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昆明第一中学2014届高三开学考试 数学理


昆明第一中学 2014 届高三开学考试

数学(理)试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷 1 至 4 页,第Ⅱ卷 5 至 8 页。考 试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。满分 150 分,考试用时 120 分钟。 注意事项: 1.答题前,考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写 清楚,并认真

核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号,在规定的位置贴好条形码。 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦 干净后,再选涂其它答案标号,答在试卷上的答案无效。

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.若复数 z ? m(m ? 1) ? (m ? 1)i 是纯虚数,其中 m 是实数,则 A. i 2. 已知 sin(x ? A. ?

?
4

B. ?i

C. 2i

1 = z D. ?2i

)?

7 25

3 ,则 sin 2x 的值为 5 9 7 B. C. 25 25

D.

16 25

3.公比不为 1 等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 ?3a1 , ? a2 , a3 成等差数列.若 a1 ? 1 ,则 S4 ? A. ?20 B. 0 C. 7 D. 40

4.如图,若一个空间几何体的三视图中,正视图和侧视图都是直 角三角形,其直角边长均为 1,则该几何体的表面积为 A. 1? 2 B. 2 ? 2 2 C.
正视图 侧视图

1 3
俯视图

D. 2 ? 2

·1·

5.变量 U 与 V 相对应的一组样本数据为 (11.4) , (2, 2.2) , (3 ,3) , (4,3.8) ,由上述样本数据得 , 到 U 与 V 的线性回归分析, R 2 表示解释变量对于预报变量变化的贡献率,则 R 2 = A.

3 5

B.

4 5
y
2 1

C.1

D.3

6.已知 a 是实数,则函数 f ( x) ? a cos ax 的图象可能是
y
2 1

y
2

y
2 1 1

O
-1

? 2

?

x

? 2

O
-1

?

x

O
-2

? 2

?

x

O ?
2
-2

?

x

A.

B.

C.

D.

7.某班有 24 名男生和 26 名女生,数据 a1 , a2 ,┅, a 50 是 该班 50 名学生在一次数学学业水平模拟考试的成绩,下面的 程序用来同时统计全班成绩的平均分:A,男生平均分:M, 女生平均分:W;为了便于区别性别,输入时,男生的成绩用 正数,女生的成绩用其成绩的相反数.那么 在图中空白的判断框和处理框中, 应分别填入下列四个选项中 的

M ?W 50 M ?W C. T ? 0? , A ? 50
A. T ? 0 ? , A ?

M ?W 50 M ?W D. T ? 0 ? , A ? 50
B. T ? 0 ? , A ?

8 . 若 曲 线 f ( x) ? a cos x 与 曲 线 g ( x) ? x ? bx? 1在 交 点
2

(0,m )处有公切线, 则 a ? b ?
A. ?1 C. 1 B. 0 D. 2

·2·

?? x 2 ? 4 x , x ? 0 9.已知函数 f ( x) ? ? 2 ,若 f ? a ? 2 ? ? f (a) ? 0 ,则实数 a 的取值范围是 ? x ? 4 x, x ? 0
A. a ? ?1 ? 3 或 a ? ?1 ? 3 C. a ? 3 ? 3 或 a ? 3 ? 3 B. a ? 1 D. a ? 1

10.已知数列 {a n } 满足 an ?1 ? an ? an ?1 ( n ? 2 ), a1 ? 1 , a2 ? 3 ,记 S n ? a1 ? a2 ? ? ? an ,则下列 结论正确的是 A. a100 ? ?1 , S100 ? 5 C. a100 ? ?3 , S100 ? 2
2

B. a100 ? ?3 , S100 ? 5 D. a100 ? ?1 , S100 ? 2

11.在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 C : y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F , M 是抛物线 C 上的点, 若 ?OFM 的外接圆与抛物线 C 的准线相切,且该圆面积为 9? ,则 p ? A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

x 12.设函数 f ( x) 满足 f (? x) ? f ( x), 且当 x ? 0 时, f ( x) ? ( ) ,又函数 g ( x) ? x sin ? x ,则函

1 4

数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在 ? ? A. 3

? 1 ? , 2 上的零点个数为 ? 2 ? ?
C. 5 D. 6

B. 4

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须做 答。第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求做答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。把答案填在答题卡上。

?x ? y ?1 ? 0 ? 13.变量 x , y 满足条件 ? x ? y ? 0 ,求 2x ? y 的最大值为 ?x ? 0 ?



x2 y 2 14.已知 F (c,0) 是双曲线 C : 2 ? 2 ? 1 (a ? 0 , b ? 0) 的右焦点,若双曲线 C 的渐近线与圆 a b

1 . E : ( x ? c)2 ? y 2 ? c 2 相切,则双曲线 C 的离心率为 2 ? ? ? ? 15.已知向量 a, b 的夹角为 120 ? ,且 a ? 1, b ? 2 ,则向量 a ? b 在向量 a ? b 方向上的投影
·3·





16.已知 A 、 B 、 C 、 D 四点在半径为

29 的球面上,且 AC ? BD ? 13, AD ? BC ? 5 , 2

. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 12 分) 在△ ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c , 若 a cos (Ⅰ) 求证: a 、 b 、 c 成等差数列; (Ⅱ) 若 ?B ? 60? , b ? 4 ,求 ?ABC 的面积. 18. (本小题满分 12 分) 气象部门提供了某地今年六月份(30 天)的日最高气温的统计表如下: 日最高气温 t (单位:℃) 天数 t ? 22℃ 6 22℃<t ? 28℃ 12 28℃<t ? 32℃
2

AB ? CD ,则三棱锥 D ? ABC 的体积是

C A 3 ? c cos2 ? b . 2 2 2

t ? 32 ℃

Y

Z

由于工作疏忽,统计表被墨水污染,Y 和 Z 数据不清楚,但气象部门提供的资料显示,六月份 的日最高气温不高于 32℃的频率为 0.9. 某水果商根据多年的销售经验,六月份的日最高气温 t (单位:℃)对西瓜的销售影响如下表: 日最高气温 t (单位:℃) 日销售额 X (千元) t ? 22℃ 2 22℃<t ? 28℃ 5 28℃<t ? 32℃ 6

t ? 32 ℃
8

(Ⅰ) 求 Y , Z 的值; (Ⅱ) 若视频率为概率,求六月份西瓜日销售额的期望和方差; (Ⅲ) 在日最高气温不高于 32℃时,求日销售额不低于 5 千元的概率.

P
19. (本小题满分 12 分) 如 图 , 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , ABCD为 平 行 四 边 形 , 且 BC ? 平 面 PAB,

PA ? AB , M 为 PB 的中点, PA ? AD ? 2 .
(Ⅰ) 求证: PD ?? 平面AMC ; (Ⅱ) 若 AB ? 1 , 求二面角 B ? AC ? M 的余弦值.

M D

A

20. (本小题满分 12 分)

B C1 已知平面内与两定点 A(2,0) , B(?2, 0) 连线的斜率之积等于 ? 的点 P 的轨迹为曲线 C1 , 4
·4·

椭圆 C2 以坐标原点为中心,焦点在 y 轴上,离心率为 (Ⅰ)求 C1 的方程;

5 . 5

(Ⅱ)若曲线 C1 与 C2 交于 M 、 N 、 P 、 Q 四点,当四边形 MNPQ 面积最大时,求椭圆 C2 的 方程及此四边形的最大面积. 21.(本小题满分 12 分) 设 f ( x) ? ln( x ? 1) ? ax ( a ? R 且 a ? 0 ). (Ⅰ)讨论函数 f ( x) 的单调性; (Ⅱ)若 a ? 1 ,证明: x ? (0,5) 时, f ( x) ?

9x 成立. x ?1

请考生在第 22,23,24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题 号。 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,已知 PA 与圆 O 相切于点 A ,直径 BC ? OP ,连接 AB 交 PO 于点 D . C (Ⅰ)求证: PA ? PD ; A (Ⅱ)求证: AC ? AP ? AD ? OC .

O

D

P

B

·5·

23.本小题满分 10 分)选修 4—4;坐标系与参数方程 已知曲线 C 的参数方程是 ?

? x ? a cos ? ?x ? 3 ? t ? (? 为参数 , a ? 0 )与直线 l 的参数方程是 ? ? y ? 3 sin ? ? y ? ?1 ? t ?

( t 为参数)有一个公共点在 x 轴上.以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立坐标系. (Ⅰ)求曲线 C 普通方程; (Ⅱ)若点 A( ?1 ,? ) 、 ( ?2 ,? ? B 值.

1 1 1 2? 4? ? ? 的 ) 、 ( ?3 ,? ? ) 在曲线 C 上,求 C 2 2 2 3 3 OA OB OC

24. (本小题满分 10 分)选修 4 ? 5 :不等式选讲 已知函数 f ( x) ? x ? 3 ? x ? a (a ? 0) . (Ⅰ)当 a ? 4 时,已知 f ( x) ? 7 ,求 x 的取值范围; (Ⅱ)若 f ( x) ? 6 的解集为 ? x | x ? ?4或x ? 2? ,求 a 的值.

·6·

参考答案
一.选择题: 1. A 2. B 7. D 8. C 二、填空题: 13.

3. A 9.D

4. D 10. A

5. C 11. B 16. 8

6.C 12. C

1 2

14. 2

15. ? 3

三、解答题: 17.解:证明: (Ⅰ)证法一:

a cos 2

C A 1 ? cos C 1 ? cos A 3 ? c cos 2 ? a ? ?c? ? b 2 2 2 2 2

即 a(1 ? cos C ) ? c(1 ? cos A) ? 3b 由正弦定理得:

sin A ? sin A cos C ? sin C ? cos Asin C ? 3sin B
即 sin A ? sin C ? sin( A ? C ) ? 3sin B ∴ sin A ? sin C ? 2sin B 由正弦定理得: 整理得: a ? c ? 2b 故 a、b、c 成等差数列. 证法二: ∵ a cos
2

…… 6 分

C A 1 ? cos C 1 ? cos A 3 ? c cos 2 ? a ? ?c? ? b 2 2 2 2 2

∴ a ? c ? (a cos C ? c cos A) ? 3b ∴ a ? c ? (a ?

a 2 ? b2 ? c 2 b2 ? c 2 ? a 2 ?c? ) ? 3b 2ab 2bc

整理得: a ? c ? 2b 故 a 、 b 、 c 成等差数列. 解: (Ⅱ)由 ?B ? 60? , b ? 4 及余弦定理得: 4 ? a ? c ? 2ac cos 60?
2 2 2

∴ (a ? c) ? 3ac ? 16
2

·7·

又由(1)知 a ? c ? 2b ,代入上式得 4b ? 3ac ? 16 ,解得 ac ? 16
2

∴ ?ABC 的面积 S ?

1 1 ac sin B ? ac sin 60o ? 4 3 . 2 2
o

…… 12 分

18.解:(Ⅰ) 由已知得: P(t ? 32 C ) ? 0.9

? P(t ? 32 oC ) ? 1 ? P(t ? 32 oC ) ? 0.1

? Z ? 30 ? 0.1 ? 3
Y ? 30 ? (6 ? 12 ? 3) ? 9 .
(Ⅱ) P(28 C ? t ? 32 C ) ?
o o

…… 4 分

9 ? 0.3 30
5 0.4 6 0.3 8 0.1

六月份西瓜销售额 X 的分布列为

X P

2 0.2

? E ( X ) ? 2 ? 0.2 ? 5 ? 0.4 ? 6 ? 0.3 ? 8 ? 0.1 ? 5
D( X ) ? (2 ? 5)2 ? 0.2 ? (5 ? 5) 2 ? 0.4 ? (6 ? 5) 2 ? 0.3 ? (8 ? 5) 2 ? 0.1 ? 3 .…… 9 分
(Ⅲ) ? P(t ? 32 C ) ? 0.9 , P(22 C ? t ? 32 C ) ? 0.4 ? 0.3 ? 0.7
o
o o

?由条件概率得: P( X ? 5 t ? 32 oC ) ? P(22 oC ? t ? 32 oC t ? 32 oC )
=

P(22 oC ? t ? 32 oC ) 0.7 7 ? ? . …… 12 分 P(t ? 32 oC ) 0.9 9

P

19.解: (Ⅰ)证明: 连接 BD ,设 BD 与 AC 相交于点 O ,连接 OM , ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴点 O 为 BD 的中点. ∵ M 为 PB 的中点,∴ OM 为 ?PBD 的中位线, ∴ OM ?? PD , …… 2 分

M D G O F

∵ OM ? 平面AMC , PD ? 平面AMC , ∴ PD ?? 平面AMC . …… 4 分

A

B (Ⅱ) 解法一 : ∵ BC ? 平面 PAB , AD ?? BC , 则C ? 平面 PAB ,故 PA ? AD , AD
又 PA ? AB , 且 AD ? AB ? A ,
·8·

∴ PA ? 平面ABCD .

…… 6 分

取 AB 的中点 F ,连接 MF ,则 MF ?? PA ,且 MF ? ∴ MF ? 平面ABCD .

1 PA ? 1 . 2

作 FG ? AC ,垂足为 G ,连接 MG ,由于 MF ? AC ,且 MF ? FG ? F , ∴ AC ? 平面MGF ,∴ AC ? MG . ∴ ?MGF 为二面角 B ? AC ? M 的平面角. …… 9 分

1 ?2 GF AF AF ? BC 2 5 由 Rt ?AGF ∽ Rt ?ABC ,得 ,得 GF ? , ? ? ? BC AC AC 5 5
在 Rt ?MGF 中, cos ?MGF ?

GF ? MG

5 5 1? 1 5

?

6 . 6

∴ 二面角 B ? AC ? M 的余弦值为

6 . 6

…… 12 分

(Ⅱ) 解法二: ∵ BC ? 平面 PAB , AD / / BC , 则 AD ? 平面 PAB ,故 PA ? AD , 又 PA ? AB , 且 AD ? AB ? A , ∴ PA ? 平面ABCD . …… 6 分

以点 A 为坐标原点,分别以 AD, AB, AP 所在直线为 x 轴, y 轴和 z 轴,建立空间直角坐标 系 A ? xyz .
z P

1 则 A(0,0,0) , C (2,1,0) , P(0,0,2) , B(0,1,0) , M (0, ,1) , 2 ???? ???? ? 1 ∴ AC ? (2,1,0) , AM ? (0, ,1) , 2 x ? 求得平面 AMC 的法向量为 n ? (1, ?2,1) ,
??? ? 又平面 ABC 的一个法向量为 AP ? (0,0, 2) ,
C

M D A

O B y

? ??? ? ? ??? ? n ? AP 2 1 6 ? ? ? ? ∴ cos ? n, AP ?? ?? ???? ? . 6 1? 4 ?1 ? 2 6 n ? AP
∴ 二面角 C ? BC1 ? D 的余弦值为 20.解: (Ⅰ)设 P( x, y ) ,则 k PA ? k PB ? ?

y

6 . …… 12 分 6

M B Q O

N A P x

1 , 4
·9·



y y 1 ? ?? , x?2 x?2 4
x2 ? y 2 ? 1 ( x ? ?2) .………4 分 4

∴ C1 方程为

y 2 x2 (Ⅱ)如图,设椭圆 C2 的方程为 2 ? 2 ? 1(m ? n ? 0) , m n
设 N ( x1 , y1 ) ,由对称性得四边形 MNPQ 的面积为 S ? 4 x1 y1 ,

?

x12 ? y12 ? 1 , 4
2

x1 2 ? y1 x1 4 ∴ S ? 4 ? 2 ? ? y1 ? 8 ? ? 4 ………8 分 2 2
? x1 ? x1 ? 2 ? 2 ? y1 ? ? 当且仅当 ? 2 ,解得 ? 2 ………10 分 ? y1 ? ? x1 ? y 2 ? 1 1 ? 2 ?4 ?

? 1 ? 2 2 ?m 2 ? 3 ? 2 ? 2 ?1 ? ,解得 ? 2 12 , ?则 ? m n ? ?n ? n2 5 5 ? ?e ? 1 ? 2 ? m 5 ?
∴椭圆 C2 的方程为

y2 x2 ? ? 1 ,四边形 MNPQ 的最大面积为 4. 3 12 5

………12 分

21.解: (Ⅰ)函数 f ( x) 的定义域为 (?1, ??) , f ?( x) ?

1 ?a, x ?1

当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,∴函数 f ( x) 在 (?1, ??) 上是增函数;

ax ? a ? 1 a ?1 ,又 ? ? ?1 ; x ?1 a a ?1 a ?1 由 f ?( x) ? 0 得, ?1 ? x ? ? ;由 f ?( x) ? 0 得, x ? ? a a a ?1 a ?1 ∴函数 f ( x) 在 (?1, ? ) 上是增函数;在 (? , ??) 上是减函数.………4 分 a a
当 a ? 0 时, f ?( x) ?
·10·

(Ⅱ)当 a ? 1 时, f ( x) ? ln( x ? 1) ? x , 要证 x ? (0,5) 时 f ( x) ?

9x 成立,由于 x ? 1 ? 0 , x ?1
2

∴只需证 ( x ? 1) ln( x ? 1) ? x ? 8 x ? 0 在 x ? (0,5) 时恒成立, 令 g ( x) ? ( x ? 1) ln( x ? 1) ? x ? 8 x ,则 g ?( x) ? ln( x ? 1) ? 2 x ? 7
2

设 h( x) ? ln( x ? 1) ? 2 x ? 7 , h?( x) ?

1 ? 2 ? 0 , x ? (0,5) x ?1

∴ g ?( x) 在 (0,5) 上单调递增,∴ g ?(0) ? g ?( x) ? g ?(5) ,即 ?7 ? g ?( x) ? ln 6 ? 3 ; 即 ?x0 ? (0,5) ,使 g ( x) 在 (0, x0 ) 上单调递减,在 ( x0 ,5) 上单调递增, 而 g (0) ? 0, g (5) ? 6ln 6 ? 15 ? 6ln e ? 15 ? 6 ? 2 ? 15 ? 0 ,
2

∴当 x ? (0,5) 时, ( x ? 1) ln( x ? 1) ? x ? 8 x ? 0 恒成立,即原命题得证.………12 分
2

22.解: (Ⅰ)证明: 解法一:? PA 与圆 O 相切于点 A ,??PAB ? ?ACB ,

C

? BC 是圆 O 的直径,??BAC ? 90
??ACB ? 90? ? ?B ,

?

A

O

?OB ? OP ,??BDO ? 90? ? ?B
又? ?BDO ? ?PDA ,??PAD ? ?PDA ? 90 ? ?B
?

D

P

B

…………4 分 ? PA ? PD . 解法二:连接 OA , ?OA ? OB ,??OAB ? ?OBA ,

? PA 与圆 O 相切于点 A ,??OAP ? 90? ,
??PAD ? 90? ? ?OAB ,

?OB ? OP ,??BDO ? 90? ? ?OBA
又? ?BDO ? ?PDA ,??PAD ? ?PDA ? PA ? PD . (Ⅱ)据(1) ?P ? P , A ?A ?O , D D A ? C 又 ?OAC ? ?OCA ??PAD ∽ ?OCA ,
·11·

?
23.解:

PA AD ,? PA ? AC ? AD ? OC . ? OC AC

…………10 分

(Ⅰ) 直线 l 的的普通方程为: x ? y ? 2 ,与 x 轴的交点为 (2, 0) ,

x2 y 2 x2 y2 又曲线 C 的普通方程为: 2 ? ? 1,所以, a ? 2 ,故所求曲线 C 普通方程是: ? ? 1. a 3 4 3
…………4 分 (Ⅱ)因点 A( ?1 ,? ), B( ?2 , ? ?

2? 4? ), C ( ?3 ,? ? ) 在曲线 C 上,即点 3 3 2? 2? A( ?1 cos ? , ?1 sin ? ) 、 ( ?2 cos(? ? ), ?2 sin(? ? )) B 3 3 4? 4? 、 ( ?3 cos(? ? ), ?3 sin(? ? )) 在曲线上. C 3 3 1 1 1 1 1 1 ? ? ? 2? 2? 2 ? 2 2 2 ?1 ? 2 ?3 OA OB OC
1? 2 2? 4? ? 1? 2 2? 4? ? 2 2 2 + 2 ?cos ? ? cos (? ? 3 ) ? cos (? ? 3 ) ? + 3 ?sin ? + sin (? + 3 ) sin (? + 3 ) ? 4? ? ? ? 4? 8? 1 ? cos(2? ? ) 1 ? cos(2? ? ) 1 1 ? cos 2? 3 ? 3 ) ? ( ? 4 2 2 2 4? 8? 1 ? cos(2? ? ) 1 ? cos(2? ? ) 1 1 ? cos 2? 3 ? 3 ) ? ( ? 3 2 2 2 1 3 1 3 7 = ? + ? = .…………10 分 4 2 3 2 8 ?

24.解: (Ⅰ)因为 x ? 3 ? x ? 4 ? x ? 3 ? x ? 4 ? 7 ,等号成立当且仅当 ( x ? 3)( x ? 4) ? 0 , 即 ?3 ? x ? 4 ,故 x 的取值范围为 ? ?3, 4? .…………4 分

? a ? 3 ? 2 x( x ? ?3) ? ( ?3 ? x ? a ) (Ⅱ)因为 f ( x ) ? ? a ? 3 ?2 x ? 3 ? a( x ? a) ?
当 a ? 3 ? 6 时,不等式 f ( x) ? 6 解集为 R ,不合题意; 当 a ? 3 ? 6 时,不等式 f ( x) ? 6 的解为 ?

? x ? ?3 ?x ? a 或? ?a ? 3 ? 2 x ? 6 ?2 x ? 3 ? a ? 6

? x ? ?3 ?x ? a ? ? 即? a ?9 或? a ? 3 ,又因为解集 ? x | x ? ?4或x ? 2? ,解得 a ? 1 .…………10 分 ?x ? 2 ?x ? 2 ? ?
·12·

·13·


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