 S n 求出数列的通项公式 an

重点、难点

求数列通项公式和前 n 项和公式
系统掌握数列的有关概念和公式 了解数列的通项公式 an 与前 n 项和公式 S n 的关系.能通
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考点及考试要求
过前 n 项和公式 S n 求出数列的通项公式 an (高考必考) 教学内容

数列复习小结
第一课时 教学过程: 一、知识网络 .1 等差数列 1 相关公式:
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(1) 定义: an?1 ? an ? d (n ? 1, d为常数) (2)通项公式: an ? a1 ? (n ? 1)d (3)前 n 项和公式: S n ?
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n(a1 ? a n ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2
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(4)通项公式推广: an ? am ? (n ? m)d 2.等差数列 {an } 的一些性质

(3)对于任意的整数 p, q, r , s ,如果 p ? q ? r ? s ,那么 a p ? aq ? ar ? as (6)对于任意的非零实数 b,数列 {ban } 是等差数列,则 {an } 是等差数列 (7)已知 {bn } 是等差数列,则 {an ? bn } 也是等差数列
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小初高 1 对 1 课外辅导专家 (9) S n 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,则 S k , S 2k ? S k , S 3k ? S 2k 仍成等差数列,即 S3m ? 3(S2m ? Sm ) (10)若 S m ? S n (m ? n) ,则 S n?n ? 0
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(11)若 S p ? q, S q ? p ,则 S p?q ? ?( p ? q) (12) S n ? an2 ? bn,反之也成立 2 等比数列 1 相关公式:
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(1)定义:

a n ?1 ? q(n ? 1, q ? 0) an
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(2)通项公式: an ? a1q n?1

?na1 ? (3)前 n 项和公式: S n ? ? a1 (1 ? q n ) ? 1? q ?
(4)通项公式推广: an ? am q n?m 2.等比数列 {an } 的一些性质
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q ?1 q ?1
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(2)对于任意的正整数 p, q, r , s ,如果 p ? q ? r ? s ,则 a p aq ? ar as (5)对于任意的非零实数 b, {ban } 也是等比数列
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(6)已知 {bn } 是等比数列,则 {an bn } 也是等比数列 (7)如果 an ? 0 ,则 {loga an } 是等差数列
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(8)数列 {loga an } 是等差数列,则 {an } 是等比数列 3、数列前 n 项和 (1)重要公式:

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1 ? 2 ? 3 ? ?n ?

n(n ? 1) ; 2
n(n ? 1)( 2n ? 1) ; 6

12 ? 2 2 ? 3 2 ? ? n 2 ?

1 13 ? 23 ? ? n3 ? (1 ? 2 ? 3 ? ? n) 2 ? [ n(n ? 1)]2 2

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小初高 1 对 1 课外辅导专家 (2)等差数列中, S m?n ? S m ? S n ? mnd
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(3)等比数列中, S m?n ? S n ? q n S m ? S m ? q m S n (4)裂项求和: .

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1 1 1 ? ? ; n ? n!? (n ? 1)!?n! ) ( n(n ? 1) n n ? 1

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第二课时
类型 1

(通项公式求法)

an ?1 ? an ? f (n)

解法:把原递推公式转化为 an?1 ? an ? f (n) ,利用累加法(逐差相加法)求解。 例 1. 已知数列 ?an ? 满足 a1 ?

1 1 , a n ?1 ? a n ? 2 ,求 an 。 2 n ?n
a2k+1=a2k+3k, 其中 k=1,2,3,??.

变式: 已知数列 {an } a1 ? 1,且 a2k=a2k-1+(-1)K, 中 (I)求 a3, a5; (II)求{ an}的通项公式. 类型 2

an?1 ? f (n)an
an?1 ? f (n) ,利用累乘法(逐商相乘法)求解。 an

解法:把原递推公式转化为 例 1:已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 例 2:已知 a1 ? 3 , a n ?1

2 n a n ,求 an 。 , a n ?1 ? 3 n ?1 3n ? 1 ? a n (n ? 1) ,求 an 。 3n ? 2

变式:(2004,全国 I,理 15. )已知数列{an},满足 a1=1, an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? ? ? (n ? 1)an?1 (n≥2),则{an}的通项

?1 an ? ? ? ___
类型 3

n ?1 n?2

。 an?1 ? pan ? q (其中 p,q 均为常数, ( pq( p ? 1) ? 0) )

解法 (待定系数法) :把原递推公式转化为:an?1 ? t ? p(an ? t ) ,其中 t ? 例:已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 3 ,求 an . 变式:(2006,重庆,文,14)

q ,再利用换元法转化为等比数列求解。 1? p

在数列 ?an ? 中,若 a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 3(n ? 1) ,则该数列的通项 an ? _______________

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小初高 1 对 1 课外辅导专家 变式:(2006. 福建.理 22.本小题满分 14 分) 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 1(n ? N * ). (I)求数列 ?an ? 的通项公式; 类型 4 。 an?1 ? pan ? q n (其中 p,q 均为常数, ( pq( p ? 1)(q ? 1) ? 0) ) (或 an?1 ? pan ? rqn ,其中 p,q, r

均为常数) 。 解法:一般地,要先在原递推公式两边同除以 q n ?1 ,得:

a a n?1 p a n 1 ,得: ? ? n ? 引入辅助数列 ?bn ?(其中 bn ? n ) n ?1 q q q qn q

bn?1 ?

p 1 bn ? 再待定系数法解决。 q q
5 1 1 n ?1 , a n ?1 ? a n ? ( ) ,求 an 。 6 3 2

例:已知数列 ?an ? 中, a1 ?

类型 5 递推公式为 an?2 ? pan?1 ? qan (其中 p,q 均为常数) 。 解法一(待定系数法):先把原递推公式转化为 an?2 ? san?1 ? t (an?1 ? san ) 其中 s,t 满足 ?

?s ? t ? p ?st ? ?q
2

解法二(特征根法):对于由递推公式 an?2 ? pan?1 ? qan , a1 ? ? , a2 ? ? 给出的数列 ?an ? ,方程 x ? px ? q ? 0 ,
n n 叫做数列 ?an ? 的特征方程。若 x1 , x 2 是特征方程的两个根,当 x1 ? x 2 时,数列 ?an ? 的通项为 an ? Ax1 ?1 ? Bx2 ?1 ,其 n n 中 A,B 由 a1 ? ? , a2 ? ? 决定(即把 a1 , a2 , x1 , x2 和 n ? 1,2 ,代入 an ? Ax1 ?1 ? Bx2 ?1 ,得到关于 A、B 的方程组) ; n 当 x1 ? x 2 时, 数列 ?an ? 的通项为 an ? ( A ? Bn) x1 ?1 , 其中 A, 由 a1 ? ? , a2 ? ? 决定 B (即把 a1 , a2 , x1 , x2 和 n ? 1,2 , n 代入 an ? ( A ? Bn) x1 ?1 ,得到关于 A、B 的方程组) 。

解法一(待定系数——迭加法): 数列 ?an ? : 3an?2 ? 5an?1 ? 2an ? 0(n ? 0, n ? N ) , a1 ? a, a2 ? b ,求数列 ?an ? 的通项公式。 例:已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , a2 ? 2 , a n ? 2 ?
2.已知数列 3.已知数列

?an ?中, a1 ? 1 , a2 ? 2 , an?2

2 1 a n ?1 ? a n ,求 an 。 3 3 2 1 ? a n ?1 ? a n ,求 an 3 3

?an ?中, S n 是其前 n 项和,并且 Sn?1 ? 4an ? 2(n ? 1, 2,?), a1 ? 1 ,

类型 6 递推公式为 S n 与 an 的关系式。(或 Sn ? f (an ) )
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小初高 1 对 1 课外辅导专家 解法:这种类型一般利用 an ? ?

?S1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(n ? 1) 与 an ? S n ? S n?1 ? f (an ) ? f (an?1 ) 消去 S n (n ? 2) 或与 S n ? S n?1 ? ? ? ? ? ? ? (n ? 2) ?

S n ? f (S n ? S n?1 ) (n ? 2) 消去 an 进行求解。
例:已知数列 ?an ? 前 n 项和 S n ? 4 ? a n ?

1 2
n?2

.

(1)求 an?1 与 an 的关系; (2)求通项公式 an . (2)应用类型 4( an?1 ? pan ? q n(其中 p,q 均为常数,( pq( p ? 1)(q ? 1) ? 0) ) )的方法,上式两边同乘以 2
n ?1

得:

2n?1 an?1 ? 2n an ? 2
由 a1 ? S1 ? 4 ? a1 ?

1 ? a1 ? 1 . 于 是 数 列 2 n an 是 以 2 为 首 项 , 2 为 公 差 的 等 差 数 列 , 所 以 2 n 2n an ? 2 ? 2(n ?1) ? 2n ? a n ? n ?1 2
1? 2

?

?

、 类型 7 an?1 ? pan ? an ? b ( p ? 1 0,a ? 0)
解法:这种类型一般利用待定系数法构造等比数列,即令 an?1 ? x(n ? 1) ? y ? p(an ? xn ? y) ,与已知递推式比较, 解出 x, y ,从而转化为 ?an ? xn ? y?是公比为 p 的等比数列。 例:设数列 ?an ? : a1 ? 4, an ? 3an?1 ? 2n ? 1, (n ? 2) ,求 an .
r 类型 8 an?1 ? pan ( p ? 0, an ? 0)

解法:这种类型一般是等式两边取对数后转化为 an?1 ? pan ? q ,再利用待定系数法求解。 例:已知数列{ an }中, a1 ? 1, a n ?1 ? 类型 9 a n?1 ?

1 2 ? a n (a ? 0) ,求数列 ?an ? 的通项公式 . a

f ( n) a n 解法:这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为 an?1 ? pan ? q 。 g ( n) a n ? h( n)

例:已知数列{an}满足: an ?

an?1 , a1 ? 1 ,求数列{an}的通项公式。 3 ? an?1 ? 1
? 3, 1 1 ? ? 2(n ? ? ) ,则求这个数列的通项公式。 an ?1 an

2、若数列的递推公式为 a1

3、已知数列{ a n }满足 a1

? 1, n ? 2 时, an?1 ? an ? 2an?1 an ,求通项公式。

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an?1 ?

pan ? q ra n ? h
pan ? q (其中 p、q、r、h 均为常数, ra n ? h

解法:如果数列 {an } 满足下列条件:已知 a1 的值且对于 n ? N ,都有 a n ?1 ?

且 ph ? qr , r ? 0, a1 ? ?

? 1 ? h px ? q ) ,那么,可作特征方程 x ? ,当特征方程有且仅有一根 x0 时,则 ? ? 是等差数 r rx ? h ? an ? x0 ? ? an ? x1 ? ? 是等比数列。 an ? x2 ? ?
an ? 4 , 且 a1 ? 3, 求 {an } 的通项公式. 2an ? 3
13an ? 25 . an ? 3

列;当特征方程有两个相异的根 x1 、 x2 时,则 ?

例:已知数列 {an } 满足性质:对于 n ? N, a n?1 ?

例:已知数列 {an } 满足:对于 n ? N, 都有 an?1 ?

(1)若 a1 ? 5, 求 a n ; (2)若 a1 ? 3, 求 a n ; (3)若 a1 ? 6, 求 a n ; (4)当 a1 取哪些值时,无穷数列 {an } 不存在? 类型 11 an?1 ? an ? pn ? q 或 an?1 ? an ? pqn 解法:这种类型一般可转化为 ?a2n?1 ?与 ?a 2 n ? 是等差或等比数列求解。 例: (I)在数列 {an } 中, a1 ? 1, an?1 ? 6n ? an ,求 an (II)在数列 {an } 中, a1 ? 1, an an?1 ? 3n ,求 an

类型 12 归纳猜想法 解法:数学归纳法 变式:(2006,全国 II,理,22,本小题满分 12 分) 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且方程 x2-anx-an=0 有一根为 Sn-1,n=1,2,3,? (Ⅰ)求 a1,a2; (Ⅱ) n}的通项公式 {a 类型 13 双数列型 解法:根据所给两个数列递推公式的关系,灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

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a a b 例: 已知数列 ?an ? 中, 1 ? 1 ; 数列 ?bn ? 中, 1 ? 0 。 n ? 2 时, n ? 当
类型 14 周期型 解法:由递推式计算出前几项,寻找周期。

1 1 ( 2a n ?1 ? bn ?1 ) , bn ? ( a n ?1 ? 2bn ?1 ) , an , bn . 求 3 3

例:若数列 ?an ? 满足 a n ?1

1 ? ?2a n , (0 ? a n ? 2 ) 6 ? ?? ,若 a1 ? ,则 a 20 的值为___________。 7 ?2a ? 1, ( 1 ? a ? 1) n ? n 2 ?

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小初高 1 对 1 课外辅导专家 变式:(2005,湖南,文,5) 已知数列 {an } 满足 a1 ? 0, an?1 ?

an ? 3 3an ? 1

(n ? N * ) ,则 a 20 =





A.0

B. ? 3

C. 3

D.

3 2

第三课时

(数列求和)
《数列求和》教案

一、知识点归纳 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式: S n ?

n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2

(q ? 1) ? na1 ? n 2、等比数列求和公式: S n ? ? a1 (1 ? q ) a1 ? a n q ? (q ? 1) ? 1? q 1? q ?
3、 S n ?

1 ? k ? 2n(n ? 1) k ?1

n

4、 S n ?

?k
k ?1

n

2

1 ? n(n ? 1)(2n ? 1) 6

5、 S n ?

?k
k ?1

n

3

1 ? [ n(n ? 1)]2 2 ?1 2 3 n ,求 x ? x ? x ? ? ? ? ? x ? ? ? ? 的前 n 项和. log2 3 ?1 1 ? log3 x ? ? log3 2 ? x ? log2 3 2

[例 1] 已知 log3 x ?

解:由 log3 x ?

由等比数列求和公式得

Sn ? x ? x 2 ? x3 ? ? ? ? ? x n
1 1 (1 ? n ) x (1 ? x n ) 2 2 =1- 1 = = 1 2n 1? x 1? 2

(利用常用公式)

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小初高 1 对 1 课外辅导专家 [例 2] 设 Sn=1+2+3+…+n,n∈N*,求 f (n) ? 解:由等差数列求和公式得 S n ? ∴ f ( n) ?

Sn 的最大值. (n ? 32) S n ?1
1 1 n(n ? 1) , S n ? (n ? 1)( n ? 2) 2 2
(利用常用公式)

n Sn = 2 (n ? 32) S n ?1 n ? 34 n ? 64



1 n ? 34 ? 64 n



( n?

1 8 n

?

) 2 ? 50

1 50

∴ 当

n?

1 8 ,即 n=8 时, f (n) max ? 50 8

二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列{an· 中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列. [例 3] 求和: S n ? 1 ? 3x ? 5x 2 ? 7 x 3 ? ? ? ? ? (2n ? 1) x n?1 ………………………① 解:由题可知,{ (2n ? 1) x n?1 }的通项是等差数列{2n-1}的通项与等比数列{ x 设 xSn ? 1x ? 3x 2 ? 5x 3 ? 7 x 4 ? ? ? ? ? (2n ? 1) x n ………………………. ② ①-②得 (1 ? x)S n ? 1 ? 2x ? 2x 2 ? 2x 3 ? 2x 4 ? ? ? ? ? 2x n?1 ? (2n ? 1) x n 再利用等比数列的求和公式得: (1 ? x) S n ? 1 ? 2 x ?
n ?1

bn}的前 n 项和,其

}的通项之积

(设制错位) (错位相减)

1 ? x n ?1 ? (2n ? 1) x n 1? x



Sn ?

(2n ? 1) x n?1 ? (2n ? 1) x n ? (1 ? x) (1 ? x) 2

[例 4] 求数列

2 4 6 2n , 2 , 3 ,? ? ?, n ,? ? ? 前 n 项的和. 2 2 2 2 2n 1 解:由题可知,{ n }的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{ n }的通项之积 2 2 2 4 6 2n 设 S n ? ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? n …………………………………① 2 2 2 2 1 2 4 6 2n S n ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? ? n ?1 ………………………………② (设制错位) 2 2 2 2 2

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小初高 1 对 1 课外辅导专家 ①-②得 (1 ? ) S n ?

1 2



2 2 2 2 2 2n ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? ? n ? n ?1 2 2 2 2 2 2 1 2n ? 2 ? n ?1 ? n ?1 2 2 n?2 S n ? 4 ? n ?1 2

(错位相减)

三、反序相加法求和 这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序) ,再把它与原数列相加, 就可以得到 n 个 (a1 ? an ) .
0 1 2 n [例 5] 求证: Cn ? 3Cn ? 5Cn ? ? ? ? ? (2n ? 1)Cn ? (n ? 1)2n 0 1 2 n 证明: 设 S n ? Cn ? 3Cn ? 5Cn ? ? ? ? ? (2n ? 1)Cn ………………………….. ①

把①式右边倒转过来得
n n 1 0 S n ? (2n ? 1)Cn ? (2n ? 1)Cn ?1 ? ? ? ? ? 3Cn ? Cn m n 又由 Cn ? Cn ?m 可得 0 1 n n S n ? (2n ? 1)Cn ? (2n ? 1)Cn ? ? ? ? ? 3Cn ?1 ? Cn …………..…….. ②

(反序)

①+②得 ∴
2 ? 2

0 1 n n 2S n ? (2n ? 2)(Cn ? Cn ? ? ? ? ? Cn ?1 ? Cn ) ? 2(n ? 1) ? 2n

(反序相加)

S n ? (n ? 1) ? 2 n
? 2 ? 2 ? 2 ?

[例 6] 求 sin 1 ? sin 2 ? sin 3 ? ? ? ? ? sin 88 ? sin 89 的值 解:设 S ? sin 1 ? sin 2 ? sin 3 ? ? ? ? ? sin 88 ? sin 89 …………. ①
2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ?

将①式右边反序得

S ? sin 2 89? ? sin 2 88? ? ? ? ? ? sin 2 3? ? sin 2 2? ? sin 2 1? …………..②
又因为 sin x ? cos(90 ? x), sin x ? cos x ? 1
? 2 2

(反序)

①+②得

(反序相加)

2S ? (sin 2 1? ? cos2 1? ) ? (sin 2 2? ? cos2 2? ) ? ? ? ? ? (sin 2 89? ? cos2 89? ) =89
∴ S=44.5

四、分组法求和

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小初高 1 对 1 课外辅导专家 有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列, 然后分别求和,再将其合并即可. [例 7] 求数列的前 n 项和: 1 ? 1,

1 1 1 ? 4, 2 ? 7,? ? ?, n ?1 ? 3n ? 2 ,… a a a 1 1 1 解:设 S n ? (1 ? 1) ? ( ? 4) ? ( 2 ? 7) ? ? ? ? ? ( n ?1 ? 3n ? 2) a a a
将其每一项拆开再重新组合得

S n ? (1 ?

1 1 1 ? 2 ? ? ? ? ? n ?1 ) ? (1 ? 4 ? 7 ? ? ? ? ? 3n ? 2) a a a (3n ? 1)n (3n ? 1)n 当 a=1 时, S n ? n ? = 2 2 1 1? n 1? n a ? (3n ? 1)n = a ? a ? (3n ? 1)n 当 a ? 1 时, S n ? 1 a ?1 2 2 1? a

(分组) (分组求和)

[例 8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前 n 项和. 解:设 ak ? k (k ? 1)(2k ? 1) ? 2k 3 ? 3k 2 ? k ∴

S n ? ? k (k ? 1)(2k ? 1) = ? (2k 3 ? 3k 2 ? k )
k ?1 k ?1

n

n

将其每一项拆开再重新组合得 Sn= 2

?
k ?1

n

k 3 ? 3? k 2 ? ? k
k ?1 k ?1

n

n

(分组)

= 2(13 ? 23 ? ? ? ? ? n3 ) ? 3(12 ? 22 ? ? ? ? ? n2 ) ? (1 ? 2 ? ? ? ? ? n)



n 2 (n ? 1) 2 n(n ? 1)(2n ? 1) n(n ? 1) ? ? 2 2 2 n(n ? 1) 2 (n ? 2) 2

(分组求和)



五、裂项法求和 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合, 使之能消去一些项,最终达到求和的目的. 通项分解(裂项)如: (1) an ? f (n ? 1) ? f (n) (2)

sin 1? ? tan(n ? 1)? ? tann? ? ? cos n cos(n ? 1)

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小初高 1 对 1 课外辅导专家 (3) a n ?

1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1

(4) an ?

(2n) 2 1 1 1 ? 1? ( ? ) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

(5) an ?

1 1 1 1 ? [ ? ] n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2)

(6) a n ?

n ? 2 1 2(n ? 1) ? n 1 1 1 1 ? n ? ? n ? ? , 则S n ? 1 ? n ?1 n n(n ? 1) 2 n(n ? 1) 2 n?2 (n ? 1)2 (n ? 1)2 n
1 1? 2 , 1 2? 3 1 n ? n ?1 1 1? 2 ? ,? ? ?, 1 n ? n ?1 ,? ? ? 的前 n 项和.

[例 9] 求数列

解:设 a n ?

? n ?1 ? n 1 n ? n ?1

(裂项)

则 Sn ?

1 2? 3

? ??? ?

(裂项求和)

= ( 2 ? 1) ? ( 3 ? 2 ) ? ? ? ? ? ( n ? 1 ? n ) = n ? 1 ?1 [例 10] 在数列{an}中, an ? ∵ an ?

1 2 n 2 ? ? ??? ? ,又 bn ? ,求数列{bn}的前 n 项的和. n ?1 n ?1 n ?1 a n ? a n ?1

解:

1 2 n n ? ? ??? ? ? n ?1 n ?1 n ?1 2 2 1 1 ∴ bn ? ? 8( ? ) n n ?1 n n ?1 ? 2 2 1 1 1 1 1 1 1 S n ? 8[(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ? ? ( ? )] 2 2 3 3 4 n n ?1 8n 1 ) = = 8(1 ? n ?1 n ?1

(裂项)

∴ 数列{bn}的前 n 项和

(裂项求和)

[例 11] 求证: 解:设 S ?

1 1 1 cos1? ? ? ??? ? ? cos0 ? cos1? cos1? cos 2 ? cos88? cos89? sin 2 1?
1 1 1 ? ? ??? ? ? ? ? ? cos 0 cos 1 cos 1 cos 2 cos 88 cos 89 ?
?

sin 1? ∵ ? tan(n ? 1)? ? tann? ? ? cos n cos(n ? 1)

(裂项)

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小初高 1 对 1 课外辅导专家 ∴S ?

1 1 1 ? ? ??? ? (裂项求和) ? ? ? ? cos 0 cos 1 cos 1 cos 2 cos 88 cos 89 ? 1 {(tan 1? ? tan 0 ? ) ? (tan 2 ? ? tan 1? ) ? (tan 3? ? tan 2 ? ) ? [tan 89 ? ? tan 88 ? ]} = ? sin 1
?



1 1 cos1? (tan 89 ? ? tan 0? ) = ? cot 1? = 2 ? sin 1? sin 1? sin 1

∴ 原等式成立

六、合并法求和 针对一些特殊的数列,将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质,因此,在求数列的和时,可将这些项放在一 起先求和,然后再求 Sn. [例 12] 求 cos1°+ cos2°+ cos3°+··+ cos178°+ cos179°的值. · 解:设 Sn= cos1°+ cos2°+ cos3°+··+ cos178°+ cos179° · ∵ cosn? ? ? cos( 180? ? n? )

(找特殊性质项)

∴Sn= (cos1°+ cos179°)+( cos2°+ cos178°)+ (cos3°+ cos177°)+·· · +(cos89°+ cos91°)+ cos90° (合并求和) = 0 [例 13] 数列{an}: a1 ? 1, a2 ? 3, a3 ? 2, an?2 ? an?1 ? an ,求 S2002. 解:设 S2002= a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ? ? a2002 由 a1 ? 1, a2 ? 3, a3 ? 2, an?2 ? an?1 ? an 可得

a4 ? ?1, a5 ? ?3, a6 ? ?2, a7 ? 1, a8 ? 3, a9 ? 2, a10 ? ?1, a11 ? ?3, a12 ? ?2,
??

a6k ?1 ? 1, a6k ?2 ? 3, a6k ?3 ? 2, a6k ?4 ? ?1, a6k ?5 ? ?3, a6k ?6 ? ?2
∵ a6k ?1 ? a6k ?2 ? a6k ?3 ? a6k ?4 ? a6k ?5 ? a6k ?6 ? 0 ∴ S2002= a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ? ? a2002

(找特殊性质项) (合并求和)

= (a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ?a6 ) ? (a7 ? a8 ? ? ? ?a12 ) ? ? ? ? ? (a6k ?1 ? a6k ?2 ? ? ? ? ? a6k ?6 )

? ? ? ? ? (a1993 ? a1994 ? ? ? ? ? a1998 ) ? a1999 ? a2000 ? a2001 ? a2002

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小初高 1 对 1 课外辅导专家 = a1999 ? a2000 ? a2001 ? a2002 = a6k ?1 ? a6k ?2 ? a6k ?3 ? a6k ?4 =5 [例 14] 在各项均为正数的等比数列中,若 a5 a6 ? 9, 求 log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? ? ? log3 a10 的值. 解:设 S n ? log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? ? ? log3 a10 由等比数列的性质 m ? n ? p ? q ? aman ? a p aq 和对数的运算性质 loga M ? loga N ? loga M ? N 得

(找特殊性质项)

S n ? (log3 a1 ? log3 a10 ) ? (log3 a2 ? log3 a9 ) ? ? ? ? ? (log3 a5 ? log3 a6 )
= (log3 a1 ? a10 ) ? (log3 a2 ? a9 ) ? ? ? ? ? (log3 a5 ? a6 ) = log3 9 ? log3 9 ? ? ? ? ? log3 9 =10

(合并求和)

七、利用数列的通项求和 先根据数列的结构及特征进行分析,找出数列的通项及其特征,然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前 n 项和,是一个重要的方法.

[例 15] 求 1 ? 11? 111? ? ? ? ? 111? ? 之和. ? ? ?1 ?
n个1

解:由于 111? ? ? 1 ? ???
k个1

1 1 ? 999??9 ? (10k ? 1) ???? 9 ? ? 9 k个1
n个1

(找通项及特征)

∴ 1 ? 11? 111? ? ? ? ? 111? ? ? ? ?1 ? =

1 1 1 1 1 (10 ? 1) ? (10 2 ? 1) ? (10 3 ? 1) ? ? ? ? ? (10 n ? 1) 9 9 9 9

(分组求和)



1 1 1 (10 ? 102 ? 103 ? ? ? ? ? 10n ) ? (1 ?? 1 ??? ? 1) 1?? ?? ? 9 9 ? ?个1 ? n
1 10(10n ? 1) n ? ? 9 10 ? 1 9



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小初高 1 对 1 课外辅导专家 =

1 (10 n ?1 ? 10 ? 9n) 81
? 8 , 求? (n ? 1)(a n ? an?1 ) 的值. (n ? 1)(n ? 3) n ?1

[例 16] 已知数列{an}: a n ?

解:∵ (n ? 1)(a n ? a n ?1 ) ? 8(n ? 1)[

1 1 ? ] (n ? 1)(n ? 3) (n ? 2)(n ? 4)

(找通项及特征)

= 8 ?[

1 1 ? ] (n ? 2)(n ? 4) (n ? 3)(n ? 4)
1 1 1 1 ? ) ? 8( ? ) n?2 n?4 n?3 n?4

(设制分组)

=4?(

(裂项)



? (n ? 1)(an ? an?1 ) ? 4? (
n ?1 n ?1

?

?

? 1 1 1 1 ? ) ? 8? ( ? ) n?2 n?4 n?4 n ?1 n ? 3

(分组、裂项求和)

=4?( ? ) ? 8? =

1 3

1 4

1 4

13 3

说明:本资料适用于高三总复习,也适用于高一“数列”一章的学习。 四、题型讲解 例 1: (2005 年湖北第 19 题)设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn=2n2, {bn } 为等比数列,且 a1 ? b1 , b2 (a2 ? a1 ) ? b1 . (Ⅰ)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)设 c n ?

an ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn bn

王新敞
奎屯

新疆

本小题主要考查等差数列、等比数列基本知识和数列求和的基本方法以及运算能力.

时 解: :当 n ? 1 , a1 ? S1 ? 2; (1)
当n ? 2时, an ? S n ? S n?1 ? 2n 2 ? 2(n ? 1) 2 ? 4n ? 2,
故{an}的通项公式为 an ? 4n ? 2,即 an }是a1 ? 2, 公差d ? 4 的等差数列. { 设{bn}的通项公式为 q, 则b1 qd ? b1 , d ? 4,? q ?
n ?1 故 bn ? b1 q ? 2 ?

1 . 4

1 4
n ?1

, 即{bn }的通项公式为 bn ?

2 4 n ?1

.

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小初高 1 对 1 课外辅导专家 (II)? c n ? a n ? 4n ? 2 ? (2n ? 1)4 n ?1 , 2 bn 4 n ?1

? Tn ? c1 ? c2 ? ? ? cn ? [1 ? 3 ? 41 ? 5 ? 4 2 ? ? ? (2n ? 1)4 n?1 ], 4Tn ? [1 ? 4 ? 3 ? 4 2 ? 5 ? 4 3 ? ? ? (2n ? 3)4 n?1 ? (2n ? 1)4 n ]
两式相减得

1 3Tn ? ?1 ? 2(41 ? 4 2 ? 4 3 ? ? ? 4 n ?1 ) ? (2n ? 1)4 n ? [(6n ? 5)4 n ? 5] 3 1 ? Tn ? [(6n ? 5)4 n ? 5]. 9
例 2:求和: s n ? 1 ?

1 1 1 ? ??? 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ??? n

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答案:第一课时反馈练习:
4 反馈练习
1(本题满分 12 分)数列 {an } 中, a1 ? 5 , an?1 ? 3an ? (2 ? n) ? 2n , bn ? an ? n ? 2 n (n ? N *) . (1)证明:数列 {bn } 是等比数列,并求 an ; (2)设 cn ?

2bn (n ? N *) ,证明:当 n ? 2 时, cn?1 ? cn ,并指出数列 {cn } 中最小的一项是第几项. an

2 (本小题满分 14 分) 已知等差数列 ?an ? 的首项 a1 ? 1 , 公差 d ? 0 , 且第 2 项、 5 项、 14 项分别是等比数列 ?bn ? 第 第 的第 2 项、第 3 项、第 4 项. (I)求数列 ?an ? 与 ?bn ? 的通项公式; (II)设数列 ?cn ? 对 n ? N 均有
?

c c1 c2 ? ? ? ? n ? an?1 成立,求 c1 ? c2 ? ? ? c2010 的值 b1 b2 bn

n ?1 n n ?1 1 解析: (1)证明: bn?1 ? an?1 ? (n ? 1) ? 2 ? 3an ? (2 ? n) ? 2 ? (n ? 1) ? 2 n n bn an ? n ? 2 an ? n ? 2

3an ? (2 ? n) ? 2 n ? (2n ? 2) ? 2 n 3an ? 3n ? 2 n ? ?3 . an ? n ? 2 n an ? n ? 2 n

???3 分

又 b1 ? a1 ? 2 ? 3 ,故 {bn } 是以 3 为首项,3 为公比的等比数列,从而得 bn ? 3n , 即 an ? n ? 2 n ? 3n ? an ? 3n ? n ? 2 n . ???6 分

2 ? 3 n ?1 3n ? n ? 2 n 3 n ?1 ? 3n ? 2 n (2)当 n ? 2 时, c n ?1 ? 2bn ?1 ? a n ? ? ? n ?1 cn a n ?1 2bn 3 n ?1 ? (n ? 1) ? 2 n ?1 2 ? 3n 3 ? (2n ? 2) ? 2 n ? 1? 3
n ?1

(n ? 2) ? 2 n ? 1. ? (2n ? 2) ? 2 n



???10 分

又 c n ? 0 ,故由①式知 n ? 2 时, cn?1 ? cn . 由上面的结论知当 n ? 2 时, c3 最小,而计算知, c1 ? c2 ? c3 . 由此知在数列 {cn } 中, c 2 、 c3 两项最小. ???12 分 ????2 分 ????4 分 ????5 分 ????7 分

2 解析: (I) 由已知得: a2 ? 1 ? d , a5 ? 1 ? 4d , a14 ? 1 ? 13d

?(1 ? 4d )2 ? (1 ? d )(1 ? 13d ) ,解得 d ? 2(? d ? 0) ? an ? 2n ? 1 b2 ? a2 ? 3 , b3 ? a5 ? 9 ,?bn ? 3n?1

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c c c1 c2 c c ? ? ? ? n ? an?1 得, 1 ? 2 ? ? ? n?1 ? an (n ? 2) ????9 分 b1 b2 bn b1 b2 bn?1 cn ? an?1 ? an ? 2 , bn
????10 分 ???? 12 分 ????14 分

两式相减得

?cn ? 2bn ? 2 ? 3n?1 (n ? 2)
c1 ? c2 ? ? ? c2010 ? 32010

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