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湘教版必修三第七章 解析几何初步导学案及答案解析-第7章 7.4 几何问题的代数解法7.5 空间直角坐标系


7.5 空间直角坐标系 1.解析几何的基本思想方法就是用代数方法解决几何问题,几何的最基本元素--点和 曲线分别用坐标和方程表示,将点和曲线的几何性质都用坐标和方程的代数性质来表示和处 理.(习惯上我们称之为解析法) 2. 一般地, 在空间取定一个点作为原点 O, 过原点 O 作三条两两垂直的直线作为坐标轴, 分别叫作 x 轴、y 轴、z 轴,在这三条 轴上分别取定正方向,并选取一个长度单位作为三条坐 标轴上共同使用的长度单位.这就建立了一个空间直角坐标系. 空间直角坐标系与平面直角坐标系有哪些相同之处? 提示:(1)平面直角坐标系和空间直角坐标系的建立都要确定三要素,即原点、坐标轴的 方向和单位长度. (2)无论是在哪一种坐标系下,确定一个点的坐标,都需要确定该点在坐标轴上的投影. (3)在两种坐标系下,坐标轴上的点以及平行于坐标轴上的点的坐标都满足一些特殊关系, 如有些坐标为 0 等. 3.落在坐标轴和坐标平面上的点的特点 以正方体 ABCD-A1B1C1D1 的顶点 A 为坐标原点,以射线 AB,AD,AA1 分别为 x 轴,y 轴,z 轴的正半轴建立空间直角坐标系,且正方体棱长为 a,则点 C,B1,C1 的坐标分别为 __________. 提示:(a,a,0),(a,0,a),(a,a,a) 4.空间两点间的距离 空 间 中 的 两 点 P1(x1 , y1 , z1) , P2(x2 , y2 , z2) 之 间 的 距 离 |P1P2| = (x1-x2)2+(y1-y2)2+(z1-z2)2. [来源:学#科#网 Z#X#X#K] (1)已知空间中点 A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,y,3),则|AB|=__________;若|AC|= 6,则 y =__________. 提示:|AB|= (4-7)2+(3-1)2+(1-2)2= 14. |AC|= (4-5)2+(3-y)2+(1-3)2= 5+(y-3)2= 6, ∴(y-3)2=1,即 y=4 或 2. (2)空间两点间的距离公式与平面内两点间的距离公式有什么联系? 提示:空间两点间的距离 公式与平面内两点间的 距离公式 形 式类似,只是根号内增加了 一项(z1-z2)2,同时,平面内两点间的距离公式可视为空间两点距离公式的特殊情况,在空间 两点间距离公式中令 z1=z2=0,即得平面内两点间的距离公式. 一、代数方法解决几何问题(坐标法) 【例 1】△ABD 和△BCE 是边 AB、BC 在直线 AC 上且位于直 线 AC 同侧的两个等边三角 形,用坐标法证明:|AE|=|CD|. 建系 → 用坐标表示A、E、C、D → 用两点间距离公式计算 → 结论 解:如图,以 B 点为坐标原点, 取 AC 所在直线为 x 轴,建立直角坐标系. c 3 a 3 设△ABD 和△BCE 的边长分别为 a,c,则 A(-a,0),E? , c?,C(c,0),D?- , a?, ?2 2 ? ? 2 2 ? c ?2 ?2 ? 3 于是|AE|= ? ?2-(-a)? +? 2 c-0? c2 3 = a2+ac+ + c2= a2+ac+c2, 4 4 a ?2 ? ? ?2 ? 3 |CD|= ? ??-2?-c? +? 2 a-0? a2 3 = +ac+c2+ a2= a2+ac+c2, 4 4 所以|AE|=|CD|. 对于平面几何中证明边相等(或不等)、求最值类题目,可以建立恰当的平面直 角坐标系,用坐标法将几何问题代数化,使复杂的逻辑思维

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